CPÍULO SEÑLES. INRODUCCIÓN La imorancia del esudio de las señales, se debe a que los circuios son alimenados esimulados or uenes que oseen diversas ormas de onda. Esas ormas de onda reresenan las dierenes señales que ueden imonerse a los circuios. Esos úlimos se comorarán de manera dierene según las señales que los alimenen. Durane el desarrollo se analizarán varios ios de esas señales. En la rimera are se analizará el comoramieno de los elemenos básicos de los circuios cuando son alimenados or esímulos con cualquier orma de onda. En la segunda are se analizarán los méodos de resolución de circuios uilizando esímulos de valor consane, ambién llamados esímulos de corriene coninua C.C.. Esos esímulos, al aciliar el análisis de los circuios, acilian la comrensión de los méodos de resolución de circuios que se verán en esa sección. Por úlimo se realizará un esudio esecíico de los circuios alimenados or esímulos sinusoidales, or la imorancia y gran uso de ese io de señal ambién llamada Corriene lerna C... Una señal es coninua si no cambia de senido o olaridad en el eriodo de iemo analizado, aún cuando se haga cero en algún, o algunos, insanes. Caso conrario es clasiicado como alerna. Debemos enaizar que esricamene esa clasiicación es indeendiene de la ley de variación que enga; en la jerga écnica suele enenderse como coninua a aquella que, además, es consane y como alerna aquella que, además, es senoidal simérica, ero eso es un hecho aricular. Señal coninua Señal alerna La segunda clasiicación es de consane o variable, siendo consane aquella que no cambia de valor ni senido en el iemo y variable en el caso conrario. De hecho una señal consane sólo uede ser coninua aunque una coninua uede ser consane o variable. 6
Denro de las variables odemos clasiicar a su vez en eriódicas o en aleaorias. Periódica es aquella señal en la que uede reconocerse una ley de variación que se reie a inervalos iguales, maemáicamene odemos indicar que = + donde es el eríodo. leaoria es aquella en la que no se encuenra un eríodo de reeición. Esa clasiicación es indeendiene del hecho de ser coninua o alerna. Para dar una idea mejor del io de señal a la cual nos esamos reiriendo se indica el nombre que mejor se aroxima a la orma del gráico reresenaivo. sí es como enemos ondas sinodales, o armónicas, ondas cuadradas, diene de sierra, ec.. DEFINICIONES GENERLES... SEÑL: Magniud ísica oradora de inormación y que varía en unción del iemo. Exisen diversas clasiicaciones de las señales que esimulan al sisema, enre esas odemos disinguir: Señal De Enrada: Son señales que esimulan al sisema. Exisen dos ios: Exciación: Es una enrada sobre la que se uede acuar, o sea que se uede ijar a volunad. Mediane ellas se inena que el sisema acúe en una orma deseada. Perurbación: es una enrada indeseable sobre la cual no se iene conrol, ero que esá resene y condiciona la evolución del sisema, or ejemlo las descargas amoséricas, mal esado de las conexiones, ec. Señal De Salida: Señal que enrega el sisema en los erminales considerados de salida. Pueden ser: Resuesa: ariable asociada a los aribuos del sisema en los que se esá ineresado direcamene. ariables Inernas o salidas surimidas: Son las que, esando condicionadas or las enradas, no son de inerés aricular ara el observador; relacionan la enrada con la salida. Ora clasiicación de las señales esá relacionada con su comoramieno en el iemo; de esa orma obenemos las siguienes señales: Periódicas: Es aquella señal que se reroduce idénicamene al cabo de un deerminado eríodo de iemo llamado ciclo o eríodo. Ese se deine como un conjuno de esados o valores or los cuales asa una magniud o enómeno en un orden deerminado que se reie. 6
