7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las funciones y ecuaciones eponenciales y logarítmicas. Comenzaremos con las funciones eponenciales para luego continuar con ecuaciones eponenciales. La necesidad de resolver ecuaciones eponenciales trae consigo hallar la función inversa de la función eponencial y es donde toma sentido la función logaritmo. Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones logarítmicas y situaciones problemáticas donde se encuentren involucradas ecuaciones tanto eponenciales como logarítmicas. Comencemos con la siguiente situación. La esperanza de vida, aún en los países poco desarrollados, creció después de la Segunda Guerra Mundial aunque a distinto ritmo. Este crecimiento, si bien al principio trajo mayor actividad y progreso, a la larga ha producido graves problemas: falta de viviendas, escuelas, puestos de trabajo... El aumento de la población por la prolongación de la vida se ha visto compensado en parte por el descenso de la natalidad en los países industrializados. De todos modos, ha aparecido el problema del envejecimiento de la población (es decir el aumento de la edad promedio). Analizaremos ahora algún modelo matemático que trata de describir la evolución de una población. En Europa occidental, durante los siglos XVII y XVIII, comenzó a descender el índice de mortalidad, y el incremento poblacional en muchos países se situó entre 0.5 y % anual. Para evitar complicaciones con los cálculos consideraremos que el crecimiento poblacional fue del % anual durante los primeros 0 años de este siglo. Supongamos que la cantidad de población europea al comienzo del siglo XVII (año.600 ) sea 0 (en cientos de millones). La función P(t) medirá la cantidad de población en el tiempo t. Como comenzaremos nuestro estudio a partir del año.600 este será el tiempo inicial, es decir, t = 0. Año Tiempo t (años) Población ( en cientos de millones ) 600 t = 0 P (0) = 0 60 t = P () = 0 + % de 0 = 0 +.0 00 60 t = = 0, P () = 0, + % de 0, = 0, + 0,0. 0, = 0,0 60 t = P () =............ Podemos hallar una fórmula que nos permita calcular la población para cualquier valor de t? Para ello analizaremos lo que hemos hecho hasta el momento en cada paso: Página 97

Curso de Apoyo en Matemática en t = 0, P (0) = 0 en t =, P () = 0 + 0,0.0 = 0 ( + 0,0) = 0.,0 = P (0).,0 en t =, P () = P () + 0,0. P () = 0.,0 + 0,0. 0.,0 = 0.,0 ( + 0,0) = 0.,0.,0 = 0 (.0) Podrás realizar el caso t =? (Ten en cuenta los pasos hechos en los casos t = y t = ) En general, la población después de t períodos será: P (t ) = 0 (.0) t donde 0 es la población inicial P (0). Verifiquemos que la fórmula obtenida nos da, por ejemplo para t =, P () = 0.,0 = 0,0 que coincide con el valor de la tabla. Si queremos estimar la población en el año 60, será P (0) = 0.,0 0 = 046. Observemos que en la fórmula P (t ) = 0 (,0) t, el factor 0 es la población inicial y la variable t figura en el eponente. A este tipo de funciones se las llama eponenciales. 7. FUNCIÓN EXPONENCIAL Desde ejemplos hasta la aparición de la definición, lo pondría como teto habitual, dado que son comentarios no vinculados a la enunciación de definiciones, leyes, etc. Esto, a los efectos de ver la coherencia gráfica. Ejemplos: 4 - = 4 5 = 5 Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos: potencias de eponente natural a n = 4 a. a. a4... a n N, n veces potencias de eponente nulo a 0 = ( a 0 ), potencias de eponente entero negativo a -n = n N, ( a 0 ), n a potencias de eponente fraccionario a m/n = n m a m Z, n N 5.5 4 =5 6 ( ) = 6 y conocemos sus propiedades básicas: a n. a m = a n + m a n : a m = a n-m (a n ) m = a n.m n, m Q. Las propiedades antes mencionadas se etienden para el caso en que n y m son números reales cualesquiera También es posible dar sentido a epresiones tales como π, y estimar su valor a partir de una aproimación del eponente irracional. Página 98

