Álgebra Lineal. Formas cuadráticas. José Antonio Abia Vian. E.U.P. Universidad de Valladolid. Dpto. de Matemática Aplicada a la Técnica.

Álgebra Lineal Formas cuadráticas José Antonio Abia Vian Dpto de Matemática Aplicada a la Técnica EUP Universidad de Valladolid Septiembre de 997

Capítulo Formas cuadráticas Aunque, pueda parecernos que vamos a estudiar un nuevo concepto, un caso particular de las formas cudráticas ya ha sido estudiado, pues la norma de un vector no es más que una forma cuadrática Aquí, las veremos de forma general Definición - Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita n, y sea B una base V Se denomina forma cuadrática sobre V a toda función polinómica Q: V IR de la forma n Qx) = a ij x i x j i,j= x donde [x] B = y a ij IR Es decir, una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de segundo grado y n x n variables Expresión matricial Toda forma cuadrática Q sobre V, se puede expresar matricialmente como: a a a n x n Qx) = a ij x i x j = ) a a a n x x x x n i,j= a n a n a nn x n De hecho, tenemos el siguiente resultado Teorema - Toda forma cuadrática Q sobre V, se puede expresar matricialmente como donde A es una matriz simétrica Demostración: Qx) = [x] t BA[x] B Si en la expresión de la forma cuadrática, Qx) = de sumandos de la forma a ij x i x j y a ji x j x i, se tiene que n i,j= a ij x i x j + a ji x j x i = a ij + a ji )x i x j = a ij + a ji a ij x i x j, consideramos los pares x i x j + a ij + a ji x j x i Álgebra Lineal

Diagonalización de una forma cuadrática ma t Por lo que la expresión matricial de Q, es también Qx) = ) x x x n siendo A una matriz simétrica a a +a a +a a n +a n a a n +a n a n +a n a nn a n +a n x x x n = [x]t BA[x] B, La matriz simétrica A, se denomina matriz asociada a la forma cuadrática Q en la base B Veamos como afecta, el cambio de base, a la matriz de una forma cuadrática Cambio de base Sea B base de V distinta de B, si P es la matriz de paso de B a B, P B B, se cumple que [x] B = P [x] B para todo x de V, luego, sustituyendo en Q, tenemos que Qx) = [x] t BA[x] B = P [x] B ) t AP [x] B ) = [x] t B P t AP )[x] B con lo cual, la nueva matriz asociada a la forma cuadrática Q en la base B, y que denominaremos A, viene dada por A = P t AP que es también simétrica Definición 3- Dos matrices simétricas se dice que son congruentes cuando son matrices asociadas a la misma forma cuadrática en distintas bases Es decir, A y A simétricas son congruentes, si existe P inversible tal que A = P t AP Diagonalización de una forma cuadrática Puesto que la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, y una matriz simétrica es diagonalizable ortogonalmente, veamos que siempre podemos obtener una matriz congruente con la inicial que sea diagonal Diagonalización ortogonal Sea B una base de V y Qx) = [x] t BA[x] B la expresión matricial de una forma cuadrática sobre V Puesto que A es simétrica admite diagonalización ortogonal, es decir, A es semejante a una matriz diagonal D, luego existe una base B tal que la matriz P B B es ortogonal y D = P AP Ahora bién, como P es ortogonal, P = P t, y se tiene que es decir, que D y A son congruentes D = P AP = P t AP, Álgebra Lineal

Diagonalización de una forma cuadrática ma t En la nueva base, B, la forma cuadrática puede expresarse como una suma de cuadrados, pues Qx) = [x] t B P t AP )[x] B = [x] t B D[x] B = y + + λ n y n, y donde [x] B = y,, λ n son los valores característicos de la matriz A y n Ejemplo- 4- Reducir a suma de cuadrados la forma cuadrática Qx) = xy + yz Solución: 0 0 La matriz asociada a Q es A = 0 0 0 Los valores característicos de A son las raices del polinomio característico λ 0 λi A = λ 0 λ = λ 3 λ = λ )λ = λ )λ + )λ, es decir,, y 0 Luego A es congruente con la matriz diagonal D = existirá, por tanto, una base en la cual Qx) se expresa de la forma x y 0 0 0 0 0 0 0, y Completar cuadrados La diagonalización ortogonal, propuesta para hallar una matriz asociada a la forma cuadrática que sea diagonal, es en ocasiones dificil de llevar a cabo pues supone encontrar las raices de un polinomio, lo que no siempre es posible Para solventar este problema daremos otros dos métodos de encontrar una matriz diagonal El primero de ellos, que veremos a continuación, se basa en realizar operaciones con la expresión de Q intentando conseguir que dicha expresión quede como una suma de cuadrados Este método, debido a Gauss, para reducir a suma de cuadrados una forma cuadrática sin necesidad de la diagonalización ortogonal, consiste en completar cuadrados, es decir, en reunir todos los términos en cuadrados Para ello se sigue el siguiente proceso En el caso de que la forma cuadrática tenga algún término cuadrado, o sea, de la forma a i x i, se reunen con éste todos los demás términos donde aparezca x i y se completa el cuadrado añadiendo términos en las otras variables si es necesario Se repite el proceso con las otras variables, hasta que todos los términos sean cuadrados o no haya ningún otro término cuadrado Álgebra Lineal 3

Diagonalización de una forma cuadrática ma t Si no hay ningún término cuadrado, existirá un término de la forma a ij x i x j, y entonces puede efectuarse el siguiente tipo de cambio de variable: x = u x i x j x n = u i + u j = u i u j = u n que convierte el producto x i x j en los términos cuadrados u i u j, recayendo así en el caso anterior La matriz del cambio de base se obtiene deshaciendo los cambios realizados Esto último se aclara perfectamente en ejemplo siguiente, a la vez que se ilustra el método Ejemplo- 5- Reducir a suma de cuadrados las siguentes formas cuadráticas Qx) = x + xy + y + 4yz + 5z Solución: La matriz asociada a Q es, A = 0 0 5, los valores característicos de esta matriz no son sencillos de obtener por tanto usaremos el método de completar cuadrados de Gauss Qx) = x + xy + y ) + y + 4yz + 5z = x + y) + y + 4yz + 5z x = x + y donde y = y + z z = z = x + y + 4yz + 4z ) + z = x + y + z) + z = x + y + z, La matriz de cambio de base, P, que hemos realizado debe llevar las coordenadas del vector en la nueva base en las coordenadas del vector en la base inicial, es decir, x x x = x + y con la notación usada aquí, y = P y Como y = y + z, tenemos que z z z = z Luego P = 0 0 0 0 x y = z = 0 0 0 0 0 0 0 x y z = P x y z Álgebra Lineal 4

