. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 55. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Ejemplo.. Decaimieno radiacivo El isóopo radiacivo Torio 24 se desinegra a una rapidez proporcional a la canidad presene. Si miligramos de ese maerial se reducen a 82.4 mg. en una semana, enconrar una expresión para la canidad presene en cualquier insane. Encuenre ambién el inervalo de debe ranscurrir para que la masa caiga a la miad de su valor original. Siendo Q () días).[] (en miligramos), la canidad de Torio 24 presene en cualquier insane (en d La función Q () d = α Q () Donde α represena la proporcionalidad y la podemos susiuir por k quedando d Q () d = kq (2) Siendo esa una consane negaiva que se debe deerminar, deseamos la solución que saisfaga las condiciones inicialesq() = y Q(7) = 82.4 Uilizando la ecuación general de decaimieno comenada en la sección. k Q () = ce () Donde c es una consane arbiraria, la primera condición inicial requiere c = por lo que enemos Q ( ) = e k (4) Trabajando con la segunda condición haciendo = 7 y Q ( ) = 82.4 enemos que 7 ln(.824) 82.4 = e k, por lo ano k = 7 Resulando k =.2828( d ías) (5) Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 56 Susiuyendo (5) en la ecuación (4), queda de en cada insane..2828 Q ( ) = e mg el cual represena el valor El periodo en el cual la masa a la miad de su valor original, se le conoce como vida media del maerial. Sea τ el iempo en el cual Q( ) = 5mg Obeniendo la ecuación 5 e k o bien = kτ = ln ( 2), las ecuaciones aneriores no son solo válidas para el Torio 24, sino para cualquier maerial que obedezca la ecuación k diferencial inicial.(), Q ( ) = ce ln 2 Susiuyendo para el Torio 24 en la ecuación nos queda τ = 24.5( dias).2828 ( ) Ejemplo..2 Población Suponiendo que un esanque de lagaros posee inicialmene especimenes, y que su asa de morandad es = (de al manera que no se esán muriendo en ese momeno), la asa de naalidad es β = (.5) de al manera que aumena conforme aumena la población. De al manera que podemos manejar la fórmula ( ) 2 dp.5 P d =, β = con dada en años. De lo cual ( ) 2 dp Separando variables, 2 (.5) d P = Inegrando =.5+ c cuando =, P= p 2 Enonces c =, de al manera que P () = 2 dp = β P (6) d 2 Si = enonces P () = = 2, lo cual significa que después de años se 2 duplicará la población de lagaros. Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 57 Ejercicio.. Mezclas En un gran anque con liros de agua pura se comienza a vaciar un solución salina con una velocidad consane de 6 L /min. La solución denro del anque se maniene revuela y sale del anque a razón de 6 L /minambién. Si la concenración de sal en la solución que enra en el anque es de. Kg / L. Figura.. Tanque para líquido, con la misma razón de flujo Deerminar el momeno en que la concenración de sal en el anque llegue a.5 Kg / L? Podremos ver el anque como un comparimieno que coniene sal. Siendo x( ) es la masa de la sal, en el anque en el insane, podemos deerminar la concenración de sal en el anque dividiendo x( ) enre el volumen del fluido en el anque en el insane Uilizando dx d = razón de enrada - la razón de salida (7) para enconrar x( ), deerminaremos la razón con la que sale la sal del anque. La solución fluye hacia el anque a razón de 6 L /min, con la concenración de. Kg / L. L Kg Kg La razón de enrada de sal en el anque es 6. =.6 min L min (8) Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 58 La solución salina se maniene perfecamene mezclada, de modo que podemos suponer que la concenración de sal en el anque es uniforme. O sea, en cualquier insane la concenración es x( ) en cualquier pare del anque, enre el volumen del fluido en el anque. Como el anque al inicio enía L, y la razón de flujo de enrada y salida del anque es la misma, el volumen se maniene consane en L, De al manera que la razón de salida de la sal es L x() Kg x() kg 6 min = L min (9) Al inicio el anque conenía agua pura, o sea x () = Al susiuir las ecuaciones aneriores, en dx d = razón de enrada - la