Laboatoi de Física I Dinámica de la otación omento de inecia Objetivo Detemina los momentos de inecia de vaios cuepos homogéneos. ateial Discos, cilindo macizo, cilindo hueco, baa hueca, cilindos ajustables a la baa, cueda, polea, destonillado, conómeto, egla gaduada, pie de ey. Fundamento teóico omento de inecia Cuando un sólido ígido gia alededo de un eje fijo ealizando un movimiento plano, el momento angulal O puede expesase de la foma: L O = I O ω, (1) donde ω es la velocidad angula del sólido ígido e I O es el momento de inecia del sólido ígido especto al eje que pasa po O. El momento de inecia I epesenta la distibución de la masa del sólido ígido alededo del eje. Deivando la expesión (1) con especto al tiempo, obtenemos: O = I O α, (2) donde O es el momento de las fuezas exteioes especto del puntoo yαes la aceleación angula del sólido ígido. El cálculo analítico del momento de inecia se educe a dividi el sólido ígido en pociones infinitesimales de masa, multiplica esa masa po el cuadado de la distancia al eje y suma paa todas las
masas. Expesado en foma matemática: I O = V δ 2 dm, (3) donde δ es la distancia que sepaa el elemento de masa dm del eje que pasa po O y la integal se extiende a todo el volumen del sólido ígido. El cálculo de momentos de inecia aplicando la expesión (3) sólo puede llevase a cabo cuando el sólido ígido pesenta gan simetía. En el caso de cuepos iegulaes, la deteminación dei O se lleva a cabo de foma expeimental. Deteminación del momento de inecia La deteminación expeimental del momento de inecia de un cuepo puede llevase a cabo mediante un dispositivo como el mostado en la figua 1. El cuepo, del que queemos detemina el momento de inecia, se halla fijado mediante un tonillo a una polea de adio cuyo eje de otación es vetical. Sobe ésta está aollado un hilo inextensible y sin peso apeciable que pasa po ota polea cuyo eje de otación es hoizontal. En el oto extemo del hilo se encuenta un disco de masam 1. Cuando el sistema pate del eposo, el disco m 1 ealiza un movimiento ectilíneo unifomemente aceleado, haciendo gia el cuepo alededo de un eje fijo que pasa po su cento de masa (otación baicéntica). Llamando T a la tensión del hilo, de la segunda Ley de Newton aplicada al cuepo m 1 tenemos: m 1 g T = m 1 a. (4) En lo que al cuepo de masa se efiee, la única fueza que ealiza momento especto a su eje de otación, es la tensiónt. Empleando la expesión descita en (2), podemos pone: T = Iα. (5) t=0 h t f m 1 Figua 1: edida del momento de inecia del cilindo Obsévese que la aceleación del discom 1 y la aceleación angulaαdel cuepo no son independientes ente sí. Ente ellas podemos establece la siguiente ecuación de ligadua: a = α. (6)
Despejando la aceleación a de la expesión (4), despejando la aceleación angula α de la expesión (5) y sustituyendo en la ecuación de ligadua (6), obtenemos el valo de la tensiónt : T = m 1gI I +m 1 2. (7) Obsévese que la tensiónt es siempe infeio al pesom 1 g. Sustituyendo la tensiónt en la expesión (4), obtenemos el valo de la aceleación a: a = m 1g 2 I +m 1 2. (8) Puesto que el movimiento del disco es unifomemente aceleado y pate del eposo, la altua descendidahen un tiempotpuede expesase de la foma: h = 1 2 at2 a = 2h t 2. (9) Sustituyendo la expesión de la aceleación (9) en la ecuación (8) y despejando el momento de inecia I, obtenemos: ( ) gt I = m 1 2 2 2h 1. (10) La anteio expesión nos pemite conoce el momento de inecia I de un sólido ígido si podemos detemina el tiempo que tada el disco en cae una altuah. étodo expeimental Con el fin de detemina los momentos de inecia de vaios cuepos, disponga el dispositivo expeimental que se detalla en la figua 1. Con la egla gaduada mida el tamo de cuedahque