Diagonalización de una forma cuadrática ma t Qx) = xy + yz Solución: Como Q no tiene ningún término cuadrado, efectuamos el cambio con lo que x = u + v y = u v z = w, Qx) = u + v)u v) + u v)w = u v + uw vw = u + w ) w 4 u + w ) + + w 4 = u + w ) v + w ) = x y, donde, x = u + w, y = v + w y z = w x = u + w = x+y + z Además, es y = v + w = x y + z, luego P = z = w = z 0 0 Nota: El método de completar cuadrados y el método que veremos a continuación, al igual que lo hace el método de diagonalización ortogonal, buscan matrices congruentes diagonales, es decir, tales que existe P inversible tal que D = P t AP Sin embargo, mientras que en el caso de la diagonalización ortogonal, la conguencia de las matrices se obtiene mediante la semejanza, es decir, D = P AP, que a la postre resulta ser D = P t AP por ser P ortogonal, en los otros dos métodos no sucede así y en general P t P, es decir, P no será ortogonal, como puede verse en el doble ejemplo 5 anterior y en el ejemplo 7 que haremos posteriormente) 3 Diagonalización mediante operaciones elementales El segundo método a que haciamos referencia en el apartado anterior, y que veremos ahora, trata de encontrar una matriz diagonal que sea congruente con la inicial, haciendo operaciones elementales sobre la matriz Es decir, vamos a demostrar aquí que si A es la matriz asociada a una forma cuadrática Q, mediante operaciones elementales en las filas y en las columnas de A podemos llegar a la obtención de una matriz diagonal D, congruente con A Además encontraremos un método práctico para obtener, simultáneamente, D y P, la matriz del cambio de base No es difícil probar los siguientes resultados: Sea A una matriz n n y A f resp A c ) la matriz que se obtiene al efectuar una sola operación elemental en las filas resp columnas) de A Sea E f resp E c ) la matriz que resulta de efectuar la misma operación elemental en las filas resp columnas) de la identidad n n Entonces A f = E f A resp A c = AE c ) Si E f y E c son, respectivamente, las matrices elementales obtenidas al efectuar la misma operación elemental en las filas y en las columnas de la matriz identidad, entonces E f = E t c Álgebra Lineal 5

Diagonalización de una forma cuadrática ma t Por tanto si realizamos en una matriz simétrica A una operación elemental en sus filas y la misma operación elemental en sus columnas para obtener A fc, la matriz así obtenida es congruente con A y simétrica En efecto: A fc = A f E c = E f AE c = E t cae c, luego A fc es simétrica por serlo A Como E f = E t c es una matriz elemental, es inversible, y por tanto A y A fc son congruentes Teorema 6- Para cualquier matriz simétrica A, existe una sucesión finita de operaciones elementales, tales que la matriz obtenida a partir de A, D, efectuando cada operación elemental primero en las filas y a continuación la misma en las columnas, es diagonal y congruente con A Demostración: Mediante un número finito de operaciones elementales sobre las filas de A podemos obtener una matriz triangular superior, luego si en cada paso vamos realizando las mismas operaciones elementales sobre las columnas de A, por ser A simétrica, llegaremos a una matriz diagonal D Esto es: Por lo tanto, tenemos que A A fc) A fc) = E t c AE c A fc) A fc) A fc) = E t c A fc) E c A fc)k A fc)k A fc)k = Ec t k A fc)k E ck = D D = A fc)k = E t c k E t c AE c E ck = E c E ck ) t AE c E ck ) = P t AP y como las matrices elementales son inversibles, P es una matriz inversible, por lo que A y D son congruentes Podemos utilizar el siguiente procedimiento para diagonalizar la matriz A y obtener la matriz del cambio de base simultáneamente Método práctico Se sitúa a la derecha de A la matriz I del mismo orden que A, A I) y efectuamos en A las mismas operaciones elementales en sus filas y en sus columnas y en la matriz identidad sólo en sus columnas, al cabo de un número finito de pasos obtendremos D P ) Ejemplo- 7- Se considera Qx) = x + xy + yz + 3z una forma cuadrática sobre IR 3, reducir Q a suma de cuadrados y hallar la matriz del cambio de base Solución: La matriz asociada a Q en la base canónica es A = 0 0, si x = x, y, z) 0 3 Álgebra Lineal 6

Rango y signatura de una forma cuadrática ma t Hagamos el proceso de A I) D P ), detallando inicialmente los pasos dados en cada operación, para después globalizarlos A I) = 0 0 0 0 0 0 { F A F A 0 3 0 0 } 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 operación elemental para las filas de A) 0 0 0 0 0 0 { C A CA 0 3 0 0 } 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 la misma operación elemental para las columnas de A) 0 0 0 0 0 0 0 { C I CI 0 3 0 0 la misma operación elemental para las columnas de I) 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 F A 3 + F A C A 3 + C A C I 3 + C I Hemos obtenido así la matriz diagonal, D = } 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 base B = {, 0, 0),,, 0),,, )} a la canónica, P = que Por tanto, si [x] B = = D P ) 0 0 0 0, y la matriz de transición de la 0 0 5 P t AP = D x y, se tiene que Qx) = x y + 5z z 0 0 0, verificándose Rango y signatura de una forma cuadrática Hemos visto distintos métodos de encontrar matrices diagonales asociadas a una forma cuadrática, por lo que existirán también distintas matrices diagonales en los ejemplos 4 y 5, hemos encontrado matrices diagonales distintas para la misma forma cuadrática) Sin embargo, todas ellas tienen algunas cosas en común: tienen el mismo número de elementos distintos de cero en la diagonal el mismo rango) y tienen el mismo número de elementos positivos y de elementos negativos en la diagonal la misma signatura) En este capítulo veremos como estos valores permanecen invariantes para cualquier diagonalización que hagamos, lo que nos permitirá, posteriormente, dar una clasificación de las formas cuadráticas Álgebra Lineal 7

Rango y signatura de una forma cuadrática ma t Teorema 8- Dos matrices congruentes tienen el mismo rango Demostración: Veamos, previamente, el siguiente resultado Lema 9- Si A m n y B n p son dos matrices, entonces Demostración: rgab) minrga), rgb)) Las columnas de AB están en el espacio de las columnas de A, pues si c j es la columna j-ésima de AB, entonces b j a b j + + a n b nj a a n c j = A = = b j + + b nj b nj a m b j + + a mn b nj a m luego c j está en el espacio de las columnas de A, para todo j, por ser combinación lineal de dichas columnas Como el rango de una matriz es la dimensión del espacio de las filas o de las columnas de la matriz, se tiene que la dimensión del espacio de las columnas de AB es menor o igual que la dimensión del espacio de las columnas de A, es decir rgab) rga) Análogamente se demuestra que las filas de AB están en el espacio de las filas de B, con lo cual rgab) rgb) Por tanto, rgab) min{rga), rgb)} a mn Completemos ahora la prueba del teorema: Sean, ahora, A y B dos matrices congruentes de orden n Existirá una matriz P inversible tal que P t AP = B, luego, aplicando el Lema anterior reiteradamente, se tiene que rgb) min{rgp t ), rgap )} = min{n, rgap )} = rgap ) min{rga), rgp )} = min{rga), n} = rga) al ser P inversible es rgp t ) = rgp ) = n, y al ser AP y A matrices de orden n se tiene que rgap ) n y rga) n) Reciprocamente, si tomamos Q = P se tiene que A = Q t BQ y de forma análoga a lo realizado en el caso anterior se obtiene que Por tanto rga) = rgb) rga) rgb) Álgebra Lineal 8