razón de salida () Para enconrar x( ), enemos dx.6 x d = () Tal ecuación es el modelo maemáico para un problema de mezclas. Ahora resolviendo la ecuación (), dx x = d dx d Despejando x = Inegrando, enemos ln( x) = + c Muliplicando por nos queda ln( x) = c (2) Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 59 Aplicando propiedades de logarimos ln( x) c e = e + O bien x= ce despejando, x= ce, finalmene x= ce () Susiuyendo condiciones iniciales para x=, = enemos que ce = + De lo que la ecuación quedaría como c =, resulando x= e (4) Y nuesra ecuación final se esablece como x ( ) = e Pero en el anque enemos liros de agua, por lo que la ecuación de la concenración de sal en el insane. que corresponde es x () =.( e ) Kg / L (5) Para deerminar el insane en el que la concenración de sal sea.5 Kg / L igualamos la anerior ecuación de lo cual resula e. ( ) =.5.5 e = +,. =.5 e, ln ( e ) = Ln(.5) quedando.69 = Resulando =.69 = 5.52 min, en oras palabras, la concenración del anque será de.5 Kg / L una vez que haya ranscurrido 5.52 min Ejemplo..4. Circuio Elécrico Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 6 Suponiendo que un condensador de C Farads sopora una carga inicial de Q Coulombs. Para modificar esa carga, se aplica un volaje consane de V Vols, a ravés de una resisencia de R Ohms, Describir la carga del condensador para > Como E ( ) = V es consane, uilizando la siguiene ecuación la cual es deerminada por la ley de Kirchhoff. dq() q() R + = E (), ecuación de Volaje en un circuio (6) d C Dividiendo enre R, d V q () + q () = (7) d R La cual queda en la forma esándar de una ecuación lineal. Siendo p () = y el facor de inegración d u () = e, u () = e Resolviendo la ecuación diferencial, muliplicando por el facor de inegración a la ecuación diferencial e dq() V + q() = d e (8) R Observando (8), vemos que el lado izquierdo de la ecuación corresponde a d V e q = e d R (9) Expresando la inegral de ambos lados d V e q = e d d R Compleando el diferencial d V e q = e d d R Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 6 V Inegrando e q = e + k, simplificando e q = CVe + k, despejando R q CV ke = + (2) Por lo que nos queda q () CV ke = + (2) Como la condición inicial es q ( ) Susiuyendo condiciones iniciales en (2), = Q, en = enonces Por lo ano Q= C V + k, despejando k = Q CV ( ) Q CV ke = + Susiuyendo el valor de k nos queda q () CV ( Q CV) e = + Ejemplo..5 Población En ciera época la población del mundo era5.5 mil millones de habianes, la asa de crecimieno aumenó a 25 mil personas diariamene, Suponiendo que la ase de naalidad y moralidad se manuvieron consanes. En cuanos años se esperaría una población mundial de millones, (o sea el doble)? [5] De la ecuación, y () = ye k, mencionada en la sección., renombrando las variables, k P () = pe (22) Donde P ( ) es la población mundial en miles de millones y el iempo en años, omando = correspondiene al año inicial, de modo que P = 5.5, como P fue aumenando en 6 25 mil, o bien 25* mil millones de personas diarias en el insane = Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 62 k Tenemos de (22), P () = pe en = P () =.25(65.25), ya que un año equivale a 65.25 días. O bien P () =.925 miles de millones por año k Derivando P ( ) = kp e (2) Ya que es la razón de cambio del crecimieno de la población con respeco al iempo Despejando la consane P ( ) k = (24) k p e Si =, enonces P () k =, por lo que p.925 k =, resula k =.66 5.5 De al manera que la asa de crecimieno en esa fecha fue de.66% Si se desea deerminar el iempo en el cual la población será de millones, enonces.66t.66t = PT ( ) = 5.5e o bien = e 5.5 T De al manera que ln( e ) Despejando =, de lo cual resula.66t = ln( 2) ln 5.5.66 ln( 2) T =, resulando que.66.69 T =, por lo que.66 T = 4.75 años (25) De al manera que basándose en la referencia, y que las asas de naalidad y morandad se manuvieran consanes, en casi 42 años la población sería el doble, de la fecha hipoéica. Insiuo Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas