MATEMÁTICA 5 BÁSICO LOCALIZACIONES, CARACTERIZACIONES Y TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Material elaborado por: Héctor Muñoz Adaptación: Equipo de Matemática Programa Mejor Escuela
1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD En esta unidad se retoma el trabajo con las figuras planas y los cuerpos geométricos ya estudiados (prismas rectos de distintas bases, pirámides rectas de distintas bases, cilindro y cono), de manera que los estudiantes puedan estar en condiciones de caracterizarlos con el propósito de que reconozcan y realicen distintas representaciones de estas figuras y cuerpos geométricos en el plano. Por otro lado se trabaja la ubicación en planos utilizando el sistema de coordenadas para definir la localización de un objeto o la trayectoria de un punto a otro dentro del plano Cartesiano. También en la unidad se trabajan las transformaciones isométricas en el plano, con la finalidad de que los estudiantes muestren su comprensión en la congruencia de figuras de 2D. 2. DURACIÓN APROXIMADA 3 semanas. 3. CONTENIDOS 3.1. Localización de puntos y figuras en el plano Cartesiano 3.2. Transformaciones isométricas 3.3. Triángulos y cuadriláteros 3.4. Prismas, pirámides y cuerpos redondos 4. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Identificar y dibujar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano, dadas sus coordenadas en números naturales. (OA 16) Describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras 3D, y lados de figuras 2D: que son paralelos, que se intersectan, que son perpendiculares. (OA 17) Demostrar que comprende el concepto de congruencia, usando la traslación, la reflexión y la rotación en cuadrículas. (OA 18) Indicadores de evaluación o identifican coordenadas de puntos del primer cuadrante del plano cartesiano o identifican los puntos extremos de trazos dibujados en el primer cuadrante del plano cartesiano o identifican coordenadas de vértices de triángulos y cuadriláteros dibujados en el primer cuadrante del plano cartesiano 2
o dibujan triángulos y cuadriláteros en el primer cuadrante del plano cartesiano, conociendo las coordenadas de sus vértices o identifican aristas y caras paralelas, perpendiculares e intersecciones entre ellas en figuras 3D del entorno o identifican aristas paralelas, perpendiculares e intersecciones entre ellas en figuras 2D del entorno o muestran líneas paralelas, perpendiculares, además de intersecciones entre ellas, en figuras 2D del entorno o identifican aristas y caras que son paralelas, perpendiculares e intersecciones entre ellas, en figuras 2D y 3D en medios impresos y electrónicos o dibujan figuras 2D o figuras 3D que tienen aristas y caras que son paralelas o perpendiculares o describen las caras y aristas de figuras 3D, usando términos como paralelas, perpendiculares, intersecciones o describen lados de figuras 2D, usando términos como paralelas, perpendiculares, intersecciones o Demuestran, por medio de ejemplos, que una figura trasladada, rotada o reflejada no experimenta transformaciones en sus ángulos o Demuestran, por medio de ejemplos, que una figura trasladada, rotada o reflejada no experimenta transformaciones en las medidas de sus lados o explican el concepto de congruencia por medio de ejemplos o identifican en el entorno figuras 2D que no son congruentes o dibujan figuras congruentes y justifican la congruencia en su dibujo 5. HABILIDADES Extraer información del entorno y representarla matemáticamente en diagramas, tablas y gráficos Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información matemática Comprender y evaluar estrategias de resolución de problemas de otros Comunicar de manera escrita y verbal razonamientos matemáticos Documentar el procedimiento para resolver problemas, registrándolo en forma estructurada y comprensible 3
MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE 1. Profundización de contenidos 1.1. Acerca del plano Cartesiano Desde tiempos muy remotos los seres humanos han tenido la necesidad de orientarse espacialmente, confeccionando mapas, planos, cartas geográficas y a relacionar numéricamente puntos en una superficie. Para fijar un objeto o un punto en el espacio o en el plano, se requiere de un sistema de referencia para relacionarlo. El Plano Cartesiano es uno de estos sistemas de referencia. Se construye dibujando dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se intersectan en sus respectivos ceros; éste cruce en el cero se llama origen y a cada una de las rectas se las llama ejes coordenados. La horizontal representa el eje de las ABSCISAS o eje de las equis (X) y la vertical el eje de las ORDENADAS o eje de las yes (Y). La utilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto con sólo dos números. Estos dos números se llaman: coordenadas o par ordenado y el orden es (x, y). Por ejemplo, los puntos A(-5, -3), P(8, 2) y R(2, - 4) están ubicados en el siguiente plano Cartesiano. En esta unidad se trabaja ubicando puntos y determinando las coordenadas de puntos en el I CUADRANTE, de acuerdo a las Bases Curriculares vigentes. 4