Eponenciales y Logarítmos Con estos elementos, podemos definir la función eponencial. Función eponencial Dado a > 0, llamamos función eponencial de base a a la función f : R R definida por f () = a. El comportamiento de la función eponencial es muy distinto según sea a >, a <, a =. Ejemplo: Analicemos la gráfica de la función eponencial de acuerdo al valor de a. a) Si a >, por ejemplo a =, la función y = es creciente. Observemos que... cualquiera sea el valor de a > 0, la gráfica de la función eponencial debe pasar por el punto (0,), ya que es el valor de la ordenada al origen; es decir el valor que toma la función para = 0. Por otro lado es claro que a medida que el valor de aumenta, el valor de a también, y si el valor de decrece (con valores negativos) entonces el valor de a tiende a 0. Observemos que... nuevamente cualquiera sea el valor de 0< a <, la gráfica de la función pasa por el punto (0,). Por otro lado, a medida que el valor de aumenta, el valor de a decrece. b) Si 0 < a <, por ejemplo y = la función es decreciente. La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de las funciones y = e y =. Página 99

Curso de Apoyo en Matemática = 0 4 4 8 8 - - = - 4 4-8 8......... La gráfica de la función pasa por el punto (0,). Si los valores de son positivos, entonces es negativo. Si > 0, entonces 5 es decreciente. Si < 0, se tiene positivo y a medida que los valores de - aumentan, 5 decrece. c) y = 5 - Cuál es la gráfica de esta función? Para pensar... Qué pasa cuando a =? La función eponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, las amebas son seres unicelulares que se reproducen dividiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproimadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Proponemos calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas: Tiempo (hs) 4 5 6 7... Nro. de amebas 4 8... Página 00

Eponenciales y Logarítmos Observemos que... si en el momento inicial hay k amebas, y en la primer hora se duplican, entonces ahora hay k. En la segunda hora se vuelven a duplicar, es decir, (k) = k, en la tercer hora se repite la situación y tenemos ( k) = k, etc. Luego en general se tiene k. El número total al cabo de horas será y = Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total sería: y = k Observemos que en esta última igualdad, la variable independiente aparece como eponente. Qué pasa si ahora queremos hallar el tiempo en el cual el número de amebas eistente y es conocida? En la sección siguiente estudiaremos este tipo de ecuaciones resultante. 7.. ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuación eponencial A una ecuación en la que la incógnita aparece en un eponente se la llama ecuación eponencial. a) 5 - = 5 Observemos que... estamos teniendo en cuenta que si las bases son las mismas en una igualdad, entonces los eponentes deben ser iguales. Observemos que 5 - = 5, entonces - =, luego = 0 b) = 7 Recordemos que a -n = n a = = - - = - = 4 Aquí utilizamos la definición de valor absoluto. = 4 = entonces =, = - Página 0

Curso de Apoyo en Matemática Actividades de Aprendizaje ) Graficar: a) y = b) y = 4 c) y =. d) y = e) y = - f) y = -. ) Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias. Sustancia radiactiva radiaciones + otra sustancia. Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía según el tipo de sustancia. La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunos ejemplos son: uranio: 500 millones de años radio: 60 años actinio: 8 años talio: minutos Si tenemos una masa inicial de un gramo y el período de desintegración es un año, averiguar qué cantidad de sustancia radiactiva queda al cabo de: Tiempo (años) 4 5 6 7... grs. de sustancia... Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar. ) Encontrar el valor de que verifica: + 4 a) + = 8 b) = 0,5 + 4) La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t = 0, esta población es de 00.000 habitantes. Dar una fórmula para la población P(t) como función del tiempo t. Cuál es la población después de a) 00 años? b) 50 años? c) 00 años? 5) Las bacterias en una solución se duplican cada minutos. Si hay 0 4 bacterias al comienzo, dar una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. Cuántas bacterias hay después de a) minutos? b) 7 minutos? c) hora? Página 0

Eponenciales y Logarítmos 6) Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento f (t) después de un tiempo t satisface la fórmula f (t) = 60. -0,0 t. a) Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso? b) Qué cantidad queda después de 500 años? c) Qué cantidad queda después de 000 años? d) Qué cantidad queda después de 000 años?. 7. FUNCIÓN LOGARÍTMICA - LOGARITMOS Supongamos que un determinado bien material que hoy cuesta $50 se devalúa con el uso, cada año, un 4% de su valor durante el año anterior. Por ejemplo: En t = 0 (inicio) el valor en 0 V(0) = 50 En t = ( año después ) V() = 50 4% de 50 = 44 En t = ( años después) V() = 44 4% de 44 = 8,4 En t =... En general, una fórmula que representa esta situación, puede obtenerse como en el ejemplo inicial de la unidad: V(t) = 50. (096) t Supongamos ahora, que queremos saber luego de cuántos años de uso el valor del bien se redujo aproimadamente a $9. Para esto necesitamos resolver la siguiente ecuación 9 = 50 (0,96) t Cómo despejar t de esta fórmula? Observemos que el valor de t que estamos buscando es tal que elevando el número 0,96 a ese valor 9 da por resultado. 50 Ahora queremos resolver otros tipos de ecuaciones. Por ejemplo, resolvamos la ecuación 0 - = 0. Veamos qué secuencia de pasos desarrollamos: Descomponemos el número 0 en sus factores primos. 0 - =.. 5 Observemos que no podemos epresar al segundo miembro como potencia de 0, lo que nos permitiría resolver la ecuación de manera similar a la sección anterior. Nuestra pregunta es: cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 0 = k?, ó en general a = k?. Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de y = 0 Página 0

