Programación por Metas por Antonio Mejía

Programación por Metas por Antonio Mejía Introducción. Supóngase que usted desea comprar un nuevo carro, al analizar las posibles modelos desea considerar los siguientes atributos de cada uno: a. Tamaño del carro b. Economía del carro (km/galón) c. Estilo de carro d. Precio del carro Otro ejemplo sería en una planificación corporativa, donde se desean lograr los siguientes objetivos: a. Maximizar la utilización del equipo (alta producción) b. Maximizar la participación en el mercado (alta variedad) c. Minimizar el costo de producción d. Maximizar la tasa de efectivo En ambos ejemplos hay objetivos en conflicto y en muchas ocasiones no pueden ser logrados en forma directa o simultánea. La solución se encuentra en utilizar una de las técnicas de Programación por metas desarrollada por A. Charles y W. Cooper. A fin de entender esta técnica en la tabla inferior se definen ciertos términos. Esta técnica resuelve problemas de optimización con varios objetivos, aun y cuando éstos estén en conflicto. Puede ser usada para toma de decisiones en distribución de recursos, planeación financiera, distribución de presupuestos, decisiones de mercado y otras. El algoritmo utilizado provee una alternativa donde las desviaciones de las diferentes metas se minimizan. Existen diversas técnicas para las medir las desviaciones de las metas y para ponderar y/o priorizar cada una de ellas. En el presente curso estudiaremos la técnica más sencilla y la más ampliamente utilizada. En Programación Lineal todas y cada una de las restricciones deben cumplirse, en Programación por Metas las metas pueden o no cumplirse. La Función Objetivo determinará aquella alternativa que primeramente satisfaga todas y cada una de las restricciones fijas o rígidas del modelo y segundo que cumplan de mejor forma todas las metas. Ventajas La Función Objetivo minimiza las desviaciones de las múltiples metas Existen diversos criterios para medir las desviaciones de las metas Existe un peso o prioridad para cada meta La alternativa óptima muestra el grado en que cada meta ha sido alcanzada, lo cual facilita tomar decisiones. Limitaciones: Tanto las variables de decisión de la función objetivo como las de las restricciones deben de ser lineales Las variables deben de ser continuas. Objetivo. Refleja los deseos del tomador de decisiones (ej. Max o Min. algún criterio). Nivel de aspiración. Es un valor específico asociado con un deseo o un nivel de logro de un objetivo. Meta. Es un objetivo con un nivel de aspiración Desviación de la meta. Es la diferencia entre lo que se logra y lo que se deseaba alcanzar. Pueden ser categorizados como sub-logros o sobre-logros de las metas. 63

No existe una forma sistémica para llevar a cabo el análisis de sensibilidad. Las Variables de decisión deben ser no-negativa. No siempre se logra satisfacer todas las metas Variables de desviación: Reflejan la desviación positiva o negativa del valor logrado con respecto a la meta. Deben ser no-negativas. Cuando el valor requerido para que la meta se cumpla es positivo se denomina desviación «faltante» (U i ) Cuando el valor requerido para que la meta se cumpla es negativo se denomina desviación «sobrante» (V i ) Pesos de las variables de desviación Existen diversas técnicas para las medir las desviaciones de las metas y para ponderar y/o priorizar cada una de ellas. En el presente curso estudiaremos la técnica más sencilla y que es a la vez la más ampliamente utilizada. Los pesos se asignan de acuerdo a lo que el tomador de decisiones considere sea la penalización por la desviación (por unidad) con respecto a la meta. Los pesos pueden indicar penalizaciones monetarias o cualquier otra medida que se relacione a la meta. La meta más importante recibe el mayor peso. Transformación de Objetivos Y Metas Sea F(x) una representación matemática de un objetivo y Bi el nivel de aspiración asociado al objetivo, entonces las metas pueden ser de tres tipos: 1. F(x) B i 2. F(x) B i 3. F(x) = B i Sea cual sea la forma, la transformación a programación por metas se logra añadiendo una variable de desviación faltante (U i ) y sustrayendo una variable de desviación de excedente (Vi). Ver tabla inferior. Al resolver el modelo, cualquier alternativa factible tiene como resultado que U i = 0 ó V i = 0, o ambas son igual a cero (0). Aquellas restricciones rígidas, propias del sistemas (que no se consideran metas) no sufren ninguna transformación. Estas restricciones deben ser cumplidas en su totalidad para que una alternativa pueda sean considerada factible y sea evaluada por la función objetiva. Ejemplos. I. Meta del tipo. Supóngase que desea obtener una ganancia mínima determinada. Tomemos una función de utilidad de la forma: 5*X 1 + 7*X 2. Si el nivel de aspiración es lograr al menos 10,000, se tiene la siguiente transformación: 5*X 1 + 7*X 2 10,000 5*X 1 + 7*X 2 = 10,000 La obtención de la meta se logrará en la medida que U i sea pequeño. O sea, la técnica buscará la alternativa que logre minimizar tanto el valor de U i como el valor global de la Función Objetivo, y al mismo tiempo tratará de cumplir la meta lo más posible. II. Meta del tipo. Supóngase que se desea Tipo de Meta Forma en Programación Variable de desviación de metas a ser minimizada Fi (x) Bi F(x) + U i - Vi = Bi Vi Fi (x) Bi F(x) + U i -Vi = Bi U i Fi( x) = Bi F(x) + U i -Vi = Bi U i + Vi 64

limitar los costos a un valor determinado. Tome la función de costos 100*X 1 + 200*X 2. Si el nivel de aspiración establece que los costos no deben sobrepasar de 5,000. Se tiene la siguiente transformación: 100*X 1 + 200*X 2 5,000 100*X 1 + 200*X 2 = 5,000 La obtención de la meta se logrará en la medida que V1 sea pequeño. La técnica encontrará la alternativa que minimice simultáneamente el valor de V1 y el valor de la función Objetivo, y al mismo tiempo tratará que la meta se cumpla lo más posible. III. Meta del tipo =. Si se desea cumplir con una igualdad. Supóngase se desea invertir una cantidad determinada de recurso, con un nivel de aspiración de digamos 30,000 colones. Se realiza la siguiente transformación: 100*X 1 + 50*X 2 = 30,000 100*X 1 + 50*X 2 = 30,000 En este caso, la obtención de la meta se logrará en la medida que U 1 + V1 sea lo más pequeño posible. IV. Meta de intervalo. Supóngase que se tiene un producto que tiene que ser producido, y existe una producción mínima y otra máxima. Para este caso 25 X1 50. Esta meta pueden reescribirse como: X 1 25 y X 1 50 propias del sistema? Estas no sufren ninguna transformación, o sea, no se les agrega ningún tipo de variable de desviación. Recuerde estas restricciones deben ser cumplidas en su totalidad para que una alternativa pueda sean considerada factible y sea evaluada por la Función Objetiva. Caso Burmit. La compañía publicitaria Burmit esta tratando de determinar una programación de comerciales a contratar para la compañía de autos Priceler. Priceler tiene tres metas. Meta 1: Sus comerciales deben de ser vistos por al menos 40 (mil) hombres de alto ingreso económico. (HAI). Meta 2: Sus comerciales deben de ser vistos por al menos 60 (mil) hombres de mediano ingreso económico. (HMI). Meta 3: Sus comerciales deben de ser vistos por al menos 35 (mil) mujeres de alto ingreso económico. (MAI) La compañía Burnit puede comprar 2 tipos de comerciales: el primero durante los juegos de fútbol y el segundo durante los programas de comedias. El máximo desembolso debe ser de $60,000. Los costos de los comerciales y la audiencia potencial de un anuncio de un minuto se muestra en la Tabla # 1. Burnit debe determinar el número de comerciales que deben de ser pasados en los partidos de fútbol y en las comedias a fin de satisfacer las metas de la compañía Priceler. Transformando las desigualdades en forma de Programación por metas se tiene dos metas: X 1 = 25 y X 1 = 50 En la función objetivo se deben minimizarán tanto U1 como V2. Qué sucede con las restricciones rígidas Tipo de comercial Costo HAI HMI MAI ($/spot) (#) (#) (#) Fútbol 10,000 7,000 10,000 5,000 Comedias 6,000 3,000 5,000 4,000 Tabla # 1 65

19 18 17 16 15 Figura #1 Presupuesto HAI HMI HMI 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 66

