UNIDAD 3 ESTÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS. CONDICIONES DE EQUILIBRIO GENERALIDADES.- Se dice que una fuerza es el efecto que puede ocasionar un cuerpo físico sobre otro, el cual este está compuesto de materia y que posee además un volumen. Estas fuerzas pueden ser tanto rígidas como deformables elásticamente. Fuerzas Externas e Internas Siempre que se evidencie la palabra fuerza debe constituirse en los términos de desarrollo de hábitos comunes: empuje, halar, elevar, entre otros más, el cual pueden identificarse también en la ingeniería con intervalos de magnitudes. De manera tal que, cuando se dice que un cuerpo está sometido a la acción de una fuerzas externa, cuando esta está siendo aplicada por otro cuerpo. Entonces cuando una parte cualquiera de un cuerpo está sometida por una fuerza por otra parte del mismo cuerpo, se dice que está sometida a una fuerza interna. Sistema de Unidades: 1N equivale a 1 K g. m s 2, generalmente se manejan unidades como el N (Newton), Kilo (K g ), Toneladas fuerza (T n ). UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 37
Resultante de una Fuerza.- La fuerza resultante en un cuerpo rígido es aquella fuerza unitaria única que reemplaza a todo un sistema en una componente coplanar/no coplanar. F 1 F 3 R = F 1+ F 2+ F 3+ F 4 F 2 R F 4 Equilibrante de un Sistema de Fuerzas.- Es otra fuerza E con sentido diferente a la resultante y de igual magnitud, actúa sobre la misma recta de acción de la resultante (Reacción). F 1 F 3 E R = F 1+ F 2+ F 3+ F 4 F 2 F 4 Métodos de Resolución: Método Geométrico: - Ley del Paralelogramo (principio de transmisibilidad) - Ley de Triángulos (Sistemas equivalentes. Ley de Seno y Coseno) Método Analítico: - Ecuaciones de Equilibrio (Descomposición de fuerzas) UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 38
Descomposición de Fuerzas.- Como en una estructura plana la línea de acción de una fuerza se encuentra en un plano, cada una de estas fuerzas se puede descomponer en dos direcciones rectangulares F x y F y correspondientemente en su eje cartesiano, e incluso pueden tomar cualquier dirección. y y F y F y F F F x F x x θ (a) x (b) Donde F x y F y se denominan como componentes rectangulares o cartesianas, horizontal y vertical de forma tal que forme un ángulo recto con respecto al origen. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Un cuerpo que inicialmente está en reposo, y permanece en reposo, aun cuando actúan sobre él un sistema de fuerzas; entonces, se dice que el sistema se encuentra en Equilibrio Estático. Sin embargo para que exista la condición de equilibrio, el efecto resultante combinado de fuerzas, no sea una fuerza ni un par, sino igual a cero. por lo que se debe cumplir que: F x = 0 ; F y = 0 ; M z = 0 Es decir, las condiciones de equilibrio aplican para aquellos cuerpos cuyas fuerzas resultantes, producto de la acción de las mismas sumadas algebraicamente con el número de reacciones emitidas por el sistema permanezca en reposo, o en todo caso, en velocidad constante. En ocasiones los elementos de un cuerpo están conectados entre sí, de manera tal que los nodos pueden suponerse articulados. En el caso de los marcos y las armaduras son ejemplos típicos que se construyen de esta manera. Siempre que una estructura coplanar conectada por pasadores esté apropiadamente restringida, y no contenga más soportes o elementos, las fuerzas que actúen en sus nodos pueden determinarse con las condiciones de equilibrio. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 39
