Hipercuádricas afines. Clasificación. Elementos afines y euclídeos.

Transcripción

1 Capítulo 6 Hipercuádricas afines. Clasificación. Elementos afines y euclídeos. Sea k un cuerpo de característica distinta de dos. Definición Una hipercuádrica afín en k n es una ecuación de segundo grado en n variables, salvo escalar A cada polinomio f = f(y 1,..., y n ) = α ij y i y j i+j 2 se le asocia una matriz simétrica A f con coeficientes en k tal que f(y 1,..., y n ) = (1, y 1,..., y n )A f (1, y 1,..., y n ) t (se ha utilizado aquí que el cuerpo es de característica distinta de dos). Por tanto una hipercuádrica afín de k n es, salvo escalar, una ecuación Y AY t = 0, con Y = (1, y 1,..., y n ) y A una matriz simétrica de orden n + 1. Definición Si Q es una hipercuádrica afín en k n se llama hipercuádrica lugar asociada a Q al conjunto V a (Q) = {(a 1,..., a n ) k n f(a 1,..., a n ) = 0}, donde f = 0 es una ecuación de Q. Nota Obviamente la definición anterior es consistente, es decir, el conjunto V a (Q) no depende del representante f elegido. Nota Recordamos que un sistema de referencia afín en k n está dado por R = {O; B}, donde O es un punto de k n y B es una base del espacio vectorial k n. El ejemplo más elemental es el del sistema de referencia canónico, dado por 1

2 O = (0,..., 0) y por la base canónica de k n, en donde el punto (a 1,..., a n ) de k n tiene coordenadas (a 1,..., a n ) respecto del sistema de referencia canónico. Por otra parte, si R = {O ; B } es otro sistema de referencia afín en k n, las ecuaciones del cambio de sistema de referencia afín son de la forma: 1 m m 0n (1, y 1,..., y n ) = (1, y 1,..., y n) 0 m m 1n..., 0 m n0... m nn o bien, Y = Y M, con la notación obvia. Por tanto, dada una hipercuádrica afín Q de ecuación Y AY t = 0, respecto de un sistema de referencia afín R, en otro sistema de referencia afín R, una ecuación de Q es: 0 = (Y M)A(Y M) t = Y BY t con B = MAM t también simétrica, siendo M una matriz de cambio de sistema de referencia afín. Nótese que esta matriz M es una matriz de orden n + 1 inversible especial por su primera columna. Definición Sean Q y Q dos hipercuádricas afines en k n. Se dice que Q es afínmente equivalente a Q (y se representa Q a Q ) si existe un cambio de sistema de referencia afín de k n que transforma una ecuación de Q en una ecuación de Q. Es decir, si Y AY t = 0, Y BY t = 0, son ecuaciones de Q y Q respectivamente, entonces A y B son congruentes con una matriz de paso especial. Se trata de encontrar invariantes de las hipercuádricas afines que las clasifiquen, por analogía a lo hecho en el caso proyectivo. Se considera el espacio afín k n sumergido en el espacio proyectivo P n (k) de la manera habitual : k n P n (k) donde se identifica el punto (a 1,..., a n ) k n con (1 : a 1 :... : a n ) P n (k). Denotaremos por H al hiperplano del infinito x 0 = 0. Definición Sea Q una hipercuádrica afín en k n definida por una ecuación Y AY t = 0. Se llama clausura proyectiva de Q (y se denota por Q) a la hipercuádrica proyectiva definida en P n (k) por la ecuación XAX t = 0, con X = (x 0, x 1,..., x n ). Nótese que la ecuación de Q se obtiene homogeneizando la ecuación de Q, igual que sucedía con las ecuaciones de las variedades lineales afines, al hallar sus clausuras proyectivas. Definición Se llama hipercuádrica del infinito asociada a Q (y se denota por Q ) a la hipercuádrica proyectiva Q H definida en el hiperplano del infinito por Q. Por tanto, la ecuación de Q es (0, x 1,..., x n )A 0 x 1. x n = (x 1,..., x n )A 0 x 1. x n = 0, 2

