ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el que tiene por vértices: A (, 5); B (8, 1); C (, 1)? A) Isósceles B) Acutángulo C) Obtusángulo D) Equilátero E) Rectángulo 3. Calcular el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación: 3x + y 1 = 0. A) 8 B) 10 C) 16 D) 1 E) 4 4. Se tiene un punto A (a, 3) cuya distancia a la recta L: 4x 3y + 1 = 0 es 4, entonces a vale. A) B) 7 C) 3 D) 3 E) 7 ó 3 5. Se tiene una recta cuya ecuación es: 4x 5y + 17 = 0. Los puntos A (, a) y B (b, 1) pertenecen a dicha recta. Calcular la longitud del segmento AB A) 37 B) 4 C) 41 D) 34 E) 4 3 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, ) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6. A) x 5y 1 = 0 B) x 5y + 1 = 0 C) x 5y 1 = 0 D) 3x y + 6 = 0 E) 3x y 6 = 0 7. En un sistema de ejes coordenados xy se tienen ubicados los puntos F ( 3, ) y G (1, 6). Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento FG. A) x y + 3 = 0 B) x + y + 3 = 0 C) x + y 3 = 0 D) x y 3 = 0 E) x + y = 0 8. Encontrar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas paralelas L 1 : 1x 4y + 3 = 0 y L : 1x 4y 6 = 0. A) 16x 8y + 3 = 0 B) 4x 8y 3 = 0 C) 4x + 8y 3 = 0 D) 16x + 8y 3 = 0 E) 4x + 8y + 3 = 0 9. Dados los puntos A (3, 1) y B (, 1) determinar las coordenadas del punto M simétrico al punto A con respecto al punto B. A) (1, 3) B) ( 1, 3) C) (1, 3) D) (, 3) E) (, 3) 66 10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los pun-
tos A (4, ) y B ( 5, 7). A) 5x 9y + 38 = 0 B) 5x + 9y = 0 C) 5x + 9y + = 0 D) 5x + 9y + 38 = 0 E) 5x + 9y 38 = 0 11. Tres vértices de un paralelogramo son ( 1, 4),(1, 1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6. cuál es la abscisa? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los punos, cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A ( a; 0) y B (a; 0) sea igual a C. A) 4ax ay = C B) x = C/4 a C) x + y = C /a D) x y C/a = 0 E) y = C /a 13. Una recta pasa por los puntos M ( 1, 13) y N (, 5). Hallar sobre recta, el punto cuya abscisa es 3. A) P(3, 1) B) P(3, ) C) P(3, ) D) P(3, 3) E) P(3, 1) 14. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por C (, ) y D (3, 4). Hallar la ecuación de la primera recta. A) 6x + 5y 8 = 0 B) 5x + 6y + 8 = 0 C) 6x + 5y + 8 = 0 D) 5x + 6y 8 = 0 E) 6x 5y 8 = 0 15. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A ( 3, ) y B (1, 6). A) x y + 3 = 0 B) x y 3 = 0 C) x + y + 3 = 0 D) x + y 3 = 0 E) x + y 4 = 0 16. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y pasa por la intersección de las rectas x + y + 8 = 0 y 3x y 9 = 0. A) 4x y + 10 = 0 67 B) 4x + y + 10 = 0 C) 4x y 10 = 0 D) x y 10 = 0 E) x + y 10 = 0 17. Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A (, 1), B (4, 7) y C (6, 3). Hallar la ecuación relativa al lado AC. A) 4x y 9 = 0 B) 4x + y 9 = 0 C) 3x y 9 = 0 D) 4x y + 9 = 0 E) 3x y 9 = 0 18. Los vértices de un triángulo son: A (, 3), B (5, 5) y C (3, 3). Calcular la ecuación de las bases media relativa al ladobc. A) 4x + y + = 0 B) 4x y = 0 C) x y = 0 D) 3x y 3 = 0 E) x + y = 0 19. El triángulo de vértice A (1; 1), B (, 3) y C (5, 1) es: A) Acutángulo B) Obtusángulo C) Equilátero D) Rectángulo E) Isósceles 0. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos (, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto SA cuya abscisa es. Hallar la ordenada de A. A) 8 B) 8 C) 6 D) 4 E) 5 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3, 4) y B ( 5, 7). A) 8x + 11y 1 = 0 B) 8x 11y 1 = 0 C) 11x + y 1 = 0 D) 11x 8y 1 = 0 E) 8x + 11y + 1 = 0. Los vértices de un triángulo son: A (4, ), B ( 3, 1) y C (6, ). hallar la ecuación de la recta que por su baricentro, si su pendiente es 3 /. A) 9x + 6y + 5 = 0 B) 9x 6y 5 = 0 C) 6x + 9y 5 = 0 D) 9x + 6y 5 = 0
E) 6x 9y 5 = 0 3. Hallar el área del triángulo que forma la recta, de ecuación: x y + 4 = 0, al interceptarcse con los ejes coordenados. A) 6 u B) 8 u C) 4 u D) 10 u E) 9 u 4. En un triángulo ABC, encontrar la ecuación de lam mediana relativa al lado AB si: A ( 3, 8), B (1, 6) y C ( 5, ). A) 9x + 4y 37 = 0 B) 6x 4y 17 = 0 C) 9x 4y + 37 = 0 D) 6x + 4y 7 = 0 E) 6x 9y 37 = 0 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (, 3) y forma con la recta M: x + y 1 = 0 un ángulo de 45º. A) x + 3y 11 = 0 B) x + 3y + 11 = 0 C) x + 3y + 11 = 0 D) x + 3y 9 = 0 E) 3x y 3 = 0 6. La recta R pasa por el punto P (1, ) y forma con los ejes coordenadas un triángulo cuya área es 4. Hallar la ecuación de la recta R. A) 4x y + 8 = 0 B) 4x + y 8 = 0 C) 4x + y + 8 = 0 D) 4x y + 8 = 0 E) 4x + y 8 = 0 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la vértice B (3, 5) de un triángulo y es paralela a la mediana AM, siendo las coordenadas de los vértices A y C. (1, 0) y (9, 3). E) 3x + y 5 = 0 9. Una recta, cuya pendiente es 1 /3, pasa por el punto de intersección de otras dos rectas cuyas ecuaciones son: 4x 3y +1 = 0 y x + y 11 = 0. Hallar la ecuación de la primera recta. A) x + 3y + 1 = 0 B) 3x + y + 1 = 0 C) 3x y 1 = 0 D) x 3y + 1 = 0 E) x + 3y 1 = 0 30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, ) y por el punto (4, ) y por el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son P: x 3y 1 = 0 y Q: x + 3y 6 = 0. A) x + y 6 = 0 B) x + y 6 = 0 C) x y 6 = 0 D) x + y 3 = 0 E) x + y 1 = 0 31. Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A ( 3, ) B (9, 6) y C (1, ). Hallar las coordenadas de circuncentro. A) (3, 4) B) (4, 3) C) (, 5) D) (5, ) E) (, 4) 3. En la figura, hallar el área del paralelogramo OABC si: P: 3y 4x 14 = 0 Q: 3y 4x = 0 M: x + by + c = 0 y A B M P Q A) 4x 5y + 1 = 0 B) 4x 5y 13 = 0 C) 4x 5y + 13 = 0 D) 4x 5y 10 = 0 E) 4x 5y + 10 = 0 O C (6, 8) x 8. La recta de ecuación: x 3y + 1 = 0 determina, al interceptarse con los ejes coordenadas, el segmento de recta AB. Hallar la ecuación de la mediatriz de AB. A) 3x + y + 5 = 0 B) 3x y + 5 = 0 C) 4x y 5 = 0 D) 4x + y 5 = 0 A) 30 B) 3 C) 40 D) 8 E) 4 33. Los vértices de un triángulo son: A ( 1, 7), B (3, 9) y C (8, 3). Hallar el valor de la altura relativa al lado AC. 68