Rango y signatura de una forma cuadrática ma t Definición 0- Llamaremos rango de una forma cuadrática, al rango de cualquier matriz simétrica asociada en una base a la forma cuadrática Observación: Del teorema anterior, se deduce entonces que dos cualesquiera matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadrática tienen el mismo número de elementos en la diagonal distintos de cero, pues este número es el rango de la matriz diagonal Teorema de Sylvester o Ley de inercia - Si una forma cuadrática se reduce a la suma de cuadrados en dos bases diferentes, el número de términos que aparecen con coeficientes positivos, así como el número de términos con coeficientes negativos es el mismo en ambos casos Demostración: Supongamos que respecto a una base B = {b, b,, b n } la expresión de la forma cuadrática es Qx) = a x + + a p x p a p+ x p+ a p+p x p+p, con a i > 0 para todo i, y x = x b + + x p b p + + x p+p b p+p + + x n b n, esto es, la matriz diagonal asociada será a a p a p+ D = a p+p 0 0 y que respecto a la otra base B = {b,, b n} se tiene Qx) = c y + + c q yq c q+ c q+q yq+q, con c j > 0, para todo j, y x = y b + +y q b q + +y q+q + +y n b n, siendo entonces su matriz asociada c c q c q+ D = c q+q 0 0 Álgebra Lineal 9

3 Clasificación de las formas cuadráticas ma t Por el teorema 8 anterior, sabemos que rgd) = rgd ), luego p + p = q + q Veamos que p = q, con lo que tendremos también que p = q Supongamos que p > q y consideremos los subespacios vectoriales S = lin {b,, b p } y T = lin {b q+,, b n} Si p > q, el valor dims) + dimt ) = p + n q) > n y por lo tanto dims T ) > 0 Sea entonces x S T distinto del vector 0 Por ser de S, se tiene que x puede escribirse de la forma x = x b + + x p b p y el valor de la forma cuadrática será Por ser de T, puede escribirse en la forma y el valor de Qx) es entonces Qx) = a x + + a p x p > 0 pues x 0 x = y q+ b q+ + + y n b n, Qx) = c q+ y q+ c q+q y q+q 0 lo que es una contradicción, luego necesariamente p q Reciprocamente, se obtendría que q p, luego p = q Definición - Sea Q una forma cuadrática y D una matriz diagonal asociada a la forma cuadrática en una base Se define como signatura de Q al par SigQ) = p, q) donde p es el número de elementos positivos de la diagonal de D y q es el número de elementos negativos de la misma 3 Clasificación de las formas cuadráticas Definición 3- Se dice que una forma cuadrática Q es a) Nula si y sólo si Qx) = 0 para todo x b) Definida positiva si y sólo si Qx) > 0, para todo x no nulo c) Semidefinida positiva si y sólo si Qx) 0, para todo x y Q no es nula ni definida positiva d) Definida negativa si y sólo si Qx) < 0, para todo x no nulo e) Semidefinida negativa si y sólo si Qx) 0, para todo x y Q no es nula ni definida negativa f) Indefinida si y sólo si Qx) alcanza tanto valores positivos como negativos, es decir, si x 0 tal que Qx ) > 0 y x 0 tal que Qx ) < 0 Para las formas cuadráticas sobre IR, podemos dar una representación de ellas usando superficies en IR 3, es decir, asignando a z el valor de la forma cuadrática en el punto x, y) Con estas premisas, hemos realizado la siguiente figura Álgebra Lineal 0

3 Clasificación de las formas cuadráticas ma t Fig : Gráficas de las formas cudráticas de IR : definida positiva, definida negativa, indefinida, semidefinida positiva, semidefinida negativa y nula Teorema de clasificación 4- Sea Q una forma cuadrática en un espacio vectorial de dimensión n Se verifica: a) Q es nula SigQ) = 0, 0) b) Q es definida positiva SigQ) = n, 0) c) Q es semidefinida positiva SigQ) = p, 0) con 0 < p < n d) Q es definida negativa SigQ) = 0, n) e) Q es semidefinida negativa SigQ) = 0, q) con 0 < q < n f) Q es indefinida SigQ) = p, q) con 0 < p, q Demostración: Sea B = {v,, v n } una base en la cual, la expresión de Q es de la forma Qx) = d x + d x + + d n x n x donde [x] B = Además, en dicha base se tiene que x n 0 [v ] B = 0,, [v n] B = 0 0 Álgebra Lineal

3 Clasificación de las formas cuadráticas ma t y, por tanto, que Qv i ) = d i, para todo i =,, n Entonces: a) Si Qx) = 0, para todo x, se tiene que d i = Qv i ) = 0, para todo i, luego SigQ) = 0, 0) Reciprocamente, si d i = 0 para todo i, entonces Qx) = 0 para todo x b) Si Qx) > 0 para todo x 0, se tiene que d i = v i ) > 0, para todo i, luego SigQ) = n, 0) Recíprocamente, si d i > 0 para todo i, entonces Qx) > 0 para todo x 0 c) Si Qx) 0 para todo x 0, es d i = Qv i ) 0 para todo i Como no es nula existe algún d j > 0 y como no es definida positiva existe algún d k = 0, luego SigQ) = p, 0) con 0 < p < n Recíprocamente, si d i 0 para todo i, con algún d j > 0 y algún d k = 0, se tiene que Qx) 0 para todo x, que Qv j ) = d j > 0, por lo que no es nula, y que Qv k ) = d k = 0, por lo que no es definida positiva d) Análogo al caso definida positiva e) Análogo al caso semidefinida positiva f) Por ser indefinida, Qx) 0 para todo x, luego d i 0 para todo i, por lo que existirá un d j < 0 y Qx) 0 para todo x, luego d i 0 para todo i por lo que existirá un d k > 0 En consecuencia, SigQ) = p, q) con p, q > 0 Recíprocamente, si existe d j < 0 y d k > 0, serán Qv j ) = d j < 0 y Qv k ) = d k > 0, luego es indefinida Para finalizar y aunque puede obtenerse sin mucho coste la matriz diagonal damos, sin demostración, dos teoremas que pueden ser útiles por su versión práctica El primero de ellos engloba varios resultados para clasificar una forma cuadrática usando la matriz inicial y el segundo, el Teorema de Descartes, para conocer la signatura sin encontrar la raices del polinomio característico Teorema 5- Sea Q una forma cuadrática y A su matriz asociada Sea k el k-ésimo menor principal de A, con k n Entonces: a) Q es definida positiva si, y sólo si, k > 0, para k n b) Q es definida negativa si, y sólo si, ) k k > 0, para k n c) Si n = deta) 0 y no se está en alguno de los casos anteriores, entonces Q es indefinida d) Si existe i tal que a ii 0 resp a ii 0 ), entonces Q no es definida positiva resp no es definida negativa) e) Si existen i y j, con i j, tales que a ii = 0 y a ij 0, entonces Q es indefinida Álgebra Lineal

3 Clasificación de las formas cuadráticas ma t Teorema de Descartes 6- Sea a 0 + a X + + a n X n + a n X n un polinomio de grado n con coeficientes reales, con a n 0 y a 0 0, del que se sabe que tiene todas sus raices reales Si en la sucesión de términos a 0 a a ) n a n ) n a n consideramos en cada lugar de la sucesión en signo del término correspondiente si algún término es 0 se elige signo + o indistintamente, obtenemos una sucesión de signos Entonces, llamando p al número se permanencias de signo en la sucesión, v al número de variaciones de signo en la sucesión, n + al número de raices positivas y n al número de raices negativas del polinomio, se tiene que p v = n + n En consecuencia, como n + +n = n, los valores n + y n son las soluciones del sistema { n+ n = p v n + + n = n = { n+ = n+p v) n = n p v) Álgebra Lineal 3