3 donde A 0 es la submatriz de A obtenida eliminando la primera fila y columna. Lema Con las notaciones anteriores se tiene: V a (Q) V(Q ) = V(Q) Teorema Sea k = R ó C. Sean Q y Q dos hipercuádricas afines en k n. Son equivalentes: 1. Q es afínmente equivalente a Q. 2. Q es proyectivamente equivalente a Q y Q es proyectivamente equivalente a Q. Como en el caso k = C las hipercuádricas proyectivas se clasifican según su rango, las hipercuádricas afines complejas se clasifican por los rangos de su clausura proyectiva y de su restricción al infinito. En términos matriciales, si A es una matriz de una ecuación de una hipercuádrica afín, los rangos de A y A 0, la clasifican. En el caso real, la situación es análoga, salvo que hay dos invariantes que clasifican hipercuádricas: rango y signatura proyectiva. Vamos a describir los distintos tipos de cónicas y cuádricas afines reales, dando sus nombres y sus ecuaciones canónicas o reducidas, en función de estos cuatro invariantes. Cónicas afines reales Q rang(q) : 3 rang(q) : 2 rang(q) : 1 sp(q) : 3 sp(q) : 1 sp(q) : 2 sp(q) : 0 sp(q) = 1 2 Elipse Elipse Par rectas afines imaginaria real imaginarias secantes Q 2 0 Hipérbola Par rectas afines reales secantes 1 1 Parábola Par rectas afines Par rectas afines recta afín imaginarias paralelas reales paralelas doble 0 0 recta afín Para construir la tabla se utilizan varios argumentos: el lema y la posición relativa de una cónica real no degenerada y una recta, que dimos al describir a aquella. Las ecuaciones reducidas son: elipse imaginaria: 1 + y y 2 2 = 0 elipse real: 1 + y y 2 2 = 0 hipérbola: 1 + y 2 1 y 2 2 = 0 parábola: 2y 1 + y 2 2 = 0 3

4 par de rectas afines imaginarias secantes: y1 2 + y2 2 = 0 par de rectas afines reales secantes: y1 2 y2 2 = 0 par de rectas afines imaginarias paralelas: 1 + y1 2 = 0 par de rectas afines reales paralelas: 1 y1 2 = 0 recta afín doble: y1 2 = 0 recta afín: y 1 = 0 Cuádricas afines reales Q rang(q) : 4 rang(q) : 3 rang(q) : 2 rang(q) : 1 sp(q) : 4 sp(q) : 2 sp(q) : 0 sp(q) : 3 sp(q) : 1 sp(q) : 2 sp(q) : 0 sp(q) : 1 3 Elipsoide Elipsoide cono af. imag. real imag. 3 1 hiperboloide hiperboloide cono af. elíptico hiperbólico real Q 2 Paraboloide cilindro cilindro par planos elíptico imag. elíptico af. imag. secantes 2 0 Paraboloide cilindro par planos hiperbólico hiperb. af. reales secantes 1 1 cilindro Par planos Par planos plano af. parab. af. imag. af. reales doble paralelos paralelos 0 0 plano afín Para construir la tabla se utilizan varios argumentos: el lema y la posición relativa de las cuádricas reales no degeneradas y un plano, que dimos al describir a aquellas. Las ecuaciones reducidas son: elipsoide imaginario: 1 + y y y 2 3 = 0 elipsoide real: 1 + y y y 2 3 = 0 hiperboloide elíptico: 1 + y y 2 2 y 2 3 = 0 hiperboloide hiperbólico: 1 + y 2 1 y 2 2 y 2 3 = 0 paraboloide elíptico: 2y 1 + y y 2 3 = 0 paraboloide hiperbólico: 2y 1 + y 2 2 y 2 3 = 0 cono afín imaginario: y y y 2 3 = 0 4

