Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Ángulos entre rectas y planos en el espacio Ángulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas es el determinado por sus respectivos vectores de dirección Este ángulo no depende de que las rectas se corten o no Su valor se obtiene aplicando el producto escalar Si las rectas son: r x a + λvr y s x b + λvs ángulo (r, ángulo ( v r, vs ) En consecuencia: vr vs cos (r, cos( vr, vs ) vr vs Observaciones: ) Suele elegirse siempre el valor del ángulo agudo; por tanto, si cos( v r, v tomará en valor absoluto v w ) Recuérdese: v w v w cos( v, w) cos( v, w) v w Si v ( a, a, a3) y w ( b, b, b3 ) v w a b + a b + a b ; v a + a + ; w b + b + 3 3 a3 b3 s ) fuese negativo se 4t x y + z 3 El ángulo que forman las rectas r : y s : y + 5t es el que forman 3 3 los vectores v r (,, 3) y v s (4, 5, ): vr vs 3 3 3 cos (r, cos( vr, vs ) α arccos 8,8º vr vs 4 4 574 574 Observación: Se toma el ángulo más pequeño, el agudo, y con signo positivo Ángulo entre dos planos El ángulo entre dos planos es el determinado por sus vectores característicos Si los planos son: π : ax + by + cz + d y π : a x + b y + c z + d ángulo (π, π ) ángulo ( v π, v π ) En consecuencia: vπ vπ a a + b b + c c cos( π, π ) cos( v π, vπ ) vπ v π á + b + c a + b + c
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías a) El ángulo que forman los planos π : x y z 3 y π : x + y z + es el formado por los vectores normales: v π (,, ) y v π (,, ) Luego, + cos( v π, vπ ) ángulo (π, π ) arccos /3 7,5º 3 3 3 b) El ángulo que determinan los planos: π : x + y + z + y π : x + y + z es de 9º, pues: cos( v π, vπ ) (,, )(,, ) ángulo (π, π ) 9º + + ( ) + + 6 3 Por tanto, ambos planos son perpendiculares 3 Ángulo entre una recta y un plano Es el menor de los ángulos entre la recta r y cualquier recta contenida en el plano π; coincide con el ángulo entre r y r, siendo r la proyección de r sobre π Su valor es complementario del ángulo formado por el vector de dirección de la recta y el vector característico del plano Esto es, ángulo (r, π) 9º ángulo ( vπ, vr ) En consecuencia, vπ vr sen (r, π) cos ( v π, v r ) vπ vr Recuérdese que sen α cos (9º α) Si α º, la recta es paralela o está contenida en el plano; si α 9º, la recta y el plano son perpendiculares x y + z 3 a) El ángulo que forma la recta r : con el plano π : x y z 3 es el 3 complementario del formado por los vectores v r (,, 3) y v π (,, ) Luego, 3 sen (r, π) cos ( v r, v π ),386 (se tomará su valor absoluto) 4 3 4 ángulo ( v r, v π ) arccos (,386) 7,3º ángulo (r, π) 7,97º + t b) El ángulo que determina la recta: r : y con el plano π : x es el complementario t del determinado por los vectores: v r (,, ) y v π (,, ) Luego, (,,) (,, ) sen (r, π) ángulo (r, π) π/4 45º
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 3 Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos en el espacio Paralelismo entre rectas y planos Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen el mismo vector de dirección (o cuando son proporcionales: v kv, k ) Las rectas r : x a + λ v y s : x b + tv son paralelas s r + a) Las rectas r : y t y s : y + t son paralelas 7 t 5 t b) La paralela a las rectas anteriores que pasa por el punto que P (x, y, z ) es x + s : y y + t z t Planos paralelos Dos planos son paralelos cuando tienen el mismo vector característico (o cuando sus componentes son proporcionales: v kv π π, k ) Los planos π : ax + by + cz + d y π : ax + by + cz + d son paralelos: sus ecuaciones se diferencian en el término independiente a) Los planos π : x y + 4z 3 y π : x y + 4z + 5 son paralelos b) El plano paralelo a los anteriores que pasa por el punto que P(x, y, z ) tiene por ecuación ( x x ) ( y y ) + 4( z z ) En particular, el plano paralelo