5 6 CAMPO ELÉCTRICO j Sigue pcticno. Dos cgs eléctics puntules e μc y μc c un están situs, espectivente, en (, ) y en (, ). Clcul: ) El cpo eléctico en (, ) y en (, ). b) El potencil en los puntos nteioes. c) El tbjo necesio p tnspot un cg e μc ese (, ) (, ). Dtos: Tos ls posiciones están en etos; K = 9 9 N C. ) El cpo eléctico ceo po un cg en un punto P ue se encuent un istnci e l is, viene o po l expesión E = K u El vecto u es un vecto unitio, cuy iección es l ect ue une l cg y el punto P, y cuyo sentio v ese l cg hci el punto P. Si ls cgs = C y = C, están situs en los puntos (,) y (-,), expesos en etos, teneos ue el cpo ceo po c cg en el punto P (,) es: C E = K u = 9 N C ( i) 9 ( ) E = i N/C C E = K u = 9 N C ( i) 9 ( ) E = i N/C Po lo tnto el cpo totl en el punto (,) es: E = E + E = i N/C Totl De igul ne clculos y opeos p el punto (,), peo peviente se eben clcul ls istncis ese ls cgs hst el punto (,), sí coo los vectoes unitios. Utilizno el Teoe e Pitágos obteneos: = = + =, Los vectoes unitios los clculos pti el ángulo ue fo el vecto con l hoizontl. Así: tg α = / α = c tg(/) = 7,º 8º 7,º = 6,7º. Po tnto los vectoes unitios son: u = cos (6,7º) i + sen (6,7º) j u =,9 i +,96 j u = cos (7,º) i + sen (7,º) j u =,9i +,96 j 9 E = K u = 9 (,9i +,96 j) 9 E = 7,7 (,9i +,96 j) N/C 9 E = K u = 9 (,9i +,96 j) 9 E = 7,7 (,9i +,96 j) N/C Así, el cpo totl en el punto (,) es: E = E + E = 95,,9i N/C Totl E =,67 i N/C Totl b) El potencil eléctico ceo po un cg en un punto P, situo un istnci e l is, viene o po l expesión: V = K Clculno p el punto (,): 9 V = K V = 9 9 V = K V = 9 = 9 V = 9 V Entonces el cpo totl en el punto (,) es: V = V + V = V Totl De igul fo en el punto (,): 9 V = K V = 9 V, 9 V = K V = 9 V, Y el cpo totl en el punto (,) es: V = V + V = V Totl c) El tbjo necesio p llev un cg = C ese el punto A (, ) hst el B (, ), es l vición e enegí potencil ue sufe ich cg l llevl ese un punto l oto. El potencil ceo po ls os cgs en el punto A (, ) es: 9 V = K V = 9 V 9 V = K V = 9 V 5 =, 7 V = 5, V El potencil totl en el punto A (, ) es V A = V + V = 6 V. El potencil ceo po ls os cgs en el punto es: 9 V = K V = 9 V 5 = 5, V B(, )
CAMPO ELÉCTRICO 6 5 9 V = K V = 9 V El potencil totl en el punto V = V + V = 6 V B El inceento e potencil es: V = V V = 6 V BA B A =, 7 V B (, ) es: El tbjo necesio p llev l cg ente os puntos con un ifeenci e potencil V BA, es: W = V AB AB Po tnto: WAB = ( 6) J = 8,7 J Al se positivo, es un fuez exten l cpo eléctico l ue eliz el tbjo, o ue el cpo eléctico po sí sólo no llev l cg ese A hst B.. Dos ptículs con cgs + μc y e μc están situs en los puntos e plno XY e cooens (, ) y (, ), espectivente. Sbieno ue ls cooens están expess en etos, clcul: ) El cpo eléctico en el punto (, ). b) El potencil eléctico en los puntos el eje Y. c) El cpo eléctico en el punto (, ). ) El potencil eléctico en el punto (, ). Dto: Constnte e l ley e Coulob: K = 9 9 N C. ) Se puee plnte e fo siil l poble nteio, peo en este cso se v esolve e fo ifeente, povechno l sietí. L situción e c cg es l siguiente: P (, ) p = C y P (, ) p = C. L istnci ese c cg hst el punto P(, ) es l is y l clculos utilizno el