5 cono afín real: y y 2 2 y 2 3 = 0 cilindro imaginario: 1 + y y 2 2 = 0 cilindro elíptico: 1 + y y 2 2 = 0 cilindro hiperbólico: 1 + y 2 1 y 2 2 = 0 cilindro parabólico: 2y 1 + y 2 2 = 0 par de planos afines imaginarios secantes: y y 2 2 = 0 par de planos afines reales secantes: y 2 1 y 2 2 = 0 par de planos afines imaginarios paralelos: 1 + y 2 1 = 0 par de planos afines reales paralelos: 1 y 2 1 = 0 plano afín doble: y 2 1 = 0 plano afín: y 1 = 0 Definición Sea Q una hipercuádrica afín. Se llama variedad de centros de Q al conjunto ϕ 1 (pol Q (H)). Lema Sea Q una hipercuádrica proyectiva de P n (k) y L una recta proyectiva, no tangente a Q. La aplicación f : L L que lleva cada punto P P n (k) en L pol Q (P ) está bien definida, y es una homografía involutiva (o involución), es decir f 2 = id. Corolario Si O es un centro de una hipercuádrica afín (real o compleja) Q y L es una recta afín que pasa por O y corta a V a (Q) en dos puntos distintos P 1 y P 2, entonces O es el punto medio del segmento P 1 P 2. Definición Se llama hiperplano diametral (diámetro, en dimensión 2) de una hipercuádrica afín Q al hiperplano afín correspondiente a la polar (respecto de Q) de un punto del infinito, es decir ϕ 1 (pol Q (P )), para cada P H. Definición Sea Q una hipercuádrica afín. Se llama hiperplano asintótico (asíntota, en dimensión 2) de Q a todo hiperplano afín de la forma ϕ 1 (pol Q (P )) donde P V(Q) H = V(Q ) (estos puntos se llaman direcciones asintóticas). Lema Sea Q una hipercuádrica real no degenerada de P 3 (k), P / V(Q), L su hiperplano polar. Supongamos que L V(Q) y P L V(Q). Se tiene: 1. La recta P P es tangente a Q en P. 2. El conjunto de rectas que pasan por P y cortan a V(Q) en un punto de L es una cuádrica degenerada que tiene a P como punto singular, llamada cono tangente a Q en P. Definición Se llama cono asintótico de una cuádrica afín con centro único, al cono tangente desde este centro. 5

6 6.1. Interpretación proyectiva de la perpendicularidad. A partir de ahora, consideraremos el espacio afín R n sumergido en P n (R) de la manera habitual (i.e. considerando H (x 0 = 0) como el hiperplano del infinito). En el espacio afín R n consideraremos el producto escalar habitual x.y = n i=1 x iy i (este producto escalar dota a R n de estructura de espacio euclídeo). En H P n 1 (R) consideraremos la hipercuádrica (que llamaremos hipercuádrica del absoluto y notaremos Ω) de ecuación n i=1 x2 i = 0. Nótese que la hipercuádrica lugar de Ω es el conjunto vacío. Teorema Se verifica: 1. Si r, s son dos rectas de R n, entonces r es perpendicular a s si y sólo si los puntos r H y s H son conjugados respecto de Ω. 2. Si r y H son respectivamente una recta y un hiperplano de R n, entonces r es perpendicular a H si y sólo si el punto r H es el polo (respecto de Ω) de H H. 3. Dos hiperplanos de R n (notados H 1, H 2 ) son perpendiculares si y sólo si polar Ω (H 1 H ) pertenece a H 2 H Sea ahora Q una hipercuádrica afín de R n. Recuérdese que define a Q = Q H en H. Por tanto en H hay dos hipercuádricas: Q y Ω. En lo sucesivo, suponemos que Ω está definido por el producto escalar clásico, dado por la matriz identidad, es decir, x y = n i=1 x iy i. Definición Se dice que Q es una esfera de R n si Q = Ω. En dimensión dos se dirá circunferencia. En casos distintos a las esferas, Q y Ω definen un haz H de hipercuádricas en H P n (C). En el caso n = 3, podemos decir algo sobre el haz de cónicas H. Proposición Si Q es una cuádrica de R 3 distinta de una esfera, el haz de cónicas H es del tipo 1 o 3. Definición Se dice que Q es una cuádrica de revolución de R 3 si, Q es una esfera, o bien Q y Ω definen un haz de bitangentes. Más adelante justificaremos esta definición. Volvemos ahora al caso general de R n Hiperplanos principales de las hipercuádricas. Definición Sea Q una hipercuádrica de R n distinta de una esfera, se llaman direcciones principales de Q a los puntos del conjunto F (H(Q, Ω)) \ Sing(Q ) H. En el caso de la esfera, todas las direcciones son principales. Se 6

