ÍNDICE Preliminares. Abstract 9 Símbolos y notaciones 11 Tablas de verdad Leyes lógicas 15 Conceptos preliminares 16 Teoremas preliminares 21 Primera parte. Aritmética elemental. Algoritmo de la división 31 Algoritmo de Euclides 35 Bezout Identidad de Bezout 37 Corolario 37 Cataldi Teorema de Cataldi 39 Observación del Dr. Natalio H. Guersenzvaig 40 Condición unívoca de primalidad 42 Criterios de divisibilidad 43 Diofanto Ecuación Diofántica 49 Corolario: Solución general 49 Ecuación lineal en congruencias 51 Factorización de los naturales 52 Función phi La función φ es multiplicativa 54 Fórmula del Binomio de Newton 56 Fórmula generadora de las ternas pitagóricas 58 Funciones Tau y Sigma. Multiplicatividad 61 Fermat Los números de Fermat son coprimos 63 Fórmula para los números perfectos pares 64 Fibonacci. Término general de la sucesión 67 Lagunas de naturales compuestos 71 Los números π y e son irracionales 72 Los números primos son infinitos 77 Propiedad del mcd y mcm 79 Propiedad de la división entera 80 Pequeño Teorema de Fermat 81 Raíz cuadrada de un número natural 83
Sumatoria de las imágenes de la función φ 87 Teorema de Wilson 89 Teorema Chino del Resto 92 Teorema de Euler Fermat 94 Teorema Fundamental de la Aritmética 96 Teorema de Krönecker 98 Segunda parte. Cálculo diferencial e integral. Barrow Teorema de la integral definida 103 Bolzano Teorema del Valor Medio de Bolzano 104 Cauchy Teorema del Valor Medio generalizado 106 Criterio de convergencia de D Alembert 108 Cauchy 111 Raabe 113 Leibniz 116 Comparación 118 Criterio de la segunda derivada 120 Derivadas 122 Fermat Teorema de los Extremos Relativos 128 Lagrange Teorema del Valor Medio 130 L Hôpital Teorema de L Hôpital 132 Límite de una función polinómica 134 Longitud de una curva 136 Propiedades de las derivadas Linealidad 138 Derivada del producto de funciones 139 Derivada del cociente de funciones 141 Derivada de la composición de funciones 142 Derivada de la potencia de funciones 143 Derivada de la función inversa 143 Propiedades de los límites Unicidad 145 Suma de dos límites 146 Producto de dos límites 147 Límite de la inversa multiplicativa 148
Límite de un logaritmo 148 Potencia de dos límites 148 Corolarios 149 Relación entre la derivada y el crecimiento 151 Relación entre la segunda derivada y la concavidad 153 Rolle Teorema de Rolle 155 Teorema del Sándwich 157 Corolario Infinitésimo por acotada 158 Series Convergencia de la serie geométrica 160 Divergencia de la serie armónica 161 Condición necesaria para la convergencia 161 Radio y entorno de convergencia 162 Sólido de revolución Volumen 167 Sólido de revolución Superficie 168 Suma de una sucesión Aritmética 170 Geométrica 172 Armónica 174 Taylor Fórmula de Taylor y Resto de Lagrange 176 Serie de Taylor 178 Teorema del Valor Medio Integral 180 Teorema Fundamental del Cálculo Integral 182 Teorema de las subsucesiones 184 Toda función derivable es continua 185 Weierstrass Teorema de las funciones acotadas 186 Corolario 186 Tercera parte. Geometría métrica. Arco capaz 191 Brahmagupta Fórmula del área de un cuadrilátero 193 Corolario Área de un cuadrilátero cíclico 194 Ceva Teorema de Ceva 196 Cuadrilátero cíclico 199 Recíproco 200 Herón Fórmula del área de un triángulo 201
Menelao Teorema de Menelao 203 Pick Teorema de Pick 206 Pitágoras Teorema de Pitágoras 212 Recíproco 215 Potencia de un punto 217 Propiedad del baricentro de un triángulo 219 Propiedades de los ángulos en una circunferencia 221 Ptolomeo Teorema de los cuadriláteros cíclicos 223 Recta de Euler 225 Relación entre lados y ángulos de un triángulo 226 Relación entre el volumen del prisma y del tetraedro 228 Suma de ángulos interiores del triángulo 230 Corolario 231 Teorema del Seno 233 Teorema del Coseno 235 Teorema de la Tangente 238 Thales Teorema de Thales 240 Triángulo órtico 246 Varignon Teorema de los puntos medios 248 Cuarta parte. Clásicos. Algoritmo de la división de polinomios 253 Desigualdad triangular 254 Corolario 259 Fibonacci Límite del cociente 260 Gauss Teorema de Gauss 262 Teorema de las clases laterales 264 Bibliografía 265
