Matemáticas Empresariales I. Funciones y concepto de ĺımite

Matemáticas Empresariales I Lección 3 Funciones y concepto de ĺımite Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 22

Concepto de función Función de R n en R m a toda aplicación f : X R m con X R n. Dominio de f = conjunto X. Imagen = conjunto R m / x R n / ȳ = f ( x) Funcion: Relacion entre dos conjuntos con unas propiedades: Conjuntos deben ser numéricos (R n ) Relación debe cumplir que cada elemento del dominio le corresponda un único elemento de la imagen Aviso de Notación Un elemento de R n se denota con una barra superior números reales se les denota sin barra x R Aviso de Notación Espacio inicial o el espacio de salida y al segundo conjunto (donde está la imagen) como el espacio final o el espacio de llegada. M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 22

Tipos de funciones Clasificación según la dimensión de los conjuntos dominio e imagen: 1 Función real de variable real. Este caso se produce cuando n = m = 1 y, entonces f : X R R con y = f (x). Ejemplos de este tipo son y = sen(x), y = x 2. 2 Campos escalares. Este caso se produce cuando n > 1 y m = 1, entonces f : X R n R y y = f ( x) = f (x 1, x 2,, x n ). Ejemplos de este tipo son y = x 2 1 x 2, y = x y ln(z). 3 Campos vectoriales. Este caso se produce cuando n 1 y m > 1, entonces f : X R n R m y ȳ = f ( x) = (y 1, y 2,, y m ) = f (x 1, x 2,, x n ). Ejemplos de este tipo son (y 1, y 2 ) = (x 2 1 x 2, x1 x 2 ), (y 1, y 2, y 3 ) = (x 2, ln(x), 1 x ). Aviso de Notación Aunque Dominio (X R) = En general pondremos f : R n R m en vez de f : X R n R m. M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 22

Algebra de funciones Operaciones que se puede realizar con las funciones: 1 Suma de funciones. Se define de la forma siguiente: Dadas dos funciones f i ( x) y f j ( x) se define la función suma h( x) como h( x) = (f i + f j )( x) = f i ( x) + f j ( x). Propiedades (Asociativa, Neutro, Opuesto y Conmutativa) 2 Producto de un escalar por una función. Se define de la forma siguiente: Dada una función f i ( x) y un escalar k, se define la función producto de un escalar por una función h( x) como h( x) = (k f i )( x) = k f i ( x). Propiedades (Distr. suma de f, Distr. suma de k, Asociativa y Neutro) 3 Composición de funciones Se define de la forma siguiente: Dadas dos funciones f i ( x) y f j ( x) se define la función compuesta h( x) como h( x) = (f i f j )( x) = f i [f j ( x)]. Propiedades (Asociativa, Neutro f (x) = x, NO Conmutativa) M. León Matemáticas Empresariales I 4 / 22

Representacion gráfica de Funciones Función lineal y = ax + b: Función cuadrática y = ax 2 + bx + c M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 22

Representacion gráfica de Funciones 2 función racional y = ax+b cx+d Función Logarítmica y = log a x M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 22

Los logaritmos Definicion: y = log a x x = a y. Propiedades Log a (AB) = Log a (A) + Log a (B) Log a ( A B ) = Log a(a) Log a (B) Log a (A B ) = BLog a (A) Log a (A + B) Log a (A) + Log a (B) M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 22

Representacion gráfica de Funciones 3 función exponencial y = a x Funciones trigonométricas - Seno y = sen(x) M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 22

Representacion gráfica de Funciones 4 Funciones trigonométricas - Coseno y = cos(x) Funciones trigonométricas - Tangente y = tg(x) M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 22

Funciones trigonométricas: Valores Típicos grados 0 30 45 60 90 180 270 360 π π π π 3π radianes 0 6 4 3 2 π 2 2π seno 0 1/2 2/2 3/2 1 0-1 0 coseno 1 3/2 2/2 1/2 0-1 0 1 tangente 0 1/ 3 1 3 0 0 M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 22

