Ejemplos de Ecuaciones Cuadráticas e Inecuaciones Cuadráticas Ecuaciones Cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por el método de factorización o utilizando la fórmula cuadrática. El primer paso para cualquiera de los dos métodos es escribir la ecuación en la forma estándar a b c, es decir, la ecuación igualada a cero. Método de Factorización Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización de polinomios Procedimiento:. Primero debemos epresar la ecuación en forma estándar igualando a cero; a b c. Factorizar completamente el polinomio. 3. Igualar a cero cada factor y despejar para la variable. Los valores encontrados son la solución de la ecuación. Ejemplo 3 Ejemplo 9 4 Paso 3 Paso 9 4 Paso Factorización (-)(+5)= Paso Factorización (+)(+7)= 5 5 7 7 Ejemplo 3 y 7 y Ejemplo 4 Paso Dado Paso Paso Factorización Paso Factorización ( y 4 )( y 3) ( 5 )( 4 ) y 4 y 3 5 4 y 4 y 3 5 4
Ejemplo 5 5 3 Ejemplo 6 4 9 Paso 5 3 Paso Dada 4 9 Paso Factorización Paso Factorización ( 3)( ) ( 3) 3 3 3 3 Fórmula Cuadrática Al utilizar la fórmula cuadrática encuentras la solución de la ecuación. Una ecuación cuadrática puede tener una solución o dos soluciones; éstas pueden ser valores en el conjunto de los números reales o en el de los números complejos. Fórmula b b a 4 ac, para a b c Procedimiento:. Primero debemos epresar la ecuación en forma estándar igualando a cero.. Segundo identificar el valor de a, b y c, en la ecuación dada. 3. Sustituir en la fórmula cuadrática. Se debe comenzar con el radical, el radicando en esta fórmula se conoce como el discriminante: b 4ac. El tipo de solución de la ecuación depende del valor del discriminante. Si el discriminante es: Positivo la ecuación tiene dos valores reales como solución Negativo la ecuación tiene dos valores no reales ( complejos ) como solución Cero sólo tenemos un valor real como solución 4. Simplificar
EJEMPLO Resuelve la siguiente ecuación 5 3 PROCEDIMIENTO ECUACIÓN 5 3 Epresar la ecuación en forma estándar igualando a cero 5 3 Identificar el valor de a, b, y c a, b 5, c 3 Hallar el discriminante y determinar el tipo de solución 5 4 ()( 3) 5 ( 4 ) 5 4 Positivo la ecuación tiene dos valores reales como solución 49 Sustituir en la fórmula 5 49 ( ) Simplificar 5 7 4 5 7.5 ó 5 7 3 4 4 4 4.5 o 3 EJEMPLO Resuelve la siguiente ecuación 4 9 PROCEDIMIENTO ECUACIÓN 4 9 Epresar la ecuación en forma estándar igualando a cero 4 9 Identificar el valor de a, b, y c a 4, b, c 9 Hallar el discriminante y determinar el tipo de solución 4 (4)( 9 ) 44 44 Cero sólo tenemos un valor real como solución Sustituir en la fórmula ( 4 ) Simplificar 3. 5 8
EJEMPLO 3 Resuelve la siguiente ecuación 5 PROCEDIMIENTO ECUACIÓN 5 Epresar la ecuación en forma estándar igualando a cero 5 Identificar el valor de a, b, y c a, b, c 5 Hallar el discriminante y determinar el tipo de solución 4 ()( 5 ) ( ) Negativo la ecuación tiene dos valores no reales (complejos), como solución Sustituir en la fórmula () Simplificar i 5i () 5i o 5i No son soluciones reales
EJEMPLO 4 Resuelve la siguiente ecuación 3 8 PROCEDIMIENTO ECUACIÓN 3 8 Epresar la ecuación en forma estándar igualando a cero 3 8 Identificar el valor de a, b, y c a 3, b, c 8 Hallar el discriminante y determinar el tipo de solución 4 (3)( 8) ( 96 ) 96 96 Positivo la ecuación tiene dos valores reales como solución Sustituir en la fórmula 96 (3) Simplificar 4 6 4 4.67 ó 6 6 4 4 4 6 6.67 o 4
Inecuaciones Cuadráticas Resolvemos las inecuaciones cuadráticas de forma similar a las ecuaciones. La diferencia en estos casos es que la solución es dada por un intervalo de la recta numérica. Procedimiento:. Epresar la inecuación en forma estándar, según el caso que corresponda: a b c ó a b c a b c ó a b c. Hallar las raíces ( solución ) de la ecuación correspondiente a la inecuación dada; a b c. VER PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA 3. Marcar las raíces en la recta numérica. 4. Identificar los intervalos formados por las raíces en la recta numérica. 5. Llevar a cabo la prueba de los signos: a. Seleccionar un número de cada intervalo de la recta, según el paso anterior. b. Evaluar el polinomio con el valor seleccionado en el paso anterior. c. Anotar el signo que le corresponde a cada intervalo. 6. Seleccionar el o los intervalos en los que se obtenga el resultado esperado. El resultado depende del tipo de inecuación, los cuales serán los siguientes: a b c ; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado negativo o cero. a b c ; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado negativo. El cero NO se incluye. a b c ; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado positivo o cero. a b c ; la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado positivo. El cero NO se incluye.