Donde es el eriodo en segundos. Ciclo: La are de la onda comrendida en el inervalo a +, se denomina ciclo de dicha onda. Frecuencia: la inversa del eriodo se denomina recuencia y se reresena or. Se ve que la recuencia es igual al número de ciclos de una onda que iene lugar en la unidad de iemo. Su unidad es el Herz. Ángulo de Fase: Si es una unción eriódica y es un valor consane, será ambién una unción eriódica, la dierencia enre los insanes en que sucede cada ase será. ese inervalo se denomina ngulo de ase o dierencia de ase. Si es osiivo enonces se dice que va en araso de en la canidad. eriódicas: o ambién acíclicas, son señales que no se reien en el iemo. Se considera que su eríodo es ininio. Señal Periódica Señal eriódica alor Insanáneo: alor en un insane deerminado de una señal o variable que deende del iemo. 6
.. MGNIUDES SOCIDS LS SEÑLES LOR MEDIO: Es la media ariméica de los valores insanáneos de una señal, durane un inervalo de iemo -. Si la señal es eriódica, el inervalo no es más que el eríodo mismo de dicha señal. En general: Para una señal eriódica = = Por ora are, si el valor medio de una unción eriódica es cero, la unción es alerna. Es or eso que a los circuios cuyas corrienes son sinusoidales se les llama circuios de corriene alerna. ambién se ude calcular como el área comrendida bajo la curva ara un ciclo. Las señales eriódicas en las cuales el valor medio es dierene de cero se denominan señales ulsanes m LOR EFICZ o valor RMS, Roo Mean Square: Se deine como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores insanáneos alcanzados en un laso -: = Ese valor es de gran imorancia ya que desde el uno de visa de las corrienes indusriales es muy uilizado. Se reresena con la lera mayúscula del símbolo de la variable de que se rae; or ejemlo = Elécricamene, los valores medios y eicaces son muy uilizados. Su inerreación es la siguiene: alor Medio: La carga elécrica ransorada or una corriene i, en el inervalo -, se iguala con la que ransoraría en el mismo laso una corriene de valor consane IM, llamado valor medio de la corriene i. alor Eicaz: La energía que disia una corriene i en una resisencia R, durane el laso -, se ideniica con la que disiaría, en iguales condiciones, una corriene consane de valor IRMS, deinido como valor eicaz de la corriene i en el laso - LOR MXIMO: Es el mayor valor osiivo o negaivo de la onda y se designa or la lera Mayúscula E, I, P mliud del valor máximo, o ambién llamado valor Pico. Max Max Max LOR PICO PICO: Es la dierencia algebraica enre icos osiivoso Negaivos. 6
LOR EFICZ DE UN SERIE RIGONOMERIC: De acuerdo con la idenidad de Parseval, la unción: Y a acosw acosw acosw... b senw bsenw bsenw... iene un valor eicaz de: Y a a a a... b b b.. Y a... B B B... Donde n es el valor eicaz de Ejemlo de licación: a n Cosnw y Bn es el valor eicaz de b n Sennw. En el úlimo esudio de calidad de la energía realizado or el esudiane Jacino ergaray, el equio de medición regisró los siguienes comonenes armónicos de ensión: I.Sen w Sen w Sen w senw ol Cuál es el valor eicaz de la onda disorsionada? FCOR DE FORM: Es la relación que exise enre el valor Eicaz y el alor medio de una onda dada, y se uiliza ara realizar ruebas dielécricas, se exresa de la siguiene manera: FF eicaz Medio Para una onda en la que el valor medio sea cero, se calculara ara el semieriodo, es decir ese valor medio se calcula ara la onda reciicada en un eriodo. FCOR DE CRES O MPLIUD: Es la relación que exise enre el máximo valor de la onda amliud y el valor Eicaz, se exresa de la siguiene manera: FC Max Eicaz 6
. NÁLISIS DE SEÑLES... Funciones singulares: Escalón, Rama e Imulso. Se analizarán res ios de unciones básicas, reresenables maemáicamene en orma simle y que sirven ara consruir un gran número de ondas. Se denominan singulares orque no ienen derivadas inias de odos los órdenes. Esas señales sólo ueden concebirse en sisemas idealizados. FUNCIÓN ESCLÓN μ : Se deine como: Para μ = Para? Para = Físicamene se uede lograr un escalón uniario si se alica un vol de ensión en una red, cuando en = se cierra un inerruor. FUNCIÓN RMP r : Se deine como: r = μ = ara ara FUNCION IMPULSO δ DEL DE DIRC: Una orma de deinir el imulso es la siguiene:,, 66