a π que contiene a P(3,, ) es: x 3 y + + 4 z x y + 4z 3 ( ) ( ) ( ) Recta y plano paralelos Una recta es paralela a un plano cuando el vector de dirección de la recta, v r, es perpendicular al característico del plano, v π En consecuencia, v r v π x y 3 z La recta r es paralela al plano π : x + y + 4z 3, pues los vectores v r (,, ) y v π (,, 4) son perpendiculares En efecto: v r v π + 4 Existen infinitas rectas paralelas a un plano dado Y recíprocamente, existen infinitos planos paralelos a una recta dada Por tanto, para la determinación de un elemento a partir de otro habrá que añadir las condiciones necesarias A continuación se ven dos casos concretos Plano paralelo a dos rectas que se cruzan Un plano paralelo a dos rectas debe contener a los vectores de dirección de cada una de ellas Para determinarlo es necesario, además, conocer uno de sus puntos
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 4 Para hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(, 3, ) y es paralelo a las dos rectas siguientes: x y + 3 x z 5 r : z + r : x + 3y z ) Se observa que el plano pedido estará determinado por el punto P (, 3, ) y por los vectores de dirección de las rectas dadas, v r y v r El vector v r (,, ) Para obtener v r se expresa r en forma paramétrica Para ello basta con despejar x en la primera ecuación y sustituir en la segunda Así: x 5 + z x z 5 x 5 + z r : r : r : 3y z x + 3y z (5 + z) + 3y z z z x + z 5 5 + t 3 r : y z r : y t Por tanto, v r (3,, 3) 3 3 3 z z ) La ecuación del plano (que queda definido P(, 3, ), v r (,, ) y v r (3,, 3)), será: x λ + 3µ x 3 π : y 3 + λ µ π : y 3 π: 7 x + 6( y 3) 5( z ) + λ + 3µ z 3 π: 7 x + 6y 5z 8 Recta paralela a dos planos que se cortan El vector de dirección de la recta paralela a dos planos es perpendicular a cada uno de los vectores característicos de los planos dados Por tanto, puede obtenerse multiplicando vectorialmente dichos vectores Para determinar una recta concreta será necesario, además, conocer uno de sus puntos Para hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, 3, ) y que es paralela a los planos de ecuación π : x 3y + z y π : x + 3y 5 ) Se halla su vector de dirección, que es: v r v π v π Como v π (, 3, ) y v u u u3 π (, 3, ) se tiene que: v π v π 3 3,, 6 3 ) Como contiene al punto P (, 3, ), su ecuación será: ( ) r : y 3 + t 6t
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 5 Perpendicularidad entre rectas y planos Recta y plano perpendiculares Una recta y un plano son perpendiculares v cuando el vector de dirección de la recta, r, es paralelo al característico del plano, v π En consecuencia, k v v r π Existen infinitas rectas perpendiculares a un plano dado Y recíprocamente, existen infinitos planos perpendiculares a una recta dada Por tanto, para la determinación de una recta concreta a partir de un plano, o de un plano a partir de una recta, habrá que añadir las condiciones necesarias; por ejemplo, un punto + a) La recta r : y t es perpendicular al plano π : 3x + y z 3, pues los vectores 7 t v r y v π son iguales: v r v π (3,, ) a + b) Las rectas de ecuaciones r : y a + t y los planos de ecuación π : 3x + y z + d a3 t son perpendiculares Para determinar una recta o un plano concreto bastará con dar un punto x + c) La recta perpendicular a π que pasa por P(x, y, z ) es r : y y + t En particular, si P (, 3, 5) la recta será r : y 3 + t 5 t z z d) El plano perpendicular a r que pase por el punto Q(x, y, z ) es π : 3( x x ) + ( y y ) ( z z ) En particular, si Q (,, 6) el plano es: π : 3( x ) + ( y + ) ( z 6) π : 3x + y z + 7 Obsérvese que en todos los casos v (3,, ) v r π t Perpendicularidad entre dos rectas Dos rectas son perpendiculares cuando lo son sus respectivos vectores de dirección Existen infinitas rectas perpendiculares a una dada En particular, son perpendiculares a r todas las rectas contenidas en un plano π perpendicular a r Por tanto, para la determinación una recta concreta habrá que añadir las condiciones necesarias; por ejemplo, un punto, una dirección, indicar que deben cortarse