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Se define diagrama de cuerpo libre a la representación vectorial de la acción y reacción de fuerzas que se encuentran aplicadas sobre un cuerpo, de forma que represente el desarme de la estructura para cada elemento según las condiciones de indeterminación de fuerzas. Las fuerzas de las reacciones actúan con iguales magnitudes, proporcionales a la magnitud de la acción de cargas, pero con sentidos diferentes opuestas sobre los diagramas respectivos del cuerpo libre de los elementos. Aquellas reacciones desconocidas que actúan sobre nodos deben representarse por componentes rectangulares F x y F y respectivamente. W (K g /m) P (K g ) R x Estructura Real R y Diagrama de Cuerpo Libre R y TIPOS DE APOYOS Los apoyos son sustentaciones o vínculos de vital importancia, ya que ellos son los que contrarrestan el efecto de la acción de las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, por consiguiente si un apoyo evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección. De la misma forma si evita la rotación en una dirección, entonces se produce un momento sobre el cuerpo en esa dirección. Los vínculos se clasifican según el número de traslaciones o rotaciones restrinjan o permitan en el plano. Estos pueden ser de primera generación (especie), segunda y tercera: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 40
Vínculo de 1 era Especie Restringe una reacción (fuerza) de traslación. Permite un desplazamiento traslación y una rotación. R y R y R y R Rodillo Mecedora Cable o Biela Vínculo de 2 da Especie Son aquellos que restringen dos desplazamientos y tiene un grado de libertad R x M R y R y R y R x Nodo o Articulación interna Articulación Simple Empotramiento Móvil (Patín) Vínculo de 3 ra Especie Son aquellos que no permiten desplazamientos en ninguna dirección del plano. Restringen cualquier fuerza. M R x R y R y R x M Empotramiento Junta Interna UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 41
ARMADURAS O CERCHAS La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominadas nodos, en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y corte. MÉTODO DE LOS NODOS El método de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los elementos. Como toda la cercha está en equilibrio, cada nodo también lo está. En cada nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten estableces las fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes. F x = 0 ; F Y = 0 MÉTODO DE LAS SECCIONES La porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando una sección a través de tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intercepte más de tres barras. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 42
FUERZAS (TENSIONES EN CABLE Y CUERDAS) Ejemplo # 1. Determinar la magnitud de la fuerza resultante F R = F 1 + F 3 y su dirección. Solución: Diagrama de Cuerpo Libre UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 43
Ejemplo # 2. Dos fuerzas se encuentran aplicadas en un torniquete atada a una viga. determine gráficamente la magnitud y sentido de su resultante, usando: a) El método del paralelogramo. b) El método triangular Solución: Ley Triangular Método del Paralelogramo UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 44
Ejemplo # 3. Para colocar una caja que está siendo bajada, dos cables son atados a la caja en A. Usando la trigonometría y sabiendo que α = 25º, determine a) La magnitud requerida de la fuerza P si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical. b) La magnitud correspondiente de R. Solución: Diagrama de Cuerpo Libre Usando el teorema de los Senos, tenemos: Luego: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 45
Ejemplo # 4. La fuerza de 500 lb actúa sobre un marco para ser resuelto en dos componentes actuando sobre el eje del elemento A B y A C. Si la componente de la fuerza AC se requiere que sea de 300 lb, dirigida desde A hasta C, determine la magnitud de la fuerza actuante entre A B y el ángulo de la fuerza de 500 lb. Solución: Diagrama de Cuerpo Libre Teorema del Seno UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 46
Ejemplo # 5. Sabiendo que α = 35º, determine la resultante de las tres fuerzas mostradas Solución: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 47