descendeá el discom 1. Peste especial atención a esta medida, puesto que influiá en todos los esultados posteioes. Con un pie de ey mida el diámeto de la polea de eje vetical. Coloque el cilindo macizo sobe la polea de eje vetical y fíjelo con el tonillo. Enolle la cueda en la polea de eje vetical solidaia al cilindo y conomete el tiempo empleado po el disco m 1 en descende la altua h. epita las medidas del tiempo un mínimo de seis (6) veces. Halle la media aitmética de los tiempos medidos y sustituya el valo hallado anteiomente, el adio, la masa del disco m 1 y la altua h en la expesión (10). Con ello, calcule el momento de inecia I del cilindo macizo. Sustituya el cilindo macizo po el cilindo hueco y poceda con el mismo método que en el caso anteio. Po último, sustituya el cilindo hueco po la baa hueca, configuando el dispositivo expeimental que se detalla en la figua (2). Pocue que la baa quede lo más centada posible con especto al eje de otación. Seguidamente, coloque en la baa dos de los cilindos ajustables suministados a unos 5cm del eje de otación. Anote cuidadosamente la distancia ente los centos de los cilindos ajustables y el eje
de otación. Conomete el tiempo empleado po el disco m 1 en descende la altua h (epeti esta medida unas 6 veces y anota la media aitmética en la tabla). Calcule el momento de inecia I en este caso. odifique ahoa la configuación, desplazando los cilindos ajustables sobe la baa, de foma que aumente su distancia al eje de otación de 3cm en 3cm hasta llega al final de la baa. epesente gáficamente los valoes calculados de I en función de la distancia de los cilindos ajustables al eje de otación,. t=0 h t f m 1 Figua 2: edida del momento de inecia de la baa esultados Paa el cilindo macizo y paa el cilindo hueco, detemine su momento de inecia. Lleve a cabo el cálculo de eoes en la medida indiecta de I, utilizando como eo en las medidas diectas la pecisión del apaato paa m 1, h y, y paa el tiempo, además de la pecisión del apaato, una estimación del eo estadistico de los tiempos obtenidos. Paa las masas ajustables, epesente gáficamente los momentos de inecia (calculados utilizando la expesión (10)) en función de la distancia de las masas al eje de otación. Qué función es la que mejo se ajusta a los puntos expeimentales?. Es este esultado coheente con la teoía (ecuación (3))? Cuestiones 1. A pati de la expesión (2), detemine las unidades del momento de ineciai. 2. Utilizando la expesión (3), calcule el momento de inecia de un cilindo macizo y homogéneo, así como el momento de inecia de un cilindo hueco de paedes delgadas. Compae con los esultados obtenidos aplicando la ecuación (10).
Poblema 1. Un disco de masa =2kg y adio =20cm, tiene una cueda enollada en un pequeño esalte de adio =5cm. Del oto extemo de la cueda pende un cuepo de masa m=1kg a tavés de una polea de masa despeciable como muesta la figua. Si en esta situación el disco ueda sobe la supeficie hoizontal sin desliza, se pide: (a) Descibe cualitativamente el movimiento del sistema. (b) Dibuja el diagama de sólido libe del disco y del bloque. (c) Escibe el sistema de ecuaciones que te pemiten calcula la aceleación angula del cilindo, la aceleación del bloque B, la tensión en la cueda y la fueza de ozamiento ente el plano y el cilindo. (d) esuelve el sistema anteio y calculaα,a, T y F. (e) Detemina el coeficiente de ozamiento mínimo necesaio paa que el cilindo uede sin desliza. Analizando ahoa el poblema desde un punto de vista enegético: (f) Discute qué fuezas ealizan tabajo duante el movimiento y como podías evalualo. (g) Detemina la velocidad y la enegía cinética del cilindo y el bloque cuando este ha descendido 1m. 01 A 00 11 00 11 m B Figua 3: Poblema 1