Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Definición página 9. Función exponencial página 9.. Representación gráfica y propiedades de la función exponencial página 6.. La importancia de la función e x página 6. Función logarítmica página 6.. Definición página 6.. Representación gráfica y propiedades de la función logarítmica página 6.. Función seno página 66. Funciones trigonométricas página 66.. Función coseno página 6.. Función tangente página 68.. Función cotangente página 69. Funciones trigonométricas inversas página.. Función arcoseno página.. Función arcocoseno página.. Función arcotangente página. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

SLUCINES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBR DEL ALUMN Cuestiones previas (página 8). Expresa, en radianes, el ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide r, siendo r el radio de la circunferencia. Sabemos que r corresponden a rad.. Halla el término a de una progresión geométrica de razón,si a 8. 8 a a r 6 8 8 8 9 6. Averigua los ángulos menores que cuya tangente vale. arctg,8. Por tanto, los ángulos serán,8, 9,8, 9,8,,8 y 6,8.. Calcula estos límites: lim n n n e Actividades (páginas 6/) lim x x Utiliza la calculadora y obtén, con cuatro cifras exactas:,,e / y,,,66,,6,,6, respectivamente. rdena de menor a mayor: ( x),,,,,, /, / Sin realizar ningún cálculo, indica cuáles de los siguientes valores son mayores que : (,) /,(,),(,), / y (,), (,) /, ya que la base es mayor que y el exponente, positivo. (,), puesto que la base es menor que y el exponente es positivo. (,), puesto que la base es mayor que y el exponente es positivo. (/) / (/) /, puesto que la base es mayor que y el exponente es positivo. (,), (/,),, puesto que la base es menor que y el exponente es positivo. Sin realizar cálculos, determina el signo de x en las siguientes expresiones: a) x, b) (,) x, c) x 8 a) El exponente debe ser negativo, porque la base es mayor que la unidad y el resultado es menor que la unidad. b) El exponente debe ser positivo, porque la base es menor que la unidad y el resultado es menor que la unidad. c) El exponente debe ser negativo, porque la base es menor que la unidad y el resultado es mayor que la unidad. 6 8 Realiza estas operaciones: a) b) a) b) 6 9 8 9 6 6 6 8 8 9 8 8 Halla la población de la colonia de bacterias del ejemplo de esta página, al cabo de h. N N t/t N() / 6, bacterias Se desconoce el tipo de crecimiento de una especie de bacterias. Solo se sabe que este crecimiento es exponencial: a los 8 minutos del inicio de la experiencia hay individuos, y a las dos horas,, millones. Cuántos individuos había en la muestra inicial? Cuál es su período de duplicación? Con los datos se puede plantear el siguiente sistema: N 8/T,6 6 N /T Al dividir la segunda ecuación entre la primera, se obtiene: 6 /T 6 /T 6 T min T 6 Si se despeja N en la primera ecuación y se sustituye el valor de T, se obtiene: N 8 / individuos Construye las gráficas de las siguientes funciones: a) x b) x x c) e x (con calculadora) d) e x Se puede elaborar una tabla con valores aproximados, como sigue: x y (/) x,,,6,,,8 y (/) x (/) x,68,69,,,69,68 y e x,,,,,9, y e x,,9,,,, Análisis

A continuación se elaboran las gráficas: 9 8 6 9 8 6 e x x x x e x 9 La vida media del radio es, aproximadamente, años. Qué cantidad de este elemento radiactivo quedará al cabo de años en una muestra de g de masa? N N e t/v N e /,9 g Calcula el incremento de capital que se obtiene en una inversión de capitalización continua al 6 % de interés anual, si el capital inicial es de millones de euros y el tiempo de la inversión es de meses. C C e i t C 6 e,6 / 8, Por lo que el incremento es de 8 aproximadamente. Calcula los siguientes logaritmos: a) log b) log / c) log (/) d) log 6 e) log () a) log x x / x b) log / x x x c) log (/) x/ x 6 d) log 6 x no tiene solución. e) log () x no tiene solución. Calcula x en estos logaritmos: a) log x / 9 / b) log / x / c) log x / a) log x / 9 / x / / x b) log / x / / x x c) log x / x / / x Indica cuál es la base de las funciones logarítmicas que cumplen: a) f(/6) b) f(8/) / c) f(/) a) log b 6 b 6 b b) log b 8 b/ 8 b 6 c) log b b b La constante de semidesintegración del C es de,89 s.calcula su período de semidesintegración. T ln Sustituyendo la constante de semidesintegración por su valor, y transformando el resultado en años, se obtiene: T años El período de semidesintegración del uranio 8 es de, 9 años. Cuál es su vida media? T V ln Sustituyendo el período de semidesintegración por su valor se obtiene V 6, 9 años.. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