Ejemplo # 6. Mientras es descargada una carretilla, un jardinero ejerce una fuerza P en cada mango AB de la carretilla, dirigida a lo largo de la línea CD. Sabiendo que P debe tener una componente horizontal de 135 N, determine la magnitud de la fuerza P, y la componente vertical. Considerando además que el ángulo de inclinación del codo es 40º A Solución: Diagrama de Cuerpo Libre + F H = 0 + F V = 0 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 48
Ejercicios Propuestos.- 1.- Determine el ángulo designado θ para la barra AB para que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb en dirección de A hacia C. Cuál es la magnitud de la fuerza actuante en el miembro AB? Tome Ø = 40º 2.- Dos fuerzas están aplicadas en el extremo de una hembrilla, con el fin de remover el poste. Determine el ángulo θ y la magnitud de la fuerza F para que la resultante actuante sobre el poste esté dirigida verticalmente y tenga una magnitud de 750N 3.- Dos cables están atados junto a C y sometidos a una carga de 300 Kg, tal como se muestra en la figura. Sabiendo que α = 30º, determine la tensión (a) en el cable AC, (b) en el cable BC. 4.- Dos miembros estructurales A y B están pernados a una brekera. Sabiendo que ambos miembros están a compresión y que la fuerza es de 20 KN en el miembro A y 30 KN en el miembro B, determine, la magnitud y dirección de la resultante 5.- Sabiendo que α = 25º, determine la tensión (a) en el cable AC, (b) en la cuerda BC. 6.- Determine (a) el valor requerido de α si la resultante de las tres fuerzas mostradas son verticales, (b) la magnitud correspondiente de la resultante. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 49
ECUACIONES DE EQUILIBRIO (VIGAS Y PÓRTICOS) Ejemplo # 7. Un engranaje está rígidamente atado a un brazo AB. Si las fuerzas mostradas pueden ser reducidas a una fuerza resultante equivalente de A, determine la magnitud de la misma y el momento M Solución: Diagrama de Cuerpo Libre UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 50
Ejemplo # 7. Si una carretilla y su contenido tiene una masa de 60Kg y el centro de masa está en G, determine la magnitud de la fuerza resultante el cual el hombre debe ejercer en cada uno de las dos manos para mantener la carretilla en equilibrio. Solución: Diagrama de Cuerpo Libre UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 51
Ejemplo # 8. Determine las reacciones de la viga mostrada que está sometida a la acción de cargas puntuales. Solución: Diagrama de Cuerpo Libre A X R A B 1500 N.m Y Y R A R B + M A = 0-1500 N.m 700 N.cos30º (9 m ) 300 N (6m) 450 N.sen60º (2 m ) + 6 R B Y = 0 R B Y = 1589.23 N + F V = 0-700 N.cos30º 300 N 450 N.sen60º + 1589.23 + R A Y = 0 R A Y = -293.30 N + F H = 0-700 N.sen30º + 450 N.cos60º + R A x = 0 R A x = 125 N UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 52
Ejemplo # 9. Calcule el grado de indeterminación de la viga mostrada y determine las reacciones que ejercen los vínculos aplicando las condiciones de equilibrio. 40 K 10 K 30º 60º A 20 K/m B C D E F 80 K.m 3 m 4 m 3 m 4 m 5 m Solución: Diagrama de Cuerpo Libre 100 K 20 K/m R A x 40 K 10 K 30º 60º 80 K.m R A R A y R E y + M A = 0-20 K/m (5 m ).(16.5 m ) 10 K.sen60º (10 m ) + 80 K.m 40 K (3 m ) + 14 R E Y = 0 R B Y = 126.90 K + + F V = 0-100 K + 126.90 K 10 K.sen60º - 40 K + R A Y = 0 R A Y = 21.76 K + + F H = 0-10 K.cos60º + R A x = 0 R A x = 5 K + R A = (5) 2 + (21.76) 2 R A = 22.33 K + UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 53
Ejemplo # 10. Determine las reacciones del Pórtico mostrado en la figura sometido a un sistema de cargas variables. 4 T C D 6 T/m 3 T/m 5 m A B 5 T.m 5 m 5 m Solución: Diagrama de Cuerpo Libre 2 4 T 3 b M D C D R D x 1 3 b 7.5 y T R D 6 T/m 15 T 3 T/m + M A = 0 TRAMO ABC A R A y B 5 T.m Y Y 15 T (2.5 m ) + 7.5 T.( 2/3 (5 m ) ) 5 T.m - 5 R A = 0 R A = 11.50 T + + F V = 0-15 T - 7.5 T 4 T + 11.5 + R D Y = 0 R D Y = 15 T + + F H = 0 R D x = 0 + M A = 0 TRAMO CD 15 T (5 m ) - 4 T.(2.5 m ) + M D = 0 M D = 65 T.m - UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 54
