Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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Lección 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1.1. Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingeniería 1.1.1. Ley de enfriamiento de Newton Ecuaciones diferenciales aparecen muy frecuentemente en los modelos matemáticos que su usan en las ciencias aplicadas y en la ingeniería.
4 Ecuaciones diferenciales ordinarias A modo de ejemplo consideremos la siguiente situación: Figura 1.1: Ley de Enfriamiento de Newton Ejemplo 1.1 Supongamos que queremos conocer la evolución, a lo largo del tiempo, de la temperatura de una barra metálica que ha sido calentada hasta una cierta temperatura y depositada en un habitáculo cerrado que se mantiene constantemente a una temperatura constante T a tal y como muestra la Figura 1.1. Podemos pensar que la temperatura de dicho objeto depende de la diferencia de la temperatura del propio objeto y la temperatura ambiente (la del habitáculo). Si la barra de hierro está muy caliente y el habitáculo muy frío la pérdida de calor de la barra será muy rápida; si por el contrario las temperaturas de la barra y del habitáculo son casi iguales, la barra perderá calor muy lentamente. Esto es lo que se deduce precisamente la ley de enfriamiento de Newton: Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la variación en el tiempo del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y/o radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo y a la superficie del cuerpo. Cómo podemos expresar esta ley matemáticamente?. Si Q(t) representa la cantidad de calor del objeto en el instante t qué concepto matemático nos da una idea de la variación del calor; es decir de la variación de la función Q?. No es otro sino el de derivada. En efecto, sabemos que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva que representa dicha función. Si la pendiente es grande la función crece muy rápidamente, y si es pequeña la función apenas crece. Así pues, la derivada de una función en un punto mide la variación de la función en dicho punto y, aplicando esto a nuestro caso, la variación de la función calor, Q(t), en cada instante t es Q (t) = dq. La ley de enfriamiento de Newton se expresa, entonces, mediante la fórmula dq = αa(t T a) donde α es el coeficiente de transmisión (o intercambio) de calor y A el área del cuerpo. Por otra parte, si se transfiere una pequeña cantidad de calor, dq, entre un sistema (en nuestro caso la barra de hierro) de masa m y su entorno y el sistema experimenta una pequeña variación de temperatura, dt, entonces se define la capacidad calorífica específica, c, del sistema (también llamada calor específico) como c = 1 dq m dt
1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingeniería 5 o, equivalentemente, Así pues o más simplificadamente: siendo k = αa mc dq = mc dt. mc dt = αa(t T a), dt = k(t (t) T a) (1.1) una constante asociada al material y superficie de que está hecha la barra. Vemos de esta forma que la variación de la temperatura del objeto es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas del objeto y el medio ambiente; ley que concuerda completamente con nuestra intuición y experiencia. La ecuación (1.1) es nuestro primer ejemplo de una ecuación diferencial: es una ecuación en la que aparece una función incógnita T (t) y su derivada T (t). Aunque no es el caso de la ecuación (1.1), en las ecuaciones diferenciales también puede aparecer la variable independiente. Así pues, un ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función, que es la incógnita, la variable o variables independientes y la derivada o derivadas de la función. Alguno de estos objetos: las variables independientes o la función incógnita, pueden no estar presentes en la ecuación diferencial. Así por ejemplo: son ecuaciones diferenciales. x (t) = 3 o x 3 = 0 exp(t) x (t) = 1 o e t x 1 = 0 x (t) x + t 2 = 0 o x x + t 2 = 0 Asociada a cada ecuación diferencial hay varios adjetivos que describen su tipo. En particular, la ecuación 1.1 es una ecuación de primer orden porque contiene sólo primeras derivadas de la función incógnita (también llamada variable dependiente) y es una ecuación diferencial ordinaria porque no contiene derivadas parciales. Cuando la función incógnita depende de más de una variable y en la ecuación aparecen las derivadas parciales, la ecuación diferencial correspondiente recibe el nombre de ecuación en derivadas parciales. Ëstas son las más comunes en las aplicaciones, pero su estudio está más allá del alcance de este corto curso. En general el orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuación. Así si x (j) (t) representa la j-ésima derivada de la función x(t), y de acuerdo con la definición que hemos dado de una ecuación diferencial ordinaria, la forma general de una ecuación diferencial de orden n es: F (t, x(t), x (t), x (t),..., x (n) (t)) = 0.