RENÉ DESCARTES (1596-1650) Considerado el padre de la filosofía moderna, René Descartes, también llamado Renatus Cartesius, fue un pensador completo, que abordó también el estudio de las ciencias. En física, sin saber que Galileo ya lo había hecho, resolvió el problema de las leyes que rigen el movimiento de caída de los cuerpos. En matemáticas, fue el creador de la geometría analítica, para lo que estableció el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Asimismo, contribuyó a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica. Tras escribir las Reglas para la dirección del espíritu (1628-1629) y El mundo o Tratado de la luz (1633), en el que se incluyó su Tratado del hombre, publicó su obra de mayor relieve, el Discurso del método (1637), que servía de prólogo a la edición conjunta de tres ensayos de índole científica: la Dióptrica, la Geometría y los Meteoros. En 1641 escribió Meditaciones metafísicas, y en 1644, los Principios de la filosofía. Por último, en 1649 se publicó su obra Pasiones del alma. En el sistema de pensamiento de Descartes, la filosofía engloba a todas las ciencias. Representó el conocimiento como un árbol cuyas raíces son la metafísica y cuyo tronco es la física, del que salen tres ramas principales la medicina, la mecánica y la ética de las que derivan todas las otras ciencias. El pensamiento filosófico de Descartes se fundamenta en un método que consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el que construir todo el conocimiento. 1.2. Acerca de la caracterización de figuras 2D y 3D Una figura 2D podrá ser reconocida a partir de caracterizarla en función de los elementos que la conforman. Esto es: por su forma, la cantidad de lados y vértices que tiene, si tiene lados curvos o rectos, la cantidad de lados de la misma medida, la cantidad de ángulos rectos que tiene, si tiene lados paralelos y/o perpendiculares, el tipo de ángulos interiores que posee, también por la cantidad de ejes de simetría que posee, si sus diagonales tienen la misma medida, si sus diagonales son perpendiculares, etc. Por ejemplo: qué figura 2D tiene 4 lados rectos de la misma medida y 2 pares de lados paralelos? (R: el rombo). Lo mismo ocurre con las figuras 3D. Esto es: por la forma de sus caras, si tiene solo caras planas, si tiene caras curvas, por la cantidad de aristas, vértices y caras, si tiene caras paralelas y/o perpendiculares, la cantidad de caras basales que posee, etc. Por ejemplo: tiene 4 caras planas y 4 vértices (R: el tetraedro) 1.3. Acerca de las transformaciones isométricas y la congruencia Una transformación isométrica o isometría de una figura es una aplicación que actúa sobre todos los puntos que la conforman, transportándolos a otro lugar en el mismo plano sin alterar su forma ni su tamaño, es decir, cuando la figura cambia de posición (orientación y sentido). En 5
otras palabras, las isometrías son transformaciones del plano en el plano que conservan la distancia. Así, si dos puntos A y B están a una distancia d(a,b) = d, sus imágenes T(A) = A ; T(B) = B cumplen que su distancia es la misma, o sea, d(a,b ) = d. En toda transformación geométrica es necesario tener presentes tres elementos: La figura original La Transformación u operación que describe el cambio La figura que se obtiene después del cambio La figura que se obtiene después del cambio es la imagen de la figura original a través de la transformación u operación descrita y resultan ser figuras congruentes. Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones o giros, las reflexiones o simetrías axiales (en torno a un eje), las reflexiones o simetrías centrales (en torno a un punto) y las combinaciones de ellas. Estas transformaciones son conocidas también como movimientos en el plano. Traslaciones: Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se hace de acuerdo a una dirección (horizontal, vertical u oblicua), un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo) y una distancia o magnitud de desplazamiento, que corresponde a la distancia que existe entre el posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza., por lo que toda traslación queda definida por un vector llamado vector de traslación. Ejemplo: El triángulo ABC se ha trasladado de acuerdo al vector A B C, hasta el triangulo TODA FIGURA QUE HA SIDO TRASLADADA EN UN PLANO ES CONGRUENTE A LA FIGURA ORIGINAL 6