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 6 a) Las rectas 3λ r : y 3 + λ y 5 λ v r (3,, ) y v s (,, ) lo son: v r s s : y t son perpendiculares, pues los vectores t v (3,, ) (,, ) + + 3λ b) Para hallar la recta perpendicular a r : y λ que pase por el punto P(,, ) y que + λ además corte a r, puede hacerse lo siguiente: ) Hallar el plano π perpendicular a r que contenga a P Como su vector característico, v π, debe ser igual a v r (3,, ) y, además, contener a su ecuación es: π : 3( x + ) + y + ( z ) π : 3x + y + z + 4 ) Hallar el punto Q, intersección de r y π Para ello se sustituyen las ecuaciones de la recta en la del plano: 3 + 3λ + λ + + λ + 4 λ Q (,, ) ( ) ( ) 3) La perpendicular pedida es la que pasa por los puntos P y Q Su ecuación es: Perpendicularidad entre dos planos Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus respectivos vectores característicos Existen infinitos planos perpendiculares a uno dado Por tanto, para la determinación uno concreto habrá que añadir las condiciones necesarias; por ejemplo, que contenga a un punto, que sea paralelo a una recta o que la contenga (Recuérdese que un plano queda definido por un punto y dos vectores; en este caso, al ser perpendiculares al plano π, sólo se conoce uno de esos dos vectores, que es v π ) + t p : y t t a) Los planos π : 3x + y + z + 4 y π : y z son perpendiculares pues los vectores v π (3,, ) y v π (,, ) lo son: v π v π (3,, ) (,, ) b) La ecuación del plano π perpendicular a π x y + 3z 6 y que λ contiene a la recta r y, viene determinada por el punto λ P(,, ) y los vectores v r (,, ) y v π (,, 3) 3 λ + µ x + 3 Su ecuación es: π y µ π y π x + 5y + z z 4 + λ + 3µ z 4 3
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 7 3 Perpendicular común a dos rectas Existen infinitas rectas perpendiculares a dos dadas El vector de dirección de las perpendiculares se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores de dirección de las rectas dadas; esto es: v p vr vs La recta perpendicular común que suele interesar (la que se busca) es la que corta a ambas rectas Perpendicular común a dos rectas que se cortan Viene definida por el punto P de corte y por el vector v problema sencillo) p v v (Se trata, pues, de un r s t λ Para determinar la perpendicular común, p, a las rectas r y t y s y λ, que + t λ se cortan en el punto P(,, ), basta con calcular el vector v p vr vs Como v u u u3 t r v ( ) s,, 3 p y t Perpendicular común a dos rectas que se cruzan Hay dos maneras de calcularla: Primer método: A partir de dos puntos genéricos Se toman dos puntos genéricos, uno de cada una de las rectas dadas, R r y S s, y se impone la condición de que el vector RS (o SR) sea perpendicular a los de dirección de las rectas, v r y v s RS vr Se obtiene así el sistema: RS vs Se resuelve el sistema para obtener los puntos R y S concretos La recta p queda definida por el punto R (o S) y el vector RS Para hallar la recta perpendicular común a las retas r y s, de ecuaciones: x : + y z x y + z + r s : 4 3 ) Se toman puntos genéricos de r y s: R ( h, + h, 4h), S ( +, + t, + t) El vector SR ( 3 h, 3 + h t, 4h t), que indica la dirección de la recta perpendicular común a r y s, debe ser perpendicular a los de dirección de r y s: v r (,, 4) y v s (3,, ) ) Se multiplica escalarmente (SR v r, SR v s ), y se obtiene el sistema: 4h + 8t + 4 3 8 h y t 8h t 4 5 5