Límite de una función: Límite finito Sea la función f : R R, se dice que dicha función tiene por ĺımite l en el punto a y se denota por ĺım x a f (x) = l, si ɛ > 0, existe un δ > 0, tal que para todo x x a < δ entonces f (x) l < ɛ. M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 22

x 1 < ɛ 5 M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 22 Límite de una función: Límite finito - Ejemplo Demuestre, utilizando la definición de ĺımite, que la función f (x) = 5x 2 tiene por ĺımite 3, cuando x tiende a 1. ɛ > 0, existe un δ > 0/ x x a < δ = f (x) l < ɛ x x 1 < δ = f (x) 3 < ɛ Con f (x) = 5x 2 y con l = 3 se tiene que y por lo tanto f (x) 3 = 5x 2 3 = 5x 5 = 5(x 1) f (x) 3 = 5(x 1) < ɛ Por un lado se tiene que x 1 < δ y por otro que 5(x 1) < ɛ o también que

Límite de una función: Límite finito - Ejemplo (cont.) δ = ɛ 5 Esta relación muestra que para cualquier ɛ que se escoja, existe un δ que cumple que si x x 1 < δ entonces f (x) 3 < ɛ Ejemplo: Si ɛ = 0,1 = δ = 0,1/5 = 0,02 Un x 0 / x 0 1 < 0,02 = 1,01 (distancia = 0,01 < 0,02) Con x 0 = 1,01 = f (x 0 ) = 5 1,01 2 = 3,05 y por lo tanto 3,05 3 = 0,05 < 0,1 M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 22

Límite de una función: Límite finito -Ejercicio Demuestre, utilizando la definición de ĺımite, que la función f (x) = x + 1 tiene por ĺımite 2, cuando x tiende a 1. M. León Matemáticas Empresariales I 14 / 22

Límite de una función: Límite infinito en un punto Se dice que el limite de una función en un punto es infinito y se escribe ĺım x a f (x) = si para todo k > 0, existe un δ > 0 tal que para todo x x a < δ se cumple que f (x) > k. M. León Matemáticas Empresariales I 15 / 22

Límite de una función: Límite infinito en un punto - Ejemplo Demostrar que la función f (x) = 1 x tiene ĺımite infinito cuando se acerca al punto a = 0. Para todo k > 0, existe un δ > 0 tal que x x a < δ se cumple que f (x) > k x x 0 < δ = 1 x > k Por un lado, sin necesidad de operar se obtiene que x < δ y por otro que 1 x > k o también que x < 1 k comparando ambas ecuaciones: δ = 1 k Relación que permite obtener δ para cada valor de k. M. León Matemáticas Empresariales I 16 / 22

Límite de una función: Límite infinito en un punto - Ejemplo (cont.) Ejemplo, si k = 10 = δ = 1 k = 0,1 Un x 0 / x 0 0 < 0,01 = 0,05 (distancia = 0,05 < 0,01) Con x 0 = 0,05 = f (x 0 ) = f (0,05) = 1 0,05 = 20 y por lo tanto f (x 0 ) = 20 > 10 = k M. León Matemáticas Empresariales I 17 / 22

Límite de una función: Límite infinito en un punto - Ejercicio Demuestre, utilizando la definición de ĺımite, que la función f (x) = 2 x 2 tiene por ĺımite, cuando x tiende a 2. M. León Matemáticas Empresariales I 18 / 22

Límite de una función: Límite finito en el infinito Se dice que la función tiene por ĺımite el valor L en el infinito, y se escribe ĺım x f (x) = L, si, para todo ɛ, existe un x 0 tal que para todo x > x 0 se cumple que f (x) L ɛ. M. León Matemáticas Empresariales I 19 / 22

Límite de una función: Límite finito en el infinito - Ejemplo Demostrar que la función f (x) = 1 x tiene ĺımite L = 0 en el infinito. Para todo ɛ existe un x 0 tal que f (x) L ɛ para todo x > x 0 1 x 0 ɛ Operando se obtiene que o también 1 x < ɛ x > 1 ɛ relación entre x y ɛ. M. León Matemáticas Empresariales I 20 / 22

Límite de una función: Límite finito en el infinito - Ejemplo (cont.) Ejemplo, con ɛ = 0,01, el x debe valer En x = 101 se cumple que x = 1 0,01 = 100 1 f (x) L = f (101) 0 = 0 = 0,099 < 0,01 = ɛ 101 M. León Matemáticas Empresariales I 21 / 22

Límite de una función: Límite finito en el infinito - Ejercicio Demuestre, utilizando la definición de ĺımite, que la función f (x) = 1 x tiene por ĺımite 0, cuando x tiende a. M. León Matemáticas Empresariales I 22 / 22