6 La magnitud, M, de un terremoto, según la escala de Richter, y la energía, E, liberada en él, están relacionadas por la expresión: M (/) log (E / E ), donde E es una constante que vale, julios. Qué energía liberó el terremoto de San Francisco producido Dadas dos funciones, arc sen x y g(x) cos x, averigua la expresión de las funciones g f y f g. (f g)(x) f(cos x) arc sen (cos x) arc sen sen x x en 96, cuya magnitud fue de 8, según la escala de (g f)(x) g(arc sen x) cos (arc sen x) Richter? Sustituyendo en la expresión los valores de la magnitud del sen en (arc sx) x terremoto y del valor de la constante, y aplicando propiedades de las operaciones con logaritmos, tenemos que: 8, log E log, log E 6, 9 6 Dada la función cos (arc cos x), calcula f(), f(/) y f/. f(), f(/) / y f/ /. 8 E,9 6 J A partir de la representación gráfica de tg x, calcula: a) lim (tg x) b) lim (tg x) x / x / a) b) Representa las funciones sen x y g(x) cos x, e indica el recorrido de cada una de ellas. Rec f [, ] Rec g [, ] 9 Averigua el dominio de la función tg (x /). Dom f { k, k } Calcula lim x / (sen x cos x). lim (sen x cos x) sen x / cos Calcula lim (tg x). x / lim (tg x) ( ) x / Cuál es el período de la función cos x? / A partir de la representación gráfica de cotg x, indica: a) lim (cotg x) b) lim (cotg x) x x lim (cotg x) x lim (cotg x) x Representa la función de ecuación arc cotg x, indicando su dominio y su recorrido. Dom f / Rec f (, ) g(x) Ejercicios y problemas (páginas /) Función exponencial Calcula: a) (, ) / b) ( / ) a) (, ) 8 / / b) ( / ) / 6/ rdena de menor a mayor en cada caso: a),,,, b) /,, / c) (,) /, (,) /, (,), /,, d),, a) b) / / c) (,) (,) / (,) / / d) A partir de la función x,calcula: f(), f(), f(), f(), f(6), f (9), f y f () f(), f(), f(), f() 9, f(6), f (9), f 6, / f () Dada la función f (x) x,calcula las antiimágenes de,,, 9, y. x x x, x x x 9 / x x x log x log x log x ln x ln x l n ln 6 Análisis

Utilizando la calculadora construye una tabla de valores para la función (/) x, es una función creciente o decreciente? Sin dibujar la gráfica, indica las características de las siguientes funciones: a), x c) x x b) x d) x /6 /6 / / 6/ 6/ a) Es una función decreciente, por tanto: lim x,x y lim, x, x x b) Es una función decreciente y siempre negativa. lim ( x ) y lim ( x ) x x c) Es una función creciente y siempre negativa. lim x x ) y lim ( x ) x d) Es una función decreciente y siempre positiva. lim x x ) y lim ( x ) x Averigua el punto de intersección de las gráficas de las funciones x y g(x) x. 6 8 La gráfica es decreciente puesto que la base de la función exponencial representada es menor que la unidad. Las gráficas de las funciones a x tienen todas un punto en común, cuál es este punto? El punto (, ). Para qué valores de a es creciente a x? Para cuáles es decreciente? Es creciente para a y es decreciente para a. Utilizando las propiedades de la función exponencial, indica a qué expresión corresponden las gráficas siguientes: a) x b) (/) x c) x d) (/) x Para hallar el punto de intersección, se resuelve la ecuación: x x Para ello, hay que tomar logaritmos en ambos miembros de la ecuación: x ln x ln x (ln ln ), por lo que x, y, entonces, y Por tanto, se cortan en el punto (, ). Utilizando la gráfica de la función x,representa gráficamente la función x y x. x x,,, x 9 Cuál es el dominio y el recorrido de las funciones representadas? Cuáles son crecientes? Cuáles decrecientes? Todas las funciones tienen el mismo dominio y recorrido: Dom f (, ) Rec f (, ) Son crecientes a) y c) y decrecientes las otras. La función x corresponde a la amarilla; (/) x,a la roja; x,a la azul, y (/) x,a la verde. Construye las gráficas de las siguientes funciones: a) (/) x b) x a) De la función exponencial k a x sabemos que pasa por (, ) y (, ). Determina los valores de a y k. Al sustituir los puntos en la función obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: (, ) f() k a k (, ) f() a a a Calcula k y a en la función k a x, sabiendo que se cumple lo siguiente: f() 6 y f(8) 9 f() y f() 9 f() /6 y f(/) /8 f() 6 y f(8) 9 x b) f() /6 y f(/) /8 9x f() y f() 9 x Cuando se afirma que la inflación anual es del, %, se está indicando que un producto cuyo valor sea, por ejemplo, de al inicio del año, valdrá, a su término. Calcula cuánto habrá que pagar dentro de años por una vivienda que cuesta actualmente, si se supone una inflación anual constante del, %. P (,) 9,8.. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