teoe e Pitágos: = = + = Clculos el ángulo α pti e su tngente, tgα = α = c tg 7, 7º El óulo el vecto cpo ceo po c cg seá el iso, y ue ls cgs tienen el iso óulo y ls istncis tienen el iso vlo. Así: 9 E = E = K = 9 = 9 N/C D l sietí el poble, el cpo eléctico totl tená solente coponente en l iección el vecto unitio i, y seá: E = E + E = E i E = E cos α i Totl x Totl E = 9 cos7, 7º i = 57, i N/C Totl b) C punto el eje OY está l is istnci el punto P (, ) ue el punto P (, ). Coo el potencil ceo po l cg = C y po l cg = C son e igul vlo bsoluto, peo e signo opuesto, el potencil totl seá ceo. Do ue V = V V = V + V = V Totl c) El cpo eléctico ceo po c cg es E = K u, y su óulo es E = K. P c cg en el punto P (, ), teneos ue: E = K u = 9 i = 56,5i N/C 9 6 9 E = K u = 9 i = 5i N/C Aplicno el pincipio e supeposición: E = E + E = 56,5 i 5i E = 687,5i N/C Totl ) El potencil ceo po ls os cgs en el punto P (, ) es: 9 V = K V = 9 = 5 V Totl 9 V = K V = 9 = 5 V El potencil totl en el punto P (, ) es V = V + V = 5 V. Totl j Activies popuests. Discute si el zoniento es veeo o flso: «Se colocn cuto cgs puntules +Q en los vétices e un cuo e lo y se sitú un cg -Q en el cento el iso. L fuez tctiv ue siente -Q es cuto veces yo ue si solo hubiese un cg positiv +Q en uno e los vétices el cuo.» El zoniento es flso, y ue l fuez es un gnitu vectoil, y no es lo iso su vectoes ue sus óulos. En este cso, ls fuezs con ue c cg +Q, situ un en c vétice el cuo, ten l cg -Q tienen el iso óulo, peo no l is iección; y l su e ls cuto fuezs igules, ue fon ente sí 9º, coo esultnte el vecto ceo. Así pues, l su e ls fuezs ls ue está soeti l cg -Q es ceo.. Cuto ptículs cgs están colocs en ls esuins e un cuo e lo (ve figu), e fo ue ls ptículs ue ocupn ls esuins opuests tienen l is cg:
5 6 CAMPO ELÉCTRICO ʹ ) Encuent l elción ente y p ue l fuez sobe c ptícul se nul. b) Con est elción, etein el vlo e l fuez ue ctú sobe c cg, en función e. ) P ue l fuez totl sobe un cg se ceo, l cg tiene ue se e igul óulo y e signo contio l e l cg. L igonl e un cuo e lo es. Clculos c fuez el oo siguiente: F F F Los vloes e los ángulos y e ls istncis ente cgs son: α = 8º; α = 5º; α = 9º = = = Sustituyeno los tos, obteneos: = ( F K i) ; F = K i + j F = K j L fuez totl sobe l cg es ceo, es eci, F + F + F = Si tbjos coponente coponente, obteneos: K ( i) + K i = i K j + K ( j) = j ʹ El siste e ecuciones obtenio es coptible peo ineteino, y ue bs ecuciones son euivlentes. Si toos un e ells, poeos expes en función e. + = = = b) Tbjos ho e fo nálog coo se h hecho en el pto ), peo con l cg. F F F = k (cos α i + sen α j) Los vloes e los ángulos y e ls istncis ente cgs son: α = º ; α = 9º ; α = 5º = = = Sustituyeno los tos obteneos: F = K i ; F = K j ; F = K i + j Po lo ue l fuez totl sobe l cg seá F = F + F + F. Sustituyeno: F = K ( i) + K ( j) + K i + j Tenieno en cuent ue 7 F = K + ( i j )N F = 8 y siplificno: El óulo el vecto es F =, 5 K N. Dibuj poxiente ls línes e cpo eléctico contenis en un plno en el cul hy os cgs eléctics, e vlo Q y Q, espectivente. Ls línes e cpo slen e ls cgs positivs y entn en ls negtivs. Aeás, el núeo e línes es popocionl l vlo e l cg.