A) 10x + 9y 70 = 0 MATERIAL DIDACTICO A) 18 97u 97 C) 18 89u 89 B) 116 97u 97 D) 116 89u 89 E) 18 95u 95 35. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ; 0) y es perpendicular a la recta de ecuación: y x 6. 3 A) y x 3 = 0 B) y 3x 6 = 0 C) y + 3x 4 = 0 D) y x 3 = 0 E) y x 4 = 0 36. Si A (7, 9), B ( 5, 7) y C (1, 3) son los vértices de un triángulo, entonces la ecuación de la mediatriz de AB es: A) 3x + 4y + 7 = 0 B) 3x + 4y 7 = 0 C) 3x 4y + 7 = 0 D) 3x 4y 7 = 0 E) 3x 6y 7 = 0 37. Hallar la ecuación de una recta cuya pendiente es igual a 5 y que contiene al punto (0; 4). A) y y +1 = 0 B) x y 1 = 0 C) x +y +1 = 0 D) x + y 1 = 0 E) x y + = 0 38. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 5 y que contiene al punto (0, 4). A) y + x = 0 B) y + x 4 = 0 C) y + 3x 6 = 0 D) y x + 4 = 0 E) y + 5x 4 = 0 39. La ecuación de una recta L es: 3x 4y + 8 = 0. Hallar la pendiente de la recta L 1, si L 1 // L. A) /3 B) 3 / C) 3 /4 D) 3 /4 E) 3 /5 40. Se desea hallar la ecuación de una recta que, interceptando sobre el eje positivo de las x un segmento de longitud igual a 7 unidades, pase además por el punto de abscisa x = 4 perteneciente a la recta dada por: 5x + 3y = 30. 69
GEOMETRÍA ANALÍTICA: CIRCUNFERENCIA 1. Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es C ( 1, 3). A) x + y + x + 6y 15 = 0 B) x + y x + 6y + 15 = 0 C) x + y x + 6y + 15 = 0 D) x + y + x + 6y 10 = 0 E) x + y + x + 6y 10 = 0. La ecuación de una circunferencia es: x + y + 4x + 6y = 3. Su forma ordinaria es: A) (x ) + (y + 3) = 36 B) (x + ) + (y + 3) = 8 C) (x + ) + (y + 3) = 36 D) (x ) + (y + 3) = 8 E) (x + ) + (y 3) = 36 3. Encontrar las coordenadas del centro y el radio de las circunferencia cuyas ecuaciones son: A) x + y = 10 B) (x 3) + y = 5 C) x + y + x y = D) x + y + 4x = 6 E) x + y + 4x y 1 = 0 4. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos P (, 3) y Q ( 4, 5). Hallar la ecuación de dicha circunferencia. A) (x 1) + (y + 4) = 10 B) (x + 1) + (y 4) = 10 C) (x + 1) + (y + 4) = 10 D) (x + ) + (y 4) = 10 E) (x ) + (y 4) = 10 5. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7, 6) y que pasa por el punto A (, ). A) (x 7) + (y + 6) = 80 B) (x + 7) + (y 6) = 89 C) (x + 7) + (y 6) = 84 D) (x 7) + (y + 6) = 89 E) (x 7) + (y + 6) = 84 6. Hallar el área del círculo cuya circunferencia tiene por coordenadas del centro C (, 4) y que es tangente al eje y. A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (, 5) y que es tangente a la recta x = 7. A) (x ) + (y 5) = 81 B) (x ) + (y + 5) = 81 C) (x + ) + (y + 5) = 81 D) (x + ) + (y 5) = 49 E) (x + ) + (y 5) = 81 8. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (0, ) y que es tangente a la recta: R: 5x 1y + = 0. A) x + (y + ) = 4 B) (x 1) + (y + ) = 4 C) (x + 1) + y = 4 D) (x + ) + (y + ) = 4 E) (x ) + (y + ) = 4 9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje x sabiendo que pasa por los puntos A (1, 3) y F (4, 6). A) (x 5) + y = 45 B) (x 3) + (y ) = 3 C) (x ) + (y + ) = 30 70
D) (x 6) + (y ) = 34 E) (x 7) + y = 45 10. Una cuerda de la circunferencia de ecuación: x + y = 5, está sobre la recta cuya ecuación es x 7y + 5 = 0. Calcular la longitud de dicha cuerda. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 11. Hallar la abscisa del punto A, de ordenada 1, sabiendo que pertenece a la circunferencia cuya ecuación es: x + 4x + y 6y + 8 = 0. Dar dos respuestas. A) (, 1) y ( 1, 1) B) ( 3, 1) y (, 1) C) ( 3, 1) y ( 1, 1) D) (, 1) y ( 1, 1) E) (3, 1) y ( 1, 1) 1. Hallar el centro (h, k) de la circunferencia cuyo centro está en el eje Y sabiendo que pasa por los puntos A (, ) y C (6, 4). Dar como respuesta h + k A) 11 3 D) B) 11 C) 13 3 3 13 E) 15 3 4 13. Se tiene una