EJEMPLO Resuelve la siguiente inecuación 5 3 PROCEDIMIENTO Epresar la inecuación en la forma estándar 5 3 5 3 ( )( 3) Resolver la ecuación correspondiente. Se puede 3 utilizar la factorización o la fórmula cuadrática. o 3 Marcar las raíces en la recta numérica e identificar los intervalos formados. -3 Seleccionar un número de cada intervalo. -3 = -4 = = Intervalo valor evaluar signo Evaluar el polinomio en cada valor y anotar los signos. 3 =-4 ( 4 ) 5( 4 ) 3 9 + 3 = ( ) 5( ) 3 3 - = () 5() 3 4 + Seleccionar el o los intervalos en los que se obtenga el resultado esperado. 5 3 La solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado positivo o cero. 3 ó Gráfica -3
EJEMPLO Resuelve la siguiente inecuación 6 PROCEDIMIENTO Epresar la inecuación en la forma estándar 6 Resolver la ecuación ( )( 3) correspondiente. Se puede utilizar la factorización o la 3 fórmula cuadrática. o 3 6 Marcar las raíces en la recta numérica e identificar los intervalos formados. Seleccionar un número de cada intervalo. -3-3 = -5 = =3 Intervalo valor evaluar signo Evaluar el polinomio en cada valor y anotar los signos. 3 =-5 ( 5) ( 5) 6 4 + 3 = 6 6 - =3 3 3 6 6 + Seleccionar el o los intervalos en los que se obtenga el resultado esperado. 6 la solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado negativo. El cero NO se incluye. 3 Gráfica -3
EJEMPLO 3 Resuelve la siguiente inecuación 4 9 PROCEDIMIENTO Epresar la inecuación en la forma estándar 4 9 4 9 Resolver la ecuación correspondiente. Se puede utilizar la factorización o la fórmula cuadrática. ( 3)( 3 3 3) Marcar las raíces en la recta numérica e identificar los intervalos formados. 3 Seleccionar un número de cada intervalo. Evaluar el polinomio en cada valor y anotar los signos. Seleccionar el o los intervalos en los que se obtenga el resultado esperado. 4 9 X= - 3 = Intervalo valor evaluar signo 3 =- 4 ( ) ( ) 9 + 3 = 4 ( ) ( ) 9 9 + La solución consiste en el intervalo, donde se obtengan valores, para el cual la epresión asuma un resultado positivo o cero. AMBOS INTERVALOS CUMPLEN CON EL RESULTADO ESPERADO POR LO TANTO LA SOLUCIÓN SON LOS NÚMEROS REALES
EJEMPLO 4 Resuelve la siguiente inecuación 49 PROCEDIMIENTO Epresar la inecuación en la forma estándar 49 Resolver la ecuación correspondiente. Se puede utilizar la factorización o la fórmula cuadrática. 49 No tiene solución en los reales. Esta inecuación no tiene solución ya que para cualquier valor que se sustituya en la epresión será siempre positiva.