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 8 Con esto: 44 94 47 6 6 33 58 R,,,,, S,, y 5 5 5 5 5 5 5 5 5 48 8 64 RS,, ( 3, 5, 4) 5 5 5 3) La recta perpendicular común, que pasa por R y lleva la dirección de RS es: / 5 p : y 47 / 5 + 5t z 6 / 5 + 4t Segundo método: A partir de dos planos La perpendicular común puede obtenerse mediante la intersección de los planos πr y π s El plano πr viene determinado por la recta r, a la que contiene, y por el vector v v r s El plano π s viene determinado por la recta s, a la que contiene, y por el vector v v r s Para las rectas: como sigue: ) Se halla v r v u s ) Se hallan π r y π s : πr λ r y λ y λ u, determinado por r y v r s x µ s y + µ, la perpendicular común puede obtenerse u3 (,, ) v π r : 3 y 3z y + z π s, determinado por s y v r v s π r π λ + h x : y λ h y λ + h z µ + t x y + µ t y t z s π s : x y 5z + 3) Por tanto, la perpendicular común es: λ y + z y z ( y λ) p y λ x y 5z + x + y + 5z λ Observación: El lector interesado debería hacer cada uno de estos ejemplos mediante el método alternativo; y comprobar que la solución es la misma
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 9 3 Proyecciones en el espacio 3 Proyección de un punto sobre un plano La proyección de un punto P sobre un plano π es el punto P del plano tal que el vector PP es perpendicular al plano; P es el punto más cercano de π a P Se puede encontrar hallando intersección de la recta r, perpendicular a π por con el plano π a) Para hallar la proyección de P(,, ) sobre el plano π : 3x + y z + 7 : ) Se halla la recta perpendicular a π que contiene a P r : y + t t ) Se halla el corte entre r y π π : 3( + ) + ( + t) ( t) + 7 t 9 / 4 Por tanto, el punto P ( 3/4, 3/4, 8/4) b) La proyección de un punto cualquiera sobre los planos cartesianos es inmediata Basta con hacer la coordenada correspondiente Así, por ejemplo, la proyección de P(,, 3) sobre el plano z es P (,, ); sobre el plano y es P (,, 3); y, por último, sobre el plano x es P (,, 3) 3 Proyección de una recta sobre un plano La proyección de una recta r sobre un plano π es la recta que se obtiene al proyectar dos puntos de r sobre π También se puede encontrar hallando la intersección de los planos π y π, siendo π el plano perpendicular a π que contiene a r (Este plano π está determinado por la recta r y por el vector v π ; esto es, por un punto A r y por los vectores v r y v π ) a) Para hallar la proyección de la recta π : 3x + y z 7 : x y + 3 z + r : sobre el plano ) Se halla el plano π determinado por A(, 3, ) r, v r (,, ) y v π (3,, ) t + 3h x 3 Su ecuación es π : y 3 + t + h π : y + 3 π : 6x + 4y 7z + 5 + t h z + ) Las ecuaciones de la recta proyectada son: x / 6 + λ /8 3x + y z 7 r : En forma paramétrica: 6x + 4y 7z + 5 r : y 9 / 6 + λ / 6 z λ
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías Observación: El lector interesado debería comprobar que se obtiene el mismo resultado proyectando dos puntos de r sobre π; por ejemplo, los puntos P(, 3, ) y Q(,, ) b) La proyección de una recta cualquiera sobre los planos cartesianos es algo más sencilla Basta con hacer la coordenada correspondiente Así, por ejemplo, la proyección de la recta r : y + t sobre el plano z se halla 3 t proyectando, por ejemplo, los puntos P(,, 3) y Q(4,, ) de ella, obteniéndose los puntos P (,, ) y Q (4,, ), respectivamente La recta proyectada es: r : y + t (Obsérvese que basta con hacer la componente z) Igualmente, la proyección de r : y + t sobre el plano x será 3 t (En este caso se hace la componente x) r : y + t 3 t Y sobre el plano y será r : y 3 t 33 Proyección de un punto sobre una recta La proyección de un punto P sobre una recta r es el punto P de la recta tal que el vector PP es perpendicular a ella; el punto P es el más cercano de r a P El punto P se puede encontrar hallando la intersección del plano π, perpendicular a r por con la recta r t Para hallar la proyección de P(,, ) sobre la recta r : y + t : 3 ) Se halla el plano perpendicular a r que contiene a P π : x + y + d Como debe contener a P(,, ) + + d d El plano es π : x + y ) Se halla el corte entre r y π π : ( ) + ( + t) Por tanto, el punto P ( /5, /5, 3) t t 3/5
