ESPACIOS VECTORIALES

MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío, cuyos elementos - llamados vectores se pueden sumar entre sí, y multiplicar por escalares (números reales) de tal manera que la suma de dos elementos de V también pertenece a V, el producto de un escalar por un elemento de V también pertenece a V, y se cumplen las siguientes propiedades: EV. Asociatividad Dados u, v, w V, (u + v) + w = u + ( v + w ) EV. Existencia de neutro El elemento 0 (vector nulo) tiene la propiedad 0 + v = v + 0 para todos vector v V EV. Todo vector tiene su opuesto Para todo v V, - v V tiene la propiedad: v + (-v)= v v EV. Conmutatividad Para todo par de vectores u, v V, u + v = v + u EV5. Si c es un escalar y u, v V, entonces c.(u+v) = c.u + c.v EV6. Si a, b son escalares y v V, entonces (a+b).v = a.v + b.v EV7. Si a, b son escalares y v V, entonces (a.b).v= a.(b.v) EV8. Para todo u V,.u = u La existencia del opuesto permite definir la resta de vectores: u + ( -v ) = u - v m n R Ejemplo. Dados los naturales fijos m y n, el conjunto de las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales con las operaciones suma y producto por escalares (números reales) es un espacio vectorial porque tiene todas las propiedades EV a EV8 (citadas en el Capítulo Matrices).

n R de las n-uplas x = Ejemplo. Dado el natural fijo n, el conjunto ( x, x, x,..., x n) de números reales, con la suma definida de la siguiente manera: Dadas dos n-uplas x = ( x, x, x,..., x n) y u = ( u, u, u,..., u n ), x + u = ( x + u, x + u, x + u,..., xn + un), y el producto por un escalar c definido así: c. u = (c. u, c. u, c. u,..., c. u n ), también cumple todas las propiedades EV a EV8 y por lo tanto es un espacio vectorial. En particular para n= y n= los elementos de los espacios vectoriales respectivos R, R (pares y ternas de números reales), se pueden representar gráficamente como segmentos orientados con su extremo inicial en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas (con dos ejes x e y en R, tres ejes x, y, z en R ) y su extremo final en el punto cuyas coordenadas son las componentes de los vectores correspondientes. Existen otros espacios vectoriales, algunos de ellos son: el conjunto de todos los polinomios, el de los polinomios de grado menor o igual que un n fijo, el conjunto de partes de un conjunto, el de funciones reales, fuera del contenido requerido para esta materia. Si se considera un subconjunto U de un espacio vectorial V, éste será un subespacio de V si U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir si U tiene las propiedades dadas en.. con las mismas operaciones definidas en V. No cualquier subconjunto de V es un subespacio de V. Para que lo sea el vector nulo debe estar en él y las operaciones definidas en V deben ser cerradas en ese subconjunto.... Definición. Un conjunto S incluido en un espacio vectorial V es un subespacio (o subespacio vectorial) de V si satisface las siguientes condiciones: () El vector nulo 0 S () Si v y w S entonces v + w también pertenece a S () Si c es cualquier escalar y v cualquier vector de S, entonces c.v S Ejemplo. Dado el conjunto U = { A R ; a = a a + a Probar que U es un subespacio del espacio vectorial R. Hay que probar que U cumple las tres propiedades de la definición... () El vector nulo en R 0 0 es el vector (o la matriz) O = que efectivamente cumple 0 0 las dos condiciones que definen al conjunto U. Por lo tanto O U y queda probada la propiedad () de subespacio: El vector nulo del espacio grande R donde está incluido U también es elemento de U () Sean A, B U, hay que probar que A + B U. A U a = a a + a B U b = b b + b

a + b + b A + B = a b a b + + a a a + b = a b porque A, B U, factorenado el queda ( + a b + b ) + ( a + b )= (a a ) + ( b + b ) + 0 +. + =( a + b ). luego A + B U. () Si c es cualquier escalar y A U, hay que probar que c. A U y ( ) c. a c. a c. A = c. a c. a Como a =a entonces c. a =.c. a c. a + c. a = c. a + a = c.0=0, entonces c. A U. Quedó probado que U cumple las tres propiedades de.., luego U es un subespacio de R. Ejemplo. Probar que el conjunto S = {( x, x, x, x ) ; x x =0 x =5 x es un subespacio del espacio vectorial. () El vector nulo 0 = (0, 0, 0, 0) de R R cumple las condiciones que definen al conjunto S. () Sean u= ( u, u, u, u) y v=( v, v, v, v ) dos vectores pertenecientes a S, hay que probar que el vector u + v S. u u=0 u=5u porque u S y v v =0 v =5 v porque v S u + v=( u + v, u + v, u + v, u + v ) ( u + v ) ( u + v) convenientemente)= u u + v v = (distribuyendo el y agrupando De u=5u, v=5v sumando miembro a miembro se obtiene que u + v=5 u+5v = 5( u+ v) O sea que u + v cumple las condiciones requeridas para pertenecer a S. () Si c es cualquier escalar y v S, hay que probar que c. v S. c. v = (c. v, c. v, c. v, c. v ) c. v c. v = c.( v v ) = c.0 (porque como v S vale que v v ) y de v=5v se obtiene c. v =5.c. v. Luego c. v S Quedaron probadas las tres propiedades, entonces S es un subespacio de R.

