DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I LUZ MARÍA SÁNCHEZ GARCÍA 1. NÚMEROS PRIMOS Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que, sin número, nada pueda ser conocido ni concebido. Filolao Los números naturales, N = 1, 2, 3, 4, 5,, n, esconden muchos secretos. Los problemas relacionados con números naturales han sido un punto importante de estudio entre matemáticos aficionados, matemáticos profesionales y también, estudiantes de enseñanza secundaria como vosotros. Todos sabemos que 2, 4, 6, son números pares, divisibles por 2. Pero por qué hemos seleccionado el 2?. Qué propiedades se pueden obtener de la divisibilidad?. Existen relaciones entre los divisores y los restos?. Qué es el MCD y el MCM?. Qué tienen en común los números 2, 3, 5, 7,?. Son números primos. Pero cuántos hay?. Existe alguna regla para encontrarlos?. Cuántos tipos de números primos nos podemos encontrar? Actividad 1 Partiendo del cuadro de afirmaciones de la siguiente página, realiza las actividades que se detallan a continuación. En primer lugar debes asegurarte que entiendes el significado de cada afirmación antes de contestar las preguntas que siguen a continuación: a) Las tres afirmaciones D, G y O encajan con el número 25. Qué otras afirmaciones de la lista encajan también con el número 25? b) Escoge otro número entre 1 y 50. Ahora busca todas las afirmaciones que encajen con tu número. Discute tu respuesta con tus compañeros del grupo A. Es par B. Es impar C. Es primo D. Es un cuadrado E. Es un cubo F. Tiene una cifra G. Tiene dos cifras H. Es divisible por 3 I. La cifra de las unidades es 3 J. Es el producto de dos números primos K. Es divisible por 6 L. Es divisible por 5
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I 2 diferentes M. Es múltiplo de 11 N. La suma de sus cifras es 10 P. Es un número triangular Q. Tiene un divisor (diferente de 1 y de él mismo) que es un cuadrado O. Cuando se divide por 4, se obtiene de resto 1. R. Es menor que 20 S. Es mayor que 20 T. Es múltiplo de 7 U. La cifra de las unidades es mayor que 5 V. La suma de sus cifras es 9 W. Es divisor de 60 X. Es la suma de dos números primos Y. La cifra de las unidades es menor que 5 Z. El producto de sus cifras es par. Actividad 2 a) Qué números inferiores o iguales a 30 encajan con la afirmación J? b) Qué afirmaciones son ciertas para el número 15? c) Qué números menores o iguales a 30 encajan simultáneamente con las afirmaciones G y Q? d) Qué números menores o iguales a 30 encajan simultáneamente con las afirmaciones B, C y S? e) Qué afirmaciones son ciertas para exactamente tres números entre 1 y 30? Actividad 3 a) He pensado un número que encaja simultáneamente con al afirmación A y la afirmación C. De qué número se trata? b) He pensado un número menor que 1000 que encaja simultáneamente con las tres afirmaciones B, D y L. Qué posibilidades hay para este número? Actividad 4 A jugar!! Cada miembro del grupo escoge un número menor o igual a 30. No digas a tu compañero el número que has elegido Cada miembro del grupo escribe una lista de todas las posibilidades que verifican el número que has escogido (sólo hay que escribir las letras de las afirmaciones) Los dos miembros de cada equipo intercambian sus listas y gana quien descubre primero el número de su compañero.
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I 3 Qué tal si probamos con números menores o iguales a 50? Y menores o iguales a 100? Actividad 5 Puedes encontrar dos números menores o iguales a 30 que encajen exactamente con las mismas afirmaciones? Actividad 6 Busca un número entero, entre 1 y 50, que encaje con el mayor número posible de afirmaciones de la tabla a la vez. Qué creéis que tiene de especial? Actividad 7 Qué números inferiores a 30 no verifican la afirmación X? Qué números inferiores a 50 verifican las afirmaciones N y Z simultáneamente? Actividad 8 Cualquier número que verifica las afirmaciones A y H a la vez también verifica la afirmación K. Imagina un número que verifica las afirmaciones B y D simultáneamente. Qué otra afirmación también deberá verificar?. Por qué? Actividad 9 Ahora queremos definir el número 1. Escribe ahora una lista de todas las afirmaciones que verifica el número 1. Cuál es el mínimo número de afirmaciones necesarias para definir de manera única el número 1?. Cuáles son estas afirmaciones? Cuántas afirmaciones de la A a la Z son necesarias para definir el número 2 de forma única? Repite la misma cuestión que has resuelto en el apartado anterior para cada uno de los números del 3 al 12
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I 4 2. RELATIVAMENTE PRIMOS. RELATIVAMENTE FÁCIL. Actividad 10. El número de mi casa Averigua el número de mi casa, sabiendo lo siguiente: Si es un múltiplo de 3, está entre el 50 y el 59 Si no es múltiplo de 4, está entre el 60 y el 69 Si no es múltiplo de 6, está entre el 70 y el 79 Actividad 11. El hotel de los líos Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Todas ellas están abiertas. Pero llega alguien y comenzando desde el principio las cierra ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y yendo de 3 en 3 la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo otro viene después y comenzando también desde el principio, va cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro que hace lo propio, pero de 6 en 6. Y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el infinito, porque en el hotel había infinitos bromistas. Tú, que eres el conserje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos líos. Qué puertas crees que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas cuando te despiertes por la mañana?. Actividad 12. Número 12 El número 12 tiene seis divisores: 1,2,3,4,6 y 12. Cuatro de ellos son pares (2,4,6 y 12) y dos son impares (1 y 3). Halla algunos números cuyos divisores sean todos, excepto el 1, pares. Describe la secuencia de números que tienen esa propiedad. Halla algunos números que tengan exactamente la mitad de sus factores pares. Describe nuevamente la secuencia de números que tienen esa propiedad. Si puedes, explica en ambos casos por qué es cierto el resultado de tus conclusiones.