6 Considerando la misma inflación que en la actividad anterior, calcula el precio que tenía una vivienda hace cuatro Utilizando la gráfica de log x,representa la función log x y log x. años si actualmente cuesta. P (,) P 6,9 log x Función logarítmica Escribe las siguientes igualdades como una expresión logarítmica: a) 6 /6 c) / b) (/9) / / d) / a) log 6 (/6) b) log /9 (/) / c) log (/) d) log (/) 8 Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) log x / b) log x 6 / c) log x / / a) x (/) x x b) x / / x c) x / (/) / x / 9 Haz una tabla de valores para la función x ya partir de esos valores representa la función log x. x Las gráficas de las funciones log a x tienen todas un punto en común. Cuál es este punto? El punto (, ). Para qué valores de a es creciente log a x? Para cuáles es decreciente? La función logarítmica es creciente para a y es decreciente para a. Utilizando las propiedades de la función logarítmica, indica a qué expresión corresponden las gráficas: a) log x c) log / x b) log / x d) log x /6 /6 / 6 6 6 8 9 La función log x corresponde a la azul; log / x, a la roja; log / x, a la verde, y log x, a la amarilla. x log x 6 Si a y b son dos números reales, positivos y mayores que, y log a log b qué relación existe entre a y b? a b Sea log / x y g(x) log / x y f(a) g(b). Qué se debe cumplir: a b o a b? a b Representa estas funciones: log x, g(x) log x, h(x) log x, i(x) log x Dom f (, ) Dom g {} Dom h (, ) Dom i {} log x log x x log x log x log x log x,,,6,,8,9,,6,,,6,,,,,,,6,,8,6,,,8,6,,,8,6,,6,9,, 8 Análisis

Un gramo de una sustancia radiactiva, que se desintegra Para qué valores de x se cumple sen x cos x? exponencialmente, se reduce en un 8 % en 8 años. Calcula sen x cos x para aquellos valores de x en que la gráfica de la su vida media y su período de semidesintegración. función seno está por encima de la gráfica de la función coseno.,8 e 8/V ln,8 8 Su vida media es: V,6 años. V sen x 8 9 et/v ln T T Vln V, años es su período de semidesintegración. Durante un cierto período la demanda de café queda ajustada a la función D 6 e,t,dondet indica el número de meses, y D, la cantidad de kilos de café vendidos. Calcula cuándo se reducirá la demanda a la mitad. D 6 e, t 8 6 e,t e,t ln, t Así, t 6 meses y 8 días aproximadamente. La concentración de iones de hidronio de una solución jabonosa es, 6 moles/l. Cuál es su ph? ph log, 6 log, 6, Un fenómeno natural se mide mediante una constante que se calcula a partir de la expresión k log (I/I ). Si la intensidad es I,entonces k, por lo que dicha intensidad se considera normal. Calcula la intensidad relativa del fenómeno cuando k ln. I I ln log I ln I I Por tanto,,9. I Funciones trigonométricas Representa sen x e indica su período. Por tanto, la función seno es estrictamente mayor que la función coseno en los siguientes intervalos: k, k,con k Representa las siguientes funciones e indica si son periódicas y qué período tienen: a) cos x b) cos x a) Es periódica, de período. b) Es periódica, de período. - - - - - - cos x cos x cos x T Representa cos x e indica su período. T Dada cos x, g(x) cos x y h(x) cos x, determina su dominio y su recorrido. Las tres funciones f, g y h tienen como dominio (, ). Rec f [, ] Rec h [, ] Rec g [, ] 6 Halla f g, siendo arc cos x, y siendo: a) g(x) sen x b) g(x) cos x a) (f g)(x) f(sen x) arc cos (sen x) x b) (f g)(x) f(cos x) arc cos (cos x) x Un movimiento oscilatorio tiene la siguiente ecuación x(t) sen (t + /), siendo x la desviación respecto del punto de equilibrio medida en centímetros respecto del tiempo, t, medido en segundos. a) Averigua el período de esta función. b) Cuánto tarda en realizar una oscilación completa? c) Averigua la desviación máxima respecto del punto de equilibrio. d) Cuál es el tiempo mínimo que tarda en llegar a su máxima desviación? e) Determina la desviación inicial, es decir, x(). a), s c) cm e) x(), cm b), s d) t, s. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas 9