Variables de Decisión. Sea X 1 = número de comerciales contratados durante los juegos de fútbol. Sea X 2 = número de comerciales contratados durante las comedias. F.O. Min. (o Max) Z = 0*X 1 + 0*X2 (o cualquier otra función objetivo equivalente) 10*X 1 + 6*X 2 60 (Presupuesto en miles) 7*X 1 + 3*X 2 40 (HAI) 10*X 1 + 5*X 2 60 (HMI) 5*X 1 + 4*X 2 35 (MAI) X 1, X 2 0 Este modelo no tiene solución (vea figura #1), por lo que Burnit pide a Priceler identificar para cada meta, un costo (por unidad de faltante) en que se incurriría por no cumplir sus metas. Supóngase que Priceler determina que: - Por cada mil hombres, bajo la meta de HAI que no vean el comercial, un (1) hombre deja de comprar un vehículo y la compañia Priceler pierde $2,000 en concepto de ganancia neta. - Por cada mil hombres, bajo la meta de HMI que no vean el comercial, un (1) hombre deja de comprar un vehículo y la compañia Priceler pierde $1,000 en concepto de ganancia neta. - Por cada cuatro mil mujeres, bajo la meta de MAI que no vean el comercial, una (1) mujer deja de comprar un vehículo y la compañia Priceler pierde $2,000 en concepto de ganancia neta. El siguiente paso es transformar las «metas» en igualdades tomando las siguientes variables de desviación: U i = Cantidad numérica por debajo de la meta i V i = Cantidad numérica por sobre la meta i Metas transformadas: 7*X 1 + 3*X 2 = 40 10*X 1 + 5*X 2 = 60 5*X 1 + 4*X 2 + U 3 - V 3 = 35 Supongamos que Priceler desea minimizar el total de penalización de las pérdidas de sus ventas. Los coeficientes en la función objetivo son llamados «pesos». Cuando las unidades de las diversas metas son homogéneas y medidas en la misma unidad, la meta más importante debe tener el mayor peso de penalización. Burmit debe ahora resolver ahora el siguiente problema de PL F.O. Min. 2*U 1 + 1*U 2 + 0.5*U 3 s.a 7*X 1 + 3*X 2 = 40 10*X 1 + 5*X 2 = 60 5*X 1 + 4*X 2 + U 3 - V 3 = 35 10*X 1 + 6*X 2 60 Todas las variables no-negativas La solución al modelo proporciona los siguientes resultados: X 1 = 6 V 1 = 2 V 3 = 0 U 2 = 0 X 2 = 0 V 2 = 0 U 1 = 0 U 3 = 5 Sustituyendo tenemos que el valor de la función objetivo es: = 2*U 1 + 1*U2 + 0.5*U3 = 2*0 +1*0 + 0.5*5 = 2.5 La alternativa óptima logra cumplir con las primeras dos metas y falla en la tercera, que tiene el menor peso (penalización) Supóngase que se decide modificar la restricción del presupuesto y considerarla como una meta. Si se decide penalizar con 0.30 cada unidad monetaria gastada por encima de la meta del presupuesto, el modelo apropiado de la programación por metas sería: Min. 2*U 1 + 1*U 2 + 0.5*U 3 + 0.3*V 4 s.a. 7*X 1 + 3*X 2 = 40 10*X 1 + 5*X 2 = 60 67

5*X 1 + 4*X 2 + U 3 - V 3 = 35 10*X 1 + 6*X 2 + U 4 - V 4 = 60 Todas las variables no-negativas. La solución a este modelo es: X 2 = 3.333 V 1 =0.3333 V 4 = 3.333 F.O. = 1.0 X 1 = 4.333 68