6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer, segundo y tercer orden son las siguientes: dx (i) Primer Orden + x(t) = kt (ii) Segundo Orden x (t) + x(t)x (t) kt 2 = 0 (iii) Tercer Orden x (t) + ax (t) + b(x(t)) 2 = 2t + 3. Para cada una de estas ecuaciones las funciones F (t, x(t), x (t), x (t),..., x (n) (t)) serían las siguientes: (i) F (t, x(t), x (t)) = x (t) + x(t) kt = 0 (ii) F (t, x(t), x (t), x (t)) = x (t) + x(t)x (t) kt 2 = 0 (iii) F (t, x(t), x (t), x (t), x (t) = x (t) + ax (t) + b(x(t)) 2 ) 2t 3 = 0. Por otra parte, a fin de abreviar la notación y puesto que suele ser claro cuál es la función y cuál la variable independiente, se omite la dependencia de la primera respecto de la segunda. Así x 2 y (x) + e y(x) y (x) + sen(y(x)) = x + cos(x), x 2 y + e y y + sen(y) = x + cos(x), t 2 x (t) + e x(t) x (1.2) (t) + sen(x(t)) t cos(t) = 0 y t 2 x + e x x + sen(x) = t + cos(t) son formas diferentes de expresar la misma ecuación diferencial. Antes de proseguir conviene hacer algunas observaciones acerca de la notación. Muchas de las ecuaciones diferenciales ordinarias que sirven como modelos de problemas reales tienen que ver con procesos que discurren a largo de un período de tiempo. Es por eso que, por lo general, la variable independiente se designará por t, y la variable dependiente (o función incógnita) por x. No obstante, en muchos textos (y también aquí en algunas ocasiones) se representa con x la variable independiente y con y la dependiente. 1.1.2. Flujo calorífico radial De todas formas, cuando una ecuación diferencial surge en el estudio de un problema real, lo habitual es designar a las variables con letras significativas que nos recuerden los objetos que se están estudiando. Esto es lo que hicimos en el ejemplo del estudio de la variación de la temperatura de la barra. En esa situación la función incógnita la designamos con la letra T, por ser la temperatura el objeto de estudio, y por ser el tiempo la variable independiente, la designamos por t. Un ejemplo en el que la variable independiente no es el tiempo es el de la transmisión radial de calor a través de un conductor cilíndrico: Una tubería cilíndrica de longitud L está compuesta de dos superficies metálicas y un material separador entre ellas (una sección
1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingeniería 7 r b a T 1 T 2 Figura 1.2: Flujo radial de calor a través de una tubería cilíndrica. transversal de la misma se representa en la Figura 1.2). Por el interior de la tubería circula aire caliente de modo que la pared interior de la tubería se mantiene a una temperatura constante igual a T 1. La parte exterior de la misma también se mantiene a una temperatura constante T 2. Suponemos que T 1 T 2 y se pretende estimar la distribución de temperatura en el interior del material separador. Para llegar a una ecuación matemática (el modelo matemático del problema real) vamos a hacer algunas suposiciones (simplificaciones del fenómeno real) bastante naturales en nuestro problema: la temperatura en cada punto de la tubería se mantiene constante a lo largo del tiempo (la tubería está en estado estacionario) y el flujo de calor es radial; es decir, el calor se propaga perpendiculamente a las paredes de la tubería de la que tiene una mayor temperatura a la que tiene una temperatura menor (tal y como muestran las flechas gruesas de la Figura 1.2). Ahora debemos aplicar un modelo físico. En este caso, aplicamos la Ley de Fourier del calor: La corriente calorífica (o flujo de calor) que pasa por una sección de una superficie perpendicular a la trayectoria del calor (por unidad de tiempo) es directamente proporcional al área de dicha sección y a la variación de la temperatura respecto a la distancia de la sección al foco de calor. Es decir, si H representa el flujo calorífico en todos los puntos de la superficie separadora que están a una distancia r del eje central de la tubería, T la temperatura en esos puntos y A el área de la sección longitudinal de la tubería (que sería un cilindro) a una distancia r del eje, entonces: H = ka dt dr. (1.3) siendo k una constante positiva denominada conductividad térmica del material. El signo se debe a que el flujo de calor es, como hemos dicho, en la dirección en la que disminuye la