CAMPO ELÉCTRICO 6 5. Qué elción hy ente el potencil y el cpo elécticos? Cóo se expes teáticente es elción en el cso e un cpo eléctico unifoe? En genel, se cuple ue V = E, o bien ue = V E. En el cso e ue el cpo eléctico se unifoe, l expesión seá: V = E Es eci, l ifeenci e potencil ente os puntos tiene un elción linel con l istnci ente ichos puntos. L constnte e popocionli es el vlo el cpo eléctico. 5. En el inteio e un conucto esféico cgo y en euilibio electostático se cuple: ) el potencil y el cpo uentn ese el cento hst l supeficie e l esfe; b) el potencil es nulo, y el cpo, constnte; c) el potencil es constnte, y el cpo, nulo. En el inteio e culuie conucto en euilibio, el cpo eléctico es ceo. Tenieno en cuent ue l elción ente el potencil y el cpo viene po l expesión V = E, si el cpo E = entonces el V =, po lo ue el potencil seá constnte. Así pues, l solución coect es l c). 6. Dos cgs positivs e igules están situs en el eje y; un está situ en y = y l ot en y =. Clcul el cpo y el potencil eléctico en un punto situo sobe el eje x, un istnci el oigen. Cóo ví el esulto si >>? Y si es >>? L situción e ls cgs es l siguiente: y El cpo en el punto P seá l su e los cpos ceos po c cg en icho punto. En este poble, l sietí fcilit los cálculos. Así, l esultnte solo tiene coponente en l iección e ls x; eás, est esultnte es el oble e l coponente x e uno e los vectoes intensi e cpo ceo po un e ls cgs. L expesión teátic es E = E cosαi α P T El cpo eléctico ceo po un cg viene o po l expesión E = K u. L istnci ese l cg hst el punto P l clculos plicno el teoe e Pitágos: = +, e oo ue cos α = = +. Po tnto, E cos α = K. + + F F F T El cpo totl seá: E = K i T + + En el cso en ue >>, entonces E = i Mients ue en el cso e ue <<, se cupliá ue E = K i, T Es eci, el cpo totl euivle l ue ceí un cg e vlo situ en el oigen e cooens. P clcul el potencil totl se h e tene en cuent ue ls os cgs son igules, y ue l istnci ese c cg hst el punto P tbién es l is. Po tnto: V = V + V, y V = K, po lo ue: V = K + T En el cso en ue >>, se cupliá ue V = K. T Mients ue en el cso en ue <<, l elción seá: V = K T 7. Dos plcs plels seps un istnci e, están conects los bones e un bteí e 9 voltios. Si suponeos ue el cpo eléctico ente bs plcs es unifoe, clcul l intensi el cpo ente ells. Si se bnon un electón en eposo en l plc negtiv, cuál seá su veloci l lleg l plc positiv? Y si se bnon un potón en l plc positiv, cuál seá su veloci l lleg l plc negtiv? Qué elción existe ente ls enegís cinétics finles e bs ptículs? Dtos: Cg el electón = Cg el potón =,6 9 C Ms el electón: 9, kg. Ms el potón:,67 7 kg. Si el cpo es unifoe, se cupliá ue V = E, po lo ue V E =. El signo negtivo inic ue, cuno el oviiento se se pouce en el sentio el cpo, el potencil v isinuyeno. Sustituyeno en l últi ecución, obteneos: E 9 V = = V/, Coo el cpo eléctico es consevtivo, l enegí ecánic se ntiene constnte. Po tnto, en su inteio un ptícul cg peeá enegí potencil y gná enegí cinétic. E + E = E = E c p c p V v = V v = T
5 6 CAMPO ELÉCTRICO P el electón: v P el potón: V 9 e = = e e v (,6 C) (9V) 9, kg 7 v e =,78 /s + V 9 p,6 C ( 9V) = =,67 kg p+ 7 p+ 5 v p =,5 /s + Coo ls os ptículs, electón y potón, tienen l is cg en vlo bsoluto, bs peeán l is enegí potencil. Po lo tnto ls os uiián l is enegí cinétic. 8. Un potón se cele ese el eposo bjo l cción e un cpo eléctico unifoe E = 6 N/C. Clcul el tiepo ue t en lcnz un veloci e, 6 /s. Dtos: Q potón =,6 9 C; potón =,67 7 kg. Un cg ento e un cpo eléctico E está soeti un fuez F = E. Así pues, plicno l Segun ley e Newton: E = = = 6, /s 9,6 C 6N/C 7,67 kg Utilizno l ecución e l veloci: v = v + t Sustituios y espejos el tiepo: 6 6, /s 5, /s = + 6, t t = =,96 s 6, /s 9. ) Enunci y coent l expesión e l fuez e Coulob ente cgs eléctics en eposo. En un elápgo típico, l ifeenci e potencil ente l nube y l tie es 9 V, l cnti e cg tnsfei vle C. Suponeos ue el cpo eléctico ente l nube y l tie es unifoe y pepenicul l tie, y ue l nube se encuent 5 sobe el suelo: b) Cuánt enegí se libe? c) Clcul el vlo el cpo eléctico. ) Ve epígfe 6. e l Uni 6 el libo el luno. b) L enegí