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 4 Simetrías en el espacio 4 Simetría de un punto respecto de otro Dado un punto su simétrico respecto de M, es otro punto P tal que el punto medio entre P y P es el punto M Como P y M son conocidos, suponiendo que P (x, y, z ) e imponiendo que las coordenadas de M sean las del punto medio, se deducen x, y y z Si P (,, 7) y M (, 3, 5), suponiendo que el simétrico es P (x, y, z ), el punto medio + + 7 + x y z entre P y P será: M,, Como M (, 3, 5) (, 3, 5) + x + y 7 + z,, + x x ; + y 3 5 y ; 7 + z 5 z 3 Por tanto, P (, 5, 3) 4 Simetría de un punto respecto de un plano Dado un punto su simétrico respecto de un plano π, es otro punto P tal que el punto medio entre P y P es el punto M π, y, además, el vector PP es perpendicular al plano Por tanto, el punto P, simétrico de P respecto del plano π, es el simétrico de P respecto de M, siendo M la intersección del plano π con la recta que pasa por P y es perpendicular al plano Para hallar el punto simétrico de P (,, ) respecto de π : x y + z 3, se puede hacer lo siguiente: ) Se calcula el punto M: es el de corte de la recta r, perpendicular a π por con dicho plano Como v λ π (,, ), se deduce que r : y λ + λ Corte de la recta r con plano π: λ ( λ) + ( + λ) 3 λ M (,, ) ) Suponiendo que el simétrico es P (x, y, z ), el punto medio de P y P es: x + y + z M,, x + y + z Como M (,, ) (,, ),, x x ; + y + z y 3; z Por tanto, el punto simétrico de P respecto de π es P (, 3, )
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 43 Simetría de un punto respecto de una recta Dado un punto su simétrico respecto de una recta r es otro punto P, que cumple: ) El punto medio, M, entre P y P debe ser de la recta ) El vector PM debe ser perpendicular al vector v r de dirección de la recta Esto es, debe cumplirse que v r PM (El punto M puede determinarse mediante el corte de r con el plano π, que contiene a P y es perpendicular a r) a) Para hallar el punto simétrico de P (,, 9) respecto de la recta t r : y 3 + t, puede hacerse lo siguiente: 4t ) Sea M un punto genérico de la recta: M (t, t + 3, 4t) Por tanto: PM (t, t + 3, 4t) (,, 9) (t, t +, 4t 9); v r (,, 4) Como debe cumplirse que v r PM, entonces: (,, 4) (t, t +, 4t 9) t + t + + 6t 36 8t 36 t Luego, M (, 5, 8) a + b + c + 9 ) Si P (a, b, c), el punto medio entre P y P será: M,, Como M (, 5, 8), igualando las coordenadas de ambos M se tiene: a + b + c + 9 a 3; 5 b 8; 8 c 7 Luego, el punto el punto simétrico de P respecto de r es: P (3, 8, 7) b) Como se ha dicho arriba, un método alternativo para calcular M consiste en hallar el punto de intersección entre la recta y su plano perpendicular + y Así, si P (,, ) y la recta r, para hallar su simétrico P se procede como z sigue: t ) Se hallan unas ecuaciones paramétricas de la recta: r y t z Por tanto, el plano π, perpendicular a r es π : x + y + d ; y como contiene P (,, ), se tendrá que 4 + d d 4 Luego, π : x + y + 4 ) Se calcula ahora el punto M, intersección de π con r: ( t ) + t + 4 5t + 4 t 4/5 Luego, M (8/5, 4/5, ) 3) Una alternativa a imponer que M sea el punto medio entre P y P es exigir que los vectores PM y MP sean iguales