ABSTRACT El Diccionario de Teoremas es la primera compilación escrita con más de cien teoremas seleccionados por el autor. El lector encontrará el listado de conceptos preliminares, definiciones y los teoremas ordenados alfabéticamente, para facilitar su búsqueda. Entonces la lectura no tiene porqué seguir un orden lineal; los teoremas no están secuenciados sino agrupados en cuatro partes: Aritmética Elemental, Cálculo Diferencial e Integral, Geometría Métrica y un anexo con Teoremas Clásicos. Cada teorema está precedido por el enunciado en lenguaje coloquial, la hipótesis, la tesis, los conocimientos previos, los lemas y corolarios. Además encontrarán una o más demostraciones íntegramente explicadas y desarrolladas, abordadas desde distintos dominios de la matemática, con los comentarios de los especialistas convocados por el autor. El Diccionario de Teoremas es muy útil para estudiantes de Licenciaturas, Maestrías, Doctorados, Profesorados de Matemática y Física, Estudiantes de Ingeniería, Ciencias Económicas y de otras carreras en las que se dicten cursos de Análisis Matemático, Álgebra, Matemática Discreta, Geometría Métrica, Aritmética Elemental y materias afines, así como para profesores y profesionales que necesiten el acceso rápido a un libro de consulta permanente. POR QUÉ DEMOSTRAMOS EN MATEMÁTICA El conocimiento matemático se sustenta en dos modos de comprensión y expresión: uno se realiza de forma directa, que corresponde a la intuición y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva, es decir lógica. Estos modos de conocimiento, aunque de naturaleza distinta, son complementarios e indispensables en la matemática. El primero es creativo y subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo.... Quien sabe repetir una demostración, pero no sabe hacerlo si se cambian las letras o la disposición de los elementos, significa que ha aprendido la demostración de memoria y esto sí no tiene ningún valor. Mejor dicho: tiene un valor altamente negativo, pues significa que, no solamente ignora tal demostración, sino que desconoce lo que es la Matemática y que ha desperdiciado el uso de la memoria con un objetivo inútil y nada educativo. 1 Creo que éste es el mejor argumento. La posibilidad de afirmar algo sin ningún lugar a la duda, sin que dependa del punto de vista, de los gustos, de la cultura, o de la religión es el argumento más poderoso para reconocer la necesidad de la demostración en Matemática. 1 Luis Santaló, 1962
La demostración tal como la consideramos hoy difiere (en su estructura) de lo que se consideraba hace dos mil años; pero la esencia, la idea estructural y sobre todo el propósito sigue siendo el mismo. Según Thales de Mileto, el ser humano puede llegar a comprender la naturaleza por medio de la penetrante luz de la razón. Y qué mejor forma de presentar tal razón, que la de una demostración lógica. En la actualidad no discutimos que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. Sin embargo hace casi trescientos años tratamos de dilucidar si es cierto que todo número par mayor que dos es suma de dos números primos. La principal y más relevante diferencia entre estos enunciados es que de uno existen cientos de demostraciones. El otro, por ahora, sigue sin encontrar una.