Rotaciones: Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia que tiene un centro y un ángulo bien determinados, por lo que toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. En una rotación se distinguen tres elementos: El centro de rotación es el punto en torno al cual se efectúa la rotación La magnitud de la rotación, es la medida del ángulo determinado por un punto p cualquiera de la figura original, el centro de rotación (como vértice del ángulo), y el punto imagen p correspondiente en la figura obtenida después de la rotación. El sentido del giro que puede ser positivo (en sentido contrario a como giran las agujas del reloj) o negativo (en el sentido que giran las agujas del reloj). En la imagen, el banderín a sido rotado 90 en sentido positivo en torno al punto O (centro de rotación). TODA FIGURA QUE HA SIDO ROTADA EN UN PLANO ES CONGRUENTE A LA FIGURA ORIGINAL Simetrías: Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría central ó puntual) o respecto de una recta (simetría axial ó Especular). Simetría Axial: Dada una recta fija L del plano, se llama simetría o reflexión axial con respecto a L, a aquella isometría tal que, si P y P son puntos homólogos con respecto a ella, PP es perpendicular a L y, además, el punto medio de PP está en L. Es decir, PL = P L. El P Q R es el reflejo del PQR con respecto a L. L recibe el nombre de eje de simetría. 7
Simetría Central: Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P de modo que P está en la recta OP, a distinto lado con respecto a O, y OP = OP'. El punto O se llama centro de la simetría y P, P puntos correspondientes u homólogos de la simetría. En la imagen, el P Q R es simétrico al PQR con respecto al punto O (Centro de Simetría). TODA FIGURA QUE HA SIDO REFLEJADA A TRAVÉS DE UN EJE O UN PUNTO EN UN PLANO ES CONGRUENTE A LA FIGURA ORIGINAL 8
MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA N 1. ADIVINA EL PUNTO En esta guía, la situación problemática se presenta a través de un juego en parejas, en que uno de los estudiantes dibuja un punto en el plano Cartesiano (sin que el otro lo vea) y el otro, haciendo la menor cantidad de preguntas posibles, descubre las coordenadas del punto dibujado por su compañera(o). Luego invierten roles. Gana quien haya realizado menos preguntas para descubrir las coordenadas. GUÍAS N 2 y 3. IDENTIFICANDO Y REPRESENTANDO PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO La tarea matemática que tienen que realizar los estudiantes en la guía N 2, es determinar las coordenadas de puntos dibujados en el plano Cartesiano, y en la guía N 3, es la tarea inversa. Es decir, dadas las coordenadas, ubican los puntos en el plano Cartesiano. GUÍAS N 4 y 5. DESCUBRIENDO LA FIGURA Y DIBUJANDO FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO Estas dos guías están referidas a la misma tarea matemática. Dadas las coordenadas de los puntos correspondientes a los vértices, ubican esos puntos en plano Cartesiano y luego unen dichos puntos con líneas rectas para formar las figuras. En el caso de la guía N 4 corresponde a una figura 2D cualquiera y en la guía N 5 a polígonos. GUÍA N 6. RESOLVIENDO PROBLEMAS En esta guía, los estudiantes tienen que aplicar los conocimientos relativos identificar puntos y coordenadas de puntos y vértices de figuras, determinación del perímetro de figuras y traslaciones de puntos y figuras en el primer cuadrante del plano Cartesiano. GUÍA N 7. CARACTERIZANDO CUBOS En esta guía los estudiantes caracterizaran cubos, identificando caras paralelas y caras perpendiculares, intersecciones de dos y tres caras. GUÍA N 8. REPRESENTANDO FIGURAS 2D Y 3D POR SUS CARACTERÍSTICAS Los estudiantes dibujan figuras 2D y 3D, dadas algunas de sus características. Los dibujos los realizan sobre tramas cuadradas de puntos. GUÍAS N 9, 10, 11 Y 12. COMPRUEBAN CONGRUENCIAS EN TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS En estas guías, los estudiantes comprobaran la congruencia existente entre una figura y aquella que resulta de aplicar una transformación isométrica, también conocidas como movimientos: traslaciones, rotaciones y reflexiones. Algunas técnicas que podrían surgir de los estudiantes para comprobar la congruencia son: la medición de lados y ángulos y superposición de las figuras. Por tanto, disponga de reglas, transportadores y tijeras por si las requieren. 9