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 3 Si P (a, b, c) se cumple: PM MP 4 PM (8/5, 4/5, ) (,, ),, 5 5 8 4 MP (a, b, c) (8/5, 4/5, ) a, b+, c 5 5 Luego, 8 6 4 4 8 a a ; b + b ; c c 5 5 5 5 5 5 6 8 El punto buscado es P,, 5 5 5 Distancias en el espacio 5 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A y B, d(a, B), es igual al módulo del vector AB Si las coordenadas de esos puntos fuesen A ( a, a, a3) y B ( b, b, b3 ), entonces AB b a, b a, b ) ( 3 a3 AB b a + b a + b3 a3 d(a, B ) ( ) ( ) ( ) Si A (,, ) y B (3,, 4), la distancia, d(a, B) (3 ) + ( ( )) + (4 ) Observa que coincide con el módulo del vector: AB b a (3,, 4) (,, ) (,, 4) 4 AB + + Observa también que: d(a, B) d(b, A) BA ( 3) + ( ( )) + ( 4) 5 Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto P a un plano π es la distancia entre P y su proyección P sobre π Es la menor de las distancias entre P y cualquiera de los puntos de π Se puede determinar proyectando el punto sobre el plano, para calcular después la distancia entre ambos puntos Existe una fórmula que facilita su cálculo, que es: ax + by + cz + d d( P ( x, y, z ), π : ax + by + cz + d ) a + b + c Obtención de esta fórmula Sea P (x, y, z ) y P (x, y, z ) su proyectado sobre el plano π : ax + by + cz + d Se cumple que los vectores P P y v π (a, b, c) son paralelos Por consiguiente: P P vπ P P vπ P P vπ cosº P P vπ P P vπ d( π) P P (*) v π
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 4 Como P P (x, y, z ) (x, y, z ( x x, y y, z z ) P P v a( x x ) + b( y y ) + c( z z ) ax + by + cz ( ax + by + cz ) π ), el producto escalar P P vπ ax + by + cz + d, pues de + by + cz + d Por otra parte, v r a + b + c Luego, sustituyendo en (*), queda: d ( P ( x, y, z ), π : ax + by + cz + d ) ax ( ax + by + cz ) d ax + by + cz + d a + b + c La distancia del punto P (, 3, 4) al plano π : x 5y + z 7 es: ( (, 3, 4), : 5 7 ) d P π x y+ z ( ) 5 3 + 4 7 + ( 5) + 4 3 3 Distancia entre dos planos paralelos La distancia entre dos planos paralelos π y π' es igual a la distancia de cualquier punto de π al plano π : d ( π, π ) d( π ), P π La distancia entre los planos π : x 5y + z 7 y π : x 5y + z + 3 es igual a la distancia del punto P(,, 3) π al plano π Vale: (, ) d P π 3 7 + ( 5) + 3 53 Plano bisector de dos planos dados que se cortan Dados dos planos π y π que se cortan en una recta, el plano bisector de ellos es el que divide el ángulo diedro que determinan en dos ángulos iguales (Es el concepto análogo a la bisectriz de un ángulo determinado por dos recta Propiedad Todos los puntos del plano bisector están a la misma distancia de los planos dados Esto es, si el punto P(x, y, z) pertenece al plano bisector π, se cumple que d ( π ) d( π ) Por tanto, si los planos dados son: π : a x + b y + cz + d y π : a x + b y + c z + d, La ecuación del plano bisector será: ax + b y + cz + d a x + b y + c z + d a + b + c ± a + b + c El signo ± advierte que hay dos soluciones
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 5 El plano bisector de los planos π : 3x 4y 6 y π : x y + z, viene dado por la ecuación: 3x 4y 6 x y + z 3x 4y 6 x y + z 3 + ( 4) ± + ( ) + 5 ± 3 Los planos bisectores son: π : + 3( 3x 4y 6) 5( x y + z ) π : x + y + 5z + 3 π : 3( 3x 4y 6) 5( x y + z ) π : 9x y + 5z 3 Observación: Puede verse que los planos bisectores son perpendiculares 54 Plano mediador de dos puntos (de un segmento) Dados dos puntos A y B, el plano mediador del segmento AB es el plano perpendicular al segmento y que contiene a su punto medio M (Es el concepto análogo al de mediatriz de un segmento) Propiedad Todos los puntos del plano mediador están a la misma distancia de los extremos del segmento Esto es, si el punto P(x, y, z) pertenece al plano mediador π, se cumple que d ( A) d( B) La ecuación del plano mediador se halla fácilmente si se tiene en cuenta que su vector director es AB y que contiene al punto M Dados los puntos A(, 3, ) y B(,, ), el plano mediador del segmento AB tiene por vector director a v π AB (,, 4) (, 3, ) (4, 4, ) Por