EL LENGUAJE MATEMÁTICO Actividad 1 Cuando hablamos o escribimos en Matemáticas lo hacemos en nuestra lengua habitual, el español, pero utilizamos frases con palabras que designan objetos y símbolos que tienen un significado matemático. En la siguiente tabla asocia cada ejemplo de la primera columna con el elemento o elementos correspondientes de la segunda: EJEMPLOS,,, <, =, > Número entero Cuatro es mayor que tres Pentágono 10024 A, B, x, z 2x + y = 5 4>3 Los números naturales no tienen decimales 2 3 2 + 3 = x 3 +,,,,, ELEMENTOS Frases matemáticas Símbolos matemáticos Objetos matemáticos Números Letras Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 1
Actividad 2 Las definiciones son las frases que ponen nombre a los objetos matemáticos. Para que una frase sea una definición el objeto tiene que existir y ser el único que tiene las características que aparecen descritas en la definición. De las siguientes frases indica cuáles son definiciones correctas y cuáles no: a. Un cuadrado es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. b. Se llama centro de un cuadrado al punto de corte de sus diagonales. c. Cuando se suman dos números impares resulta un número par. d. El centro de un cuadrilátero es el punto de corte de sus diagonales. e. Un número primo es un número que no tiene divisores, salvo él mismo y la unidad. f. Un triángulo equilátero es un polígono de tres lados iguales. g. El enterón es el número entero más grande que existe. h. La mediatriz de un segmento es una línea recta que pasa por el punto medio del segmento. i. La bisectriz de un ángulo es una línea recta que lo divide en dos partes iguales. j. El 2 es el único número que verifica x+1=3. k. Si a es un número distinto de cero, el número x tal que ax = b se llama cociente de b entre a. Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 2
Actividad 3 Las propiedades son otro tipo de frases matemáticas que tienen una de las dos formas siguientes: "En tal situación, tal hecho es cierto" "En tal situación, si tales cosas son ciertas, entonces tales otras cosas también son ciertas". Esta forma de enunciado es la más frecuente, llamándose hipótesis a lo que va delante de la palabra "entonces" y tesis o conclusión a lo que va detrás. Un ejemplo de la primera forma sería: En todo triángulo, cualquier mediana lo divide en dos triángulos que tienen la misma área. Un ejemplo de la segunda sería: Si un número es par, entonces su cuadrado también es par. Escribe el enunciado de tres propiedades de la forma: Si... (hipótesis), entonces... (tesis). Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 3
Actividad 4 Tenemos un texto y 20 frases. Examina las frases y reconoce cuáles de ellas son hipótesis del texto y cuáles no lo son. "Se dibujan una circunferencia T de centro O, un diámetro EF y dos cuerdas AB y CD perpendiculares a EF, siendo los puntos A, B, C, D, E, F pertenecientes a la circunferencia T y siendo H y K los puntos de corte de las cuerdas con el diámetro. En estas condiciones se cumple que los triángulos ABO y CDO son isósceles y los triángulos EAF, EBF, EKC y BHF son rectángulos". 1) AB es paralela a CD 2) AB es perpendicular a EF 5) ACDB es un trapecio 6) El ángulo EHB es recto 9) EF pasa por O 10) C pertenece a T 13) K es el punto medio de CD 17) O es el punto medio de EF 14) D pertenece a T 18) El ángulo EOF es de 180º 3) O es el centro de T 4) A pertenece a T 7) EF es un diámetro de T 11) EB es una cuerda de T 15) EF es la mediatriz de AB 19) CD es una cuerda de T 8) B pertenece a T 12) E pertenece a T 16) CD es perpendicular a EF 20) F pertenece a T Actividad 5 Las dos figuras siguientes representan las hipótesis y la conclusión de un enunciado: HIPÓTESIS ----------------------------- CONCLUSIÓN Escribe el enunciado matemático usando alguna de las formas descritas en la Actividad 3. Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 4