8 Calcula: Dibuja esta función, e indica si es continua en x : a) sen arc cos b) sen arc sen x si x x x si x c) arc sen (cos x) a) sen arc cos sen 6 b) sen arc sen c) arc sen (cos x) arc sen sen x x - - - - - Ejercicios de aplicación 9 En la figura tienes representadas las funciones: a) a x,a b) a x, a c) log a x, a d) log a x, a Es continua en x : f(), lim lim x f() lim x - - - x (x x) lim lim lim x x x x Estudia si la siguiente función es continua en : cos (x ) si x x x si x x x Dom f.en x hay discontinuidad asintótica. Identifícalas e indica el dominio y el recorrido de cada una de las funciones y di si son crecientes o decrecientes. a) Dom f (, ); Rec f (, ). Función creciente en todo su dominio. b) Dom f (, ); Rec f (, ). Función decreciente en todo su dominio. c) Dom f (, ); Rec f (, ). Función decreciente en todo su dominio. d) Dom f (, ); Rec f (, ). Función creciente en todo su dominio. La función a x, a corresponde a la azul; a x, a, a la roja; log a x, a, a la verde, y log a x, a, a la naranja. Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones: a) x b) g(x) x c) h(x) x d) i(x) log x En el punto x, de unión de las dos ramas: lim x ) (x ) lim lim x x(x lim x x(x ) (x ) (x ) x (x ) Por tanto, como lim f(), en x es continua. x Representa ln x e x. - - - - - - - - -6 g(x) - -8-9 h(x) i(x) Calcula el punto donde se cortan las gráficas de las siguientes funciones: e x y g(x) ln x Las gráficas de las funciones e x y ln x no se cortan nunca, es decir, e x ln x, x. Análisis

6 Construye las tablas de valores y representa estas funciones: log x, g(x) log (x ), h(x) log (x ) Dom f (, ) Dom g ( ) Dom h (, ) Dada la función ln x, determina para qué valores de x se cumple que. ln x si x e ln x si x e Es decir, ln x si e x e Identifica las funciones, indicando su período: a) b) c) π π x log x log (x ) log (x),9,,,,,,9,,,,,,,8,8,,6,6,8,,,6,8,8,,8,8 π/ π/ h(x) π/ π π/ π π/ π π/ π g(x) 8 Representa las siguientes funciones e indica si son periódicas y qué período tienen: a) sen x cos x b) sen x a) Es periódica, de período. b) Es periódica, de período. sen x 9 Calcula los dominios de las siguientes funciones: a) log (x x 6) b) ln x x - - - ln x c) x x d) ln x a) log (x x 6) Dom f {x x x 6 } (, ) (, ) x x 6 (x ) (x ) x x (x )(x ) b) ln x x Dom f x x x (, ) x x (x )( x) sen x cos x π π/ π/ π π/ π a) sen x ; T b) cos x; T c) tg x; T, In x c) x Dom f {x x y x } (, ) d) x ln x Dom f {x x y In x } (, e) (e, ). Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

