Lección.4 Funciones Polinómicas 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 4
Actividades.4 Referencia Texto: Seccíón 3.6 Funciones Cuadráticas; Ejercicios de Práctica: Problemas impares 13-1, 37-41 páginas 3 y 5; Sección 4.1 Funciones polinomiales de grado mayor que ; problemas impares 11 9, página 56. Asignación.4: páginas 3 y 5; problemas 0 y 40 y de la página 56 el problema. Referencias del Web: Videos de Julio Profesor.NET FUNCIÓN CÚBICA: Teoría sobre la Función Cúbica Determinar un polinomio si se conocen sus ceros Gráfica de Funciones Polinómicas I por P Velasco Palomino Ceros de funciones polinómicas Anneliesse Sánchez 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4
Función cuadrática Una función cuadrática es una función de la forma: f ( x) ax bx c Donde a, b, c son números reales, a distinto de cero. La gráfica es una parábola Vertice es el punto máximo Eje de simetría Vértice es el punto mínimo a > 0 Abre hacia arriba Eje de simetría a < 0 Abre hacia abajo 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 4
Fórmulas para calcular vértice Si f es una función cuadrática definida por f(x) = ax + bx + c entonces el vértice es igual a (h,k) y eje de simetría es igual x = h donde: h b a y k f ( h) 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 4
Ejemplo 1 Determine la dirección que abre la gráfica de la función cuadrática siguiente. Identifique su vértice, el valor máximo o mínimo de la función; los interceptos y trace su gráfica. a =, b = 1, c = 5 f ( x) x 1 x 5 a = > 0, la parabola abre hacia arriba b 1 a Coordenada de x del vértice: Coordenada de y del vértice: 3 b f f 3 ( 3) 1( 3) 5 13 a Vertice: (-3, -13) El valor mínimo de la función es -13 y ocurre en x = -3 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 4
Resolución de Ejemplo 1 p Intercepto en y ocurre cuando: f(0) = 5. Por consiguiente, el intercepto en y es (0,5) Para hallar el intercepto en x, resuelva la ecuación: 0 = x + 1x + 5 x b b 4ac a 1 104 () 1 4 6 4 3 6 Los interceptos en x son: 6 ( 3, 0), ( 3 6 Aproximadamente: (-5.55,0), (-0.45, 0), 0) 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 4
Resolución de Ejemplo 1 p3 f ( x ) x 1 x 5 Vertice = (-3, -13) Valor mínimo = -13 intercepto en y: (0,5) interceptos en x son aproximadamente: (-5.55,0) y (-0.45, 0) 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 4
Ejemplo Encuentre el valor mínimo de la función: g(x) = 3x - 30x a) g(5) = 75 b) g( 5) = 75 c) g(5) = 75 d) g( 75) = 5 e) g( 75) = 5 a) g 5 = 75 g( b 30 ) = g( a (3) ) = g(5) = 3(5) 30(5) = 75 150 = 75 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 4
Modelado de Funciones Expresar la relación de dos o más variables a través de una función Ejemplos: Si x es el ancho de un cuadrado, su área A se puede expresar por: A x Si r es el radio de un círculo, su área A y su circumferencia C se puede expresar por: A( r) r Variable independiente vs. dependiente C( r) A( x) x r 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 4
Pasos para modelar con funciones Paso 1 - Identifique variables independiente vs. dependiente Ejemplo 1: Variable independiente es el lado del cuadrado (x), dependiente es su Área (A) Ejemplo : Variable independiente es el radio del círculo (r), dependiente es su Área (A) y su circumferencia (C). Paso Identifique una ecuación principal que relacione las variables. Paso 3 (De ser necesario) Indentifique ecuación(es) auxiliar(es). Paso 4 - Establezca función (modelo) 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 de 4
Ejemplo 3 Un jardinero tiene 140 pies de cerca para un jardín rectangular. Encuentre una función que modele el área del jardín que puede cercar como una función de su ancho.. Paso 1 Indentifique variables x = ancho y= largo Paso Identifique la ecuación principal. Área = xy Paso 3 Establezca ecuación(es) auxiliar(es) Perímetro = largo + ancho 140 = y + x A( x) y 70 x Paso 4 Establezca función x 70 x A( x) x 70x 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de 4
Ejemplo 4 Un jardinero tiene 140 pies de cerca para un jardín rectangular. (a) Encuentre las dimensiones que producirá el área del jardín máxima que puede cercar. (b) Identifique el área máxima que se logra. x = ancho A( x) x 70x y= largo A( b 70 ) = A( a ( 1) ) = A(35) = (35) + 70(35) = 15 70 x x = 35 y = 35 A = 15 Indentifique función Como es una función cuadrática concava hacia abajo, calcule su vértice para calcular el valor de x y el valor de la función donde ésta asume su valor máximo Las dimensiones que producirán el área máxima será cuando su ancho y largo son de 35 pies. El área máxima que se producirá es de 1,5 pies 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 4