Curso de Apoyo en Matemática Función logarítmica 0 = 00 entonces = log 0 00 = pues 0 = 00 Si = log 0 000 entonces 0 = 000 0 = /00 entonces = log 0 00 - = - pues 0 - = 00 -. A esta nueva función se la llama función logarítmica en base 0 y se denota y = log 0 ó también, y = log. Ahora, podemos decir que, si 0 = k entonces = log 0 k es decir, el logaritmo de un número en base 0 es el eponente al que hay que elevar la base 0 para obtener dicho número. Generalizando: Logaritmo en base a Sea a > 0 y a, e y > 0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número que verifica a = y. Es decir, log a y = a = y. Ejemplo: Interpretemos la definición de logaritmo: a) 7 = 8 7 = 8 log 8 = 7 b) 8 / = 8 / = log 8 = Ejemplo: Calculemos a) log 6 log 6 = y y = 6 = 4 y = 4 b) log log = y y = = 5 y = 5 Ejemplo: El símbolo significa aproimadamente. Consulta el manual de tu calculadora para verificar que log 0 0 es aproimadamente,477. Ahora estamos en condiciones de resolver la siguiente ecuación. 0 - = 0 0 - = 0 - = log 0 0,477 luego - 0,477 Página 04

Eponenciales y Logarítmos 7.. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Recordemos algunas propiedades de los logaritmos: log (4.8) = log = 5 y log 4 + log 8 = + = 5 log 4 = log 64 = 6 pues 6 = 64 y log 4 =. = 6.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores log a (. y) = log a + log a y.- El logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmo de la base log a ( y ) = y. log a A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes: log 8/9 = log 9 = y por otro lado log 8 - log 9 = 4 =..- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. log a = log a - log a y y Observar que log a = log a. = log + log y a a y y = log log y a a log 4 = log = pues 8 - = /. Por otro lado tenemos log =.( 4) =. 4 8 4 4.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. log a y = loga = y log a Observar que log a y = log a ( /y ) = y loga y Para pensar... El logaritmo de la base es siempre log a a = por qué? El logaritmo de es 0 en cualquier base log a = 0 por qué? Página 05

Curso de Apoyo en Matemática 7. CAMBIO DE BASE Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Logaritmo decimal Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 0, y se acostumbra denotar log 0 = log omitiendo la base. Logaritmo neperiano El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e,78 y se denota log e = ln. Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar cambios de base. Si, por ejemplo, tuviéramos que calcular log : Llamamos al logaritmo que queremos calcular. Luego, aplicamos logaritmo decimal a amb os miembros y obtenemos = log log = log, finalmente, = log log,5849. El procedimiento general es: y = log a a y = y log b a = log b y = log log b b a Actividades de Aprendizaje 8) Calcular a) log 4 8 b) log 5 7. 9) Mostrar con un ejemplo que en general, a) log a ( + y) log a + log a y b) log a ( - y) log a - log a y. 0) Resolver aplicando la definición de logaritmo. a) log 5 5 + log 4 b) log 000 - log/ Página 06

Eponenciales y Logarítmos c) log7 49 - log 6 d) log + log 4 - log 0,00 e) log 7 + log / 4 - log / 9 ) Sabiendo que log 5, calcular, aplicando las propiedades del logaritmo. a) log 0 b) log,5 c) log 5 d) log 5. ) Calcular realizando cambio de base a) log 0 b) log 5 c) log / 0 d) log 4 0,. 7.4 Ecuaciones Eponenciales y Logarítmicas Ya hemos resuelto ecuaciones eponenciales del tipo 5 - = 5 y del tipo 0 - = 0 utilizando logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del logaritmo. Ejemplo: calcular el valor de en las siguientes ecuaciones eponenciales... Aplicamos las propiedades de logaritmo y resolvemos la ecuación resultante en forma habitual Recordemos que a m+n = a m. a n a - = /a Etraemos factor común, resolvemos y aplicamos a la epresión = 79, logaritmo para luego resolver mediante propiedades. a). 5 = 4 log (. 5 ) = log 4 log + log 5 = log 4. log + log 5 = log 4. 0,477 +. 0,699 0,60. 0,477 +.,98 0,60. (0,477 +,98) 0,60 b) + + - = 4.,875 0,60 0, + + - = 4. + -. = 4 + = 4 0. = 4 = 79, log = log 79, Página 07