Capítulo Cónicas en IR Una de las aplicaciones de las formas cuadráticas, se da en el estudio de las cónicas y cuádricas, de las que nos ocuparemos en estos dos Capítulos Introducción Algunas cónicas como la elipse, la hipérbola y la parábola son ya conocidas, reconocemos su gráfica Fig : Elipse, hipérbola y parábola y las expresiones analíticas de las ecuaciones que las generan x a + y b = ó b x + a y a b = 0 x a y b = ± ó b x a y ± a b = 0 x = py ó x py = 0 Sin embargo, en el caso de la ecuación el reconocimiento se limita a las elipses e hipérbolas centradas en 0, 0) o las parábolas que tienen en 0, 0) su vértice como es el caso de las ecuaciones expuestas arriba, o pocas variaciones respecto a estos casos En este capítulo, haremos un estudio general de las cónicas que nos permita reconocerlas aunque en principio la ecuación no sea similar a una de las anteriores De hecho, y aunque las propiedades geométricas de las cónicas mencionadas anteriormente hacen que Álgebra Lineal 4

Introducción ma t estos tres tipos de cónicas sean los más interesantes, el estudio que haremos será bastante completo Definición 7- Sea O un punto de IR y B = {e, e } una base ortonormal del mismo Dado un punto P IR, llamaremos coordenadas de P en la referencia R = {O; e, e }, al par x, y) tal que OP = xe + ye El punto O decimos que es el origen de coordenadas Definición 8- Se define cónica en IR como el lugar geométrico de los puntos P, cuyas coordenadas x, y) verifican una ecuación de la forma: a 00 + a 0 x + a 0 y + a x + a xy + a y = 0 donde a, a, y a no son simultáneamente nulos En la ecuación anterior podemos distinguir tres partes a) El término independiente, a 00 b) Una forma lineal, a 0 x + a 0 y c) Una forma cuadrática, a x + a xy + a y Ecuación matricial A tenor de las tres partes comentadas, la ecuación anterior puede expresarse en forma matricial de la forma 0 = a 00 + ) ) x a 0 a 0 + x y ) ) ) a a x y a a y ) ) = a 00 + A L x y + x y ) A C x y Si bien es cierto que un punto en IR tiene unicamente dos coordenadas, usando de un pequeño truquito puede escribirse matricialmente con la expresión más sencilla 0 = x y ) a 00 a 0 a 0 a 0 a a a 0 a a x y = x y ) A x = X t A X, 3 y Las dos expresiones matriciales son útiles para el estudio de las conicas Usando la expresión 3 se compone un cuadro de la clasificación de las cónicas mediante invariantes, que mostramos al final del capítulo, y operando sobre la ecuación obtendremos la ecuación reducida de la cónica que nos permita identificarla En el estudio siguiente realizaremos este último proceso Álgebra Lineal 5

Ecuación reducida de una cónica ma t Ecuación reducida de una cónica Cálculo de la ecuación reducida Diagonalización de A C En la ecuación general de la cónica a 00 + A L x y ) + x y ) A C x y vemos que A C es la matriz asociada a una forma cuadrática, luego puede obtenerse una matriz diagonal congruente con ella obtenida diagonalizando ) ortogonalmente ) Es decir, ) existe P B B inversible tal que P t λ 0 x x AP = D =, donde P = y 0 λ y y P = P t Por tanto, la ecuación queda ) ) 0 = a 00 + A L P = a 00 + A L P x y ) x y ) + x y ) P t AP + x y ) D x y = 0 x y ) Llamando A L P = B L = b 0 b 0 ) y usando la expresión de D nos queda 0 = a 00 + b 0 x + b 0 y + x + λ y 4 Observación- 9- La matriz P ortogonal obtenida en la diagonalización representa un cambio de base ortogonal y, por tanto, si en la elección de P exigimos además que detp ) = ± son las únicas posibilidades para una matriz ortogonal) el cambio de base nos representará un giro de los ejes en el plano Es decir, los vectores de la nueva base aparecerán girados un cierto ángulo α respecto a los de la base inicial y ) ) p p P = cos α sen α = p p sen α cos α para α tal que tg α = p p Obsérvese también que la matriz P, válida para efectuar el giro, no es única, existen exáctamente cuatro opciones para elegir las columnas de P, los giros de ángulos α, α+ π, α + π y α + 3π ) Si tomamos detp ) = se produce además del giro una reflexión, es decir, en uno de los nuevos ejes se intercambia la parte positiva con la negativa Observación- 0- Puesto que la matriz A C es la matriz asociada a una forma cuadrática, puede conseguirse una matriz diagonal sin hacer la diagonalización ortogonal Sin embargo, al no ser el cambio de base ortogonal los vectores de la nueva base no formarán un ángulo recto y tendrán distintas longitudes, por lo que la expresión que obtenemos nos representará una cónica del mismo tipo aunque deformada, es decir, una elipse puede pasar a ser una circunferencia, o una parábola será mas abierta o cerrada que la original Por ejemplo: Álgebra Lineal 6

Ecuación reducida de una cónica ma t La cónica dada por x + xy + y = a) Diagonalizando ortogonalmente obtenemos = 3+ 5 y λ = 3 5, de donde, la ecuación queda 3+ 5 x + 3 5 y =, que representa una elipse centrada en 0, 0), de semiejes 3+ 5 y 3 5 b) Completando cuadrados, obtendremos que x + xy + y = x + y) + y = x + y = 0, que es la ecuación de una circunferencia de radio Este segundo resultado nos puede llevar a pensar que la cónica inicial también es una circunferencia, cuando sabemos que no es así Para evitar este tipo de problemas, siempre usaremos para encontrar la matriz diagonal la diagonalización ortogonal Completar cuadrados La expresión simplificada, 4, obtenida de la ecuación de la cónica al diagonalizar A C, puede simplificarse aún más mediante el método de completar cuadrados Como los valores a, a y a no son simultáneamente nulos, la matriz A C no es la nula y D tampoco Luego y λ no pueden ser los dos nulos Esto nos proporciona dos casos en el proceso a seguir Caso : 0 y λ 0 con lo que 4 nos queda 0 = a 00 b 0 b 0 λ + Podemos, en este caso, agrupar los dos términos cuadrados, x + b 0 ) + λ y + b 0 λ ) = K + x + λ y donde { x = x + b 0 y = y + b 0 λ y K = a 00 b 0 b 0 λ Caso : 0 y λ = 0 De manera análoga si = 0 y λ 0) En este caso la ecuación de la cónica queda 0 = a 00 + b 0 x + b 0 y + x, en la cuál podemos completar el cuadrado en x y nos queda 0 = a 00 b 0 ) + x + b 0 ) + b 0y = K + x + b 0 y, 5 donde hemos hecho x = x + b 0 y K = a 00 b 0 La ecuación anterior, 5, se simplifica según exista o nó el término en y, es decir, si b 0 0 ó b 0 = 0 Álgebra Lineal 7

Ecuación reducida de una cónica ma t Caso : b 0 0 independiente, es decir En este caso se puede agrupar el término en y con el término 0 = K + b 0 y + x = b 0 y + K ) + x = b 0 y + x b 0 donde y = y + K b 0 Caso : b 0 = 0 En este caso la ecuación queda 0 = K + x Observación- - Geométricamente, completar cuadrados equivale a una translación, es decir, se translada el origen de coordenadas a un nuevo punto Hemos completado así el estudio de la ecuación reducida de la cónica El resultado lo reunimos en el siguiente cuadro Clasificación mediante la ecuación reducida Mediante los giros y translaciones de los ejes de coordenadas, detallados en el apartado anterior, se ha podido reducir la ecuación a uno de los casos siguientes: Caso x + λ y + K = 0, con y λ no nulos a) Si K 0 y el signo de es igual al de λ y contrario al de K, la ecuación representa una elipse b) Si K 0 y, λ y K poseen el mismo signo, no se obtiene ningún punto real La expresión se dice que representa una elipse imaginaria) c) Si K 0 y el signo de es contrario al de λ, la ecuación representa una hipérbola d) Si K = 0 y y λ tienen signos contrarios, estamos ante dos rectas que se cortan e) Si K = 0 y y λ poseen el mismo signo, estamos representando un único punto La cónica se dice que está formada por dos rectas imaginarias cuya intersección es un punto real) Caso x = py, con p = b 0 0, ó y = px, con p = b 0 λ 0, representan parábolas Caso x = c, con c = K, ó y = c, con c = K λ a) Si c = 0 tenemos una recta doble b) Si c > 0, dos rectas paralelas c) Si c < 0 ningun punto La cónica se dice que la forman dos rectas imaginarias paralelas) Álgebra Lineal 8

Ecuación reducida de una cónica ma t Observación- - Para recuperar la ecuación inicial, basta con deshacer los cambios realizados Es decir, en el Caso, tener en cuenta que { x = x + b 0 y = y + b 0 λ y que { x = p x + p y y = p x + p y en el Caso que { x = x + b 0 y = y + K b 0 ó { x = x + K b 0 y = y + b 0 λ ) y que { x = p x + p y y = p x + p y y en el Caso que { x = x + b 0 y = y ó { x = x y = y + b 0 λ ) y que { x = p x + p y y = p x + p y Ejemplo- 3- Encontrar la ecuación reducida de la cónica de IR dada por la expresión x + xy + y + x = 0 Solución: La ecuación puede escribirse como Diagonalizamos la matriz A C = 0 = + 0 ) ) x + x y ) ) ) x y y ) λ λi A C = λ = λ λ = λλ ) = 0 con autovalores = 0 y λ = Los vectores ) propios asociados al autovalor = 0, son las soluciones del sistema x = 0, luego, ) forma una base del espacio característico Como la diagonalización ha de ser ortogonal, ortonormalizamos la base, lo que en este caso equivale a normalizar el vector, ); es decir, el vector, ) Tenemos por tanto que p = y p = ) ) Para λ = tenemos como solución del sistema x = 0 el vector, ), ) que normalizado se convierte en, 0 0 ) ) Luego D = y P = 0 Como detp ) =, esta matriz P es la buscada y la ecuación queda 0 = + = + x + y + y ) ) x + ) ) ) 0 0 x x y y 0 y Álgebra Lineal 9

3 Invariantes ma t { x = x donde y y = x + y Completando el cuadrado y, a continuación, agrupando el término en x con el término independiente, tenemos 0 = 4 + x + y + ) = 9 4 + x + y = x 9 8 ) + y = x + y donde { x = x 9 8 y = y + Es decir, la parábola x = y ó y = x El proceso geométrico realizado puede observarse en la siguiente figura y" x" y y x α x Nota: Al realizar el ejercicio hemos hecho una serie de elecciones que nos determinan la matriz P En primer lugar hemos optado por que sea = 0 y λ =, en lugar de = y λ = 0, que también es posible A continuación, al buscar las filas de P hemos optado por el vector, ) como base del espacio característico de = 0 en lugar del vector, ) también posible, y el vector, ) para λ = en lugar de, ) Estas posibilidades de elección son las que determinan las cuatro posibles matrices para P Compruebe el lector, que realizando las otras elecciones se llega a las ecuaciones reducidas y = x, x = y y x = y 3 Invariantes Tomemos ahora la expresión matricial de la cónica, 3, 0 = x y ) a 00 a 0 a 0 a 0 a a x = X t A X a 0 a a y Álgebra Lineal 0

3 Invariantes ma t y consideremos la matriz P = 0 0 0 p p 0 p p, donde P = diagonaliza A C Se tiene que P es una matriz ortogonal que verifica que X = x = P x = P X y y Sustituyendo en la ecuación se obtiene 0 = X t A X = X t P t A P X = X t que da la ecuación de la cónica tras el giro a 00 b 0 b 0 b 0 0 b 0 0 λ A la vista del resultado obtenido, no es dificil probar que ) p p es la matriz que p p X = X t B X, 6 Teorema 4- Con el cambio de matriz permanecen invariantes los valores a) det A, b) A 00, c) a + a y d) A + A Es decir, estos valores permanecen igual si sustituimos A por B Nota: Por A ij denotamos el menor correspondiente al elemento a ij, es decir, el determinante de la matriz que nos queda al eliminar la fila y la columna del elemento a ij Demostración: a) A y B son semejantes, luego A = B b) Como A 00 es el determinante de la matriz A C, B 00 es el determinante de la matriz D y A C y D son semejantes, A 00 = A C = D = B 00 c) Por ser A C y D semejantes, tienen el mismo polinomio característico, es decir, λi A C = λi D Luego λ a + a )λ + A C = λi A C = λi D = λ + λ )λ + D, y por tanto a + a = + λ d) A + A = a 00 a a 0) + a 00 a a 0) = a 00 a + a ) a 0 + a 0) B + B = a 00 λ b 0) + a 00 b 0) = a 00 + λ ) b 0 + b 0) Los dos primeros sumandos son iguales por el apartado c) y b 0 + b 0 = a 0 p + a 0 p ) + a 0 p + a 0 p ) = a 0p + p ) + a 0p + p ) + a 0 a 0 p p + p p ) = a 0 + a 0 por ser P una matriz ortogonal Álgebra Lineal

3 Invariantes ma t Observación- 5- Puede observarse en la prueba del teorema que los valores que aparecen son invariantes, precisamente, porque la diagonalización es ortogonal Si obtenemos la matriz diagonal por otro método, estos valores no son invarinates Para introducir como operaciones matriciales la translación que efectuabamos a continuación del giro, basta tener en cuenta que el sistema { 0 0 x = x + h puede escribirse como x y = y + k = h 0 x y k 0 y Si resolvemos el sistema en función de x e y, tenemos que 0 0 X = x = h 0 x = T X y k 0 y y sustituyendo en la ecuación de la cónica 0 = X t T t BT X = X t C X La matriz C obtenida es la que nos da la ecuación reducida, luego será: K 0 0 C = 0 0 para el Caso 0 0 λ C = C = 0 0 b 0 0 0 b 0 0 0 ó C = K 0 0 0 0 ó C = 0 0 0 0 b 0 0 b 0 0 0 para el Caso 0 0 λ K 0 0 0 0 0 para el Caso 0 0 λ donde los elementos que aparecen en las matrices son los calculados antes Nota: En el caso particular de K, tener presente que será K = a 00 b 0 ó K = a 00 b 0 λ, según sea λ = 0 ó = 0 Y la matrices T que nos dan las translaciones serán: 0 0 T = b 0 0 para el Caso b 0 λ 0 0 0 0 0 T = b 0 0 ó T = K b 0 0 para el Caso K b 0 0 b 0 λ 0 0 0 0 0 T = b 0 0 ó T = 0 0 para el Caso 0 0 b 0 λ 0 Álgebra Lineal