Ejemplo 5 UN proyectil es disparado verticalmente hacia arriba de una altura de 600 pies sobre el suelo. Su altura h(t) en pies sobre el suelo, después de t segundos está dado por: a) Grafique la función h t h t = 16t + 803t + 600 b) Estime cuándo la altura del proyectil será de 5000 pies c) Indique cuándo el proyectil estará a más de 5000 pies sobre el suerlo. d) Cuánto tiempo estará el proyectil en vuelo? 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 4
Ejemplo 5 a) y b) a) Grafique la función h t b) Estime cuándo la altura del proyectil será de 5000 pies Cual es el valor de t, cuando h t = 5000 h t = 16t + 803t + 600 5000 = 16t + 803t + 600 16t 803t + 4400 = 0 Por la fórmula cuadrática: t = b ± b 4ac a t = ( 803) ± t = 803 t = 803 + ( 803) 4(16)(4400) (16) ( 803) 4(16)(4400) (16) ( 803) 4(16)(4400) (16) 6.3 43.9 El proyectil estará a unos 5000 pies del suelo cuando ha transcurrido aproximadamente 6.3 segundos y luego cuando ha transcurrido 43.9 segundos. 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 14 de 4
Ejemplo 5 c) y d) c) Indique cuándo el proyectil estará a más de 5000 pies sobre el suelo. El proyectil estará sobre 5000 pies del suelo cuando t se encuentra en [6.3,43.9] d) Cuánto tiempo estará el proyectil en vuelo? El proyectil estará en vuelo hasta que toque suelo. Es decir, hasta que h(t) =0 h t = 16t + 803t + 600 0 = 16t + 803t + 600 Por la fórmula cuadrática: t = b ± b 4ac a t = (803) ± (803) 4( 16)(600) ( 16) 50.9 El proyectil estará en vuelo unos 50.9 segundos. 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 4
Funciones Polinómicas Una función polinómica es una función de la forma: n n1 f ( x) anx an 1 x... ax a1x a0 donde a n, a n-1,, a 1, a 0 son números reales, a n es distinto de 0, n es un número no negativo. El dominio es el conjunto de los números reales. El grado es el exponente mayor de la variable x. Ejemplos: f ( x) 3x 4x 5 Polinomio de grado 3 h( x) x 5 F( x) 3x 5 5 x No es un polinomio No es un polinomio 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 16 de 4
Extremos de los polinomios f n n1 ( x) anx an 1 x... ax a1x a0 Grado par a n > 0 a n < 0 Grado impar 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 17 de 4
Ejemplo 6 Cuál de los siguientes describe el comportamiento de los extremos de las funciones : Prof. José G. Rodríguez Ahumada 08/10/013 1 ) ( 3 6 x x x x f Alternativa correcta es d. Alternativa correcta es b. 1 ) ( 3 4 5 x x x x x f 18 de 4
Ceros e interceptos de x Si r es un número real y cero de la función f, entonces (r, 0) es un intercepto de x. 3 Como 4 es un cero de f ( x) x 7x 8x 16, (4, 0) es un intercepto de x: 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 19 de 4
Ejemplo 7 Determine los interceptos de f x = (x + 1)(x 4) Solución: Para determinar los interceptos en x, resolvemos la ecuación f x = 0 x 1 x 4 0 Por tanto, los interceptos en x de f son (-1,0) y (4,0). Para hallar el intercepto en y, evalúe f(0): f ( 0) (0 1)(0 4) ( 4) 16 El intercepto en y es el (0, 16) 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de 4
Propiedad de la multiplicidad Si r es un cero con multiplicidad par el signo de f (x) no cambia de un lado al otro de r. Por tanto, la gráfica toca el eje de x en r. Si r es un cero con multiplicidad impar el signo de f (x) cambia de un lado al otro de r. Por tanto, la gráfica cruza el eje de x en r. 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 4
Ejemplo 8 Use la multiplicidad de los ceros y el grado para bosquejar su gráfica la función polinómica f x = x + 1 (x 5)(x + 4). x = -4 es un cero de multiplicidad 1. Cruza el eje de x en (-4,0). x = -1 es un cero de multiplicidad. Toca el eje de x en (-1,0). x = 5 es un cero de multiplicidad 1. Cruza el eje de x en (5,0). Observe que la función es de grado 4, por tanto par. Realizar 3.6.1 Ejemplo 1: Sketch the graph of f(x)=(x+a)(x+b)(x+c) 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 4
Ejemplo 9 Sea f x = x 3 + x 4x 4. Determine a) los ceros de la función y su multiplicidad b) Trace la gráfica. Solución a): Factorice el polinomio. En este caso uso el método de agrupación f x = x 3 + x + ( 4x 4) = x x + 1 4(x + 1) = x 4 (x + 1) = x (x + )(x + 1) Los ceros de la función son, -,-1 y todos con multiplicidad 1. Solución b): Analice grado y coeficiente Como es de grado es impar y el coeficiente principal es positive, la gráfica es de la forma Además, cruza en -, -1 y 08/10/013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 4
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