circunferencia cuya ecuación es: x + y = 50. Se traza la cuerda AB cuyo punto medio es F (, 4). Hallar la ecuación de dicha cuerda. A) x + y + 10 = 0 B) x y 10 = 0 C) x y + 10 = 0 D) x + y 10 = 0 E) x + y 10 = 0 14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (7, 5) y cuyo centro está ubicado en el punto de intersección de las rectas: R: 7x 9y 10 = 0 y L: x 5y + = 0 B) x + y 0 = 0 C) x y + 0 = 0 D) x y 10 = 0 E) x + y 10 = 0 16. Hallar la ecuación general de la circuferencia de centro C ( 3, ) y radio. A) x + y + 6x 4y + 8 = 0 B) x + y + 6x 4y + 9 = 0 C) x + y + 3x y + 9 = 0 D) x + y + 3x y 9 = 0 E) x + y + 6x 4y 9 = 0 17. Hallar el centro de la circunferencia cuya ecuación es: x + y + 4x + 6y 3 = 0. A) (, 1) B) (, 3) C) (, 3) D) (, 1) E) ( 3, ) 18. Hallar la circunferencia del centro de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 4), (5, ) y (4, 1). A) (3, 3) B) ( 3, 3) C) (3, 3) D) (3, ) E) (, 4) 19. Por un punto A (, 1) se traza una tangente a la circunferencia x + y 6x 4y 3 = 0. Si B es el punto de tangencia, calcular la longitud de AB. A) 3 B) 3 C) D) 3 E) 3 5 0. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (, ), B ( 1, 4) y C (4, 6) A) 6x + 6y 3x 5y 34 = 0 B) 6x + 6y + 3x 5y 34 = 0 C) 6x + 6y 3x + 5y + 34 = 0 D) 6x + 6y + 3x + 5y 34 = 0 E) 6x + 6y 3x 5y + 34 = 0 A) (x 4) (y ) = 58 B) (x +4) (y ) = 58 C) (x ) (y ) = 46 D) (x +) (y ) = 46 E) (x 4) (y + ) = 58 15. La ecuación de una circunferencia es: (x 4) + (y 3) = 0. Encontrar la ecuación de la tangente a esta circunferencia en el punto P (6, 7). A) x y 10 = 0 71 1. Dar la ecuación de una circunferencia de radio igual a 6u y centro em C ( 4, 5). A) x + y + 8x 10y + 5 = 0 B) x + y 8x 10y + 5 = 0 C) x + y + 8x + 10y 5 = 0 D) x + y 8x 10y 5 = 0 E) x + y + 8x 10y 5 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro
está en (, 1) y pasa por el punto (7, 6). A) x + y 4x y 45 = 0 B) x + y + 4x + y + 45 = 0 C) x + y 4x + y 45 = 0 D) x + y + 4x y + 45 = 0 E) x + y 4x + y + 45 = 0 3. En la figura, hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado del punto R es (4, ). y Q R (4, ) la ecuación de la circunferencia. A) x + y 10x 4y 4 = 0 B) x + y 10x + 4y + 4 = 0 C) x + y + 10x + 4y + 4 = 0 D) x + y 10x + 4y 4 = 0 E) x + y 10x 4y + 4 = 0 8. Una recta cuya ecuación es: x + 7y 0 = 0 corta en los puntos A y B a una circunferencia cuya ecuación es (x ) + (y + 1) = 5. Hallar la longitud de la cuerda AB. A) 5 u B) 5 u C) 5u D) 6u E) 3u A) (x 3) + (y ) = B) (x ) + (y ) = 4 C) (x 3) + (y ) = 4 D) (x 3) + (y ) = 8 E) (x 3) + (y ) = 16 P 4. La ecuación de la circunferencia es: x + y 6x + 14y + 53 = 0. Hallar las coordenadas del centro y su radio. M x 9. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, estando los vértices A y B en la parte positiva del eje x, siendo las coordenadas del punto C números positivos. Si AC = 10,m CAB 37º y las coordenadas del punto A son (, 0), hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. A) (x 8) + (y 4) = 4 B) (x 8) + (y + 4) = 4 C) (x 8) + (y ) = 4 D) (x 8) + (y + ) = 4 E) (x 8) + (y ) = A) ( 3, 7) y 5u B) (3, 7) y 5u C) (3, 7) y 5u D) (3, 7) y 5 u E) ( 3, 7) y 5u 5. Dar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos: ( 8, 6) y (4, 10). A) (x + 3) + (y ) = 100 B) (x ) + (y + ) = 10 C) (x ) + (y ) = 100 D) (x + ) + (y ) = 100 E) (x 3) + (y ) = 100 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta: y 1 = 0 y cuyo centro es el punto (3, 5). A) (x 3) + (y 5) = 4 B) (x + 3) + (y + 5) = 4 C) (x 3) + (y 5) = 16 D) (x + 3) + (y + 5) = 16 E) (x 3) + (y 5) = 1 7. Una circunferencia tiene su centro en (5, ) y es tangente a la recta cuya ecuación es y 3 = 0. Dar 7 30. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de las rectas P: x + 7y + 9 = 0 y Q: 3x y 4 = 0; se sabe además que la circunferencia pasa por el origen de coordenadas. A) (x 6) + (y 3) = 45 B) (x 6) + (y 3) = 9 C) (x 6) + (y + 3) = 45 D) (x 6) + (y + 3) = 9 E) (x 6) + (y + 3) = 36 31. La ecuación de una circunferencia es: x + y = 8x + 6y. Calcular la distancia del origen de coordenadas al centro de la circunferencia. A) 6 B) 8 C) 5 D) 4 E) 7 3. Una circunferencia es tangente a la recta y 10 = 0 y al eje de coordenadas. Si las coordenadas de su centro son números positivos y la distancia del origen de coordenadas a dicho centro es 13, hallar la ecuación de aquella circunferencia. A) (x 6) + (y 4) = 6 B) (x 6) + (y 4) = 36 C) (x 4) + (y 4) = 6
D) (x 4) + (y 4) = 36 E) (x +6) + (y + 4) = 36 33. El centro de una circunferencia se encuentra en el primer cuadrante y sus coordenadas son (4, M). Si dicha circunferencia es tangente a las rectas: x + 3y 7 = 0 y x + 3y 15 = 0, dar la ecuación general de esta circunferencia. A) x + y 8x + 6y +1 = 0 B) x + y 8y 6y 1 = 0 C) x + y + 8y 6y 1 = 0 D) x + y + 8y + 6y 1 = 0 E) x + y 8y 6y + 1 = 0 34. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro O, si A (1, 0) y B (7, 0). D) 8 u E) 1 u 38. La ecuación de una circunferencia es x + y = 16. Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva si el punto de tangencia tiene su abscisa x =. A) 3y x 6 0 B) 3y x 8 0 C) 3y x 8 0 D) 3y x 8 0 E) N.A 39. Las coordenadas del diámetro AB de una circunferencia son A ( 4, 4) y B (, ). Hallar la ecuación. y 53º A O B x A) (x 1) + (y 3) = B) (x ) + (y 1) = C) (x 3) + (y 1) = 1 D) (x 3) + (y 1) = E) N.A 40. El centro de una circunferencia está en el origen y pasa por el punto (1, ). Hallar su ecuación. A) (x 4) + (y 3) = 18 B) (x 4) + (y + 3) = 5 C) (x 4) + (y + 3) = 18 D) (x 4) + (y + 3) = 5 E) (x + 4) + (y 3) = 18 35. La ecuación de una circunferencia es: x + y x + y + 1 = 0. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en (1, ). A) y = 0 B) x+ = 0 C) y+ = 0 D) y 1 = 0 E) N.A 36. Los vértices de un triángulo son A (3, 3), B (, 3) y C (4, 9). Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el baricentro del triángulo ABC y de radio 1. A) x + y + 5 = 0 B) x + y 5 = 0 C) x + y 5 = 0 D) x + y 16 = 0 E) N.A 41. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio, cuyo centro es la intersección de las rectas L 1 : x y 1 = 0 y L = x + y 3 = 0. A) x + y 4x y + 1 = 0 B) x + y 4x + y + 1 = 0 C) x + y 4x y 1 = 0 D) x + y 4x + y 1 = 0 E) x + y + 4x + y + 1 = 0 A) (x 3) + (y 4) = 1 B) (x 3) + (y 5) = 1 C) (x ) + (y 3) = 1 D) (x 5) + (y 3) = 1 E) (x 4) + (y 4) = 1 37. Dos circunferencias tienen por ecuaciones a: x + y 9 = 0 y x + y 1 = 0. Hallar el área de la región limitada por dichas curvas. A) u B) 4 u C) 6 u 73