8 Ecuaciones diferenciales ordinarias temperatura. Las unidades de H son energía por unidad de tiempo (o potencia); en unidades del sistema internacional la unidad de H sería 1 J/s. Y en este mismo sistema la unidad de k sería 1 J (s m C o ) 1. Ahora bien, como estamos suponiendo que la tubería está en estado estacionario, no hay variación de la energía calorífica en el tiempo. Por lo tanto, H, el flujo total de calor, es el mismo através de cualquier superficie que rodea el tubo (como la del cilindro imaginario de radio r de la la figura). Así pues, la ecuación (1.3) da lugar a la siguiente ecuación diferencial (recuérdese que el área lateral de un cilindro de radio r y altura L es 2πrL): donde H, k y L son constantes. dt dr = H 2πkL 1 r (1.4) Nótese que, en efecto, los símbolos que se usan para designar los objetos que aparecen en la ecuación están directamente relacionados con su significado físico, pero que la ecuación (1.4) y, digamos, y = a x son exactamente la misma. En otras palabras, si supiéramos resolver la ecuación y = a x sabríamos resolver la ecuación (1.4). 1.1.3. Un problema de cinética química Como un tercer ejemplo significativo del empleo de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería química presentamos el siguiente ejemplo de cinética química: Problema 1.1 Se combinan 260 gr. de CH 3 COOC 2 H 5 (acetato etílico) con 175 gr. de NaOH (hidróxido de sodio) en una solución acuosa de V litros para producir CH 3 COONa (acetato de sodio) y C 2 H 5 OH (alcohol etílico) tomando la reacción: CH 3 COOC 2 H 5 + NaOH CH 3 COONa + C 2 H 5 OH (1.5) como irreversible. Al cabo de 10 minutos se han formado 60 gr. de acetato de sodio. Se quiere saber la cantidad de acetato de sodio y de alcohol etílico que habrá al cabo de media hora. O, en general, se pretende conocer la evolución de la cantidad de estas sustancias que se va formando. Vamos a llamar A al acetato etílico, B al hidróxido de sodio, C al acetato de sodio y D al alcohol etílico. La reacción irreversible (1.5) se escribe esquemáticamente: A + B = C + D
1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingeniería 9 y significa que una molécula de A se combina con una molécula de B para producir una molécula de C y una de D. En cinética química, a las reacciones representadas mediante este tipo de esquemas se les llama ecuaciones estequiométricas. Así pues, estas ecuaciones tienen la siguiente forma general: a A + b B + = p P + q Q + (1.6) en la que los símbolos A, B,... son en la práctica fórmulas químicas que representan las sustancias que reaccionan (reactantes) para dar productos P, Q,.... La presencia de los números a, b,... y p, q,... en la ecuación significa que a moléculas de A reaccionan con b moléculas de B,..., para dar p moléculas de P, q moléculas de Q, etc.. Por ejemplo, como es bien sabido, 2H 2 + O 2 = 2H 2 O quiere decir que dos moléculas de hidrógeno reaccionan con una de oxígeno para producir dos moléculas de agua. En termodinámica y cinética, la reacción química general se escribe en la forma: 0 = B ν B B donde la suma se extiende a todas las sustancias presentes, tanto reactantes como productos, y los números ν B, llamados números estequiométricos, son los números a, b, p, q,... en (1.6) pero con los reactantes cambiados de signo. En esta forma la ecuación (1.6) es: 0 = a A b B... + p P + q Q +... = ν A A + ν B B +... + ν P P + ν Q Q +... y la ecuación del agua: 0 = 2H 2 O 2 + 2H 2 O. Por otra parte, de la misma forma que en el primer ejemplo sobre el enfriamiento de un objeto metálico disponíamos de la ley de Newton como modelo del fenómeno físico que se producía, en este problema de cinética química necesitamos un modelo que explique lo que sucede en el interior de la reacción química. Corresponde a los ingenieros químicos la experimentación que permita llegar a modelos que se ajusten a la realidad. Por ahora, nosotros vamos a suponer que el modelo por el que se rige nuestra reacción es la Ley de Acción de Masas: Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción química es proporcional al producto de las concentraciones de las sustancias que toman parte en la reacción. La Ley de Acción de Masas no es más que un caso particular de un modelo más general para las reacciones químicas. En cualquier caso, aparece aquí un nuevo concepto: velocidad de reacción. Ésta es la variación de la concentración de cada sustancia (en moles/cm 3 ) dividida por el correspondiente número estequiométrico. Para todas las sustancias presentes en la reacción esta cantidad es la misma. Para verlo podemos pensar, por