Actividad 6 El enunciado recíproco de otro es el que se obtiene intercambiando la Hipótesis y la Tesis. Si tenemos el enunciado: el enunciado recíproco sería: Si H, entonces T Si T, entonces H. Si un enunciado es verdadero, su recíproco no es necesariamente verdadero; por ejemplo, el enunciado "si dos rectas son perpendiculares, entonces son secantes" es verdadero, pero el recíproco, que es "si dos rectas son secantes, entonces son perpendiculares", es falso. Analiza si los enunciados recíprocos de los siguientes son verdaderos o falsos: a. Si un polígono es un cuadrado, entonces también es un rectángulo. b. Si un número es par, entonces su cuadrado también es par. c. Si un número es múltiplo de 4, entonces también es múltiplo de 2. d. Si el doble de un número es x, entonces el número es x/2. Si un enunciado y su recíproco son los dos verdaderos, es decir, entonces se dice que "Si H, entonces T" es verdadero y "Si T, entonces H" es verdadero H y T son equivalentes o que H es equivalente a T SÍMBOLOS Los símbolos, y se utilizan para escribir enunciados de forma simplificada: "Si H, entonces T" se escribe H T. "Si T, entonces H" se escribe T H o H T. Si H y T son equivalentes se escribe H T. Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 5
Actividad 7 En los enunciados siguientes, analiza en cada caso los dos términos y escribe lo más adecuado: "si entonces " (atención al orden en se leen) o " es equivalente a " Símbolo a. x y = 0 x =0 ó y =0 b. x 2 = 1 x = 1 c. 2x 2 = 0 x =1 d. x > 3 x 2 > 9 e. x < 3 x 2 < 9 f. (x 2) 2 =0 x = 2 g. x y = 4 x = 2, y = 2 h. x = 2 (x-2)(x+1)=0 i. El número n es par El número n es divisible entre 2. j. El número n es impar El número n es primo y distinto de 2. k. El número n acaba en cero El número n es divisible entre 10. l. El paralelogramo P tiene sus diagonales perpendiculares El paralelogramo P es un cuadrado. Actividad 8 Un axioma es una frase matemática que todo el mundo admite como verdadera. Por lo tanto, se considera verdadera y no se tiene que demostrar que lo es. Los axiomas son las verdades elementales o verdades básicas. Por ejemplo: Por dos puntos distintos sólo pasa una recta. Dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí. Por un punto pasan infinitas rectas. Todo número natural tiene un siguiente. Escribe algunas frases que tú creas que son axiomas en Matemáticas. Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 6
LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS Una frase matemática puede ser verdadera o falsa. Para que una frase sea una propiedad matemática necesitamos estar seguros de su veracidad. Actividad 9 Analiza las frases siguientes y di si son verdaderas o falsas: a. Se cumple que 6+4 = 10. b. Se cumple que 5+9 = 13. c. Si a = b, entonces 2ª = 2b. d. Si a = b, entonces a + 1 = b + 1. e. Si a = b, entonces a 2 = b 2. f. Si a es un número par, entonces a + 1 es impar. g. Si a es un número impar, entonces a + 2 es un par h. Si tenemos un cuadrado, entonces los ángulos interiores suman 180º. i. Si a<b, entonces a+c < b+c. j. Si a<b, entonces a c < b c k. Si a + b = 8, con a y b números naturales, entonces a = 4 y b = 4. l. La sustracción de números cumple la propiedad conmutativa. El proceso por el que nos aseguramos de que una propiedad es verdadera se llama DEMOSTRACIÓN. Hacer una demostración es escribir una serie de frases matemáticas encadenadas, partiendo de las definiciones, hipótesis y propiedades conocidas hasta llegar a la conclusión. Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 7
Actividad 10 Las propiedades matemáticas no siempre son evidentes por tanto, hay que demostrarlas para ver si son ciertas o no. Por ejemplo: El cuadrado de un número nunca acaba en 2. El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura. El Teorema de Pitágoras. n( n + 1) 1+ 2 + 3 + L + n =. 2 Algunas propiedades, por su propia trascendencia o por la relevancia del matemático que las enunció o las demostró, les llamamos Teoremas. Escribe algunas frases que tú creas que son teoremas de Matemáticas. CONVENIOS MATEMÁTICOS Ejemplos Cuando se dice: en un triángulo la suma de los ángulos es 180º, queremos decir que en todos los triángulos la suma de los ángulos es 180º Cuando se dice: existe un número x que cumple uno que lo cumple. ( x x 4 = 1) x 4 = 1, queremos decir que al menos hay Cuando se dice: existe un único número entero x que cumple 3 que existe uno y sólo uno que lo cumple. (!x entero x = 1) Cuando decimos: A y B queremos decir "los dos a la vez". x 3 = 1, queremos decir Cuando decimos: A o B queremos decir "o bien A, o bien B, o los dos a la vez". Cuidado, porque en la vida cotidiana, a veces, no es así! Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 8
Actividad 11 Analiza la verdad o falsedad de las siguientes frases. Sustituye las proposiciones falsas por expresiones correctas según el cuadro anterior. a. El 2 o el 3 son números pares. b. El 2 y el 3 son números pares. c. Si restamos entre sí dos números, se obtiene como resultado 3. d. Existe un único número negativo que es cuadrado perfecto. e. Todo número se puede descomponer como suma de otros dos diferentes de cero. f. Existe un único múltiplo de 3 mayor que 10 y menor que 100. g. Todos los números naturales son pares o impares. h. Existe un número que es mayor que cualquier otro. i. Algunos hexágonos son regulares. j. Todos los hexágonos con los lados iguales son regulares. k. Algunos abuelos no tienen nietos. l. Si dos personas son primos, entonces tienen algunos abuelos comunes. m. Si dos números son primos, entonces tienen múltiplos comunes. n. Entre dos números diferentes siempre hay otro número. o. Existe un único número x tal que a.x = 0 para cualquier número a. p. Si a y b son números que cumplen a.b. = 0, entonces a = 0 y b = 0. q. No existe ningún número x que cumpla la igualdad x x = x + x r. Existe un único número natural x que verifica: x x = x x s. Los cuadriláteros son polígonos regulares. t. Existe un número natural n verificando n + n = n.n u. La ecuación x 2 2x = 0 tiene dos soluciones distintas. v. Cuanto mayor sea el exponente n, menor es el resultado de hacer n 1. 2 Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 9
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Actividad 12 DEMOSTRACIÓN DIRECTA La demostración directa consiste en demostrar que proposiciones hasta llegar a B. A B partiendo de A y deduciendo Ejemplos de propiedades para demostrar de forma directa. a. Demuestra que el cuadrado de un número par es también un número par. 2 Se trata de probar que si n es un número par, entonces n también es par. Si probamos con el 2, con el 4 o con el 6, vemos que sus cuadrados, 4, 16 y 36 son pares. Pero esto no vale porque tenemos que probarlo para todos los números pares. Prueba a hacer la demostración directa. b. En el conjunto de los números enteros, demuestra que si m y n son múltiplos de p, entonces m+n y m-n también son múltiplos de p. c. Demuestra que si ABCD es un rombo, entonces sus diagonales, AC y BD, son perpendiculares. d. Una estrategia para encontrar una demostración directa consiste en proceder marcha atrás, más o menos como sigue. Como antes, quieres probar que A B. Te preguntas (siempre con un ojo puesto en A) qué proposiciones implican B. Encuentras que P B; no es lo que buscas, pero tal vez P está más cerca de A. Te preguntas a continuación cómo podrías llegar a P. Encuentras que Q P. Tal vez ahora ya eres capaz de ver que A Q. Si fuera así, ahora ya podrías construir la demostración directa A Q P B. 1 Demuestra que si x>0, entonces x + 2. (Intenta encontrar una expresión de la que x puedas deducir lo que quieres probar). Si x e y son números reales positivos, prueba que 2 x + y xy 1 1 2 + x y Estos tres números se llaman, respectivamente, media armónica, media geométrica y media aritmética de x e y. (Como antes, intenta encontrar expresiones más sencillas, de las que puedan obtenerse las que se piden). Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 10