Priceler, Burmit Programacin por Metas -A OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Variable Value Cost Red. cost Status 1 X1 6.0000 0.0000 0.0000 Basic 2 X2 0.0000 0.0000 0.0000 Basic 3 U1 0.0000 2.0000 2.0000 Lower bound 4 V1 2.0000 0.0000 0.0000 Basic 5 U2 0.0000 1.0000 0.5000 Lower bound 6 V2 0.0000 0.0000 0.5000 Lower bound 7 U3 5.0000 0.5000 0.0000 Basic 8 V3 0.0000 0.0000 0.5000 Lower bound Slack Variables 14 PRESUPUEST 0.0000 0.0000 0.7500 Lower bound Objective Function Value = 2.5 OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Constraint Type RHS Slack Shadow price 1 HAI = 40.0000 0.0000 0.0000 2 HMI = 60.0000 0.0000 0.5000 3 MAI = 35.0000 0.0000 0.5000 4 PRESUPUEST <= 60.0000 0.0000-0.7500 SENSITIVITY ANALYSIS OF COST COEFFICIENTS Current Allowable Allowable Variable Coeff. Minimum Maximum 1 X1 0.0000-0.8333 0.8333 2 X2 0.0000-0.5000 0.5000 3 U1 2.0000 0.0000 Infinity 4 V1 0.0000-0.4167 0.4167 5 U2 1.0000 0.5000 Infinity 6 V2 0.0000-0.5000 Infinity 7 U3 0.5000 0.0000 1.0000 8 V3 0.0000-0.5000 Infinity SENSITIVITY ANALYSIS OF RIGHT-HAND SIDE VALUES Constraint Type Current Allowable Allowable Value Minimum Maximum 1 HAI = 40.0000 -Infinity 42.0000 2 HMI = 60.0000 58.3333 60.0000 3 MAI = 35.0000 30.0000 Infinity 4 PRESUPUEST <= 60.0000 60.0000 63.3333 69

Priceler, Burmit Programacin por Metas -b OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Variable Value Cost Red. cost Status 1 X1 4.3333 0.0000 0.0000 Basic 2 X2 3.3333 0.0000 0.0000 Basic 3 U1 0.0000 2.0000 2.0000 Lower bound 4 V1 0.3333 0.0000 0.0000 Basic 5 U2 0.0000 1.0000 0.8000 Lower bound 6 V2 0.0000 0.0000 0.2000 Lower bound 7 U3 0.0000 0.5000 0.3000 Lower bound 8 V3 0.0000 0.0000 0.2000 Lower bound 9 U4 0.0000 0.0000 0.3000 Lower bound 10 V4 3.3333 0.3000 0.0000 Basic Objective Function Value = 1 Constraint Type RHS Slack Shadow price 1 HAI = 40.0000 0.0000 0.0000 2 HMI = 60.0000 0.0000 0.2000 3 MAI = 35.0000 0.0000 0.2000 4 PRESUPUEST = 60.0000 0.0000-0.3000 SENSITIVITY ANALYSIS OF COST COEFFICIENTS Current Allowable Allowable Variable Coeff. Minimum Maximum 1 X1 0.0000-0.7500 0.6000 2 X2 0.0000-0.3000 0.4500 3 U1 2.0000 0.0000 Infinity 4 V1 0.0000-0.2308 0.6000 5 U2 1.0000 0.2000 Infinity 6 V2 0.0000-0.2000 Infinity 7 U3 0.5000 0.2000 Infinity 8 V3 0.0000-0.2000 Infinity 9 U4 0.0000-0.3000 Infinity 10 V4 0.3000 0.0000 0.7500 SENSITIVITY ANALYSIS OF RIGHT-HAND SIDE VALUES Current Allowable Allowable Constraint Type Value Minimum Maximum 1 HAI = 40.0000 -Infinity 40.3333 2 HMI = 60.0000 59.6154 70.0000 3 MAI = 35.0000 30.0000 36.0000 4 PRESUPUEST = 60.0000 -Infinity 63.3333 70