tanto, su ecuación será: π : 4x 4y + z + d + 3 + Como contiene al punto M,, (,, ), debe cumplirse que d Luego, el plano mediador es π : 4x 4y + z + π : x y + z + d A d B, suponiendo que P(x, y, z), se tendrá: Si se aplica la propiedad ( ) ( ) d ( A) ( x + ) + ( y 3) + z ( x ) + ( y + ) + ( z ) d( B) Elevando al cuadrado se obtiene la misma ecuación: π : x y + z + 55 Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P y su proyección P sobre r Es la menor de las distancias entre P y cualquiera de los puntos de π Se puede determinar proyectando el punto sobre la recta, para calcular después la distancia entre ambos puntos Existe una fórmula que facilita su cálculo, que es: AP vr d( r) vr Obtención de esta fórmula En la figura de la derecha se ha sombreado el triángulo determinado por los vectores AP y v r, A r La superficie, S, del triángulo puede determinarse de dos formas: mediante el producto
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 6 vectorial; o a partir de su base y su altura, que es la distancia de P a r base altura v r d( r) Esto es: S AP vr y S Igualando y despejando se obtiene: AP v v d( r) r r AP v AP vr vr d( r) d( r) v t La distancia entre el punto P (,, ) y la recta r y + t se calcula como sigue: + ) Se determina el vector AP, con A (,, ) y el producto vectorial AP v r : AP (,, ) (,, ) (3,, ) Como v r (,, 3): AP v u u u3 r 3 ( 6, 9, ) 3 Se tiene que AP v ( 6) + 9 + ( ) 8 ; v ( ) + + 3 4 r ) Se aplica la fórmula: AP vr 8 59 d( r) vr 4 7 Observación: Es más intuitivo, y alguna vez más rápido, determinar esa distancia calculando el punto, P, de corte del plano perpendicular a r que contiene a P d r d P 56 Distancia entre dos rectas Distancia entre dos rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralelos r y s es igual a la distancia de cualquier punto de r a la recta s: d ( r, d(, P r r r r ( ) ( ) t x t La distancia entre las rectas paralelas r y + t y s y + t, se calcula como + z sigue: ) Se halla el plano perpendicular a las rectas por el punto P(,, ) de r: su vector característico es vπ vr (,, 3); y su ecuación: π : ( x + ) + ( y ) + 3( z + ) π : x + y + 3z ) Se calcula el punto de corte, P, de ese plano con la recta s: t + + t + 3 + t P (,, ) ( ) ( ) ( ) 3) La distancia d ( r, d( d( P ) + ( 4) +
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías 7 Distancia entre dos rectas que se cruzan La distancia ente dos rectas, r y s, es la menor de las distancias posibles Es la distancia de un punto cualquiera de r al plano paralelo a ella que contiene a s: d ( r, d( π), P r y π plano paralelo a r que contiene a s t La distancia entre las rectas que se cruzan r y + t y + ) Se halla el plano π, paralelo a r que contiene a s Su ecuación, que viene determinada por s y por v r (,, 3), es: + λ x 3 π : y t + λ t + 3λ + t, se calcula así: s y z t y π: 7 x y z + 5 z 3 ) d ( r, d( π), P(,, ) r Luego, 7 ( ) ( ) + 5 d ( r, ( 7) + ( ) + ( ) 7 Observación: La distancia entre dos rectas también puede obtenerse a partir del producto mixto Recuérdese que el volumen de un paralelepípedo, que es igual al área de una de sus bases por la altura correspondiente, se halla también mediante el producto mixto de tres vectores que parten de un vértice y siguen la dirección de sus aristas; por otra parte, el área de una de sus bases se obtiene multiplicando vectorialmente los dos vectores que la determinan Esto es: V [ v, v, SR] v v d r s r s [ v, v, SR] r s Despejando d d( r,, se obtiene: d( r,, v v r s siendo SR un vector que va de r a s: R r y S s Para las rectas del ejemplo anterior: v r (,, 3), v s (3,, ) y SR (,, ) (,, ) ( 3,, ) 3 El producto mixto vale: 3 3 u u u3 El producto vectorial, v r vs 3 (7,, ) v r v s 7 3 [ v, v, SR] r s En consecuencia, d( r, v v 7 7 r s