10 Ecuaciones diferenciales ordinarias ejemplo, en la reacción 2H 2 + O 2 = 2H 2 O. Ya sabemos que esto quiere decir que dos moléculas de hidrógeno reaccionan con una de oxígeno para producir dos de agua. Por cada mol de oxígeno que desaparece, desaparecen dos de hidrógeno y se forman dos de agua. Por lo tanto la velocidad de desaparición del hidrógeno y de la formación de agua es el doble que la del oxígeno; y en consecuencia 1/2 de la velocidad de desaparción del hidrógeno y de formación de agua es igual a la del oxígeno. En general, y en relación a la ecuación estequiométrica (1.6), si escribimos [A], [B], [P ], [Q], etc. para representar la concentración de las sustancias A, B, P, Q,..., (lo que es bastante habitual) entonces la variación de la concentración de la sustancia A es d[a] d[b], la variación de la sustancia B es, etc. Por lo tanto v = 1 d[a] a = 1 b d[b] = 1 d[p ] p = 1 q d[q] = es la velocidad de dicha reacción. Y para la reacción del agua tendíamos: v = d[o 2] = 1 d[h 2 ] 2 = 1 2 d[h 2 O]. Estamos ya en condiciones de exponer la ecuación que representa lo que sucede en la reacción química del problema que tenemos planteado, Problema 1.1. El primer paso, y uno de los más importantes, consiste en decidir cuál es la función incógnita. En nuestro caso, ésta viene determinada por el modelo que vamos a utilizar: la Ley de Acción de Masas. Esta ley establece una relación entre la velocidad de reacción (variación de la concentración de cada sustancia) y las concentraciones de las mismas, medida ésta en moles/cm 3. Por lo tanto, nuestra función incógnita debe ser la concentración de cada sustancia en cada instante t. Y aplicando la ley de acción de masas al compuesto A (velocidad de reacción= k producto de concentraciones): d[a] = k[a][b]. Esta es la ecuación diferencial que sirve como modelo matemático para estudiar la evolución de las concentraciones de los reactantes. Ahora bien, teniendo en cuenta que en el problema se nos pide la cantidad de cada sustancia presente en la reacción al cabo de un cierto tiempo, es conveniente considerar como funciones incógnita las cantidades de moles de cada sustancia que han reaccionado después de t minutos. Así si x A (t) y x B (t) representan estas cantidades y n A y n B los moles iniciales de estas sustancias, tenemos que [A] = n A x(t) V moles/cm 3 [B] = n B x(t) V moles/cm 3 Además, dado que la ecuación es de la forma A + B = C + D, por cada mol de A que reacciona, reacciona uno de B; tenemos que x A (t) = x B (t) para todo t.
1.2 Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 11 Debe observarse, finalmente, que x(0) = 0 porque hasta que no comienza la reacción ningún mol ha reaccionado todavía. Así pues: d (n A x(t)) V = k n A x(t) n B x(t) V V A la constante k se le llama constante de velocidad de la reacción y se suele expresar en cm 3 mol min. Si ponemos K = k V la ecuación anterior queda: dx = K(n A x)(n B x) (1.7) En el próximo capítulo veremos cómo resolver esta ecuación diferencial analíticamente. Podremos entonces responder con exactitud a la primera pregunta de cuánto acetato de sodio y alcohol etílico habrá al cabo de media hora de haber comenzado la reacción. 1.2. Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Consideremos una ecuación diferencial ordinaria de orden n: F (t, x, x,..., x (n) ) = 0. (1.8) Si en esta ecuación podemos despejar la n-ésima derivada de la función incógnita x (n) entonces la ecuación puede ponerse en forma explícita: x (n) = f(t, x, x,..., x (n 1) ). Este es el caso, por ejemplo, de la ecuación (1.2), cuya forma explícita es: x = 1 t 2 ( ex x sen(x) + t + cos(t)). Dada la ecuación diferencial (1.8), una solución de esta ecuación diferencial es una función de la variable dependiente, x(t), que al ser sustituída en la ecuación como la variable dependiente, satisface todos los valores de la variable independiente. Por ejemplo, la función f(t) = 3e t es solución de la ecuación dx = x porque df = d(3et ) = 3e t = f(t) para toda t.
12 Ecuaciones diferenciales ordinarias Sin embargo, la función g(t) = sen t no es solución de esta ecuación porque dg = d(sen t) = cos t, y claramente la función cos t no es la misma que la función g(t) = sen t para todo t. (Lo es para algún t, por ejemplo para t = π rad., pero no para todo posible valor de t). 4 Encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales es una tarea complicada la mayor parte de las veces. Verificar si una función es o no solución es, sin embargo, muy sencillo: basta derivar, sustituir en la ecuación y comprobar si se obtiene una identidad o no para todos los valores posibles de la variable independiente para los que la ecuación tiene sentido. Por ejemplo, puede resultarnos, por ahora, difícil imaginar cómo obtener una solución de la ecuación lineal x 2x + x = 0. Comprobar si la función x(t) = (1 + 2t)e t es o no solución es muy sencillo. En efecto, calculamos las derivadas presentes en la ecuación y sustituímos en la ecuación: x (t) = (3 + 2t)e t y x (t) = (5 + 2t)e t, x (t) 2x (t)+x(t) = (5+2t)e t 2(3+2t)e t +(1+2t)e t = [(5 6+1)+(2 4+2)t]e t = 0, para todo t. En consecuencia, la función x(t) = (1 + 2t)e t es solución de la ecuación dada. Esta es una solución explícita de la ecuación: la podemos escribir explícitamente en función de t. Hay soluciones en las que sin embargo esto es imposible. Consideremos, por ejemplo, la ecuación dx = x x 2 + 1. Resulta que cualquier función, x(t), que verifique ln x(t) + x(t)2 2 = t + C (1.9) cualquiera que sea la constante C es una solución de la ecuación. Para comprobarlo procedemos de la siguiente forma: Escribimos g(t, x) = ln x + x2 2 t C. de modo que la ecuación (1.9) es equivalente a g(t, x(t)) = 0
1.2 Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13 Esto es una ecuación en t y x que bajo ciertas condiciones permite definir x como función de t en algún intervalo de la recta -hay un teorema importante en matemáticas, el Teorema de la función implícita, que establece dichas condiciones e intervalos-. Es como si pudiéramos despejar x como función de t para ciertos valores de t. En algunos casos, de hecho, se puede despejar x explícitamente. Por ejemplo, si g(t, x) = x 2 t entonces la ecuación g(t, x) = 0 define dos funciones de t: x(t) = t y x(t) = t. Nótese que g(t, x) = x 2 t es continua y derivable de cualquier orden en todos los puntos del plano, pero las dos funciones que define la ecuación x 2 t = 0 sólo están definidas para t 0 y son derivables para t > 0. La mayoría de las veces, sin embargo, no es posible despejar x explícitamente. Se dice entonces que g(t, x) = 0 define una función x(t) implícitamente (y también, claro, una función t(x) implícitamente. Los papeles de las variables t y x en g(t, x) son intercambiables). Aún cuando no podamos despejar explícitamente x como funcion de t en g(t, x) = 0, podemos saber si la función o funciones x(t) definidas implícitamete por esta ecuación son o no soluciones de una determinada ecuación. Basta, para ello, aplicar cualquiera de los dos siguientes métodos que son equivalentes: Derivar implícitamente: Por ejemplo, en nuestro caso, derivar implícitamente en g(t, x) = ln x + x2 t C = 0 o en la ecuación (1.9) consiste en derivar ambas partes 2 de la ecuación viendo x como una función de t. Así, derivando implícitamente en ln x(t) + x(t)2 = t + C obtenemos: 2 y para todos los valores de t: x (t) x(t) + x(t)x (t) = 1 x (t) + x(t) 2 x (t) = x(t) x (t) ( 1 + x(t) 2) = x(t) x (t) = con lo que x(t) verifica la ecuación diferencial. x(t) 1 + x(t) 2, Aplicar la regla de la cadena: Como g(t, x) = 0 define una función x(t) implícitamente, tenemos que g(t, x(t)) es una función de t, digamos h(t). Así, la ecuación g(t, x(t)) = 0 es equivalente a h(t) = 0, de modo que h (t) = 0. Pero, por la regla de la cadena En nuestro caso, g(t, x) = ln x + x2 2 h (t) = g dx x + g t = 0 t C = 0, de modo que 0 = g dx x + g ( ) 1 t = x + x x 1 1 + x2 x = 1 x = x y x verifica la ecuación diferencial x 1 + x 2,
14 Ecuaciones diferenciales ordinarias Si x(t) está definida de forma implícita, para t en un cierto intervalo [a, b], por una ecuación de la forma g(t, x) = 0 y es derivable en dicho intervalo, y su derivada verifica la ecuación (1.8), entonces se dice que x(t) es una solución implícita de la ecuación diferencial. Resumimos todo lo anterior en la siguiente definición formal: Definición 1.2.- La función x(t) se dice que es una solución explícita de la ecuación (1.8) en el intervalo [a, b] si (a) x(t) es diferenciable hasta de orden n en el intervalo [a, b], y (b) F (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = 0 es una identidad para todo t [a, b]. Si g(t, x) = 0 representa una curva que define una solución de (1.8), se dice que es una solución implícita y define una curva solución de la ecuación. A las soluciones,sean explícitas o implícitas, se les llama también curvas integrales de la ecuación. Una observación adicional. Consideremos la siguiente ecuación diferencial: ( ) 2 x y =. y Una solución implícita de esta ecuación es: x 3 y(x) 3 1 = 0. En efecto, derivando implícitamente en x 3 y(x) 3 1 = 0 tenemos ( ) 2 x 3x 2 3y(x) 2 y (x) = 0 y (x) = y que es precisamente la ecuación diferencial dada. Sin embargo, esta solución implícita puede darse explícitamente: y(x) = (x 3 1) 1 3. La observación es que siempre que una solución pueda darse explícitamente, debe hacerse. 1.3. Cómo obtener información sobre las soluciones? 1.3.1. Análisis cualitativo Consideremos de nuevo la ecuación diferencial que, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, nos proporciona un modelo para estudiar la evolución de la temperatura de
1.3 Cómo obtener información sobre las soluciones? 15 una barra metálica que ha sido calentada hasta una cierta temperatura, T 0, que llamaremos temperatura inicial, y que a continuación ha sido introducida en un habitáculo a temperatura constante T = T a : dt = k(t (t) T a) (1.10) En primer lugar debemos considerar la temperatura inicial: la temperatura de la barra no evolucionará igual si la temperatura inicial de la barra es 50 o C o si es 75 o C. Al problema de hallar la o las soluciones de la ecuación (1.10) sabiendo que T (0) = T 0 se le llama problema de condiciones iniciales para la ecuación (1.10), y lo escribimos de la siguiente forma: { T (t) = k(t (t) T a ) T (0) = T 0 (1.11) Nuestro objetivo es tener tanta información como sea posible de la solución (veremos más adelante en el curso que sólo hay una) de este problema de condiciones iniciales. Es decir, conocer tanto como sea posible acerca de la función T (t) que es solución de la ecuación T (t) = k(t (t) T a ) y cumple la condición T (0) = T 0. (Si alguien siente incomodidad al usar las letras T 0 y T a para designar los valores de las temperaturas inicial de la barra y ambiente del habitáculo, puede sustituir estos símbolos por números concretos). Lo ideal sería tener una expresión explícita de la función T (t). Veremos más adelante que en este caso es posible, pero salvo que necesitemos saber con precisión extrema el valor de T en un instante concreto (digamos T (60), que sería el valor de la temperatura de la barra después de 60 minutos) un simple análisis de la ecuación a partir del significado del concepto de derivada, es suficiente para obtener información muy valiosa sobre la solución. Observamos en primer lugar que si T (t) = T a en todo instante, entonces T (t) T a = 0 y, al sustituir en la ecuación, dt = 0 para todo t. Por lo tanto T (t) = T a es una solución de la ecuación. Este tipo especial de soluciones reciben el nombre de soluciónes de equilibrio porque son constante para todo t. Su significado es claro y sencillo: la barra no cambia de temperatura si y sólo si la temperatura de la barra y del medio ambiente es la misma siempre. Si T 0 = T (0) T a entonces en el momento inicial t = 0 dt (0) = k(t 0 T a ) 0 y en consecuencia hay variación de temperatura; es decir, la temperatura de la barra no se mantiene constante. Si k > 0 y T (0) > T a entonces dt > 0 y la temperatura estaría d0 creciendo. Esto no concuerda con lo que sucede en la realidad: si la temperatura de la barra es superior a la del medio ambiente, la temperatura de la barra decrece, es decir la barra se enfría. Así que conviene añadir a nuestra ecuación o bien que la constante k es negativa, o bien escribir la ecuación como dt = k(t (t) T a)
