Capitulo V: Relaciones

Capitulo V: Relaciones Relaciones Binarias: Consideremos dos conjuntos A B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre elementos de A B a todo subconjunto R del producto cartesiano A B, esto es: Re es una relación de A en B R < A B Sea A = {, 2, 3 } B = { 2, 4, 5, 6 } dos conjuntos; entonces las siguientes son relaciones entre A B por ser subconjuntos de A B. R = { (,4), (2,5), (2,6) } A B R 2 = { (2,2), (3,4) } A B R 3 = { (,) A B/ 2 + < 6 } = { (,2), (,4), (2,2) } A B R 4 = { (,) A B/ + = 7 } = { (,6), (2,5), (3,4) } A B Dominio de una Relación: Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la Relación. Se denota Dom(R) se simboliza: R: A B, entonces: Dom(R) = { A / B, (,) R } Es decir: Dom(R) B / (,) R Rango de una Relación: Se denomina rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la Relación. Se denota Ran(a) se simboliza: R: A B, entonces: Ran(R) = { B / A, (,) R } Es decir: Ran(R) A / (,) R Hallar el Dominio Rango de las Relaciones en A, siendo: A = {, 2, 3, 4, 5 } R = { (,) A A / + = 7 } R 2 = { (,) A A / + < 4 } R 3 = { (,) A A / < 2 } ( < 2 > 2 ) R = { (2,5), (3,4), (5,2), (4,3) } A A R 2 = { (,), (,2), (,3), (2,), (2,2), (3,) } A A R 3 = { (2,), (3,), (4,), (4,2), (5,), (5,2) } A A Dom R = { 2, 3, 4, 5 } Ran R = { 2, 3, 4, 5 } Dom R 2 = {, 2, 3 } Ran R 2 = {, 2, 3 } Dom R 3 = { 2, 3, 4 } Ran R 3 = {, 2 } Determinar el Rango Dominio de la siguiente relación: R = { (,) R R / 2 + 2 + 0 75 = 0 } Página 22 de 67

Hallando el dominio: 2 + 2 + 0 75 = 0 2 + 0 = 75-2 2 + 0 + 25 = 75 2 ( + 5 ) 2 = 00 2 Hallando el Rango: + 5 = 00 2 00 2 > 0-2 > -00 2 > 00 < + 0-0 < < 0 = - 5 + 00 2 Df = [ -0, 0 ] 2 = 75 0 2 = + 75 0 2 (Metodo de Completar Cuadrados) 75 0 2 > 0 2 + 0 > 75 ( 2 + 0 + 25 ) 25 > 75 ( + 5 ) 2 > 00 (Metodo de Completar Cuadrados) -0 < + 5 < 0-5 < < 5 Rf = [ -5, 5 ] Propiedades de la Relación Binaria: Las Relaciones Binarias gozan de las siguientes propiedades: a) Propiedad Refleiva: Una relación R en A, diremos que es refleiva si (a,a) R para todo a R esto es: R es refleiva en A a A, (a,a) R b) Propiedad Simétrica: Una relación R en A, diremos que es simétrica si (a,b) R implica que (b,a) R, esto es: R es simétrica (a,b) R (b,a) R c) Propiedad Transitiva: Una relación R en A, diremos que es transitiva si (a,b) R (b,c) R, esto es: R es transitiva (a,b,c) A, [(a,b) R (b,c) R (a,c) R ] d) Propiedad Antisimétrica: Una relación R en A, diremos que es antisimétrica si: a,b A, (a,b) R (b,a) R implica que a = b esto es: R es antisimétrica a,b A [ (a,b) R (b,a) R a = b ] e) Relación de Equivalencia: Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: Refleiva, simétrica transitiva. Si A = {, 2, 3, 4, 5, 6 } las relaciones en A: a) R = { (,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } Es refleiva en A b) R 2 = { (,), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } No es refleiva en A porque falta (2,2) Página 23 de 67

Si A = { 2, 3, 5, 7 }, las relaciones en A: a) R = { (5,3), (2,7), (3,5), (7,2), (2,2) } Es simétrica porque (,) R (,) R b) R 2 = { (5,3), (2,7), (3,5), (2,2) } No es simétrica porque falta (7,2) Si A = {, 3 7, 9 } las relaciones en A: a) R = { (7,), (3,3), (,3) } No es transitiva porque (7,) R (,3) R (7,3) R Sea Z = conjunto de los números enteros la relación R definida sobre Z en R = { (,) Z Z / = 3m, m Z }. Es una relación de equivalencia. ) Refleiva (a,a) a a = 0 = 0.3 a Z 2) Simétrica (a,b) (b,a) a b = 3m b a = 3m - (a - b) = 3m a b = 3m 3) Transitiva (a,b) (b,c) (a,b) Si a b = 3m b c = 3m a c = (a b) + (b c) a c = 3m + 3m a c = 3 (m + m ) a c = 3m a,b,c Z Sea M = {, 2, 3, 4,... 9 } Si R = { (,) / 2 = 5 } M M si m es la suma de todos los elementos del dominio de R n es la suma de los elementos del Rango de R, entonces, hallar el valor de m.n. Si: = = 2 5 = -3 M (,-3) R = 2 = 4 5 = - M (2,-) R = 3 = 6 5 = M (3,) R = 4 = 8 5 = 3 M (4,3) R = 5 = 0 5 = 5 M (5,5) R = 6 = 2 5 = 7 M (6,7) R = 7 = 4 5 = 9 M (7,9) R R = { (3,), (4,3), (5,5), (6,7), (7,9) } m = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 n = + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 m.n = (25) (25) = 625 Sea B = {, 2, 3, 4 } las Relaciones: R = { (,) B B / = } R 2 = { (,) B B / < } R 3 = { (,) B B / < } Hallar n(r 3 ) + n(r 2 ) - n(r ) Página 24 de 67

Luego: R 2 R 3 < < 2 2,3,4 3,2 2 3,4 4,2,3 3 4 R = { (,), (2,2), (3,3), (4,4) } n(r ) = 4 R 2 = { (2,), (3,), (3,2), (4,), (4,2), (4,3) } n(r 2 ) = 6 R 3 = { (,), (,3), (,4), (2,3), (2,4), (3,4) } n(r 3 ) = 6 n(r 3 ) + n(r 2 ) - n(r ) = 6 + 6 4 = 8 Relaciones definidas de R en R:. Producto Cartesiano de R R: El producto cartesiano R R, que e denota por R 2, donde R es el conjunto de números reales, se define como: R 2 = { (,) / R, R } ORDENADA II I b P(a,b) III c a IV ABSCISA 2. Gráfica de una Relación de R en R: Un conjunto G de puntos del plano cartesiano es la gráfica de la relación R si verifican la propiedad: P (a,b) G (a,b) R Ejemplo : Trazar la gráfica de la Relación: R = { (,) R 2 / 3 2 + 6 = 0 } Dom (R ) = R Ran (R ) = R Ejemplo 2: Trazar la gráfica de la Relación: R 2 = { (,) R 2 / 5 3 + 7 = 0, < -2, 4 ] } Dom (R 2 ) = < -2, 4 ] Ran (R 2 ) = < -, 9 ] Página 25 de 67

Ejemplo 3: Trazar la gráfica de la Relación: R 3 = { (,) R 2 / [ -3, 5 >, [ -2, 4 ] } -3 < < 5-2 < < 4 Ejemplo 4: Hallar el dominio, rango trazar la gráfica de la Relación: S = { (,) R 2 / 2 + > 4 } R Ejemplos Diversos. Trazar la gráfica de la relación: R = { (,) R 2 4 + 2 4 = 0 } Completando cuadrados para la variable se tiene: 4 = -( 2 4) = - ( 2 4 + 4) + 4 De donde: 4 ( - ) = - ( 2) 2 Entonces: h = 2 k = V (2,) Para esbozar la gráfica de la relación necesitamos otros dos puntos de la parábola, esto se logra intersectando la curva con el eje X, esto es: Si = 0 + 2 4 = 0 = 0 ó = 4 O (0,0), P (4,0) Por lo tanto: Dom (R ) = R Ran (R ) = <-, ] V P 0 2 4 2. Hallar el dominio, rango trazar la gráfica de la relación: R 2 = { (,) R 2 2 6 4 + 5 = 0 } Completando cuadrados para la variable se tiene: ( 2 6 + 9) = 4-5 + 9 ( 3) 2 = 4 ( + ) h = - k = 3 Vértice de la parábola: V (-,3) Interceptamos la curva con el eje Y Haciendo: = 0 2-6 + 5 = 0 = ó = 5 P (0,) P 2 (0,5) Página 26 de 67

Luego: Dom (R 2 ) = [ -, + >, Ran (R 2 ) = R P 2 V P 3. Hallar el dominio, rango trazar la gráfica de la relación: S 3 = { (,) R 2 2 2 3 < } () Construimos la gráfica de la parábola E(,): 2-2 3 = 3 ( 2-2 + ) = + 4 ( - ) 2 = + 4 De donde: h = - 4 k = V (-4,) Si = 0 2-2 3 = 0 = 3 ó = - A (0,3) B (0,-) (2) 0 (0,0) R 0-2(0) 3 < 0, es cierto Luego, se debe sombrear la región R que contiene al origen que corresponde a la gráfica de S 3. (3) Dom (S 3 ) = <-4,+ >, Ran (S 3 ) = R R 2 R -4 0 B 4. Hallar el dominio, rango trazar la gráfica de la relación: R = { (,) R 2 / + < 3, -2 > } + < 3-3 < + < 3-4 < < 2-2 > -2 > = 2 < - > 3 < Luego, Dom (R ) = [-4,2] Ran (R ) = <-,> < 3, + > 3-4 0 2 Página 27 de 67

5. Hallar el dominio, rango trazar la gráfica de la relación: R 2 = { (,) R 2 / = -2 } 2- Por definición de valor absoluto: - 2 = ( 2), si > 2 -( 2), si < 2 Luego, si > 2 = (-2) = - 2- si < 2 = -(-2) = 2-0 2 - Dom (R 2 ) = R {2}, Ran (R 2 ) = {-,} 6. Trazar la gráfica de la relación: S = { (,) R 2 / + < } Si + < + > - Construimos las gráficas de las rectas: L : + = L 2 : + = - Estas rectas determinan en el plano 3 regiones o semiplanos: R, R 2 R 3. R 3 Vemos cual o cuales de estas regiones satisface la relación: S = { (,) R 2 / + < } (,) R + <, es falso. R S (0,0) R 2 0+0 <, es cierto. R 2 S (,-) R 3 -- <, es falso. R 3 S Luego, se sombrea la región R 2 que es gráfica de S. 7. Trazar la gráfica de la relación: S 2 ={(,) R 2 / + > 2, si + > 0 + < 2, si < 0} () Construamos la gráfica de: + > 2, si > 0 > 0 ( > 0 > 0) ( < 0 < 0) L 2 L R 2 R Si > 0 > 0 + = 2 () < 0 < 0 -- > 2 (2) (2,) R 2 + > 2, es cierto. Luego, R es la gráfica de () (-2,-) R 2 2 + > 2, es cierto. R 2 R Luego, R 2 es la gráfica de (2) Página 28 de 67

(2) Construamos la gráfica de + < 2, si < 0 < 0 ( > 0 < 0) ( < 0 > 0) Si > 0 < 0 - < 2 (3) < 0 > 0 -+ < 2 (4) Considerando las restricciones del dominio rango de (3) (4), deducimos que sus gráficas son las regiones RR 4 3 R 4, respectivamente. Uniendo ambas gráficas obtenemos S 2. 0 R 3 8. Sean las relaciones R = { (,) R 2 / + < 4 } R 2 = { (,) R 2 / 2 + 2 > 8 }. Hallar el área de R R 2. En R, por definición de valor absoluto: Si > 0 > 0 + < 4 () > 0 < 0 < 4 (2) < 0 > 0 - + < 4 (3) < 0 < 0 - < 4 (4) (3) () Vemos que el origen O (0,0) satisface las 4 desigualdades, 4 0 luego, -4 la gráfica de R es el conjunto de puntos dentro del (4) cuadrado de (2) lado 4 2. En R 2 tenemos: 2 + 2 = 8, es una circunferencia de radio r = 8..O (0,0) R 2 0 + 0 > 8, es falso. Luego, la gráfica de R 2 es el conjunto de puntos fuera del círculo 2 + 2 = 8. Por lo tanto: a (R R 2 ) = ( 4 2 ) 2 8π = 8 (4 - π) u 2 4 0-4 9. Hallar el área de intersección de las gráficas de las relaciones definidas por: R = { (,) R 2 - < 2 } R 2 = { (,) R 2 < } En R tenemos: Si > 0, > 0 < 2 () > 0, < 0 + < 2 (2) < 0, > 0 - - < 2 (3) < 0, < 0 - + < 2 (4) En R 2 tenemos: (4) (2) < - < <, R 2 es el conjunto de puntos entre las rectas =, = -, ( = ) ( = 2) = P (3,) 0 (0,0) satisface las 4 desigualdades de R también a R 2. Luego, R R 2 es la zona sombreada en la figura. a (R R 2 ) = 2 (área del trapecio de base 4,6 altura ) Entonces: a (R R 2 ) = 2 ( 4+6 ) () = 0 u 2 2 (3) () P Página 29 de 67

0. Dadas las relaciones: R = { (,) R 2 2 + 2-4 + 2 - < 0 } R 2 = { (,) R 2 / -2 + + > 2 } Hallar el área de la región limitada por R R 2. En R : ( 2-4+4)+( 2 +2+) < +4+ R : (-2) 2 +(+) 2 < 6 Haciendo la traslación: 2 =, + =, se tiene: R : 2 + 2 < 6 C(0,0) R 0 + 0 < 6, es cierto; luego R es el conjunto de puntos dentro de la circunferencia 2 + 2 = 6. En R 2 : + > 2 Si > 0, > 0 + > 2 () > 0, < 0 - > 2 (2) < 0, > 0 - + > 2 (3) < 0, < 0 - - > 2 (4) Se observa que C(0,0) no satisface ninguna de las 4 desigualdades, luego R 2 es el conjunto de puntos fuera del cuadrado PQRS. Entonces: a (R R 2 ) = π r 2 = a (PQRS) = 6π - ½ (44) = 8 (2π-)u 2 Q P C R S Página 30 de 67