Ejemplo. Determinar si T = ( x, x, x ) ; x. x es o no un subespacio de R, justificando la respuesta. { () El vector nulo de R es (0,0,0) y 0.0=0, luego pertenece a T. () u = (, 5,0) T porque.0=0, y v = (0,, 9) T porque 0.9=0, sin embargo en la suma u + v = (, -, 9) resulta.9 0. Tomando dos vectores de T su suma no está en T, entonces T no es un subespacio de Ejemplo. El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones y n n incógnitas, es un subespacio del espacio vectorial R (Ejercicio5). Cumple las tres propiedades de subespacio. Si tal sistema es determinado, el subespacio es el conjunto unitario {(0,0,...,0) el subespacio nulo, que es el menor subespacio posible. R... Combinación lineal. Vectores generadores... Definición. Un vector v de un espacio vectorial V es una combinación lineal de los vectores v, v,..., v V si existen escalares c,c,...,c no necesariamente distintos tales que k k v = c. v + c. v +... + ck. vk = c j. v j j= k 0 8 8 Ejemplo. Dadas las matrices: A, B, D = = = 0 5 0 6 5 7 del espacio vectorial R, la matriz D es una combinación lineal de las matrices A y B porque se puede escribir D = 5. A +. B. Ejemplo. En el espacio R :. ( 8, 8 ) 9. (, - ) = (-9, ), luego ( 9,) es una combinación lineal de los vectores (8, 8) y (,-) ; y (, -) es una combinación lineal de los vectores (, -), (5, ) y (, ) pues (, ) =.(, ) +.(5, ) 6.(, ). Ejemplo. En el espacio vectorial R sean v = (, 8,, ), u = (,,5,), w = (,,,0) y z = (,,8, ). El vector v es combinación lineal de los otros, se puede escribir v = u w z. También es posible escribir v = u w z. Cuando un vector es combinación lineal de otros, ésta no es necesariamente única. Dado un conjunto de vectores no siempre uno de ellos es una combinación lineal de los otros.

Ejemplo. Se quiere saber si el vector (5,6) es combinación lineal de (,) y (,6). Se plantea la igualdad (5,6) = c.(, ) + c.(,6) = (c + c, c + 6c ), ésta conduce al sistema lineal c + c = 5 que resulta incompatible, por lo tanto el vector (5,6) no es c + 6c = 6 combinación lineal de (,) y (,6). En cambio se puede escribir (, 6).(5, 6) +.(, ).... Definición. Si v, v,..., v m son vectores de un espacio vectorial V, el conjunto S de todas las combinaciones lineales de esos vectores, m = ci. vi ; ci es un subespacio de V i= S = u R llamado subespacio generado por los vectores propiedades citadas en... y que S es el menor de todos los subespacios que contienen a los vectores v, v,..., v m ). A los vectores v, v,..., v m se los llama generadores de S. Se suele indicar al subespacio S = v, v,..., v m. v, v,..., v m. (Se puede probar que S cumple las v, v,..., v m = V, se v, v,..., v m generan V o que constituyen un conjunto generador de V. En ese caso v, v,..., v m. En caso que un conjunto de vectores genere todo el espacio V, es decir dice que todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de los Ejemplo. En R consideramos el siguiente subespacio generado S S= (,0,0),(0,,0) = u=c (,0,0) + c (0,,0); c, c R = (c,c,0); c, c R { Ejemplo. Los vectores (, 0) y (0, ) generan el espacio R. (,0),(0,) = c (,0) + c (0,); c, c R = c (,0) + c (0,); c, c R = { { R R { = (c,c ); c, c que es todo el espacio. {.. Dependencia e Independencia lineal de vectores.... k Un conjunto de vectores v, v,..., v V es linealmente dependiente si se verifica una de las dos condiciones siguientes (I) o (II) que son equivalentes entre sí: (I) Alguno de los vectores v, v,..., v k es una combinación lineal de los demás. (II) Existen escalares c,c,...,c k que no son todos nulos tales que c. v + c. v +... + c. v = c. v k k j j j= k 5