Cuadro Comparativo Programación lineal - Maximizar/Minimizar una Función Objetivo - Utiliza variables de decisión - Existe un sólo objetivo - Las alternativas factibles satisfacen todas y cada una de las restricciones rígidas del sistema o modelo Programación por metas - Minimizar las desviaciones de las diferentes Metas - Utiliza variables de decisión y de desviación - Existen múltiples objetivos - Las alternativas satisfacen todas las restricciones rígidas del modelo, pero no siempre satisface todas las metas - Se perciben dos (2) tipos de restricciones Ejercicios adicionales 1. La compañia Fumiture Company (TCFC) fabrica mesas y sillas. Escriba las metas para los siguientes objetivos (las variables M y S deben representar, respectivamente, el número de mesas y sillas producidas en un periodo): a. La fabricación de una mesa requiere 10 horas y la de una silla 5 horas. El número total de horas de trabajo disponibles por período es de 3,200. Aunque el tiempo ocioso y las horas extraordinarias de trabajo son opciones aceptables, TCFC desea que el número total de horas de trabajo se aproxime lo más posible a 3,200. b. Se utiliza una pieza de madera para fabricar una mesa y media pieza para una silla; durante un periodo determinado se dispone de 300 piezas de madera y no es posible comprar más. TCFC desea utilizar lo más posible de esta cantidad de madera durante cada período. c. TCFC fabrica mesas sobre pedido y se ha comprometido a proveer 200 mesas en un período dado. Cualquier mesa adicional que produjera tendría que mantenerse en inventario, y la compañía desea minimizar el número de mesas que mantenga en inventario. d. La demanda de sillas es incierta, pero se estima que será de entre 200 y 250. La compañía desea fabricar sillas aproximándose lo más posible a estas cifras. 2. La ciudad de Chicago está estudiando dos proyectos. Cada unidad de proyecto A cuesta $400, crea 20 empleos y reditúa $200 al final del año. Cada unidad del proyecto B cuesta $600, crea 40 empleos y reditúa $200. La persona encargada de la planeación desea alcanzar las siguientes metas: 1. Mantener el total de gastos en $2,400 o menos. 2. Crear 120 empleos por lo menos. 3. Maximizar el rédito obtenido al final del año (en otro ejercicio lograr mas de 1,000) Suponga que las tres metas aparecen en orden descendente de prioridad absoluta. a. Utilice el análisis gráfico ( o un software) para encontrar el número óptimo de unidades que deberá dedicarse a cada proyecto. b. Se han alcanzado las metas? Si no es así, cuál es el faltante para lograrlo? c. Cuáles son el gasto neto y el número de empleos creados? 3. El almacén de discos «Ricky» emplea actualmente cinco empleados a tiempo completo y tres empleados a medio tiempo. La carga de trabajo normal es hasta 40 horas por la semana para los de tiempo completo y de hasta 20 horas por la semana para los empleados de medio tiempo. A cada empleado a tiempo completo se le paga 71

$6. 00 /hora, y éstos pueden vender 5 discos por hora (cada empleado). Si un empleado a tiempo completo trabaja horas extras, estas son pagadas a 10. 00 por hora. A cada empleado a medio tiempo se le paga $3. 00 /hora y puede vender 3 discos por hora (cada empleado). Cada disco le cuesta a Ricky $6. 00, y los vende a $9. 00. Ricky tienen costos fijos semanales de $500. Él ha establecido las metas semanales siguientes, enumeradas en orden de prioridad: Meta 1: Meta 2: Meta 3: Meta 4: Meta: 5 Vender por lo menos 1,600 discos por semana. Tener un beneficio (ganancia) de por lo menos $2,200 por semana. Ya que la fatiga hace declinar su efectividad, los empleados a tiempo completo deben trabajar a lo mas 20 horas extras por semana (cada uno). Para aumentar su sentido de la seguridad de los empleados, se deben reducir el número de horas que cada empleado a tiempo completo le falten para llegar a 40 horas por semana. Para aumentar su sentido de la seguridad en el empleo, se debe reducir el número de las horas que a cada empleado a medio tiempo le falten para llegar a 20 horas por semana. Formule un modelo de programación lineal por metas para determinar cuántas horas por semana deben trabajar cada tipo de empleado. 4. Fruit Computer Company esta lista hacer su compra anual de chips para computadoras. Fruit puede comprar los chips (en lotes de 100) de tres proveedores. Cada chips se clasifica como en términos de calidad como: excelente, bueno, o mediocre. Durante el año que viene la compañia Fruit necesitará 5,000 chips excelentes, 3,000 chips buenos, y 1,000 chips mediocres. Las características de los chips comprados a cada proveedor se demuestran en la tabla #1. La compañia Fruit ha presupuestado $28,000 para la compra de los chips. Si la compañia no obtiene bastantes chips de una determinada calidad, la Tabla #1 Proveedor #1 #2 #3 compañía puede ordenar chips adicionales a través de ordenes especiales a un precio de $10 por chips excelentes. $6 por chips buenos, y $4 por chips mediocres. Fruit determina una penalización de $1 por cada dólar pagada a los proveedores en exceso a la cantidad presupu-estada anual. Formule y resuelva un modelo de Programación Lineal por metas para determinar una estrategia de compra. Característcas de un lote de 100 CHIPS Excelentes Buenos Mediocres Precio 60 20 20 $400 50 35 15 $300 40 20 40 $250 5. «Electrodomésticos Highland» debe determinar cuánto TV s y VCR s deben de estar en stock. Un color TV cuesta $300 y un VCR $200. Un color TV requiere 2 mts 2 de espacio de almacenaje, y un VCR requiere 0.64 mts 2 de espacio de almacenaje. La venta de un color TV proporciona un beneficio de $150, y el de un VCR $100. Electrodomésticos Highland ha fijado las metas siguientes (enumeradas en la orden de la importancia): Meta 1: La máxima erogación para comprar de TV s a color y VCRs. es de $20,000. Meta 2: Los TV s a color y VCRs. no debe utilizar más de 22 mtrs 2 de espacio de almacenaje. Meta 3: Electrodomésticos Highland debe tener una ganancia de por lo menos $11,000 por las ventas de TV s a color y VCRs. Asuma que se ha establecido: - Que el costo de oportunidad es del 20%. - Que el costo por mtr 2 es de $1,000 - Que la utilidad no percibida se costea en 40 ctvos de dolar por dolar no percibido. Formule un modelo de programación lineal de metas para determinarse cuánto TV s a color y VCRs. ordenar (asuma que serán para la nueva temporada, y por tanto los modelos existentes no 72