16 Ecuaciones diferenciales ordinarias T T Temperatura T(t) Temperatura A T(t) A tiempo t tiempo t Figura 1.3: Posible solución para la condición inicial T (t 0 ) > T a. Figura 1.4: Posible solución para la condición inicial T (t 0 ) < T a. siendo k una constante positiva, que es lo que se suele hacer habitualmete. Así pues escribiremos nuestro problema de condiciones iniciales de la siguiente forma: { T (t) = k(t (t) T a ) T (0) = T 0 (1.12) Ahora, si T (0) > T a entonces dt < 0 con lo que la temperatura de la barra decrecerá; es decir, para t 1 > 0 pero muy próximo a t = 0, T (t 1 ) < T (0) y T (t 1 ) T a < T (0) T a. Por lo tanto, dt (t 1) = k(t (t 1 ) T a ) > k(t (0) T a ) = dt (0). Si t 1 está próximo a 0, la temperatura de la barra decrecerá, pero no lo suficiente como para que sea inferior a T a. Así pues, T (t 1 ) T a > 0 y 0 > T (t 1 ) > T (0). Es decir, la derivada será negativa, por lo que la temperatura seguirá decreciendo. Así si t 2 > t 1 y es próximo a t 1 tendremos que T (t 2 ) < T (t 1 ), y un análisis como el que hemos hecho para 0 y t 1 nos permitirá concluir que dt (t 2) = k(t (t 2 ) T a ) > k(t (t 1 ) T a ) = dt (t 1). Podría pensarse que es posible que T (t 2 ) < T a. La observación de la realidad nos dice que esto nunca ocurre. Ahora no podemos demostrarlo pero veremos más adelante en el curso que esto también se deduce de las propiedades de las ecuaciones diferenciales. Todavía no estamos preparados para hacerlo, pero vamos a seguir suponiendo que T (t 2 ) > T a de modo que 0 > T (t 2 ) > T (t 1 ). Y podríamos seguir el análisis con un t 3 > t 2 pero próximo a t 2. En conclusión, la derivada T (t) siempre es negativa, cada vez mayor y, por lo tanto, cada vez más próxima a 0. Esto significa que la gráfica de T (t) es una curva decreciente pero que este decreciemiento es cada menor a medida que el tiempo t aumenta (ver la gráfica1.3). En definitiva, a medida que transcurre el tiempo el valor de la temperatura de la barra se acerca
1.3 Cómo obtener información sobre las soluciones? 17 más y más, pero cada vez más lentamente, al valor de la temperatura del habitáculo. Esto concuerda completamente con lo que la observación de la realidad nos dice que sucede. Si comenzamos con una condición inicial diferente obtendremos una función T (t) diferente. Podría ser, por ejemplo, que lo que suceda es que el habitáculo sea un horno que se mantiene a una temperatura constante T a, y lo que se pretende es calentar la barra, inicialmente más fría que la temperatura del horno. En este caso, la condición inicial es T 0 = T (0) < T a. Haciendo un análisis como el de más arriba tenemos que dt > 0 en t = 0 y la función temperatura es creciente. La diferencia T a T (t) es cada vez más pequeña para t > 0 y previsiblemente la gráfica de la función temperatura será parecida a la de la Figura 1.4. Este análisis de la manera en la que T (t) evoluciona cuando t aumenta se llama análisis cualitativo de la ecuación diferencial. Si lo que nos interesa es tener una idea de cómo evoluciona la temperatura de la barra a medida que pasa el tiempo, este análisis es suficiente: predice que cualquiera que sea su temperatura inicial (la condición inicial del problema) la temperatura de la barra se aproxima más y más a la temperatura del medio ambiente a medida que trascurre el tiempo. Además, predice también que la rapidez con la que T (t) se aproxima a T a depende de la constante k. En efecto, como k > 0 la variación de T ; i. e. dt es tanto mayor (si T (t) T a < 0), o tanto menor (si T (t) T a > 0), cuanto mayor sea k. Por lo tanto T (t) se aproxima a T a tanto más rápidamente cuanto mayor sea la constante k. Esta constante k depende de la materia de la que está hecha la barra y está relacionada con su calor específico. 