Halla el dominio de las siguientes funciones: Calcula los ceros de las siguientes funciones e indica qué sucederá cuando x : a) se n x a) / e x b) e x b) log ( cos x) a) si / e x x ln (/) x ln b) si e a) / e x se n x x ln (/) x ln Dom f {x sen x } sen x = si x = k, k Cuando x tiende a : a) tiende a /. b) tiende a. Dom f {k}, k La función a ( e kx ) tiene una representación denominada curva de aprendizaje. Calcula para qué valor de b) log ( cos x) Dom f {x cos x } cos x si cos x x se cumple que a/. a) Representa la función tomando a y k. Dado que cos x si x π k, k b) Calcula lim. Qué se observa? x Dom f {k}, k a/ a( e kx ) / e kx kx ln (/) x ln Halla la inversa de las siguientes funciones: k a) (e x ) a) b) ln x c) x d) x a) (e x ) Para averiguar su inversa, primero se debe determinar si es inyectiva: e x es una función inyectiva, como se deduce a partir de su gráfica. La representación de la función e x es la misma que la de e x,pero trasladada una unidad en sentido negativo. Sigue siendo inyectiva. Al multiplicar por dos, se duplican las ordenadas para cada valor de x, por lo que la función se estira, y sigue siendo inyectiva. Por tanto, se puede calcular su inversa, que será una función definida a partir del recorrido de (e x ), que es (, ), y cuyo recorrido será. y (e x ) x (e y ) e y x y ln x Es decir, la función buscada es f (x) ln x, cuyo dominio es (, ) y su recorrido es. b) ln x Esta función está definida en (, ], y su recorrido es.en su dominio es inyectiva, y por tanto se puede calcular su inversa. ln x y ln x x ln y x ln y ex y ex y La función buscada es f (x) e x,su dominio debe ser y su recorrido, (, ]. El dominio es aparentemente, pero no hay que olvidar que esta función surge al hacer la inversa de otra cuyo recorrido solo puede ser. c) y x x y x y log x y b) lim ( x ekx ) Así, la función no alcanza valores mayores de. La población de un estado es, en millones de habitantes, P(t) /(e t/ ), siendo t el tiempo medido en años. Calcula la población actual y estudia si se estabilizará con el paso del tiempo. Población actual de millones de habitantes y se estabiliza hacia millones con el paso del tiempo. Una magnitud física varía con el paso del tiempo t según la función: M(t) e t con t donde el tiempo, t, está dado en horas. a) Calcula el valor inicial de dicha magnitud. b) La magnitud M(t), aumenta o disminuye con el paso del tiempo? c) Cuándo será nula la magnitud M? d) Representa la función M(t). a) M() e 8 b) lim ( e t ) ( ) la función decrece, la magnitud decrece con el paso del tiempo. t c) M(t) si e t e t t ln t ln /,8 h 8 min s d) El dominio es [, ); es una función decreciente; los puntos de corte con los ejes son (, 8) y (,8, ). M(t) x log (y )log f (x) lo g (x/) log d) y x x y x y log (x ) ylog f (x) log ( x ) log t Análisis

6 Entre 9 y 99, el promedio del índice de crecimiento anual de la población mundial fue de, %. Si se estimaba que la población mundial en 9 era de 9 millones de personas, qué población puede estimarse en el año 99? Por otro lado, se prevé que la población mundial ascenderá, en el año, a 8 millones de personas. Cuál será entonces el promedio anual de crecimiento de la población? 8 Un producto se lanza al mercado con una previsión de ventas para las veinte primeras semanas determinada por la función N(t) e,t,donde N es el número de unidades que se prevé vender y t el tiempo en semanas. Determina la expresión que refleja el tiempo transcurrido en función de las unidades vendidas y haz una estimación de cuántas semanas han de pasar para que se hayan vendido unidades. P 9 (, ) 8, t(n) ln (N / ) La población estimada para 99 es de 8, millones de, personas. t( ) ln ( / ),6 años Por otra parte: 8 9 ( t ), 8 ( t) log 9 8 9 9 Suponemos que una persona después de beber durante una log ( t) cena, llega a una tasa de alcoholemia en sangre de, g/l. t, 6 t, 6 A partir de este momento deja de beber y la concentración baja progresivamente siguiendo la función f(t),,6 t, Por tanto, el crecimiento promedio anual es del,6 %. donde t representa el tiempo en horas. Calcula las horas Se sabe que cuando se administra un fármaco a un enfermo la concentración en sangre disminuye exponencial- que se deberá esperar para tener una tasa de alcoholemia de, mg/l. mente en función del tiempo. También se sabe que para un f(t),,6 t fármaco determinado la concentración en sangre en función del tiempo es C(t),6 (,8) t, donde C(t) es la,,,6 t,8 8,6 t ln (,8 8 ) t ln, 6 concentración en mg cuando han pasado t horas desde t,9 la administración. Aproximadamente horas. a) Cuál es la dosis inicial? b) Qué concentración tendrá el paciente a las dos horas? 6 El nivel de intensidad de una onda sonora se define como a las cinco? b log I/I,donde I es el nivel de referencia y vale I c) Es importante que la concentración no baje de, mg. W/m,e I, el nivel de la intensidad del sonido que se desea medir. (b se expresa en decibelios) Cada cuánto tiempo se deberá administrar el fármaco? a) Calcula cuántos decibelios tiene el sonido cuya intensidad es la de referencia. a) C(),6 (,8),6 mg b) C(),6 (,8), mg C(),6 (,8),66 mg b) Si el nivel de la intensidad del sonido del tráfico en una gran ciudad es de decibelios, calcula cuál es su intensidad en W/m. c),,6 (,8) t,,8 t,6 l log a) b(l) log, t log,8 t h,6 b( ) log log db l l l b) log log l 9 W/m. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas