UNIDAD 0 Introducción a la Programación Lineal. Modelo de Programación Lineal con dos variables Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks) Reddy Mikks produce pinturas para interiores y eteriores, M y M. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema Producto Componente Materia prima, M Materia prima, M Utilidad por toneladas (miles de $) Pinturas para Pinturas para eteriores interiores 6 4 5 4 Disponibilidad diaria máima (toneladas) 4 6 Una encuesta de mercado indica que: la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que tonelada más que la pintura para eteriores. También, que la demanda máima diaria de pintura para interiores es de toneladas. Reddy desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para eteriores y para interiores que maimice la utilidad diaria total.
El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos: Las variables de decisión que se trata de determinar El objetivo (la meta) que se trata de optimizar Las restricciones que se deben satisfacer Definimos las variables: =toneladas producidas diariamente, de pintura para eteriores =toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se epresa así: Maimizar Z=5 +4 A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda: (uso de la materia prima para ambas pinturas)=(disponibilidad máima de materia prima) Según los datos del problema: Uso de la materia prima M, por día = 6 +4 toneladas Uso de la materia prima M, por día = + toneladas Ya que la disponibilidad de las materias primas M y M se limita a 4 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se epresan: 6 +4 4 (materia prima M) + 6 (materia prima M)
La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y eteriores, -, no debe ser mayor que tonelada, y eso se traduce en: -. La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máima diaria de pintura para interiores se limita a toneladas, y eso se traduce como:. Una restricción implícita (o que se sobreentiende ) es que las variables y no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad: 0 y 0. El modelo de Reddy Mikks completo es: Maimizar: Z = 5 + 4 Sujeto a: 6 + 4 + + 4 6, 0
EJEMPLOS INICIALES DE PROGRAMACION LINEAL. Una firma industrial elabora dos productos, en las cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que deba fabricarse, con el fin de maimizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación. O sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto Componente A B C D Beneficios US$Unidad P P 4 Disponibilidad (kilogramos) 5 000 0 000 000 0 000 Solución
= Nº de Unidades de Producto P = Nº de Unidades de Producto P Dado que y pueden tomar distintos valores reciben el nombre de "variables". Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de transformación se tiene: Si en una unidad del Producto P entra Kg. Del componente A, en unidades de P entrarán. [ ] Kg de componente Unidad de P ( Unidades de P ) y para el producto P : [ ] Kg de componente Unidad de P ( Unidades de P ) Dado que la restricción impuesta dice que la disponibilidad del componente A es de 5 000 Kg es evidente que la suma de las epresiones anteriores deberá ser menor, a lo sumo igual a 5 000. Es decir 5 000 Kg constituye el máimo disponible de la componente A. Entonces eliminando las unidades de medida, se epresan en forma matemática de la siguiente forma: + 5000 Aplicando el mismo análisis a los componentes B, C, y D, se tendrán las siguientes inecuaciones:
+ + + 0 000 000 0 000 Ahora bien, si el producto P genera un beneficio de US$4 por unidad, unidades producirá un beneficio de US$ 4 y para el producto P, serán soles de beneficio. El beneficio total puede epresarse entonces como suma de los beneficios que deja cada producto. Entonces: Z = 4 + Pero lo que nosotros queremos es que este beneficio no sólo sea grande, sino que sea el mayor de todos; en una palabra, que sea máimo. Entonces el programa lineal correspondiente es: Sujeto a: Z = 4 + + + + + 5 000 0 000 000 0 000, 0. La Compañía "PROLANSA" produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta US$,00 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta US$,50. un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento Nº y tres horas en el departamento Nº, mientras que un
tornillo requiere cuatro horas en el departamento Nº y dos horas en el departamento Nº. El jornal por hora en cada departamento es de US$,00. Si ambos productos se venden a US$8,00, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 60 y 80 respectivamente, epresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maimicen las utilidades. Solución = Nº de tornillos/semana = Nº de clavos/semana Utilidad = venta - costo Costo de los tornillos = 6 + US$US$ /Unid. = US$ Unid + US$ /Unid. = US$4 /Unid. = US$4 /Unid. Utilidad = 8-4 = US$4 /Unid. Costo de los clavos = 5 +,5 = US$,5 /Unid. = US$,5 /Unid. Utilidad = 8,5 = US$5,50 /Unid. Por lo tanto el programa lineal es: Sujeto a: Ma Z = 4 + 5, 50 4 + +, 60 80 0
. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto, y usa dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se tienen disponibles 000 y 000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por unidad de los modelos son: MATERIA PRIMA A B REQUISITOS POR UNIDAD DE MODELO DADA I II III 5 4 7 El tiempo de mano de obra por cada unidad del modelo I es dos veces el modelo II y tres veces el modelo III. La fuerza laboral completa de la fábrica pudo producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. Una encuesta de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 00, 50 y 50 unidades respectivamente. Sin embargo, las relaciones del número de unidades producidas deben ser iguales a : : 5. Supongamos que los beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 0, 0 y 50 unidades monetarias. Formule el problema como un modelo de Programación lineal a fin de determinar el número de unidades de cada producto que maimiza el beneficio. Solución = Cantidad de Producción del Modelo I = Cantidad de Producción del Modelo II = Cantidad de Producción del Modelo III Función Objetivo
Ma Z = 0 + Sujeto a: + 0 50 ) Con respecto a Materia Prima 4 + + + 5 + 7 000 000 ) Con respecto a la Demanda Mínima 00 50 50 ) Relación de las unidades producidas =, =, 5 = 5 4) Condición Laboral + + 700 5) Condiciones de no negatividad 0, 0, 0 4. Para una cafetería que trabaja 4 horas se requiere las siguientes meseras: HORAS DEL DIA NÚMERO MÍNIMO DE MESERAS - 6 4
6-0 0-4 4-8 8 - - 8 0 7 4 Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día. El objeto es encontrar el número más pequeño requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule el problema como un modelo de Programación Lineal. Solución = Cantidad de meseras que ingresan en el turno i i =,6 Función Objetivo Sujeto a: Min Z = + + + + 4 + 5 6 Turno : + 4 6 Turno : + 8 Turno : + 0 Turno 4: + 7 4 Turno 5: + 4 5 Turno 6: + 4 5 6 0 i =,, 6 i Turno horas 6 0 4 8 6
4 5 4 6 5 6 5. Considere una Compañía que debe elaborar dos productos en determinado período (un trimestre) la Compañía puede pagar por materiales y mano de obra, con dinero obtenido de dos fuentes: fondos de la compañía (propio) y préstamos. La Compañía enfrenta tres decisiones. a. Cuántas unidades debe producir del producto? b. Cuántas unidades debe producir del producto? c. Cuánto dinero debe obtener prestado para apoyar la producción de los dos modelos? Al tomar estas decisiones la compañía desea Maimizar la ganancia sujeta a las condiciones siguientes: i. Los productos de la compañía disfrutan de un mercado de ventas por lo tanto la empresa puede vender tantas unidades como pueda producir, más aún la cantidad producida no tiene efectos en los
precios del mercado ya que el volumen de producción de la compañía es pequeño con relación al volumen del mercado total. Por lo tanto a la Empresa le gustaría producir tantas unidades como fuera posible dentro de las restricciones financieras y de capacidad de su fábrica, estas restricciones junto con los datos de los costos y precios se dan en tabla adjunta. ii. Los fondos propios de la Compañía disponibles durante el período son US$0 000 iii. Un banco prestará hasta US$0 000 por trimestre a una tasa de interés del 5% por trimestre, si la razón financiera conocida como la Prueba del ácido, de la compañía permanece en una proporción de a como mínimo mientras eiste el adeudo. Recuerda que la prueba del ácido esta dada por la RAZON DE EFECTIVO más cuentas por cobrar a cuentas por pagar. iv. Como se observa en la figura adjunta, los pagos por mano de obra y materia prima se hacen al final del período de producción, por lo tanto el crédito necesario se obtiene en ese momento, los envíos de los productos fabricados, se hacen a crédito al final del período de producción. Finalmente el ingreso por ventas se recibe al final del siguiente período. Producto Precio de Venta Costo de Producción 4 0 8 Horas Disponibles por Trimestre Horas para Producir una Unidad en el Dpto. A B C 0,5 0, 0, 0, 0,4 0, 500 400 00 Solución:
= Unidades del producto = Unidades del producto = Cantidad obtenida por el préstamo Producto P.V. C.P. Horas por Producir 4 0 8 A B C Horas disponibles 500 400 00 i 0,5 0, 0, 0,4 0, 0, ( 4 ) U = 0 U ( ) = 8 U = 0, 05 Ma Z Sujeto a: = 4 0 000 + + 0, 05 0, 0, 0 0,5 + 0, ( 4 + + ) + 0,05 + 0,4 + 0,, + 8, 500 400 00 0 000 + 0 000 0 Fondos de la compañia Préstamo
Prueba ácida = Efectivo + cuenta por cobrar Cuenta por pagar ( 4 + + ) 0 000 + =,5 4 + 0,05 0 000