.. Funciones Sinusoidales La siguiene igura reresena dos señales sinusoidales. En la igura se ueden reconocer sus rinciales caracerísicas: Donde se uede deallar que:, es el ángulo de desasaje enre los dos ios de onda resenados., es el eriodo de la onda. y son las amliudes valores Máximos de las ondas. CLSIFICCIÓN LS SEÑLES DE CUERDO CON SU RICIÓN EN EL IEMPO. Denominamos señal a oda ensión, corriene y, evenualmene, oencia con la que rabajamos o analizamos en nuesros circuios. Conceualmene no hay dierencia con lo que denominamos ruido, ya que la searación esá sólo en el hecho de ser deseada o no. La clasiicación de las señales se hace según disinos asecos. La rimera que uede indicarse es ener en cuena si cambia o no de senido o olaridad en el inervalo considerado, en unción de ello decimos que: Onda comlea reciicada Onda semi-reciicada. FORMS DE ONDS En el análisis de circuios raamos con corrienes y ensiones que varían con el iemo. El símbolo maemáico que exresa la relación uncional enre corriene y iemo en un diolo a-b es iab. Y esa relación enre esa unción y el iemo uede eseciicarse bien analíicamene or medio de exresiones maemáicas o or medio de gráicas. 67
.. PRINCIPLES FORMS DE OND Onda Recangular, es aquella que iene el siguiene comoramieno: Medio Medio Onda riangular, es aquella que iene el siguiene comoramieno: Medio Onda diene de Sierra, es aquella que iene el siguiene comoramieno: Medio 68
Onda Reciicada, es aquella que iene el siguiene comoramieno: Medio Onda Comlea, es aquella que iene el siguiene comoramieno Medio 69
SEÑLES PROBLEMS RESUELOS PROBLEM Nº En la igura la orma de la onda de ensión de la resisencia se muesra R = Ω, L= H a Hallar la orma de onda de la ensión y corriene oal alicada b Hallar la orma de onda del olaje en la inducancia c Hallar la orma de la onda de la uene de alimenación. Resolución: a Hallando el volaje en la resisencia y la corriene De acuerdo a la graica el eriodo de la onda es =s, en al senido la exresión analíica de la onda de ensión en la resisencia será: ; ; Suoniendo que el circuio se encuenra conecado a la uene de alimenación or un iemo muy largo, asumiremos que no hay inluencia del esado ransiorio, or lo ano las resuesas roduco de la señal de alimenación serán: i i R i L R. ;.. ; 7
7 b Hallando el volaje en la inducancia Sabemos que el volaje en la inducancia esá dado or la siguiene exresión: ; ; d di L L c La uene de alimenación endrá el siguiene comoramieno: ; 9 ; R L La orma de la onda de la ensión oal será: PROBLEM Nº En el circuio de la igura se conoce la orma de onda de la corriene or el merímero. Deerminar la lecura de los amerímeros:,,. Diodos ideales. Resolución:
Lecura de : alor medio Esa es la orma de onda que deeca el amerímero luego de ser reciicada. Recordar que en el rimer ulso de alimenación ara el inervalo de s a s, los diodos D y D conducen. I = < < < < < < I medio = d + d + d Resolviendo I Medio = El valor de es el mismo or ser la misma onda ero corrida enonces, su valor medio es igual al de. Lecura de : Esa es la orma de onda que deeca el amerímero luego de ser reciicada. Recordar que en el rimer ulso de alimenación ara el inervalo de s a s, los diodos D y D conducen. I = < < < < < < Resolviendo I = d + d I =.9 7
7 PROBLEM Nº enemos una unción de onda riangular, como se muesra en la igura, en el cual enemos su eriodo de = 9.7ms y su alor ico = 9.,,, Hallar: a El valor valor ico b alor medio me c valor eicaz RMS Resolución: Cálculo del alor Pico a Pico: Cálculo del alor Eicaz: Medio d... Medio d d d 8 I d d I d II II 6 9 d III III 8
7, en III y II I 8 8 Medio Medio Cálculo del alor Eicaz: RMS d... RMS d d d 6 I d I 6 6 d d II 6 6 II II 7 en II y I 7 RMS RMS 77. PROBLEM Nº El volaje senoidal iene la siguiene orma: 6 sen esá en la graica mosrada, deermine el iemo.