Curso de Apoyo en Matemática log 79, = log 6,000 c) - 4. + = -7 Consideremos z =, reemplazando en la ecuación, obtenemos una ecuación de segundo grado y encontramos las raíces como se mostró en la unidad 5. ( ) - 4.. + 7 = 0 z - z + 7 = 0 las raíces de esta ecuación son z = 9, z =. Por lo tanto = 9 = y = = Si reemplazamos z = 5 obtenemos una ecuación de segundo grado. d) 5 + 5 = 0 5 + 5 = 0 (5 ) + 5 = 0 z + z - 0 = 0 Raíces de la ecuación cuadrática: z = 4, z = -5. Atención!! Una vez obtenidas las soluciones no olvides verificar si las mismas satisfacen la ecuación. Luego 5 = 4 log 5 = log 4 0,86 Si consideramos 5 = -5, vemos que no hay valores de que cumpla la ecuación, pues ninguna potencia de 5 puede ser negativa. Por ejemplo, calculemos el valor de en las siguientes ecuaciones logarítmicas: Aplicando la definición de logaritmo. a) log 5 4 = log 5 4 = 4 = 5 5 = 4 Página 08

Eponenciales y Logarítmos b) log 9 ( + ) + log 9 9 ( + ) = log 9 ( + ) + log 9 9 ( + ) = log 9 9 ( + ) = 9 ( + ) = 9 ( + ) = 9 Observemos que... con la solución = -4 obtenemos log 9 (- ) = 9 = - igualdad que no se verifica para ningún valor de. + = + = = + = - = - 4 Hemos considerado z = log. c) log - 0 log + 8 = 0 z - 0 z + 8 = 0 Atención!! No olvides verificar las soluciones y descartar alguna si en necesario. cuyas soluciones son z = 4, z = log = 4 = 4 = 6 log = = = d) log - log 4 = Necesitamos que todos los logaritmos involucrados en esta ecuación estén epresados en la misma base para poder utilizar las propiedades. Epresamos todos los logaritmos en base. log 4 = y = 4 y log = y log 4 log = y. y = log Reemplazando en la ecuación obtenemos: log - log = log = log = = Página 09

Curso de Apoyo en Matemática ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas a) log = log c) 5 log - log = log e) log 0 = 5 - log - g) log + 0 = i) ln - ln = 8 Ejercicios Complementarios b) log - log = d) log = log - 5 f) 0 log 5-5 log 5 + 5 = 0 h) log + log - 6 = 0 j) log - 5 log = 0 4) Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales Ejercicios complementarios a) 4. - 4 = 0 b) b). 4 + 6 = 0 f) + 4 = 7 c) c) e - e - 6 = 0 - + d) - - - = 0 g) = 0. - e) + 9 = 6 h) 5 + 5 - = 6 i) e - 5 (e - e) - e + = 0 j) + 6 - - = 0 5) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r(t) = c e -7 t donde c es una constante. En cuánto tiempo habrá eactamente un tercio de la cantidad inicial?. 6) Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B(t) = c e kt donde c y k son constantes y B(t) representa el número de bacterias en función del tiempo. En el instante t = 0 hay 0 6 bacterias. En cuánto tiempo habrá 0 7 bacterias, si en minutos hay. 0 6 bacterias?. 7) En 900 la población de una ciudad era de 50000 habitantes. En 950 había 00000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula P(t) = c e kt donde c y k son constantes. Cuál fue la población en 984?. En qué año la población es de 00000 habitantes?. 8) La presión atmosférica como función de la altura está dada por la fórmula P(h) = c e kh donde c y k son constantes, h es la altura y P(h) es la presión en función de la altura. Si en el barómetro se lee 0 al nivel del mar y 4 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 0000 pies. Página 0

Eponenciales y Logarítmos 9) El azúcar se descompone en el agua según la fórmula A(t) = c e -kt donde c y k son constantes. Si 0 kilos de azúcar se reducen a 0 kilos en 4 horas, cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar?. 0) Una partícula se mueve con velocidad S(t) = c e -kt donde c y k son constantes. Si la velocidad inicial en t = 0 es de 6 unidades por minuto, y en minutos se reduce a la mitad, hallar el valor de t cuando la velocidad es de 0 unidades/minuto. ) Qué relación debe eistir entre a y b para que se verifique que log a + log b = 0?. Principal - Unidad VI - Unidad VIII Página