Actividad 13 DEMOSTRACIÓN POR CONTRAPOSICIÓN En ocasiones, para conseguir demostrar la proposición A B, resulta más sencillo demostrar la proposición no B no A, que es el enunciado contrarrecíproco del anterior. Un enunciado y su contrarrecíproco tienen la propiedad de ser equivalentes, es decir, si uno es verdadero, también lo es el otro y si el primero es falso también es falso el segundo. Demuestra por contraposición las siguientes propiedades: p + q a. Si p y q son números reales positivos tales que pq, entonces p q. 2 2 b. Si n es un entero y n es par, entonces n es par. (Supones que n es impar). c. Si en un cuadrilátero no hay ningún ángulo obtuso, dicho cuadrilátero es un rectángulo. Actividad 14 DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO Una demostración por reducción al absurdo consiste en lo siguiente: quieres demostrar que A B y para ello demuestras que, suponiendo que son ciertas A y (no B), se llega a una contradicción. Entonces resulta que la suposición (no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera. Se llega a una contradicción cuando se verifican a la vez dos enunciados, uno afirmando algo y el otro negándolo (P y no P). Por ejemplo, existe una recta r que pasa por el punto A y el punto A no pertenece a la recta r. 2 a. Demuestra que para todo x R se cumple que x + 1 2x. b. Si n es un número natural mayor que 2, demuestra que no hay ningún número natural m tal que n + m = n m. (Supones que existe el tal m y lo despejas de la ecuación dada). c. Demuestra que hay una cantidad infinita de números primos. Supón que hay un número finito, n, de números primos; entonces los puedes escribir todos: a 1, a2, a3, L, a n. Si consideras ahora el número p = a1 a2 a3 K an + 1, cómo es p, primo o compuesto? d. Prueba que 2 es un número irracional o, lo que es lo mismo, no es racional (no puede escribirse en forma de fracción). Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 11
Actividad 15 DEMOSTRACCIÓN POR INDUCCIÓN La inducción es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3,..) cumplen una cierta propiedad. Consta de dos pasos: 1. Primero se demuestra que el 1 cumple la propiedad. 2. A continuación se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n y se demuestra que también lo es para el número siguiente, el n + 1. Si se consigue probar estos dos pasos, como se cumple para 1, se cumple para 2; como se cumple para 2, se cumple para 3; y así se demuestra que la propiedad la cumplen todos los números naturales. El método de inducción es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista. Es también muy potente y muy intuitivo y puede aplicarse a una gran variedad de problemas. Demuestra por este método las propiedades siguientes: n a. Para todo número n 1, se cumple 6 acaba en 6. b. n( n + 1) 1+ 2 + 3 + L + n =. 2 Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 12
Actividad 16 CONJETURAS A veces, se nos pide que obtengamos un resultado y que lo demostremos. Lo primero que tenemos que hacer es averiguar cuál es el resultado que nos piden y, para ello, podemos comenzar probando con casos concretos sencillos. Vemos si existe alguna regularidad que nos lleve al caso general. Entonces nos aventuramos a enunciar el resultado. Esto es hacer una conjetura. Por supuesto, tendremos siempre que demostrar que la conjetura obtenida es realmente cierta. Ejemplo.- Dentro de un saco tenemos figuras geométricas que hemos construido respetando las siguientes reglas: R1. La figura está en el saco. R2. A partir de podemos construir todas las figuras del saco, siguiendo las siguientes instrucciones: I1. Si una figura está en el saco, entonces si añadimos un cuadradito a la derecha de la fila (horizontal) más baja, la figura resultante también está en el saco. I2. Si una figura está en el saco, entonces si añadimos un cuadradito encima de la columna (vertical) más a la derecha, la figura resultante también está en el saco. Tenemos el siguiente elemento del saco: a. Averigua cuántas figuras diferentes podríamos construir añadiéndole a la anterior el cuadradito suplementario siguiente: Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 13
b. De las figuras dibujadas más abajo, cuáles son del saco y cuáles no?: c. Busca una regla que te permita descubrir inmediatamente si una figura es de las pertenecientes al saco o no. d. Dibuja todas las figuras del saco que estén compuestas de 4 cuadrados. Cuántas hay? e. Haz lo mismo para las figuras de 5 cuadrados. Cuántas hay? f. Busca una regla que te permita calcular el número de figuras del saco compuestas por un número dado "n" de cuadrados (esto es hacer una conjetura). g. Una vez encontrada la fórmula, trata de demostrarla. Concha García, José Mª Chacón, Antonio Aranda. Hoja 14