Resolución: Sabemos que: w, donde: = ángulo deslazado en radianes W= velocidad angular = iemo Como w es consane enonces odemos airmar que: w ce demás de la exresión de onda de ensión se iene que: w, Reemlazando en, se endrá que =.s w Enonces, desejando endremos que: x x 6.66 s. x Con ello como el eriodo oal es =., enonces x.x s PROBLEM Nº Una onda comlea senoidal reciicada esá corada a.77 de su valor máximo como indica la igura hallar los valores medios y eicaces de dicha unción. Resolución: Como odremos observar en la graica, la unción iene eriodo y esará deinida or: Y YmSen w.77ym Ym Sen w ; w ; w ; w Una ez deinida la unción rocedemos a calcular el valor medio, de la siguiene manera: Sabemos: 7
Ymed Y d, con ello se endrá: Ymed Ym sen w d w.77ym d w Ym sen w d w. Ym su vez el valor eicaz esará dado or la siguiene exresión: Sabemos: Y Y d, con ello se endrá: Y Ym sen w d w.77ym d w Ym sen w d w.y m Y.8 Ym Y PROBLEM Nº 6 Por una bobina ura de auoinducción igual a mhr circula una corriene cuya orma de onda es reresenada en la igura. Dibujar la graica de la ensión y de la oencia insanánea P Cual es la oencia media P? i 6 8 ms Resolución: Como el valor de L = mhr, la exresión analíica de la orma de onda de corriene insanánea será: i < < ms < < ms < < 6 ms 6 < < 8 ms 8 < <ms ; ; ; - ; - ; - + demás sabemos que en una bobina la ensión esá dada or la siguiene exresión: 76
e L di L d Las ensiones corresondienes son: a b c d e di d x L L x v d d di d L L x v d d di d x L L x v d d di d L L x v d d di d x L L x v d d i ensión Insanánea, en la Bobina 6 8 ms Los valores de la oencia insanánea corresondienes son: a P i x 7x b P i c P i x x d P i P i x 7 7x 77
i Poencia Insanánea P, en la Bobina 6 8 ms La oencia media P es nula y se uede comrobar calculando el área bajo la curva. PROBLEM Nº 7 Dada la señal, calcular el valor ico, valor medio, valor eicaz, el Facor de Forma FF y el Facor de cresa FC. Resolución: = m -m =.m = Cálculo del valor medio: Sme S d 78
Sme S d S d Sme S me S d S me m S me S S d S m c PROBLEM Nº 8 Dada la señal calcular el valor ico ico, valor medio, valor medio del modulo, valor eicaz, el Facor de Forma FF y el Facor de Cresa FC... Resolución:.senw S. senw a m u b Sm S d c S me S d. S me senwd.66.s me.9 x. d S senw d 79
6. S.sen cos wd S w d S S 6..87 valor FC valor max eicaz cos w d.769 PROBLEM Nº 9 En la igura mosrada, se iene una red alimenando a un moor de inducción que se reresena or un circuio serie R-L. R=, L=.97mH.Se conoce la orma de onda de volaje, W = 77radseg. Y es osible hacer variar la magniud de enre y, de acuerdo a la oencia media que deseamos suminisrar al moor, se sabe que cuando =, la oencia media suminisrada al moor es 6 aios, se ide hallar: El valor máximo de Lecura del volímero, y el acor de aislamieno, cuando Resolución: s CIRCUIO RL Reresenamos el volaje en unción del iemo ara un eriodo: 8
m sen w msen w Calculamos la oencia media, ara, la orma de onda es oalmene sinusoidal: R I L donde P. v... i Poencia insanánea Pmed P d... Hallando, en el circuio R L serie, en el circuio inducivo la ensión adelana a la corriene un ángulo : I I sen w m sen w : en esecaso m desase: v i i v v Z. I R w. I m sen w.i R w m sen w donde R w Z : m.im Im El desasaje es: - wl 77.97. desase: arcg 7.9 arcg R Calculando la imedancia del circuio: Z R 77*.97* wl Z Sabemos que: m Im Z I m Pmed cos cos 8
I m DO : Pmed 6w cos7.9 I m 9. Donde ara W = 77radseg, or lo ano: enemos la unción: v m sen w, ara enconrar su valor máximo n v m wcos w, ara n enero n n v.i m sen 9. w m Z m, Es el valor máximo que uede omar: La lecura del volímero esá dada or el valor eicaz: De la relación : d d 9. sen w d 9. d sen w d 9. cos w cos 9. sen w d sen w d d w d 9. sen w sen w [ ] w w 9.*77**77* sen sen *77**77* sen sen [ ] * *77 *77.99 Con ese dao hallamos el acor de aislamieno o acor de cresa, ara : 8