Ejemplos: El vector (, 6) es combinación lineal del vector (, ) porque (, 6)=.(, ); en forma equivalente:.(, ) + (-).(, 6) = (0, 0), entonces los vectores (, ) y (, 6) son linealmente dependientes. En cada uno de los Ejemplos,, y de.. los vectores dados son linealmente dependientes.... Definición. Los vectores v, v,..., v k de un espacio vectorial V son linealmente independientes si la relación c. v + c. v +... + ck. v = c j. v j se cumple sólo si c, c,..., ck. k k j= c k k Observación: Si los escalares c j, j =,..., k, son todos ceros, la relación c. v +. v +... + c. v se cumple siempre. La Definición.. dice que los vectores son linealmente independientes si se cumple únicamente en ese caso. Si la relación c. v + c. v +... + ck. vk =0 se cumple también cuando algún escalar es distinto de 0, de acuerdo con.., los vectores son linealmente dependientes. En los ejemplos que siguen se muestran dos métodos distintos para establecer si dado un conjunto de vectores, estos son linealmente dependientes o independientes. Ejemplo. Determinar si los vectores u = (,.0), v = (,0,), w = (0,,) de linealmente independientes. R, son o no c Sea c. u+. v + c. w = (0,0,0) = ( c c, c + c, c + c) = (0,0,0) Se obtiene el siguiente sistema homogéneo : c c c + c cuya única solución es la trivial c = c = c. c + c Conclusión: los tres vectores dados son linealmente independientes. Otro método equivalente es el siguiente: Formar la matriz (sea cuadrada o rectangular) cuyas filas son los vectores dados, llevarla a la forma escalonada mediante operaciones elementales. Si la escalonada no tiene filas nulas, entonces los vectores son linealmente independientes. Si se obtiene una fila nula los vectores son dependientes. Ejemplo. Determinar si los vectores u = (,.), v = (,, ), w = (7,,) de linealmente independientes. R, son o no F F 0 5 F F 0 5 F 7F 7 0 0 6 0 0 0 Como al escalonar se obtuvo una fila nula los tres vectores son dependientes. 6

.. Base y dimensión.... Definición. Sean v, v,..., v n vectores no nulos de un espacio vectorial V. El conjunto { v, v,..., v n es una base de V, y a la vez se dice que V tiene dimensión n, si cumple las siguientes condiciones: () v, v,..., v n son linealmente independientes. () v, v,..., v n generan V. { { { Ejemplo. (,0),(0,), (,0,0),(0,,0),(0,0,), (,0,0,0),(0,,0,0),(0,0,,0),(0,0,0,) son bases (llamadas canónicas) de, respectivamente, los espacios R, R y R. Las dimensiones de estos espacios son: dim R =, dim R = y dim R = 0 0 0 0 0 0,,, es la base canónica del espacio 0 0 0 0 0 0 R y dim R =. Ejemplo. Probar que B= {(,0),(,) es una base de R. 0 0 F F entonces los vectores son independientes, se cumple la condición () de la 0 definición de base. x, x un vector cualquiera de R, hay que ver que se Para ver que se cumple la condición (): Sea ( ) puede escribir como combinación lineal de (,0) y (,). x, x = c (,0) + c (,) = c + c, c entonces x = c + c y x = c, luego c = x c = x x, ( ) ( ) y ( x, x ) ( x x ).(,0) x.(,) = +. (por ejemplo el vector (5,)= (,0)+(,) ) B= {(,0),(,) es una base de R.... Propiedades Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces: La base de V no es única. Todas las bases de V tienen exactamente n elementos. Cualquier subconjunto de V que contenga n+ vectores es linealmente dependiente. Si un conjunto de V tiene n vectores linealmente independientes, entonces es una base de V. Por las propiedades mencionadas se puede afirmar que: ) los vectores u = (,.0), v = (, 0, ), w = (0,,) de R, que son independientes según lo probado en el Ejemplo de.., constituyen una base de R porque su dimensión es. ) los vectores u = (,.0), v = (, 0, ), w = (0,,) y z = (0, 0,5) de R, son linealmente dependientes. 7