cuentan). Cómo modificaría usted la formulación del modelo de metas si la meta de compañía fuera utilizar exactamente 22 mtrs 2? 6. Una compañía tiene varias líneas de productos, una línea es la industrial la cual produce dos productos. La información relevante para cada producto se muestra en la tabla #2. Tabla #2 Producto 1 Producto 2 Mano de obra requerida 400 horas 200 horas Contribución marginal $ 4,000 $ 2,000 La compañía tiene la meta de obtener beneficios mayores a $48,000 e incurre en una penalización de $0.25 por cada dólar faltante a esa meta. Se dispone de un total de 3,200 horas/hombre de trabajo. Se incurre en una penalización de $20 por cada hora de tiempo extra (trabajo sobre 3,200 horas) usada, y existe una penalización de $10 por cada hora del trabajo disponible que no es usada. El departamento de Marketing considera que se requieren al menos 7 unidades del producto #1 que deben producirse y por lo menos 10 unidades del producto #2. Por cada unidad (de cualquier producto) que la producción sea inferior a la demanda se penalizará con $500. a. Formule un modelo de PL que se pueda utilizar para reducir al mínimo la penalización del total incurrido por la compañía. obra. Meta 2: Lograr producir la demanda del producto #1. Meta 3: Lograr producir la demanda del producto #2. Meta 4: No utilizar horas extras. Formule y resuelva un modelo de programación lineal de metas. 7. Durante los cuatro trimestres siguientes Wivco debe enfrentar las demandas siguientes para los Gobots (juguete competencia de los transformadores): 13,14, 12 y l5 respectivamente. Los Gobots se puede producir en tiempo regular de trabajo o con trabajo de tiempo extra. La capacidad de producción (en número de gobots) y sus costos de producción se muestran en la tabla #3. Wivco ha fijado las metas siguientes en la orden de la importancia: Meta 1: Lograr la demanda de cada trimestre. Meta 2: El inventario al final de cada trimestre no puede exceder 3 unidades. Meta 3: El costo total de producción debe ser menor de $250. Formule un modelo de programación lineal de metas que se podría utilizar para determinar el plan de fabricación de Wivco durante los cuatro trimestres siguientes. Asuma que al principio del primer trimestre hay 1 gobot en inventario. Asuma un costo por mantener en inventario de $0.50 por trimestre y un costo por no tener en inventario de $0.75 por unidad faltante. b. Suponga que la compañía establece (en orden de la importancia) las metas siguientes: Meta 1: Evitar la sub-utilización de la mano de Tabla #3 Tiempo Normal Tiempo Extra Capacidad Costo/unidad Capacidad Cost/unidad Trimestre l 9 $4 5 $6 Trimestre 2 10 $4 5 $7 Trimestre 3 11 $5 5 $8 Trimestre 4 12 $6 5 $9 Sea Pi la penalización por cada unidad no producida en un trimenstre y sea Pj la penalización por cada uidad mantenida al final de cada trimestre. Así mismo, sea M la penalizaci ønpor cada unidad de mantenida en inventario sobre la meta de 3 como máximo y C el costo por cada dolar arriba de $250.00 73

