CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 8 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Volumen de prismas rectos. Identificación, interpretación y empleo de mm 3, cm 3 y m 3 como unidades de medida de volumen. Cálculo del volumen de cilindros y de conos. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS - El volumen del prisma recto - El volumen del cilindro y del cono 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 El volumen del prisma recto En años anteriores los estudiantes han conocido procedimientos para determinar perímetros y áreas de distintas figuras geométricas planas. Ahora se estudian procedimientos que permiten calcular el volumen de cuerpos geométricos. El primer aprendizaje esperado se refiere al reconocimiento y empleo de unidades de volumen de uso frecuente. El segundo aprendizaje esperado apunta a la capacidad para aplicar la fórmula que permite calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular a partir de la longitud de sus aristas. Este aprendizaje esperado incluye el adecuado empleo de las unidades de volumen que corresponda en cada caso. APRENDIZAJES ESPERADOS El volumen del prisma recto Interpretan el mm 3, el cm 3 y el m 3 como unidades de volumen. Conocen y aplican una fórmula para calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular o cuadrada, expresando el resultado en la unidad de medida que corresponda. Resuelven problemas relativos al volumen de objetos de forma similar a un prisma recto. El tercer aprendizaje esperado se refiere a la capacidad para aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas que implican cálculos de volúmenes en contextos reales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1
4.2 El cilindro y el cono En este contenido, el primer aprendizaje esperado se refiere a la generalización del procedimiento de cálculo para el volumen del prisma recto de base rectangular de modo de poder aplicarlo al volumen de un cilindro. El segundo aprendizaje esperado se refiere a la aplicación de una fórmula para calcular el volumen de un cono estableciendo relaciones entre el volumen de un cilindro recto y de un cono recto de igual radio y de igual altura que el cilindro. APRENDIZAJES ESPERADOS El cilindro y el cono Conocen y emplean un procedimiento para calcular el volumen de un cilindro. Aplican una fórmula para calcular el volumen de un cono. 5. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO 5.1 Acerca de las unidades de volumen. De acuerdo con el Sistema Internacional de Unidades (SI), las unidades de volumen se construyen como unidades derivadas de las unidades de longitud. En especial, a partir del metro (m) se construye el metro cúbico (m 3 ). Un cubo de 1 m de arista tiene un volumen de 1 m 3. A su vez, un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 cm 3 y un cubo de 1 mm de arista tiene un volumen de 1 mm 3. La equivalencia entre estas unidades de volumen puede establecerse a partir de razonamientos similares a los siguientes. Consideremos un cubo de 1 m de arista. Si expresamos la longitud de la arista en centímetros, tendremos que su volumen sería: V = 100 cm. 100 cm. 100 cm = 10 6 cm 3. Si consideramos un cubo de 1 cm de arista y expresamos la longitud de la arista en milímetros, tendremos que su volumen sería: V = 10 mm. 10 mm. 10 mm = 10 3 mm 3. Como vemos, 1 m 3 = 10 6 cm3 y 1 cm3 = 10 3 mm3. Es importante recalcar estas equivalencias pues algunos estudiantes tienen la tendencia a generalizar las equivalencias entre unidades de longitud a las unidades de área y volumen y creen que 1 metro cúbico debe ser igual a 100 centímetros cúbicos, o que 1 centímetro cúbico debe ser igual a 10 milímetros cúbicos. El litro es también una unidad de volumen. Se define a través de su equivalencia con el metro cúbico: 1 m 3 = 10 3 litros FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2
Según el SI el símbolo de litro es una L mayúscula. Otra unidad de uso frecuente es el mililitro (ml) que equivale a 10-3 L. De acuerdo con esta definición, 1 ml equivale exactamente a 1 cm 3. Hasta hace algún tiempo era frecuente utilizar la abreviatura cc para referirse al centímetro cúbico. Conviene insistir en que el símbolo para el centímetro cúbico de acuerdo con el SI es cm 3. Otro aspecto que debemos tener en cuenta es que el SI no hace distinción entre volumen y "capacidad. Como sabemos, el Sistema Métrico en su forma inicial distinguía estos dos términos y consideraba al metro cúbico y sus derivados como unidades de volumen, en tanto que el litro y sus derivados eran considerados como unidades de capacidad y se referían fundamentalmente a líquidos o gases. El SI desestimó estas diferencias y consideró que el concepto de volumen es aplicable también a lo que anteriormente se conoció como capacidad. De acuerdo con esto, el litro y sus derivados deben ser considerados como unidades de volumen al igual que el metro cúbico y sus derivados. Esta decisión del SI eliminó, asimismo, eventuales confusiones con la capacidad eléctrica que es una magnitud propia de la electricidad y que no tiene ninguna relación con el concepto de volumen ni con lo que el Sistema Métrico denominaba capacidad. 