DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con formas cónicas Objetivos de aprendizaje 1. Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen del cono. Reconocer las formas cónicas a partir de los elementos que la componen. Caracterizar objetos con forma cónica a partir del área de su superficie. Caracterizar objetos con forma cónica a partir de la medida de su volumen. Introducción El cono y sus aplicaciones Por su variedad en las formas y tamaños, las figuras geométricas las podemos encontrar en varios lugares y objetos de la vida cotidiana. En muchas situaciones de tu vida has utilizado y manipulado objetos que en su forma corresponde a figuras geométricas. Observa la figura 1. Figura 1. Sombrero cónico Cono: una de las tantas definiciones de cono puede ser: Cuerpo redondo limitado por una superficie curva y una base plana de forma circular Figura 2. Objetos en forma de cono Por sus características en algunas ocasiones la forma del cono es utilizada en recipiente Figura 3. Montaña Otro ejemplo donde se presentan formas cónicas es en la naturaleza, donde se pueden hallar cantidad de montañas, árboles, volcanes y piedras cuya forma se asemeja a un cono. SM_M_G09_U02_L02_M 1
Figura 4. Los conos de Tlacoaleche Cada vez son más los arquitectos y diseñadores que usan diseños cónicos en sus estructuras, para darle otra perspectiva a sus diseños. Figura 5. Tres conos Los conos no sólo los vemos en la naturaleza y en las edificaciones de las ciudades, también los podemos ver en los lugares cotidianos cumpliendo una función de señal o aviso. Guía de observación de la animación Actividad 1 Observa detenidamente la animación presentada por el docente. Luego responde. Qué elementos se mostraron en la animación? Podrías describir la forma de cada uno de ellos? SM_M_G09_U02_L02_M 2
Dibuja las figuras geométricas que componen la figura cónica. Además dibuja algunos objetos cotidianos que tengan forma cónica. SM_M_G09_U02_L02_M 3
Actividad 2 Observa la animación sobre la formación del cono. Figura 6. Formación de cono Figura 7. Formación de cono Describe el proceso de formación del cono y qué figuras geométricas forman parte de la construcción del cono. Actividad 3 Da tu apreciación de la animación. Redacta tu propia definición de cono y en la siguiente cuadricula plasma lo visto en ella por medio de un dibujo. SM_M_G09_U02_L02_M 4
A partir de la animación presentada en la actividad 2, completa los espacios para leer la definición completa del cono. En, un cono es un generado por el giro de un alrededor de uno de sus. El que se forma a partir del giro del triángulo se denomina base y al punto donde confluyen las se le llama. Participa de la socialización de las definiciones presentadas por tus compañeros. SM_M_G09_U02_L02_M 5
Actividad 4 Traza las líneas más importantes en el siguiente cono y una posible definición de cada una de ellas: Figura 8. Cono recto SM_M_G09_U02_L02_M 6
Actividad 5 Escribe la definición de cada uno de los tipos de conos que nos presentaron en el interactivo. Haz su respectivo dibujo: Definición de los tipos de cono Dibuja el cono respectivo SM_M_G09_U02_L02_M 7
Actividad 6 Marca con una X a qué tipo de cono corresponde cada una de las imágenes. Justifica las razones de la elección. Figura Ángulos Recto Truncado Oblicuo Justifica: Figura 9. Catedral metropolitana-rio de Janeiro Recto Truncado Oblicuo Justifica: Figura 10. Macetas minimalistas Recto Truncado Oblicuo Justifica: Figura 11. Cono volcánico SM_M_G09_U02_L02_M 8
Figura 12. Iglesia Sagrado corazón de Jesús Figura 13. Zona Trulli Figura 14. Cono corneta Recto Truncado Oblicuo Justifica: Recto Truncado Oblicuo Justifica: Recto Truncado Oblicuo Justifica: Actividad 7 Utiliza materiales como cartulina, cartón, cartón paja, entre otros, y recorta las plantillas. Observa y analiza las partes que constituyen el desarrollo de cada cono. Luego aplica las fórmulas para el área de superficies planas. Arma los conos y con base en el análisis anterior, halla el área y deduce la fórmula de área total. SM_M_G09_U02_L02_M 9