Ejercicio #1 Solución a. 10M + 5S = 3200 10M + 5S = 3200; b. M + 0.5S = 300 M + 0.5S = 300 (Pero V2 debe tener un valor de cero, puesto que no podemos tener mas de 300) unidades), entonces reescribimos: M + 0.5S = 300 - Si este enfoque no es claro, podemos colocarle a la variable V2 un coeficiente muy alto, cerca de + ) ésto hara que el software asigne un valor de cero (0) a esta variable. c. M + U 3 - V 3 = 200 (Pero U3 debe valer cero, puesto que no podemos tener menos de 200), entonces reescribimos: M - V 3 = 200 - Si este enfoque no es claro, podemos colocarle a la variable U3 un coeficiente muy alto, cerca de + ) ésto hara que el software asigne un valor de cero (0) a esta variable. d. S 200 S + U 4 - V 4 = 200 e. S 250 S + U 5 - V 5 = 250 En la función Objetivo minimizariamos: F.O. MIN U 1 + V 1 + V 3 + U 4 + V 5 (con sus respectivos coeficientes las diferentes variables de decisión) Ejercicio #2 400 A + 600B 2400, se transforma en: 400 A + 600B = 2400 20 A + 40B 120, se transforma en: 20 A + 40B = 120 Respecto a la meta de maximizar el rédito, esta establece maximizarlo, esto se logra a través de «200A + 200B», pero recordemos que la función objetivo es minimizar. Si deseo incluirla en la F.O. deberé transformaresta expresión multiplicando por «-1» la expresión. F.O. MIN P 1 *V 1 + P 2 *U 2-200A - 200B OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Variable Value Cost Red. cost Status 1 A 6.0000-200.0000 0.0000 Basic 2 3 B U1 0.0000 0.0000-200.0000 0.0000 90.0000 0.5500 Lower bound Lower bound 4 V1 0.0000 1.0000 0.4500 Lower bound 5 6 U2 V2 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 Basic Lower bound Objective Function Value = -1200 Constraint Type RHS Slack Shadow price 1 COSTO = 2400.0000 0.0000-0.5500 2 EMPLEOS = 120.0000 0.0000 1.0000 74

Ejercicio #3. Nota: Este modelo también puede ser formulado usando XN TC como el número de horas semanales trabajadas cada uno de los empleado a tiempo completo y XN MT el número de horas semanales trabajadas por cada uno de los empleados a medio tiempo. Sea: XN TC el número de horas semanales trabajadas por todos los empleados a tiempo completo. XE TC el número de horas extras semanales trabajadas por todos los empleados a tiempo completo. XN MT el número de horas semanales trabajadas por todos los empleados a medio tiempo. Se asume que todos los empleados de una misma categoria son igualmente importantes, por tanto todos y cada uno trabajarán el mismo número de horas normales (y horas extras los de tiempo completo). Por tanto, para determinar el número de horas semanales a trabajar por cada empleado, se debe dividir el número de horas globales a trabajar (de cada tipo de empleado) entre el número de empleados. Meta 1. (Número de discos a vender semanalmente) 5*XN TC + 3*XN MT + 5*XE TC >= 1,600 5*XN TC + 3*XN MT + 5*XE TC + U1 - V1 = 1600 Meta 2. (Utilidad semanal) 3*5*XN TC + 3*3*XN MT +3*5*XE TC - 500-6*XN TC - 3*XN MT -10*XE TC >= 2,200 3*5*XN TC + 3*3*XN MT +3*5*XE TC - 500-6*XN TC + 3*XN MT -10*XE TC + U2 - V2 = 2,200 Meta 3. (Horas extra semanal) XE TC =< 100 (max. horas semana 5 empleados) XE TC + U3 - V3 = 100 Meta 4. (Reducir faltante semanal TC) XN TC 40 XN TC + U4 - V4 = 40 Meta 5. (Reducir faltante semanal MT) XN MT 20 XN MT + U5 - V5 = 20 F.O. Min P 1 U 1 +P 2 U 2 +P 3 V 3 +P 4 U 4 + P 5 U 5 Ejercicio #4. Sean: X1: el número de lotes a ser adquiridos del proveedor #1 X2: el número de lotes a ser adquiridos del proveedor #2 X3: el número de lotes a ser adquiridos del proveedor #3 60X 1 + 50X 2 +40X 3 = 5,000 (Chips excelentes) 20X 1 + 35X 2 + 20X 3 = 300 (Chips buenos) 20X 1 + 15X 2 + 40X 3 + U 3 - V 3 = 1,000 (Chips mediocres) 400X 1 + 300X 2 + 250X 3 + U 4 - V 4 = 28,000 (presupuesto) F.O. Min 10U 1 +6U 2 +4U 3 +1V 4 Ejercicio#5 Sean: X1: el número de televisores a ser adquiridos para la temporada. y X2: el número de VCR s a ser adquiridos para la temporada 300X 1 + 200X 2 20,000 (meta 1) 2X 1 + 0.64X 2 22 (meta 2) 150X 1 + 100X 2 11,000 (meta 3) 75