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I 5 Actividad 13. Representación olímpica La representación olímpica de un país puede desfilar de tres en tres y queda por delante el que lleva la bandera. Lo mismo pasa si desfilan de cuatro en cuatro o si desfilan de cinco en cinco. Cuántas personas la componen? La representación de otro país intenta lo mismo, pero ahora de tres en tres quedan dos sueltos, de cuatro en cuatro les sobran tres y de cinco en cinco les sobran cuatro. Cuántos miembros la componen? La representación española tiene menos suerte. De tres en tres sobran dos, de cuatro en cuatro sobran tres y de cinco en cinco sobran tres, pero el número de atletas es mayor que el de los otros dos países. Cuántos son? Los dos primeros casos admiten estrategias particulares que no valen para el tercero, aunque la idea general es parecida. Cómo los has pensado? Actividad 14 Un juego Escribe un número de tres cifras. Escríbelo a continuación otra vez para tener un número de seis cifras. Divide por 7 el número obtenido. El cociente divídelo por 11 y, el nuevo cociente, por 13. Si no has cometido errores, habrás obtenido el número inicial. Intenta encontrar el motivo. Actividad 15. Mi calculadora En mi calculadora una de las teclas del 1 al 9 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde. Cuando traté de escribir el número 987654321, apareció en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9. Cuál es la tecla descompuesta? Cuál es el número que apareció en la pantalla? Actividad 16 Curiosa regularidad Toma un número cualquiera de tres cifras. Escribe el número que se obtiene ordenando sus tres cifras de mayor a menor y resta a este número el que se obtiene de ordenar las cifras de menor a mayor. Repite este proceso varias veces.
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I 6 Encuentras algún número especial después de haber repetido suficiente número de veces este proceso varias veces con diferentes números? Ocurrirá esto para cualquier número de tres cifras que tomes? Escribe todas las propiedades que obtengas Actividad 17 Jeroglífico Un día vi una cuenta de multiplicar en la que se leía: AB x CD = EEFF Yo sabía que cada una de las letras significaba un número y que letras diferentes estaban asignadas a números diferentes. Intenté descifrarla pero era incapaz. Podrías ayudarme? Actividad 18. DIAGONALES Si dibujamos un rectángulo 3 5 sobre papel cuadriculado y dibujamos también una de sus diagonales, veremos que la diagonal atraviesa 7 cuadrados de la cuadrícula. De la misma forma, una diagonal de un rectángulo 5 8 atraviesa 12 cuadrados y una diagonal de un rectángulo 6 9, también atraviesa 12 cuadrados. Figura 1. Diagonales en los rectángulos 3 x 5 (izquierda), 5 x 8 (centro) y 6 x 9 (derecha) Cuántos cuadrados atraviesa una diagonal en los siguientes rectángulos? En qué rectángulo te ha sido más difícil hacer el recuento de cuadrados?. Explica por qué. Dibuja ahora un rectángulo 6 4 y cuenta cuántos cuadrados atraviesa una diagonal.
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I 7 Figura 2. Diagonales en los rectángulos 9 x 4 (izquierda), 10 x 2 (centro) y 7 x 6 (derecha) Completa la tabla: Longitud anchura Nº de cuadrados atravesados por la diagonal 5 3 7 8 5 12 9 6 12 7 6 10 2 9 4 6 4 (Nº de veces que la diagonal pasa exactamente por un vértice) 1 Cuál es el número de cuadrados que atravesará una diagonal de un rectángulo m n, en términos de m y n, siendo m y n números primos entre sí?. Comprueba tu conjetura para los casos 5 3, 8 5, 7 6 y 9 4. Cuál sería el número de cuadrados en el supuesto que m y n no sean primos entre sí?. Compruébalo en los casos 9 6, 10 2 y 6 4. Puedes justificar tus conjeturas? Calcula el número de cuadrados que la diagonal atravesará en cada uno de los siguientes rectángulos: 14 21 29 38 13 33 48 55 15 22 14 42 13 39 42 63 Y para terminar, algo fácil: Actividad 19. Terminando Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de dos números cualesquiera. Observa su producto y el producto de esos números Enuncia lo que conjeturas y demuéstralo.