h g Corte Doblez r Figura 15. Desarrollo cono recto Recuerda que g= GENERATRIZ g= h 2 +r 2 r= radio de la base h=altura del cono SM_M_G09_U02_L02_M 10
Corte Doblez Figura 16. Desarrollo de cono truncado Recuerda que g= GENERATRIZ g= h 2 +(R-r) 2 r= radio de la base h=altura del cono SM_M_G09_U02_L02_M 11
Área h g r Figura 17. Desarrollo de un cono recto Área Figura 18. Desarrollo de un cono truncado Actividad 8 Para hallar el volumen de un cono recto u oblicuo realiza la siguiente experiencia. Arma un cilindo de 9 cm de altura y 3cm de radio en la base. Con las mismas medidas desarrolla un cono,luego marca la altura del cilindro en tres partes iguales y vacia arena u otro material en este, hasta la primera division. Después pasa el contenido al cono, y saca tus conclusiones para hallar su volumen. 3cm 9cm 3cm 6cm 3cm 9cm Figura 19.cilindro y cono recto SM_M_G09_U02_L02_M 12
Con la información que posees, podrías expresar la fórmula para hallar el área total y el volumen del cono (recto) Área y volumen Recuerda que las figuras geométricas que forman parte de un cono son: en su base una circunferencia y su cara lateral, es el área del sector circular. De ahí podemos concluir que: El área del cono es: el área de su base + el área de la cara lateral. El volumen lo podemos tomar como la tercera parte del volumen del cilindro. 3cm 3cm 3cm 3cm 9cm = + + 9cm 9cm 9cm Volumen del cilindro= π.r 2.h Volumen del cono= π.r2.h 3 Figura 20. Equivalencia del volumen entre el cilindro y el cono SM_M_G09_U02_L02_M 13
Actividad 9 Con base en la experiencia de la actividad anterior, coloca atención a las instrucciones de tu docente, el cual a partir del interactivo presentará las fórmulas para hallar el volumen del cono. Compara, corrige e inicia el proceso para dar solución a los ejercicios propuestos en esta actividad. Recomendaciones para la solución de ejercicios: Identificar cada uno de los datos que te presentan en el enunciado Graficar para ilustrar la situación (en caso que no se presente el dibujo en el ejercicio) Tener claridad sobre lo que te preguntan y que debes hallar Aplicar las fórmulas teniendo en cuenta los datos que debes remplazar para no alterar la fórmula Realizar las operaciones requeridas teniendo en cuenta los signos y unidades de las operaciones para no alterar las respuestas Solución de ejercicios Si un cono recto tiene una altura de 30 cm y un radio de 22 cm, cuál será su área total y su volumen? SM_M_G09_U02_L02_M 14
El volumen de un cono oblicuo que tiene de radio 5cm y una altura de 8cm es de? Calcular el área lateral, área total y el volumen del tronco de cono de radios 12cm y 4 cm y de altura 20 cm SM_M_G09_U02_L02_M 15
Actividad 10 Aplicación de la temática de los conos 1. La proyección de la luz de un faro tiene una generatriz de 13 cm y el radio de la base es de 5cm. Calcula el área lateral, total y el volumen del cono formado 2. Un tanque tiene forma de cono oblicuo. Si el radio de la base es de 2 m y su altura es de 6 m, cuál es el volumen del tanque? SM_M_G09_U02_L02_M 16
3. Un vaso de plástico con tapa tiene forma de cono truncado. Si su altura es de 10 cm, su base tiene un radio de 2 cm, y la tapa tiene como radio 4 cm, cuál es la cantidad de plástico utilizado para su producción?, cuál es la capacidad del vaso? SM_M_G09_U02_L02_M 17
DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con formas cónicas En geometría un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se le denomina base, y al punto donde confluyen las generatrices se le llama vértice. Área de la superficie cónica A= A Base +A Lateral = πr 2 + πrg Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto. La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con la altura del cono y el radio de la base. Su longitud es: g = h 2 +r 2 Elementos del cono Vértice Altura Generatriz Base Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Base: es el círculo que forma el otro cateto. Altura: es la distancia del vértice a la base. Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Área lateral de un cono A L =π r g Área de un cono A T =π r (g+r) Volumen de un cono V= π r2 h 3 Eje Figura 21. Elementos del cono SM_M_G09_U02_L02_S 1