5.2 El volumen del cilindro Anteriormente se ha establecido que el volumen de un prisma recto de base rectangular se puede calcular multiplicando entre sí las longitudes de las tres aristas que parten desde un mismo vértice. Si llamamos a, b y c a la longitud de estas aristas, el volumen V será igual a: V = a b c Esta fórmula puede reinterpretarse si consideramos que el producto a b corresponde al área de una de las caras del prisma y c es la distancia entre esa cara y su cara opuesta. Sabemos que en el prisma recto de base rectangular cualquier par de caras opuestas pueden ser consideradas las bases del prisma. Si consideramos que las caras de lados a y b son las bases del prisma, la arista c representa la distancia entre ambas caras y corresponde, por lo tanto, a la altura del prisma. Si llamamos B al área de la base y h a la altura del prisma, entonces tendremos que: a b = B y V = B h. Esta última relación se puede generalizar ahora a cualquier tipo de prisma recto (de base triangular, de base cuadrada, de base pentagonal, etc.). Y si consideramos el cilindro como un caso límite de prisma recto en que la base es un polígono regular cuyo número de lados tiende a infinito, entonces dicha relación sería también aplicable al cilindro. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3
En el cilindro, las bases son circulares, de modo que su área es igual a πr 2. Se puede introducir este valor en la fórmula. El volumen del cilindro queda así: V = πr 2 h. Sin embargo, desde el punto de vista metodológico, es recomendable mantener la fórmula en su forma general: V = B h. Esta fórmula es simple, fácil de recordar y aplicable a todo prisma recto así como al cilindro. Será también punto de partida para el cálculo del volumen de pirámides y conos. 5.3 El volumen del cono Si comparamos un cilindro con un cono que tiene la misma base y la misma altura, es fácil ver que el volumen del cono es menor que el del cilindro. Es posible demostrar que el volumen del cono es exactamente 1/3 del volumen del cilindro, aunque los estudiantes de este nivel no tienen los conocimientos matemáticos para comprender la demostración. Es necesario, por lo tanto, entregar la fórmula sin demostración. En todo caso, conviene hacer notar la estrecha similitud que existe con la fórmula que permite calcular el volumen de una pirámide. En ambos casos se tendrá: V = B. h 3 En esta fórmula, B es el área de la base y h es la altura del cono o de la pirámide. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO En esta guía se estudia un procedimiento de cálculo del volumen de un prisma recto de base rectangular. Es recomendable que al comenzar la guía se comente el concepto de volumen y se contraste con los conceptos de área y perímetro. Es útil establecer paralelos con el tratamiento que se da al concepto de volumen en el sector de Ciencias Naturales. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) UNIDADES DE LONGITUD, DE ÁREA Y DE VOLUMEN En esta guía se deduce y ejercita la relación que existe entre algunas unidades de área y entre algunas unidades de volumen de uso frecuente. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) OTRA INTERPRETACIÓN PARA LA FÓRMULA DEL VOLUMEN DEL PRISMA RECTO En esta guía se presenta una nueva forma de interpretar la fórmula de cálculo del volumen del prisma recto. Esta nueva fórmula se puede generalizar a prismas rectos cuya base no es un rectángulo y será el punto de partida para establecer una fórmula de cálculo para el volumen de un cilindro. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4
GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) EL VOLUMEN DEL CILINDRO En esta guía se generaliza la fórmula de cálculo del volumen de prismas rectos al caso del cilindro. Esta fórmula se aplica luego a diferentes casos de cilindros o de objetos cuya forma se asemeja a la de un cilindro. GUÍA DE TRABAJO Nº 5(TRABAJO GRUPAL) EL VOLUMEN DEL CONO En esta guía se presenta y aplica una fórmula para calcular el volumen de un cono o de objetos cuya forma se asemeja a la de un cono. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5