F C m 9. FC.7.99 eicaz RMS PROBLEM Nº. Si el volímero de bobina móvil de la igura lecura 8. volios; ara la orma de onda que se muesra, a Calcular el acor de orma de la onda. omar valor medio solo ara medio ciclo b Si se cambiara el volímero de bobina móvil or uno de hierro móvil, Cuál será su lecura? Resolución: a El acor de orma esa dado or: F eicaz medio Hallando el valor medio ara medio ciclo Primero obenemos los ángulos de core de la onda senoidal ya que enemos la unción: 8 77.778 x x 6 º rad 8 77 8. x x 8 º rad 8
8 rad x x º 8. 77 rad x x º 6 8.666 6 77 El valor medio ara medio ciclo: w Cos w d w Sen w d w Sen w d w Sen w d w Sen m m m m.77 De la lecura del volímero:.77 8. Hallando el valor eicaz: w d w Cos w d w Cos w d w Sen w d w Sen w d w Sen Sen Sen Sen Sen w d w Cos w d w d w Cos w d.6 8 8
F eicaz medio.6.77.9 b Cuando cambiemos el volímero de bobina móvil or uno de hierro móvil: HIERRO HIERRO M. M. m xf 97.6 vols PROBLEM Nº Sea la unción de onda: Sen w Cos w Cuya gráica es: Hallar el valor medio y eicaz de la onda. Resolución: Hallando el alor Medio med: med d Como: w w 8
Enonces: w med d Sen w Cos w d med Sen w Cos w d w Sen w d w Cos w d w med Cos w Sen w med Hallando el alor Eicaz RMS: Como: RMS d w w Enonces: w RMS d Senw Cos w d w RMS Sen w Cos w Sen w Cos w d RMS Sen w Cos w d w Sen w d w RMS Sen w d w d w Sen w d w RMS w Cos w 86
RMS RMS PROBLEM Nº La corriene de laca de un riodo que rabaja como oscilador oma la orma general mosrada en la igura: a Cuál es el valor de la recuencia de oscilación ilusrada? b Cuál es el valor medio de la corriene ulsane? c Cuál es el valor eicaz de la corriene ulsane? merios 7 seg Resolución: enemos: = = = = = = = = a Según la igura ara deerminar la recuencia diremos que = Siendo = segundos 8.ciclos 87
b alor Medio I medio: i d Según las ecuaciones del gráico se endrá: I m edio d d d I medio c alor Eicaz I eicaz i d I eicaz d d d d I,77 merios eicaz PROBLEM Nº Hallar el valor medio de la unción reresenada or: 88
Resolución: El eriodo de la unción ara ese caso es. Luego, en la graica se ienen res ares, rimero una curva de unción exonencial, luego una unción consane y or ulimo ora curva exonencial. roximando e, se iene: e y e. ; ; ;. Luego, se reemlaza y en las ecuaciones de las unciones curvas ara hallar los unos de en que la unción es consane, enonces, ara la rimera curva se iene: e. e e ln e. ln. ln. ln ln Luego ara la segunda curva: e. e.. ln. ln e ln... ln.. ln. ln. ln. ln 89
9 Enonces la unción y quedaría como sigue:. ln ; ln ln ; ln ;. e e y licando la órmula del valor medio: med d y y Reemlazando los valores, se iene:........ med med med e e e y e e y d e d d e y Reemlazando los valores de, y haciendo valer la aroximación e.69 ln ln. ln.. ln. ln. ln ln. ln. ln ln ln. ln ln. ln ln y y y y y e y e y e e y med med med med med med med med
9 PROBLEM Nº Hallar el iemo de desase, con reseco al origen de las ordenadas, ara que la onda reresenada cumla que su valor eicaz sea la miad de su valor máximo valor de cresa. Resolución: Sabemos que: ; ; ; demás: RMS d Enonces: RMS d RMS d d d
9 RMS d d RMS RMS 9 RMS RMS Pero enemos la remisa que : RMS, or lo ano: 9 RMS 9 RMS 9 ; enemos: 7 7 6 8 7 7 PROBLEM Nº Un volímero de bobina móvil iene una lecura de 8. volios, ara la orma de onda que se muesras se ide: Calcular el acor de orma de la onda. Si se cambia el volímero or uno de hierro móvil, cuál sería su lecura.
Resolución: quí vemos que la orma de onda es una onda senoidal reciicada que surió un disaro or un disosiivo elecrónico de oencia. Recordemos enonces la señal de la red senoidal : = 6 Hz. Y como =, enonces = 6.66 mseg. Sin embargo ara el cálculo de los valores eicaces y medios en ondas senoidales, enemos que considerar la unción del volaje como w: = 6 Hz. Enonces w = eriodo reseco al ángulo Se iene esa analogía: w 6.66 ms. 8. ms. Enonces haciendo una analogía con la onda rouesa: w 8. ms..77 ms. Calculando, enemos: =. 9
Con odo eso, enemos la órmula del valor medio ara hallar el volaje máximo: avg avg avg v w d w d w sen w d w cos w avg 8.[cos cos.] 8.[cos cos.] desejamos :.97 hora, conociendo el volaje máximo calculamos el valor eicaz: v w d w d w sen w d w cos w d w sen w w [..666] sen [.89] reemlazando : 96.98 Calculando el acor de orma FF: alor FF alor FF FF eicaz medio 96.98 8..8 9