Tipos de conos El cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice. Elementos del cono truncado r h R-r Figura 22. Elementos del cono truncado Área lateral de un cono truncado A L = π (R+r) g Área de un cono truncado opcion 1 A T = A l +π R 2 +π r 2 opcion 2 A T = π [g(r+r)+r 2 +r 2 ] Volumen de un cono truncado g Base mayor: circunferencia paralela a la base generada por el corte. Base menor: la sección determinada por el corte es la base menor. La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases Los radios son los radios de sus bases. La generatrizes el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.. Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado g 2 =h 2 +(R-r) 2 g = h 2 +(R-r) 2 V= 1 π h (R 2 +r 2 +R r) 3 Se entiende R como el radio de la base mayor, y la r como el radio de la base menor. SM_M_G09_U02_L02_S 2
Cono oblicuo Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base. Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución. La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice; siendo perpendicular al plano de la base, pero no es coincidente con el eje del cono. r a h Superficie y desarrollo La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados, y base semielíptica. La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse. Volumen La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto: Figura 23.cono oblicuo v= π r 2 h 3 SM_M_G09_U02_L02_S 3
DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con formas cónicas 1. Calcular el área y el volumen del cono recto, si la altura es de 7cm y el radio de la base es de 3 cm 2. Calcula el área y el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor mide 5 cm, el de la base menor 2 cm, y la altura es de 8 cm SM_M_G09_U02_L02_A 1
3. Halla el volumen del cono oblicuo de 12 cm de radio y altura de 5 cm SM_M_G09_U02_L02_A 2
Lista de figuras Figura 1. Sombrero cónico. Recuperado de: http://blog.kuchi.fm/wp/wp-content/uploads/2013/03/3women-hats-4.jpg Figura 2. Objetos en forma de cono Figura 3. Montaña. Recuperado de: https://ramblingsabout.files.wordpress.com/2012/09/chocolate-hills_snapseed_snapseed.jpg Figura 4. Los conos de Tlaco aleche. Javier96 (2011, Noviembre 01) Los conos de Tlaco aleche. JPG {Fotografía}. Obtenidode:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/Los_Conos_de_Tlacoaleche.jpg Figura 5. Arango, Y. (2006, Agosto 17) Tres conos {Fotografías}. Obtenido de: https://www.flickr.com/photos/vladimix/222917711/in/photostream/ Figura 6. Formación del cono Figura 7. Formación del cono Figura 8. Cono recto Figura 9. Cono recto. Flickreview, R. (2010). Rio-Cathedral1. [Fotografía]. Brasil. Recuperado de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/rio-cathedral1.jpg Figura 10. Fiberland. (2010). Macetas minimalistas. [Fotografía]. Recuperado de: http://www.fiberland.com.mx/macetas-de-fibra-de-vidrio-conos.html Figura 11. Geografía. La guía. (2006). Cono volcánico. [Fotográfico]. Recuperado de: http://geografia.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/02/cono-volcanico-300x197.jpg Figura 12. Alvarado, R. (2008). Iglesia sagrado corazón de Jesús. [Fotografía]. Recuperado de:http://prismaing.com/wp-content/uploads/2013/08/1110.jpg Figura 13. Llorca, P. (2013, Julio 29). Zona trulli. [Fotografía]. Recuperada de: http://sargantanaxpress.blogspot.com/2013/07/viaje-al-tacon-de-la-bota-1-parte-lecce.html Figura 14. Openclips. (2013, Octubre 19) Cono corneta [Fotografía]. Recuperado de: http://pixabay.com/p-154663/?no_redirect Figura 15. Desarrollo cono recto Figura 16. Desarrollo cono truncado Figura 17. Desarrollo cono recto Figura 18. Desarrollo de un cono truncado Figura 19. Cilindro y cono recto Figura 20. Equivalencia del volumen entre el cilindro y el cono Figura 21. Elementos del cono Figura 22. Elementos del cono truncado Figura 23. Cono oblicuo SM_M_G09_U02_L02_A 3