Como introducción a este tema se te propone que resuelvas el siguiente problema utilizando el tradicional sistema de tanteo. Busca todos los números reales que al sumarlos, por separado, a tu edad den una cantidad inferior a. A lo largo de este tema aprenderemos a resolver éste y otros tipos de inecuaciones más complejos y nos serviremos de los intervalos y de su representación en la recta real para obtener y analizar los resultados.
. El orden en R y los intervalos Un número a es menor que otro b, cuando b a es positivo. Se representa por: a < b. Gráficamente significa que a queda representado en la recta real a la izquierda de b. a < b b a > 0 (positivo) Análogamente se puede definir el concepto de menor o igual: a b b a > 0 ó b = a mayor: a > b a b > 0 mayor o igual: a b a b 0 ó a = b Ejemplos: Pon el signo que corresponda. a) b) c) d) 0 0 e) 8 Def.: Se entiende por intervalo abierto de etremos a y b el conjunto de todos los números reales comprendidos estrictamente entre a y b. Se representa por (a, b). (a, b) = { R/ a < < b} Def.: Se entiende por intervalo cerrado de etremos a y b el conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, incluyendo los etremos: [a, b]. [a, b] = { R/ a b} Ejemplos Pon en forma de desigualdad los siguientes intervalos: [, ) (-, - ) ( -, ] [ 0, ] Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades: - < - < - Def.: Se entiende por semirrecta aquel intervalo que carece de uno de sus etremos. (a, ) = { R/ a < } [a, ) = { R/ a } (-, b) = { R/ < b} (-, b] = { R/ b}
Ejemplo Escribe en forma de intervalos las siguientes desigualdades: < > 0 -. El valor absoluto y el entorno Def.: El valor absoluto de un número real queda definido de la siguiente manera a a si a 0 si a 0 Ejemplos:. a)= b)- = c)- =. Determina el conjunto de los números reales que cumplan: a) < b) c) >. Determina el conjunto de los números reales que cumplan: a) - < b) - 8 c) + > Def.: El entorno de centro C y radio R viene definido por la siguiente desigualdad E[C,R] - C R Ejercicos. Representa en forma de entorno a) (, 0) b) < < c) [, ]. Inecuaciones.. Inecuaciones lineales Def.: Inecuación lineal con una incógnita es toda desigualdad que, después de las transformaciones adecuadas, se puede escribir de cualquiera de las formas
a b ó a b Las inecuaciones se operarán de la misma forma que se hacen las ecuaciones, sólo hay que tener en cuenta una cuestión: Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un número negativo, la inecuación cambiará de sentido. Ejemplo Resuelve la inecuación: + > Ejercicios. ( ) > +. ( + )( + ) + ( )( + ) > 0...... Inecuación de segundo grado Def.: Una inecuación de segundo grado es una inecuación que se puede reducir a la forma a + b + c > 0 (, ó ). Para resolver este tipo de inecuación procederemos de la siguiente manera: º resolveremos la ecuación º factorizaremos la epresión º llevaremos a la recta las soluciones de la ecuación º estudiaremos los signos de los distintos intervalos º anotaremos las soluciones Ejemplos. < 0
. + 8 0.. Inecuaciones por factorización Se seguirá el mismo método de factorización empleado en el apartado anterior. Habrá que tener en cuenta los coeficientes principales de los polinomios que no sean iguales a la unidad, sobre todo, aquellos que sean negativos. Se llevarán a la recta tanto las soluciones del numerador como las del denominador. Ejemplos. 0 0. 0 Ejercicios. ( )( + )( + ) < 0. 0 EJERCICIOS. Epresa en forma de intervalos las siguientes desigualdades: a) < - b) < 0 c) < d) >. Epresa en forma de desigualdades los siguientes intervalos: a) (-, ] b) [, ] c) [-, ) d) (-, - )
. Representa en la recta y en forma de desigualdad, los entornos: a) E(, ) b) E(-, ) c) E[-, ] d) E[0, ]. Epresa en forma de entorno: a) (, ) b) [-, ] c) (0, ) d) [, ]. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) - = b) ( ) = c) + = d) ( ) - = -. Resuelve las inecuaciones que figuran a continuación: a) ( + ) < + b) ( ) + ( + ) ( ) c) d) 8 e) f). Resuelve las inecuaciones siguientes: a) ( + ) < + b) ( ) ( + ) + c) ( ) d) 0 e) 0 + < 0 f) + > 0 8. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 0 c) 0 e) 0 b) 0 d) 0 f) 8 0. Una empresa ofrece a cada vendedor una cantidad fija de 00 euros más 0 euros por artículo vendido. Otra empresa de la misma rama ofrece euros por artículo vendido y un fijo de 80 euros. Cuántos artículos debe vender una persona en la segunda empresa para ganar más que en la primera? 0. Un padre tiene años más que su hijo. Averigua para qué intervalo de sus vidas la edad del padre supera en más de 8 años al doble de la edad del hijo?. Una empresa de alquiler de coches cobra por alquilar su coche más barato euros por día y. euro por cada kilómetros. Una segunda empresa cobra euros y euros más por cada 0 kilómetros. A partir de cuántos kilómetros diarios sale más económica la segunda empresa?
. Halla los números naturales cuyo triple menos seis unidades es mayor que su doble más cinco unidades.. Tenemos que contratar una empresa de informática para que nos haga un programa. Una empresa cobra 000 euros por el programa más 0 euros por día de programación. En el presupuesto de la segunda empresa sólo figura un fijo de 00 euros. En qué caso nos saldrá más económica la primera empresa? EJERCICIOS DE REFUERZO... 0. 8. 0 0 8.. 8 8.. 0.. 0 0.
. 0... 8. 8. 0. 0... 0. 0. 0. 0. 8 0. 0 0 8. 0. 0 0. 0. 0. 0 8