LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

1 Los números I Para empezar Cuenta la historia que la falange macedonia, el famoso e invencible ejército de Alejandro Magno, infundía temor a sus enemigos con su sola presencia. Los soldados avanzaban por el campo de batalla en formaciones rectangulares. Cada fila de 16 hoplitas, como se llamaban los soldados de infantería, componía la cuarta parte de una tetrarquia, que a su vez era la cuarta parte de un syntagma, y la falange estaba conformada por 64 de estos. Cuántos hoplitas componían una falange? LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 1 Completa con si el número pertenece al conjunto numérico y con - en caso contrario. 64, 11, - π 1 1 4-1 4 1,11 -π - - I - 6 Indica si cada afirmación es verdadera o falsa. a. Un número con infinitas cifras decimales puede ser racional o irracional. b. Los números enteros pueden ser racionales o irracionales. c. Hay números que son enteros y racionales. d. Hay números que son racionales e irracionales. e. Todos los racionales tienen expresión decimal exacta. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1

RACIONALES E IRRACIONALES Hoy Javi y Matías aprendieron que hay números irracionales, como π, que no se pueden expresar como una fracción porque tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Mira! Inventé este que también Se te ocurre otro? es irracional porque se forma escribiendo después de la coma todos los números naturales. a. Descubre la regla de formación de estos irracionales y escribe las próximas 10 cifras. 1,01001000100001,1111111,11114 0,11111 b. Inventa otros dos números irracionales; escríbelos en tu cuaderno y explica cómo se forman. 4 Analiza estos números y ubícalos en la casilla correspondiente. 4-8 Racionales Irracionales 0,111 18,1-4 Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1 Ordena cada terna de números de menor a mayor. a., 4641; 1;, 4641 b., 641 ;, 641; c. 1;, 60;, 60 6 Si ubicaras los números del ejercicio 1 en una recta numérica, cuál quedaría más a la izquierda?

a. Muestra cinco números racionales entre - y. Podrías nombrar más? b. Escribe cinco números irracionales mayores que - y menores que. c. Puedes nombrar cinco números enteros entre - y? Y naturales? 8 Quiénes tienen razón? Por qué? Entre y 4 no hay ningún número. Sí, hay, pero ninguno es natural. Hay infinitos, y todos racionales. Daniel Marcelo Carla Cuando sea posible, escribe lo que se pide; cuando no lo sea, explica por qué. a. Un número racional comprendido entre 1 y 18 4. b. Un número racional comprendido entre 06, y 0,. 8 c. Un número irracional comprendido entre y. d. El menor racional que sea mayor que 1. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1

APROXIMACIONES 10 Completa la tabla con las aproximaciones indicadas. Número 1,48, 4, 18, A los centésimos Redondeo A los milésimos A los centésimos Truncamiento A los milésimos 11 Escribe un número que cumpla con lo pedido en cada caso. a. Al redondearlo y truncarlo a los décimos, da el mismo resultado. b. Al redondearlo a los centésimos, da como resultado,8. c. Al truncarlo a los décimos, da como resultado 0,. 1 Desde chico usabas π como,14. Ahora sabes que es irracional y sus primeras cifras son:,14168846648 a. La aproximación que usaste hasta ahora se hizo por redondeo o truncamiento? Por qué? b. Qué valor muestra tu calculadora? Cómo lo aproxima? c. Compara el valor que da tu calculadora con el que dan las de tus compañeros. Todas aproximan igual? Prueba con otros números. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1 1 Si en un pentágono regular se trazan las diagonales, el cociente entre una diagonal y un lado es otro número irracional, Phi (se lee fi): Φ= 1+. Aproxímalo a los centésimos y a los milésimos por redondeo y truncamiento.

Comparación Entre dos números de distinto signo, siempre es mayor el positivo. Si tienen igual signo y son racionales, podemos buscar fracciones equivalentes o comparar sus expresiones decimales. Y si alguno es irracional debemos comparar sus expresiones decimales., < 0 < 1,8 1 10 1 1 10 1 = y = ; como <, entonces <, Para recordar o bien 06, < 06,. >, pues 1, 4141 y = 14,. 14 Números reales Los números racionales son todos los que se pueden expresar como una fracción. Son racionales los números, 1,, 1,, y pues: 1 = 1 = 1, = 1, = 4 1 = Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción, tienen infi nitas cifras decimales no periódicas. Aproximaciones Por truncamiento: suprimimos las cifras ubicadas a la derecha de la posición elegida para cortar (unidades, décimos, centésimos, etcétera). Por redondeo: para hacerlo a una posición determinada. Se mira la siguiente cifra decimal. Si esta es mayor o igual a, la cifra de la posición considerada se aumenta en 1; de lo contrario se deja igual. Para aproximar 4,8, hacemos así: A los centésimos décimos enteros Por truncamiento 4,8 4,8 4 Por redondeo 4,8 4, 1 π 0,010004006 Todos los racionales y todos los irracionales son números reales. Recuerda que incluídos en los racionales están los enteros, y en los enteros, los naturales. (reales) I (irracionales) (racionales) (enteros) (naturales) Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1

Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1 Pasaje de decimal a fracción Escribir una expresión decimal exacta como fracción es muy sencillo:, = = 10 16 10 10, = = 100 1 0 1,10 = 110 1000 Si se quiere escribir una expresión decimal periódica como fracción, se puede hacer así: Periódica pura 0, 888... = 08,. 0,888 10 = 8,888 0,888 = 0,888 0,888 = 8 entonces 0,888 = 8. Periódica mixta, 1... =, 1.,1 100 = 1,,1 10 = 1,,1 0 = 1 1 = 16, o sea,, 1 =. O usar esta regla, para escribir el 1, = como fracción se procede así: 16 0 Todo el número sin coma y sin el símbolo del período MENOS lo que queda de ese número si se le tacha la parte periódica. 1 1 1, = 0 Notación científica Para expresar un número en notación científi ca hay que descomponerlo como producto de un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 por una potencia de 10., 0 000000018 18 10 8, =, 0 000 = 10 6 Fracciones y expresiones decimales Cualquier fracción se puede escribir con una expresión decimal, alcanza con dividir el numerador por el denominador. Al hacerlo, puede ocurrir que se obtenga resto 0; en ese caso la expresión decimal es exacta (es un número decimal). La fracción de la que este proviene es una fracción decimal. 0, 100 = = 18 Si los restos comienzan a repetirse a partir de alguno, la expresión decimal es periódica, su resto nunca será nulo; las cifras decimales que se repiten en el cociente forman el período (se marca con un arquito o se escribe tres veces seguido de puntos suspensivos). Hay expresiones decimales periódicas puras (el período comienza después de la coma) y mixtas (el período sigue a una o más cifras no periódicas). 06 = 1, = 1,... = 06, 18 6 4 = 14 0 Un por cada decimal del periódico y un 0 por cada decimal del anteperíodo. Expresión periódica pura Expresión periódica mixta 1

Más actividades 8 Escribe a qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números; luego, ordénalos de menor a mayor: 0, ; -6; -0, 46 ; - 4 1 y -. Indica verdadero o falso según corresponda. En el caso de las opciones que consideres falsas, justifica por qué. a. El número 8 es racional. b. π es racional. c. - 4 = 4 y -(-) =. d. Todo número negativo es entero. e. El único número mayor que,4 y menor que,6 es,. 0 a. Cuántas fracciones con denominador hay entre y 6? Cuáles son? b. Y con denominador? Cuáles? c. Y con denominador? 4 Descubre una regla de formación de los siguientes números irracionales. a.,468101141618 b. 0,100000040000 c. 0,14 d., e., Escribe estos números racionales como fracciones. a., b., c., d., e., f., 6 Escribe el inverso y el opuesto de 040, ; - y -4,. 1 a. Hay alguna fracción con denominador que 16 se encuentre entre 1 y? b. Y con denominador? Si es posible, escribe un número que cumpla con lo pedido en cada caso. a. Un irracional que esté entre y. b. Un racional que esté entre y. c. Un entero que esté entre y. d. Un número real que esté entre y. Observa los siguientes números racionales. Indica cómo se forman y encuentra la cifra que ocupa el lugar 100 en la expresión decimal. a.,4444 b.,01010101 c. 0,14141414 a. Es verdad que para dividir por 0, se puede multiplicar por? Por qué? b. Y que para dividir por 0, 4 hay que multiplicar por 4? Por qué? 8 Es verdad que dividir por 11 es lo mismo que multiplicar por 00,? Por qué? En el siglo iii a.c. Arquímedes dio como aproximación del número π la fracción. a. Redondea ambos números a los milésimos y compara los resultados. Qué observas? b. Y si los redondeas a las centésimas? 40 Un local comercial ocupa una superficie de 11,1 m y su depósito, otra de,6 m. Redondea y trunca la superficie de cada uno a la unidad, e indica qué aproximación es más precisa. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1

41 a. Un nanómetro (nm) es la milmillonésima parte del metro. La longitud de una molécula de pentaceno es de 1,4 nm. Expresa esta medida en metros y después escríbela en notación científica. b. Si se pudiesen alinear las moléculas de pentaceno, cuántas se necesitarían para alcanzar una longitud de 1 cm? 4 Según la teoría del big bang, la edad del universo es de unos trece mil seiscientos millones de años. a. Escribe esta cantidad en notación científica. b. Cuántas horas de vida tiene el universo, aproximadamente? 4 Calcula y escribe el resultado en notación científica. a. ( 1,4 10 ) (,8 10 ) 6 b. (,4 10 ) ( 4, 10 ) 8 c., 10 4,8 10 ( ):( ) 6 ( ) :( ) d.,04 10, 10 44 En la secuencia 1; 4; ; 16;... a. Qué número ocupa el lugar 10? b. Y el lugar 40? c. Qué lugar ocupa el número 6? Autoevaluación 1 Investiga la verdad o falsedad de las siguientes expresiones. a. d. 8 Ι b. Ι e. 16 4 c. 64 f. 1 Cuáles de estas expresiones representan el mismo número? Por qué? a. 10 0, 00 0, 0,% 0, 1 % Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1.1 b. 1, 1 1, 4 1,... La razón entre la medida de la diagonal D y la medida del lado l de un cuadrado es el número irracional. Verifica que la aproximación por redondeo y por truncamiento a los centésimos son iguales. D l 1