3 Invariantes ma t con los mismos comentarios que antes sobre K Teorema 6- Con los cambios de matriz permanecen invariantes los valores a) det A, b) A 00, c) a + a y d) A + A, cuando A 00 = 0 y A = 0 Caso ) Demostración: Hemos visto en el Teorema 4 que los valores permanecen invariantes cuando pasamos de A a B Veamos que también se verifican cuando pasamos de B a C a) Como C = T t BT y dett ) =, C = B b) Es clara, pues la matriz B C = D es la misma en C c) Cierta por lo anterior d) C + C = K = a 00 b 0 ó C + C = K λ = a 00 λ b 0 B + B = a 00 + λ ) b 0 + b 0) Al ser B 00 = 0, entonces = 0 o λ = 0 Si = 0, como 0 = B = λ b 0, ha de ser b 0 = 0, en cuyo caso B + B = a 00 λ b 0 Si λ = 0, como 0 = B = b 0, ha de ser b 0 = 0, en cuyo caso B + B = a 00 b 0 Lo que completa la demostración 3 Clasificación por invariantes Teniendo en cuenta los invariantes, obtenemos la siguiente clasificación de las cónicas A 00 0 A 00 = 0 A 00 > 0 A 00 < 0 A = 0 A = 0 { A a + a A 0 ) < 0 ELIPSE A a + a ) > 0 Elipse imaginaria { A = 0 PUNTO; Rectas secantes imaginarias A 0 HIP ÉRBOLA A = 0 PARÁBOLA A + A < 0 A + A > 0 A + A = 0 RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS Rectas paralelas imaginarias RECTAS COINCIDENTES A las cónicas que verifican que A 00 0 de las denomina cónicas con centro y a las que verifican que A 00 = 0 cónicas sin centro Álgebra Lineal 3

3 Invariantes ma t Ejemplo- 7- Clasificar la cónica dada por x + xy + y + x = 0 Solución: La ecuación puede escribirse como 0 = x y ) 0 0 x = X t A X y Veamos los invariantes: A 00 = = 0, luego es una de las llamadas cónicas sin centro 0 A = = + = 0, luego la cónica es una parábola 0 3 Cálculo de la ecuación reducida C = K 0 0 0 0 0 0 λ Sabemos que y λ son las raices del polinomio característico, es decir las solucionas de la ecuación λ a λi A c = a a λ a = λ a + a )λ + A 00 = 0 Como A = C = K λ y A 00 = C 00 = λ, se tiene que K = A A 00 0 0 b 0 0 b 0 0 C = 0 0 ó C = b 0 0 0 b 0 0 0 0 0 λ Lo hacemos para la primera y la otra es similar Por ser A 00 = 0 y a + a = + λ, tenemos que = a + a y λ = 0 A Como A = C = b 0 tenemos que b 0 = a + a K 0 0 K 0 0 C = 0 0 ó C = 0 0 0 0 0 0 0 0 λ Al igual que en el caso anterior = a + a y λ = 0 Como A + A = C + C = K tenemos que K = A + A a + a Ejemplo- 8- Hallar la ecuación reducida de la parábola dada por la ecuación x + xy + y + x = 0 Solución: Álgebra Lineal 4

4 Lugares geométricos ma t Por el ejemplo 7, sabemos que A 00 = 0 y A = 0, luego λ = a + a =, = 0 y b 0 = ) = y nos queda x + y = 0 ó y = x 4 Lugares geométricos A la elipse, hipérbola y parábola, se las denomina en algunos libros cónicas no degeneradas, es decir, son propiamente cónicas por contraposición a las cónicas formadas por rectas Las tres se obtienen, de forma geométrica, como el lugar geométrico de los puntos que verifican una cierta condición Veamoslas 4 Elipse Dados dos puntos F y F, el lugar gométrico de los puntos P que verifican que la distancia de P a F más la distancia de P a F es constante, forma una elipse Es decir, los puntos P tales que dp, F ) + dp, F ) = a, con a > df, F ), están sobre una elipse La mitad del valor de la constante nos proporciona el semieje mayor, es decir a La mitad de la distancia focal, df, F ) = c El semieje menor, b, el semieje mayor, a, y c verifican que a = b + c A los puntos F y F se les denomina focos de la elipse, y el centro de la elipse se encuentra en el punto medio de los focos A los puntos de la elipse que se encuentran sobre la recta que une los focos y los que se encuentran sobre la perpendicular que pasa por el centro, se los denomina vértices de la elipse La mitad del valor de la constante, a, que nos proporciona el semieje mayor, la mitad de la distancia focal, df, F ) = c, y el semieje menor, b, verifican que a = b + c Si F = F, la elipse es una circunferencia 4 Hipérbola Dados dos puntos F y F, el lugar gométrico de los puntos P que verifican que el valor absoluto de la distancia de P a F menos la distancia de P a F es constante, forma una hipérbola Álgebra Lineal 5

4 Lugares geométricos ma t Es decir, los puntos P tales que dp, F ) dp, F ) = k, con k < df, F ), están sobre una hipérbola A los puntos F y F se les denomina focos, y el centro de la hipérbola se encuentra en el punto medio de los focos A los puntos de la hipérbola que se encuentran sobre la recta que une los focos se los denomina vértices de la hipérbola La mitad del valor de la constante, a, que es la distancia de cada vértice al centro y la mitad de la distancia focal, df, F ) = c, nos permiten obtener el valor b = c a, necesario para encontrar las asíntotas de la hipérbola Estas dos asíntotas que pasan por el centro y forman con el eje focal un angulo α de valores tg α = b b y tg α =, para cada una de ellas a a 43 Parábola Dados un punto F y una recta r, el lugar gométrico de los puntos P que verifican que la distancia de P a F es igual a la distancia de P a r, forma una parábola Es decir, los puntos P tales que dp, F ) = dp, r), con P r, están sobre una parábola Al punto F se les denomina foco, y a la recta r directriz de la parábola Al punto de la parábola que se encuentran entre el foco y la directriz se le denomina vértice En las parábolas, precisamente gracias a esta construcción geométrica, se verifica una propiedad muy interesante: Si consideramos la parábola como un espejo, cualquier rayo que incida sobre la parábola perpendicularmente a la directriz sale reflejado hacia el foco, y viceversa, cualquier rayo emitido desde el foco sale reflejado perpendicular a la directriz Esta propiedad se usa en las antenas parabólicas y en los focos de luz Álgebra Lineal 6