Ejemplo # 11. Determine las reacciones del Pórtico mostrado en la figura sometido a un sistema de cargas variables. 3 m 4 T/m 7 T B 2 T/m 2 m 4 m C 3 T/m A 4 m 6 m 5 T/m D 5 m 4 m 4 m Solución: D.C.L θ 20 T 25.61 T θ=36.87º α 8 T 4 T B + M B = 0 TRAMO AB Y Y 25.61 T (3.2 m ) - 5 R A = 0 R A = 16.40 T + + F V = 0 Y 16.40 T -25.61 T. cos α - 20 T. cos θ 8 T - 4 T + R D = 0 C 3 T R D Y = 31.60 T + A R A y α=38.66º + F H = 0 25.61 T. sen α +20 T. sen θ 3 T + 10 T + R D x = 0 R D x = 35 T- 10 T M D R D y D R D x + M B = 0 TRAMO BCD -8 T (2 m ) - 4 T.(8 m ) - 3 T.(2.67 m ) + 10 T.(6.67 m ) - 35 T.(8 m ) + + 31.6 T.(4 m ) + M D = 0 M D = 142.90 T.m + UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 55
Ejemplo # 12. Determine las reacciones de la Estructura mostrado en la figura sometido a un sistema de cargas variables. 4 T/m 4 T/m B 3 T/m 2 m C 4 m D E 3 T/m A 4 m 6 m 1 m 6 m Solución: D.C.L 44 T 16.98 T Ø B C 12 T A R A y Ø = 45º D E R A x 1.5 T R E y R E x APLICANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA RESOLVER SISTEMA DE 02 VARIABLES + M A = 0 TODA LA ESTRUCTURA -16.98 T (2.83 m ) 44 T (5.5 m ) + 1.5 T (10.33 m ) - 12 T (15 m ) + 2 R E X + 17 R E X = 0 + M C = 0 TRAMO CDE 1.5 T (0.33 m ) - 12 T.(5 m ) - 2 R E X + 7 R E X = 0 2 R E X + 17 R E X = 454.56 T I ECUACIÓN - 2 R E X + 7 R E X = 59.51 T. II ECUACIÓN UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 56
2 R E X + 17 R E X = 454.56 T - 2 R E X + 7 R E X = 59.51 T 24 R E X = 514.07 T R E X = 21.42 T + R E Y = 45.21 T + + F V = 0 45.21 T -12 T + 1.5 T - 44 T - 16.98 T. cos 45º + R A Y = 0 + F H = 0 21.42 T + 16.98 T. sen 45º + R A x = 0 R A Y = 21.30 T + R A x = 33.43 T- UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 57
Ejercicios Propuestos.- 4 T 3 T/m 10 T B C 2 T/m 55º A 2 m 5 m B 5 T/m 2 m C D 2 T/m 8 T.m B A D 2 m 6 m 3 m 2 m 5 m 1.- Determinar los grados de libertad de la estructura mostrada y hallar las reacciones indeterminadas de los vínculos sometidos a un sistema de cargas. 2.- Hallar el grado de indeterminación de la Viga compuesta y calcular las reacciones que ejercen los apoyos del sistema. 300 N 250 N 20 K/m 3 m C B D 68º 400 N.m 1.5 m B C 80 N/m 3 m A 18 K/m 22º 150 N/m 60 K 500 N 2.5 m 1.5 m D A 3 m 2 m 2 m 5 m 35 K/m 3 m E 6 m 3.- Determinar los grados de libertad de la estructura mostrada y hallar las reacciones indeterminadas de los vínculos sometidos a un sistema de cargas. 4.- Calcular las reacciones de la estructura isostática mostrada, el cual está sometida a un sistema de cargas variables. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 58
ECUACIONES DE EQUILIBRIO (ARMADURAS O CERCHAS) Ejemplo # 12. Determine la fuerza de cada miembro de la cercha y el estado si el miembro esta a tensión o compresión. 500 lb 1500 lb Solución: APLICANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA RESOLVER LAS VARIABLES EN LOS APOYOS + M A = 0-500 lb (10 ft ) 1500 lb (20 ft ) + 30 R D Y = 0 + F V = 0-500 lb -1500 lb + 1166.67 lb + R A Y = 0 R D Y = 1166.67 lb R A Y = 833.33 lb + + F H = 0 R A x = 0 R A x = 0 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 59
Nodo A. y F AG A 45º x F AB 833.33 lb Nodo B. y F BG B x 833.33 lb F BC 833 lb 500 lb Nodo D. y F DE 45º D F DC x 1166.67 lb UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 60
Nodo E. F EG E 45º F EC 1649.96 lb Nodo C. y F CG 45º 1166.67 lb C 833.33 lb 1166.67 lb x 1500 lb UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 61
Ejemplo # 13. Determine la fuerza de cada miembro de la armadura y el estado si el miembro esta a tensión o compresión. Solución: Nodo B. 8 kn 3 kn B F BC F BA Nodo A. 8 kn F AC 3 kn A 36.87º F AF 8.875 kn UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 62