1.3.2. Cálculo análitico de soluciones Ahora bien, si lo que necesitamos es saber el valor de T (10) o T (100), el análisis cualitativo no es suficiente; necesitamos una información más precisa de la función T (t). Lo ideal sería obtener una fórmula explícita para T (t). Una solución del problema de condición 1.12 es una función T (t) que satisface ambas ecuaciones. En primer lugar, debemos encontrar una función T (t) que sea solución de la ecuación diferencial T = k(t T a ). Es decir (recordemos la definición de solución de una ecuación diferencial), debemos encontrar funciones cuya derivada sea el producto de k por T (t) T a. Aparentemente esto no parece una cuestión muy fácil. Estudiaremos métodos para resolver este tipo (y otros más complicados) de ecuaciones diferenciales. Por ahora, y para hacer plausible la búsqueda de soluciones de nuestra ecuación, vamos a realizar un cambio de la variable independiente. Pongamos P (t) := T (t) T a
18 Ecuaciones diferenciales ordinarias entonces dp = dt Por lo tanto, seremos capaces de encontrar soluciones de la ecuación si encontramos soluciones de la ecuación dt = k(t (t) T a) (1.13) dp = kp (t) (1.14) (y recíprocamente). En efecto, si P (t) es solución de (1.14) entonces P (t) = kp (t). Pero P (t) = T (t), así que T (t) = kp (t) = k(t (t) T a ), por lo que T (t) es solución de (1.13). Y recíprocamente, si T (t) es solución de (1.13) entonces, como T (t) = P (t) tenemos que P (t) = T (t) = k(t (t) T a ) = kp (t). Se dice que las ecuaciones (1.13) y (1.14) son equivalentes. Ahora bien, es más fácil hallar soluciones de la ecuación (1.14) porque ésta nos pide encontrar una función cuya derivada coincida (salvo el factor k) con la propia función. Sabemos que una función que cumple esta propiedad es la función exponencial. En efecto, si x(t) = e t entonces x (t) = e t = x(t). Esto quiere decir que x(t) = e t es una solución de la ecuación dx = x(t) Esta ecuación se parece mucho a la nuestra y, de hecho, si x(t) = e at tenemos que x (t) = ae at = ax(t). Así pues P (t) = e kt es una solución de la ecuación (1.14). En efecto, P (t) = ke kt = kp (t). Claro que ésta no es la única solución, porque si P (t) = ce kt (donde c es una constante cualquiera) entonces P (t) = c( ke kt ) = k(ce kt ) = kp (t). De nuevo, P (t) = kp (t) para toda t. Concluímos que todas las funciones P (t) = ce kt, con c una constante cualquiera, son solución de la ecuación (1.14). Y deshaciendo el cambio P (t) = T (t) T a ; i.e. T (t) = P (t)+t a, resulta que todas las funciones de la forma T (t) = T a + ce kt, con c una constante cualquiera, son soluciones de la ecuación diferencial (1.13). Podemos comprobarlo directamente: dt = kce kt = k[(t a + ce kt ) T a ] = k(t (t) T a ), para toda t Observamos, además, que para c = 0 obtenemos la solución de equilibrio T (t) = T a. Hemos encontrado un número infinito de soluciones de la ecuación diferencial, una para cada valor de c. Una pregunta natural es si habrá más soluciones de las que hemos encontrado. Veremos que la respuesta es negativa, pero por ahora no podemos justificarlo. Para
1.3 Cómo obtener información sobre las soluciones? 19 determinar cuál de todas las soluciones encontradas cumple la segunda condición del Problema de Condición Inicial debemos encontrar aquella (o aquellas, veremos más adelante que sólo hay una) que verifica la segunda ecuación T (0) = T 0. Se debe cumplir que T 0 = T (0) = T a + ce k0 = T a + ce 0 = T a + c Por lo tanto c = T 0 T a, y una solución del problema de condición inicial es T (t) = T a + (T 0 T a )e kt. T Temperatura A tiempo t Figura 1.5: Gráficas de Varias soluciones de la ecuación dt = k(t (t) T a). Hemos obtenido una fórmula para nuestra solución, no sólo una imagen cualitativa de su gráfica. La función T (t) obtenida se llama solución del problema de condición inicial y también solución particular de la ecuación diferencial. El conjunto de funciones T (t) = T a +ce kt se llama solución general de la ecuación diferencial (1.13) porque podemos usarla para encontrar cada solución particular correspondiente a cualquier problema de condición inicial. En la Figura 1.5 se muestran las gráficas de las funciones T (t) = T a + ce kt para varios valores de c y para el mismo valor de k.