4 Lugares geométricos ma t 44 Centro y vértice de las cónicas Cálculo del centro En las cónicas con centro, a la vista de la ecuación reducida x + λ y + K = 0 podemos asegurar que el centro está en el punto de coordenadas x = 0 e y = 0 Basta pues deshacer los cambios { x = x + b { 0 x = x b 0 y = y + b λ luego 0 λ y = y b 0 λ y ) x y = P ) x y luego haciendo x = 0 e y = 0, nos queda ) ) ) x p p = b 0 y p p b 0 λ Cálculo del vértice Para una parábola, de ecuación reducida ) ) x = P t x y y luego x = b 0 y, = P t x b 0 y b 0 λ { x = b p 0 b p 0 λ b y = p 0 b p 0 λ el vertice está en el punto de coordenadas x = 0 e y = 0 Basta, como antes, con deshacer los cambios { x = x + b { 0 x = x b 0 y = y + K λ luego = b 0 b 0 y = y K b 0 = K b 0 y ) ) x = P t x y y = P t b 0 K b 0 ) luego ) { x = p b 0 p K b 0 y = p b 0 p K Ejemplo- 9- Hallar el vértice de la parábola dada por x + xy + y + x = 0 Solución: Sabemos por el ejemplo 3 que la ecuación reducida de la cónica nos queda y = x, siendo P = ) la matriz que diagonaliza A C y b 0 { x = x 9 4 y = y + sustituciones que agupan los términos Entonces, como el vértice se encuentra en el punto de coordenadas x = 0 e y = 0, el vértice se encontrará en el punto de coordenadas { x = + 9 8 y = y llevándolo a las coordenadas iniciales x = 9 8 y = 9 8 = 8 = 7 8 las Álgebra Lineal 7

Capítulo 3 Cuádricas en IR 3 3 Introduccin Definición 30- Sea O un punto de IR 3 y B = {e, e, e 3 } una base ortonormal del mismo Dado un punto P IR 3, llamaremos coordenadas de P en la referencia R = {O; e, e, e 3 }, a la terna x, y, z) tal que OP = xe + ye + ze 3 El punto O decimos que es el origen de coordenadas Definición 3- Se define cuadrica en IR 3 como el lugar geométrico de los puntos P, cuyas coordenadas x, y, z) verifican una ecuación de la forma: a 00 + a 0 x + a 0 y + a 03 z + a x + a xy + a y + a 3 xz + a 3 yz + a 33 z = 0 3 donde a, a, a 3, a, a 3 y a 33 no son simultáneamente nulos Como para las cnicas, en la ecuación anterior podemos distinguir tres partes a) El término independiente, a 00 b) Una forma lineal, a 0 x + a 0 y + a 03 z c) Una forma cuadrática, a x + a xy + a y + a 3 xz + a 3 yz + a 33 z Ecuación matricial A tenor de las tres partes comentadas, la ecuación 3 anterior puede expresarse en forma matricial de la forma 0 = a 00 + ) x a 0 a 0 a 03 y + x y z ) a a a 3 x a a a 3 y z a 3 a 3 a 33 x = a 00 + A L X + X t A C X 3 Y tambin en la forma a 00 a 0 a 0 a 03 0 = x y z ) a 0 a a a 3 x a 0 a a a 3 y = X t A X, 33 a 03 a 3 a 3 a 33 z Álgebra Lineal 8

3 Ecuación reducida de una cudrica ma t 3 Ecuación reducida de una cudrica Para el clculo de la ecuacin reducida de las cudricas, se sigue el mismo proceso que para las cnicas, por lo que no lo detallaremos 3 Clculo de la ecuacin reducida Diagonalización de A C La matriz A C es diagonalizable ortogonalmente, luego existe P ortogonal tal que D = 0 0 P t A C P, donde D = 0 λ 0 0 0 λ3 Como A C = P t ) t DP t, la ecuacin queda donde X = 0 = a 00 + A L X + X t P t ) t DP t X = a 00 + A L P X + X t DX x y = P t X z Llamando A L P = B L = b 0 b 0 b 03 ) y usando la expresin de D nos queda 0 = a 00 + b 0 x + b 0 y + b 03 z + x + λ y + λ 3 z 34 Diagonalizacin que representa, como en el caso de las cnicas un giro en IR 3 Completar cuadrados La expresin simplificada, 34, obtenida puede simplificarse completando cuadrados Caso : 0, λ 0 y λ 3 0 donde 0 = a 00 b 0 b 0 λ b 03 λ 3 + = K + x + λ y + λ 3 z x = x + b 0 y = y + b 0 λ z = z + b 03 λ 3 Completando los tres cuadrados, se tiene x + b 0 ) + λ y + b 0 λ ) + λ 3 z + b 0 λ 3 Caso : 0, λ 0 y λ 3 = 0 De manera anloga si son = 0 o λ = 0) En este caso podemos completar los cuadrados para x e y, obteniendo 0 = a 00 b 0 b 0 λ ) + b 03 z + x + λ y = K + b 03 z + x + λ y 35 donde hemos hecho x = x + b 0 y y = y + b 0 λ La ecuacin anterior, 35, se simplifica segn exista o n el trmino en z ) Álgebra Lineal 9

3 Ecuación reducida de una cudrica ma t Caso : b 03 0 donde z = z + K b 03 En este caso 0 = b 03 z + K ) + x + λ y = b 0 z + x + λ y b 03 Caso : b 03 = 0 En este caso la ecuacin queda 0 = K + x + λ y Caso 3: 0, λ = 0 y λ 3 = 0 De manera anloga si son λ 0 o λ 3 0) De la ecuacin, 34, completando el cuadrado en x, de obtiene 0 = K 3 + b 0 y + b 03 z + x, 36 donde x = x + b 0 y K 3 = a 00 b 0 Nos aparecen nuevos casos, segn que existan o no los trminos en y y z En concreto, segn que el mdulo del vector b 0, b 03 ), M = b 0, b 03 = b 0 + b 03 = 0 M 0 Caso 3: b 0, b 03 ) = 0 Los trminos en y y z se pueden agrupar en uno solo, mediante el cambio { y = b 0 y M + b 03 z M z = b 03 y M + b 0 z M Con esto la ecuacin 36 queda 0 = K 3 + b 0 y + b 03 z + x = K 3 + My + x Agrupando y con el trmino independiente, 0 = M y + K ) 3 + x = My + x M Si b 0 o b 03 son cero, se pueden agrupar los trminos de forma ms sencilla, pero el resultado que hemos visto engloba este caso) Observese, que este cambio pruduce un giro en los ejes y y z de ah la divisin por b 0, b 03 ), para que los vectores sean ortonormales), permaneciendo el eje x sin girar Caso 3: b 0 = 0 y b 03 = 0 La ecuacin 36 queda 0 = K 3 + x 3 Clasificacin mediante la ecuacin reducida Para simplificar la casustica, en las ecuaciones reducidas sutituiremos las constantes por el valor o cuando importa el signo, ± cuando no importe el signo o 0 cuando lo sea Con estas salvedades las ecuaciones reducidas presentan los siguientes casos: Caso ax + by + cz + d = 0, con a, b y c no nulos Álgebra Lineal 30