) {(,0),(,) es una base de R sólo con probar que son independientes pues ) los vectores u = (,.), v = (,, ), w = (7,,) no forman base de Ejemplo de.. se probó que son linealmente dependientes. dim R =. R pues en el... Un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión n es en sí mismo un espacio vectorial contenido en V, por consiguiente S tiene base y dim S n. Se mostrará a continuación como hallar una base y la dimensión, considerando los subespacios de los Ejemplos y de... Ejemplo. Encontrar una base y la dimensión de U = { A R ; a = a a + a subespacio de R. Por las condiciones dadas a = a y a + a (esta equivale a a = a ), es posible escribir a a a a 0 0 = = a. + a. a, a a a a a 0 0 R (*) 0 0 El conjunto B=, genera U y las matrices son linealmente independientes, 0 0 luego B es una base de U y la dimu=. Con (*) quedó probado que B genera U, la independencia lineal se muestra de inmediato como 0 0 0 0 k k 0 0 sigue: k. + k. = = k = k 0 0 0 0 k k 0 0. Ejemplo. Encontrar una base y la dimensión de S = {( x, x, x, x ) ; x x =0 x =5 x subespacio de R.. De las condiciones x x=0 y x =5x que definen a S, se puede escribir: ( x, x, x, x ) = ( x, x, 5 x, x) = x.(,,0,0) + x.(0,0,5,), x, x R. Como x, x son libres (varían en todo R ) todo vector de S está generado por los vectores (,,0,0) y (0,0,5,), y es inmediato probar que son independientes: c. (,,0,0) + c.(0,0,5,) = (0,0,0,0) c. (,,0,0) + c.(0,0,5,) = (c,c,5c,c ) = (0,0,0,0) c = c (,,0,0) (0,0,5,) es una base del subespacio S y la dims=. Luego B= {,. EJERCICIOS ) Establecer si (,,, ) es o no una combinación lineal de los vectores (0,,,), (-,,,0). Esos vectores son dependientes o independientes? Justificar la respuesta 8

) Determinar si los siguientes vectores de R son linealmente independientes o dependientes: a) (,, ) (, 6, ) (0, 0, ) b) (,, 0) (0, 6, ) (, 8, 0) En algún caso puede afirmar que formen una base de R? Justificar. ) Determinar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes. a) u = (-, 5), v = (, 7) b) u = (, 5, -), v = (-, 0, ), w = (,, ). ).) Establecer si los siguientes conjuntos son o no subespacios del respectivo espacio vectorial indicado justificando la respuesta (probar las propiedades de subespacio en caso que sea, o bien dar un contraejemplo que muestre la propiedad que falla en caso que no lo sea)..)en los casos que sea subespacio encontrar una base del mismo. a) R= {( x, x ) R ; x = x b) W= {( x, x, x ) R ; x x c) U= {( x, x ) R ; x. x = 9 d) V= {( x, x ) R ; x = 5 e) {( x, x ) R ;. x. x f) S= {( x, x, x, x, x 5 ) R 5 ; x = x x, x = x g) T= {( x, x, x, x, x 5 ) R 5 ; x5 = x +7 x, x + x h) U= {( x, x, x, x ) R ; x = x + x, x = x + 5 i) V= {( x, x, x, x ) R ; x + x + x ; x = 6. x j) W= {( x, x, x ) R ; x + x + x k) Y = {( x, x, x ) R ; x + 8x l) Z= {( x, x, x ) R ; x + x ; x =. x m) S = {( x, x, x ) R ; x. x n) T = {( x, x, x ) R ; x ; x + x = 5 a a x o) M= R ; a a, a + a a a a a x p) N= R ; a + a + a, a = 5a a a a a a x q) O= R ; a + a a, a =. a a a a a a x r) P= a a R ; a + a 9a, a = 6a a a a a x s) Q= R ; a. a a a 9

5) Probar que el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo A. x de m ecuaciones y n n incógnitas, es un subespacio del espacio vectorial R. (Ver Sistemas lineales homogéneos en el capítulo ). BIBLIOGRAFÍA - Serge Lang, Introducción al Álgebra Lineal, Ed Addison- Wesley Íberoamericana. - Ángel Rafael Larrotonda, Álgebra Lineal y Geometría, Ed Universitaria de Buenos Aires (EUDEBA). - Howard Anton, Introducción al Álgebra Lineal, Ed Limusa, Grupo Noriega Editores, Argentina, Venezuela, México, Colombia, España. - Juan De Burgos, Álgebra Lineal, Ed McGraw-Hill Interamericana-española. 5- Seymour Lipschutz, Álgebra Lineal, Teoría y Problemas Resueltos, Serie de Compendios Schawn, Ed McGraw Hill de México. 6- Keneth Hoffman, Ray Kunze, Álgebra Lineal, Ed Prentice-Hall Internacional. 0