Transformando las metas 300X 1 + 200X 2 = 20,000 (meta 1) 2X 1 + 0.64X 2 = 22 (meta 2) 150X 1 + 100X 2 + U 3 - V 3 = 11,000 (meta 3) F.O. Min P1*V 1 + P1*V 2 +P3 *U 3 Sustituyendo tenemos, F.O. Min 0.2*V 1 + 1,000*V 2 +0.4 *U 3 Ejercicio #6 X1 número de unidades producidas del producto #1 X2 número de unidades producidas del producto #2 I. Programación Lineal Restricción de Utilidad 4000X1 + 2000X2 48,000, se transforma en: 4000X1 + 2000X2 +S1 = 48,000 donde: S1 es la variable de holgura de la restricción) Restricción de Horas en tiempo normal disponibles 400 X1 + 200X2 = 3200, se transforma en: 400 X1 + 200X2 + S2 - T1 = 3200 donde: S1 es la variable de holgura de la restricción y T1 es la variable de excedente) Restricción de número de unidades producto #1 X1 7, se transforma en: X1 + S3 = 7 Restricción de número de unidades producto #2 X2 10, se transforma en: X2 + S4 = 10 F.O. MIN 0.25*S1 + 20*T1 + 10*S2 +500*S3 + 500*S4 II. Programación Meta Meta de Utilidad 4000X1 + 2000X2 >= 48,000, se transforma en: 4000X1 + 2000X2 +U1 -V1 = 48,000 Meta de Horas en tiempo normal disponibles 400 X1 + 200X2 = 3200, se transforma en: 400 X1 + 200X2 + U2 - V2 = 3200 Meta de número de unidades producto #1 X1 7, se transforma en: X1 + U3 - V3 = 7 Meta de número de unidades producto #2 X2 10, se transforma en: X2 + U4 - V4 = 10 F.O. MIN 0.25*U1 + 100*U2 + 20*V2 + 500*U3 + 500*U4 Ejercicio #7 Sea: X IN el número de Gobots fabricados en el trimestre I en tiempo normal. (para I = 1, 2, 3 y 4) X IN el número de Gobots fabricados en el trimestre I en tiempo extra. (para I = 1, 2, 3 y 4) Metas de producción: X 1N + X 1E = (13-1) X 2N + X 2E + V 1 = 14 (porque vienen V 1 unidades del trimestre #1) X 3N + X 3E + V 2 + U 3 - V 3 = 12 (idem) X 4N + X 4E + V 3 + U 4 - V 4 = 15 (idem) Metas de máximo inventario al final de cada trimestre. V 1 + U 5 - V 5 = 3 ( ) V 2 + U 6 - V 6 = 3 ( ) V 3 + U 7 - V 7 = 3 ( ) V 4 + U 8 - V 8 = 3 ( ) Meta de costo 4*X 1N + 4*X 2N + 5*X 3N + 6*X 4N + 6*X 1E + 7*X 2E + 8*X 3E + 9*X 4E + U 9 - V 9 = 250 ( ) 76

Restricciones del sistema X 1N 9 X 1E 5 X 2N 10 X 2E 5 X 3N 11 X 3E 5 X 4N 12 X 4E 5 F.O. MIN...... 77