Nodo C. 4 kn 3 kn C F CD 1.458 kn F CF Nodo E. F BA F EF E 13.125 kn Nodo D. 10 kn 4.167 kn D F DF 13.125 kn UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 63
Ejemplo # 14. Determine la fuerza de cada miembro de la armadura y el estado si el miembro esta a tensión o compresión. Sabiendo que P = 8 kn. Solución: Nótese que en este caso las reacciones en los apoyos no son necesarias determinarlas primero para el cálculo de las fuerzas en cada elemento. Nodo D. F DC F DE 60º D 8 kn Nodo C. F CB 60º C 60º F CE 9.238 kn Nodo B. B 9.238 kn 60º 60º F BA F BE UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 64
Nodo E. 9.238 kn 60º F EA E 9.238 kn 60º 4.619 kn R E y Fíjese que la reacción vertical del apoyo E puede determinarse por análisis de fuerzas, aplicando las ecuaciones de equilibrio. Ejemplo # 14. Determine la fuerza de cada miembro de la armadura y el estado si el miembro esta a tensión o compresión. Solución: Nodo D. F DC D R D x = 0 F DE R D y = 14kN UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 65
Nodo E. F EC F EA 16.33 kn E 0 R E y = 23kN Nodo C. F CB 45º C 8 4 kn F CF 6.2 kn Nodo B 4 kn 45º B 2.2 kn F BA F BF Nodo F 6.2 kn F FA F 45º 8.768 kn UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 66
Ejemplo # 15. Determine la fuerza de cada miembro de la armadura y el estado si el miembro esta a tensión o compresión. Solucíón: Por Simetría: Nodo A Nodo B Resolviendo: Por simetría UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 67
Nodo D Por simetría De arriba tenemos: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 68
Ejemplo # 16. Determine la fuerza de cada miembro de la armadura y el estado si el miembro esta a tensión o compresión. Solución: Nodo FBD Por resolución del Nodo B Para determinar la deflexión de CD: DE UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 69
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Ejemplo # 17. ARMADURAS (MÉTODO DE SECCIONES) Una armadura en un puente como se muestra. Determine la fuerza de los miembros CE, DE, y DF. Solución: ARMADURA FBD Sección ABCD: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 71
Ejemplo # 18. Una armadura en un puente como se muestra. Determine la fuerza de los miembros FI, HI, y HJ. Solución: Sección FBD: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 72
Ejemplo # 19. La armadura del techo de un Estadio está sometida a cargas tal como se muestra. Determine la fuerza de los miembros AB, AG, y FG. Solución: Sección FBD: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 73
Ejemplo # 20. Una parte de la cercha mostrada representa la parte superior de una torre de transmisión de energía. Para las cargas dadas, determine la fuerza en cada miembro localizado arriba de HJ. el estado sabiendo si está a compresión o tensión Solución: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 74
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Ejercicios Propuestos.- 1.- Determine las fuerzas para los miembros de la armadura mostrada en CE, DE y DF el estado si es a compresión o tensión. 2.- Determine las fuerzas para cada miembro de la armadura mostrada a la izquierda de GH y el estado si es a compresión o tensión. 3.- Determine las fuerzas para cada miembro de la armadura mostrada y el estado si es a compresión o tensión. 4.- Determine las fuerzas para cada miembro de la armadura mostrada y el estado si es a compresión o tensión. 5 2 T B 3 m 2 m 2 T 6 3 4 2 m 5 3 m 2 T 4 1 2 3 m 3 m 6 T 2 m 2 3 8 T A B A 4 T 1 3 m 2 m 3 m 2 m 2 m 2 m 5.- Determine las fuerzas para los miembros 3-4, 1-4 y 1-B de la armadura mostrada y el estado si es a compresión o tensión. 6.- Determine las fuerzas para cada miembro de la armadura mostrada y el estado si es a compresión o tensión. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 76