7 llaman hiperplanos principales de Q (ejes en dimensión 2) a los hiperplanos afines k n pol Q (P ), para cada P dirección principal. Proposición Sea Q una hipercuádrica de R n, L un hiperplano principal y r L una recta que corta a V a (Q) en dos puntos distintos P 1 y P 2. Entonces r L es el punto medio de P 1 P 2. Definición Se llaman ejes de una cuádrica la intersección de dos planos principales. (Atención: no confundir con ejes de una cónica!) Proposición Una cuádrica Q de R 3, de ecuación Y AY t = 0 es de revolución si y sólo si la submatriz A 0 tiene un autovalor doble Focos de las cónicas Sea Q una cónica afín no degenerada el C 2. Sea F un punto del plano afín C 2 que no esté en Q. La polaridad (respecto de Q) induce una homografía (que es una involución) sobre el haz de rectas P 2 (C)/F. En efecto, esta involución es: η Q : P 2(C) F P 2(C) F definida por η Q (r) = polar Q (r)+f. Por otra parte la ortogonalidad define también una homografía sobre el haz de rectas P 2 (C)/F (es decir la imagen de una recta pasando por F es la recta que pasa por F y es ortogonal a la recta de partida). Concretamente, y respecto del sistema de referencia canónico, suponiendo que el punto F tenga coordenadas (1 : a 1 : a 2 ), esta involución asocia a una recta genérica α(x 1 a 1 x 0 ) + β(x 2 a 2 x 0 ) = 0 (pasando por F ) la recta β(x 1 a 1 x 0 ) α(x 2 a 2 x 0 ) = 0. Definición Sea Q una cónica afín no degenerada en C 2 y sea F un punto de C 2 que no esté en Q. Se dice que F es un foco de Q si la homografía inducida por la polaridad coincide con la inducida por la ortogonalidad. Lema El la situación anterior, F es un foco de Q si y sólo si por F pasan dos tangentes a Q y autoperpendiculares. Sea Q una cónica afín no degenerada en R 2, es decir una elipse, hipérbola o parábola. Por tanto Q es una cónica real no degenerada de P 2 (R). Se puede hablar así de Q en P 2 (R), que es también una cónica real no degenerada. En este caso Ω es la hipercuádrica de la recta del infinito H de ecuación x x 2 2 = 0, luego V(Ω) = {P 0, P 0 }, con P 0 = (0 : 1 : i), que se llaman puntos cíclicos del plano, al ser los puntos por donde pasan todas las circunferencias (Q = Ω). Definimos en P 2 (R) la cónica degenerada de ecuación u u 2 2 = 0, que notamos por Ω, ya que V(Ω ) está formado por la unión de las rectas duales de los puntos cíclicos: (P 0 ) y (P 0 ). Así en P 2 (R) hay un haz H definido por Q y por Ω. Definición Se llaman focos de la cónica Q a los puntos de R 2 cuyos duales son rectas de P 2 (R) del lugar de una cónica degenerada del haz H. 7

8 Caso circunferencia. En este caso los puntos cíclicos P 0, P 0 están en V(Q), por tanto (P 0 ) y (P 0 ) son tangentes a Q, por lo que H es un haz de cónicas bitangentes. Hay dos puntos base P 1 y P 1. La recta P 1 P 1 (real) de P 2 (R) es la dual del único foco F de la circunferencia. Caso parábola. Suponemos que Q es tangente a H en el punto A. Al revés que antes, (P 0 ) y (P 0 ) no son tangentes a Q, pero (H) = (P 0 ) (P 0 ) está en V(Q ), porque H es tangente a Q. Además (A) es tangente a Q. Por tanto H es un haz de cónicas del tipo 2, con tres puntos base: {P 1, P 1, (H)}. La recta P 1 P 1 (real) de P 2 (R) es la dual del único foco F de la parábola. Caso elipse (no circunferencia) e hipérbola. En este caso (P 0 ) y (P 0 ) no son tangentes a Q, y (H) = (P 0 ) (P 0 ) no está en V(Q ). Por tanto H es un haz de cónicas del tipo 1, con cuatro puntos base: {P 1, P 1, P 2, P 2 }. Las rectas reales P 1 P 1 y P 2 P 2 de P 2 (R) son las duales de sendos puntos F 1 y F 2 de R 2, que son focos de la elipse o hipérbola Q. En algunos textos también se llaman, en este caso, focos imaginarios a los puntos (imaginarios) duales de las rectas P 1 P 2 y P 2 P 1. Proposición Los focos de una cónica real no degenerada Q de R 2 son los puntos de corte de rectas tangentes a Q y autoperpendiculares. 8