3 Ecuación reducida de una cudrica ma t a) x + y + z = 0, la ecuacin representa un elipsoide b) x + y + z + = 0, representa un elipsoide imaginario c) x + y z = 0, un hiperboloide de una hoja d) x + y z + = 0, un hiperboloide de dos hojas e) x + y + z = 0, un cono imaginario Álgebra Lineal 3

3 Ecuación reducida de una cudrica ma t f) x + y z = 0, un cono real Caso ax + by + cz = 0, con a, b y c no nulos a) x + y ± z = 0, un paraboloide elptico b) x y ± z = 0, un paraboloide hiperblico Álgebra Lineal 3

3 Ecuación reducida de una cudrica ma t Caso ax + by + d = 0, con a y b no nulos a) x + y = 0, un cilindro elptico b) x + y + = 0, un cilindro imaginario c) x y ± = 0, un cilindro hiperblico d) x y = 0, un planos secantes e) x + y = 0, un planos secantes imaginarios Álgebra Lineal 33

3 Ecuación reducida de una cudrica ma t Caso 3 ax + by = 0, con a y b no nulos Un cilindro parablico Caso 3 ax + d = 0, con a no nulo a) x = 0, planos paralelos b) x + = 0, planos paralelos imaginarios c) x = 0, planos coincidentes Ejemplo- 3- Encontrar la ecuacin reducida de la cudrica de IR 3 dada por xy = z Solución: La ecuacin puede escribirse como xy z = 0, luego matricialmente ser 0 = 0 0 Diagonalizamos la matriz A C = ) x y + x y z ) z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y z λ 0 λi A C = λ 0 = λ 3 0 0 λ 4 λ = λ )λ + )λ = 0 con autovalores =, λ = y λ 3 = 0 Los vectores propios asociados a los autovalores son las soluciones de los sistemas 0 0 0 0 x = 0 = x y = 0 x + y = 0 = x = z = 0 0 Álgebra Lineal 34

33 Invariantes ma t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x = 0 = x = 0 = x y = 0 x y = 0 = x = z = 0 La matriz de paso ortogonal que tomamos es P = 0 = 0 0 ) x y + ) x y z z y = 0 x = 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 = x = 0 0 0 0 0 0 0, y la ecuacin queda x y = z + x y z x = x + y donde y = x + y z = z A la vista de la ecuacin reducida, x y = z, la cuadrca es un paraboloide hiperblico 33 Invariantes Tomemos ahora la expresin matricial de la cuadrica, 33, a 00 a 0 a 0 a 03 0 = x y z ) a 0 a a a 3 x a 0 a a a 3 y = X t A X a 03 a 3 a 3 a 33 z En el caso de las cudricas, el estudio de los invariantes es ms complejo, por lo que nos limitaremos a enunciarlos En este caso, son: deta) A 00 Álgebra Lineal 35

33 Invariantes ma t a J = a 3 a 3 a 33 + a a 3 a 3 a 33 + a a a a K = a + a + a 33 L = A + A + A 33 a M = 00 a 0 a 0 a + a 00 a 0 a 0 a + a 00 a 03 a 30 a 33 Consideramos la siguente ordenacin de los valores A 00 J K y llamamos s = permanencias de signo) variaciones de signo) Este ltimo invariante se llama en ocasiones signatura de la sucesin Nota: Si en el estudio de la signatura, J K son cero, no importa el signo que le pongamos +, que la signatura de la sucesin obtenida no cambia Esto es debido a que los valores que intervienen en la sucesin estn relacionados de tal forma, que J y K no pueden ser cero a la vez y que si uno de ellos es cero el otro tiene, necesariamente, signo contrario al de A 00 en el cuadro siguiente vemos que la signatura slo se utiliza para el caso A 00 0 Para comprobar estos asertos tener en cuenta que, por ser invariantes, A 00 = λ λ 3, J = λ λ 3 + λ 3 + λ y K = + λ + λ 3, con los λ i 0 pues A 00 0, y hacer un estudio de la casustica que aparece segn los signos de los autovalores λ i ) 33 Clasificacin por invariantes Teniendo en cuenta los invariantes, obtenemos la siguiente clasificación de las cudricas: A < 0 ELIPSOIDE s = 3 A > 0 Elipsoide imaginario A = 0 Cono imaginario A 00 0 A < 0 HIPERBOLOIDE de dos hojas s = A > 0 HIPERBOLOIDE de una hoja A = 0 CONO REAL { J > 0 PARABOLOIDE EL ÍPTICO A = 0 J < 0 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO { K L < 0 CILINDRO EL ÍPTICO J > 0 L 0 K L > 0 Cilindro imaginario J 0 J < 0 CILINDRO { HIPERBÓLICO A 00 = 0 J < 0 PLANOS SECANTES A = 0 L = 0 J > 0 Planos secantes imaginarios L 0 CILINDRO PARABÓLICO J = 0 M < 0 PLANOS PARALELOS L = 0 M > 0 Planos paralelos imaginarios M = 0 PLANOS COINCIDENTES A las cudricas que verifican que A 00 0 de las denomina cudricas con centro y a las que verifican que A 00 = 0 cudricas sin centro Álgebra Lineal 36

33 Invariantes ma t Ejemplo- 33- Clasificar la cudrica dada por x + xy + y + yz + x + = 0 Solución: La ecuacin puede escribirse como Veamos los invariantes: 0 0 0 = x y z ) 0 0 0 0 0 x y z 0 A 00 = = 0 0 = X t A X Luego es una de las llamadas cudrica con centro Para seguir la clasificacin necesitamos encontrar el valor de s y, por tanto, debemos encontrar los valores de los invariantes J y K, puesto que el valor de A 00 ya lo conocemos J = 0 + 0 0 0 + = + 0 + 0 = K = + + 0 = Ahora slo necesitamos encontrar las permanencias y variaciones de signo de la sucesin de invariantes, como recogemos en el siguiente cuadro: Invariante A 00 J K Valor Signo + + Perm p p Var v Luego el valor buscado es s = p v = = Es suficiente para terminar, con encontrar el signo del A 0 0 0 0 A = = = = 0, 0 0 0 0 0 0 y la cudrica es por tanto un cono real 0 8 6 4 0 5 0 0 - -5-0 -5-4 -6-8 Álgebra Lineal 37

Contenido Formas cuadráticas Diagonalización de una forma cuadrática Diagonalización ortogonal Completar cuadrados 3 3 Diagonalización mediante operaciones elementales 5 Rango y signatura de una forma cuadrática 7 3 Clasificación de las formas cuadráticas 0 Cónicas en IR 4 Introducción 4 Ecuación reducida de una cónica 6 Cálculo de la ecuación reducida 6 Clasificación mediante la ecuación reducida 8 3 Invariantes 0 3 Clasificación por invariantes 3 3 Cálculo de la ecuación reducida 4 4 Lugares geométricos 5 4 Elipse 5 4 Hipérbola 5 43 Parábola 6 44 Centro y vértice de las cónicas 7 3 Cuádricas en IR 3 8 3 Introduccin 8 3 Ecuación reducida de una cudrica 9 3 Clculo de la ecuacin reducida 9 3 Clasificacin mediante la ecuacin reducida 30 33 Invariantes 35 33 Clasificacin por invariantes 36 Álgebra Lineal 38