ESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 4 Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables Contextualización En la sesión anterior se definió el concepto de variable aleatoria como una función que relaciona con un número real a cada elemento del espacio muestral asociado a un experimento. Asimismo, se definió el concepto de distribución de probabilidad como la asignación de probabilidades a cada posible valor de una variable aleatoria. Se destacó la particularidad de que, sobre diferentes experimentos no relacionados entre sí, es posible definir variables aleatorias cuyo comportamiento sea explicado por un mismo modelo de distribución de probabilidad.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 2 Introducción al Tema En base a las necesidades que se han tenido en las áreas de la mercadotecnia, la publicidad, estadística, matemáticas, la vida cotidiana y muchas mas, se han desarrollado modelos generales de distribuciones de probabilidad entre los que pueden destacarse las distribuciones binomial, hipergeométrica y de Poisson. Son estas dos últimas las que estudiaremos en la presente sesión, y alguna de las funciones con las que cumple o los elementos que puede abarcar para cumplir con los aspectos que se deseen satisfacer.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 3 Explicación Distribución hipergeométrica Al realizar el muestreo de una población finita en el que se ha definido qué se entenderá por éxitos o por fracasos por ejemplo, las respuestas de personas respecto a un cierto candidato político, las preferencias relativas a ciertos productos o un conjunto finito de observaciones de un lote que contiene productos normales y productos defectuosos, los supuestos de un experimento binomial se cumplen puntualmente si cada elemento obtenido en la muestra se vuelve a incorporar a la población antes de obtener una nueva muestra para una nueva observación. Este tipo de muestreo se conoce como muestreo con reemplazo. No obstante, en la práctica suele emplearse el muestreo sin reemplazo. Caracterización de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica Se tiene un conjunto de N elementos, en donde r se consideran fracasos y (N r) Definimos la variable aleatoria X como el número de fracasos encontrados en la muestra. Entonces, dado que X=k si y sólo si se obtienen en la muestra exactamente k fracasos (de los r fracasos del conjunto total) y exactamente (n k) éxitos (de los N r éxitos del conjunto total), se tiene que: P(X=k)=, k= 0, 1, 2, En donde N = Número total de elementos.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 4 r = Número de fracasos en el conjunto total. n = Número de elementos de la muestra extraída del conjunto total. k = Número de fracasos encontrados en la muestra. La expresión anterior corresponde a una variable aleatoria con distribución de probabilidad hipergeométrica. Ejemplo Supóngase que se tiene un lote de 15 productos, de los cuales se extraen al azar cinco para su revisión. Si en el lote total existen siete productos defectuosos, cal- cular la probabilidad de que en la muestra extraída se encuentren tres productos defectuosos. En el ejemplo se observa que un producto defectuoso corresponde a la categoría fracaso y, de forma complementaria, un producto normal se considera éxito. Asimismo, se tiene que: N = 15 r = 7 n = 5 k = 3 Entonces, se debe calcular P(X= 3), lo cual se obtiene al sustituir los valores anteriores en la fórmula de la distribución hipergeométrica: P(X=3)= P(X=3)=
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 5 P(X=3)= = 0.32634 P(X=3)= = 32.63% Aunque la distribución de probabilidad hipergeométrica es de uso frecuente en estudios de control de calidad, tiene un amplio campo de aplicación en ciencias exactas, sociales, de la comunicación, administrativas y en estudios de mercado. Entre otros fenómenos, permite estudiar: Preferencias electorales de los votantes. Preferencias de los consumidores ante ciertos productos. Proporción de personas que padecen una cierta enfermedad. Distribución de Poisson Esta distribución de probabilidad debe su nombre al célebre matemático francés Siméon D. Poisson (1781-1840). Esta distribución es de especial importancia dado que se emplea como modelo para cuantificar la frecuencia relativa de eventos poco comunes y que ocurren en una unidad determinada de tiempo, área o volumen. Por ejemplo: Número de llamadas telefónicas que recibe una estación de bomberos en una hora. Número de personas que llegan a la fila de un banco por minuto. Número de accidentes automovilísticos que ocurren por día en una autopista. Investiga la biografía de Siméon D. Poisson y contesta, por qué crees que abandonó el ejercicio de la medicina y se dedicó a la matemática?
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 6 Conclusión Para determinar las probabilidades estadísticas, es importante conocer las características de los elementos que se estudian, pues pueden ser una parte importante que aclara o utiliza en las hipótesis detectando si son afirmativas, negativas, alternativas o de cualquier tipo. Conocer los tipos de determinaciones en la estadística es importante para aplicarlas en función de la investigación, por ejemplo, en este caso se aprecia que se trata de elementos hipergeometricos, los que cumplen con un determinado numero de características especiales de cada situación, ya sea, tiempo, velocidad, peso, dinero, edad, o cualquier característica.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 7 Caracterización de una variable aleatoria con distribución de Poisson 1. En el experimento se cuantifica el número k de veces que ocurre un evento específico durante una unidad de tiempo dada u otras unidades espaciales o físicas. 2. La probabilidad de ocurrencia de un evento en una unidad dada es la misma para todas las unidades de tiempo. 3. El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo dada es independiente del número de eventos que ocurran en otras unidades de tiempo. 4. El número medio (también conocido como valor esperado) se representa con la literal griega λ (lambda). La probabilidad de que un cierto evento ocurra k veces en una unidad de tiempo determinada P(X=k) corresponde a la distribución de probabilidad para una variable aleatoria de Poisson, lo que se denota como p(k;λ) y se calcula mediante la siguiente expresión: En donde: k = Número de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo. λ = Número medio de eventos que ocurren en una unidad de tiempo. e = Base de los logaritmos naturales con un valor 2.71828... Ejemplo: Supóngase que a una estación de ambulancias llega un promedio de 0.7 llamadas de auxilio por hora. Calcular la probabilidad de que: A una cierta hora lleguen exactamente dos llamadas de auxilio. A una cierta hora lleguen a lo más dos llamadas de auxilio.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 8 Se sabe que: λ = 0.7 k = 2 Entonces, sustituyendo estos valores en la respectiva fórmula se tiene para el primer evento: Y en lo que respecta al segundo evento, se requiere sumar la probabilidad de que lleguen cero llamadas más la probabilidad de que llegue una llamada más la probabilidad de que lleguen dos llamadas:
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 9 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes elementos. 1.- resuelve los siguientes ejercicios mediante distribución hipergeométrica a) Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una que contiene 9 azules y 3 negras. Encontrar la probabilidad de haya 6 canicas azules dentro de las 8 que se extrajeron. b) Un vendedor de insecticidas quiere vender a una planta un lote de 50 barriles de cierto producto. El gerente de la plata sospecha que los barriles están caducos, pero el vendedor sostiene que solo 10 barriles han caducado y esta dispuesto a permitir que se analicen 5 barriles sin costo para el comprador, para que este decida si adquiere el lote. Cuál es la probabilidad de que el gerente encuentre 4 o mas de los 5 barriles examinados han caducado, suponiendo que el vendedor tiene razón en su afirmación? c) Una caja contiene 10 focos, de los cuales 3 son defectuosos. Cuál es la probabilidad de que si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de tamaño 2, se extraiga cuando mucho un foco defectuoso?
ESTADÍSTICA INFERENCIAL 10 Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica. Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana. Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana. Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM. Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.