libe es l enegí potencil pei, es eci 9 E = V = C V = J p c) Si suponeos el cpo unifoe ente l nube y l tie poeos utiliz l expesión: V = E El signo negtivo inic, ue, si el oviiento se pouce en el sentio el cpo, el potencil isinuye. Entonces: V V = E E = 9 V 6 E = = N/C 5 El cpo tiene un óulo e 6 N/C. Si el yo ce ese l nube l tie, el sentio el cpo es ese l tie hci l nube, y ue ls cgs negtivs se ueven en el sentio contio l cpo.. Tes ptículs cgs Q = +μc, Q = +μc y Q e vlo esconocio están situs en el plno XY. Ls cooens e los puntos en los ue se encuentn ls cgs son Q (, ), Q (, ), y Q (, ). Si tos ls cooens están expess en etos: ) Qué vlo ebe tene l cg Q p ue un cg situ en el punto (, ) no expeiente ningun fuez net? b) En el cso nteio, cuánto vle el potencil eléctico esultnte en el punto (, ) ebio ls cgs Q, Q y Q? Dto: Constnte e l ley e Coulob: K = 9 9 N C. ) Do ue l cg coloc en el punto P (, ) no está soeti ningun fuez, el cpo eléctico en icho punto es nulo (E = ). P ue el cpo en el punto P (, ) se, l cg Q tiene ue se positiv. L situción e ls cgs y ls istncis ese c un l punto P se pesent en l figu siguiente Q = μc y Q E E P(, ) 5º 5º Q = μc Clculos el cpo en el punto P (,) po ls cgs Q, Q y Q. El cpo ceo po un cg en un punto ue ist e l is viene o po l expesión E = K u Sustituyeno: E = K u E = 9 (cos5º i + sen 5º j) Q 9 ( ) E = K u E = 9 (cos5º i + sen 5º j) Q 9 ( ) Q Q 9 E = K u E = 9 (cos7º i + sen 7º j) () Siplificno obteneos: E = 9 i + j E = 9 i + j = 9 E 9 Q ( j) x
CAMPO ELÉCTRICO 6 55 L su e los tes vectoes tiene ue se ceo, E + E + E =, luego esolvieno el siste esult Q = C = µ C b) El potencil totl en el punto P seá l su e los potenciles ceos po c cg en el punto P: V = V + V + V totl Coo el potencil ceo po c cg es = V K, sustituyeno: Q V K V 8 9 V 9 = = = Q V K V 8 9 V 9 = = = Q V K V 9 9 V 9 = = = Así, el potencil en el punto P seá: 6 V = V + V + V = + 9 V =,8 V totl. L ifeenci e potencil, V B V A, ente os puntos, A y B, e un egión en l ue hy un cpo eléctico, vle kv. Qué tbjo ínio se h e hce p llev un cg e 6 C ese A hst B? Un cg positiv no puee tslse e fo espontáne (solente po l cción el cpo eléctico) hci potenciles yoes; po lo tnto, l llev l cg positiv = 6 C ese un punto A hst oto B ue tiene yo potencil, tiene ue se esplz po un fuez exten. El tbjo ue eliz est fuez exten coincie con l vición e enegí potencil ue expeient l cg. Así, W = E = V = 6 C V = 8 J AB p. Consie os puntos sepos un istnci e ue se encuentn en un egión one hy un cpo eléctico unifoe e intensi E = N/C en l iección e l ect ue une los os puntos. Cuál es l ifeenci e potencil ente estos os puntos? Tenieno en cuent l elción siguiente y sustituyeno obteneos V = E = N/C = V El signo negtivo nos inic ue si se pouce oviiento según el sentio el cpo, el potencil isinuye.. En un televiso convencionl e tubo e yos ctóicos, un hz e electones es celeo einte un cpo eléctico. Esti l veloci e los electones si pten ese el eposo y l ifeenci e potencil ente el ánoo y el cátoo es e kv. Dtos: e = 9, kg; e =,6 9 C Los electones peeán enegí potencil eléctic y gnán enegí cinétic. E + E = V + v = p c v = V Los electones tienen cg negtiv, po lo ue se ueven en cont el cpo, es eci, ente os puntos ente los ue el inceento e potencil se positivo. (,6 C) V 7 v = =,88 /s 9 9, kg. Si un cg puntul pouce, ciet istnci, un potencil eléctico e V y un cpo e óulo E, cuánto vle el potencil en oto punto en el cul el cpo es E/? El cpo eléctico ceo po un cg un istnci lo clculos plicno l expesión E = K En el punto one el cpo vle E/ se cuple ue: E = K Estbleceos un elción ente bs expesiones: E K = = = E / K El potencil ue tiene un punto ue ist e un cg es V = K El potencil el punto situo e l cg seá: = = = V K V K V K ' Po tnto, el potencil un istnci es l it ue el potencil un istnci. Así pues, el potencil peio es V = 5V. 5. Sobe l cicunfeenci áxi e un esfe e io R = están colocs euiistntes ente sí seis cgs positivs igules y e vlo = μc. Clcule: ) El cpo y el potencil ebios l siste e cgs en uno culuie e los polos (puntos N y S). b) El cpo y el potencil ebios l siste e cgs en el cento O e l esfe. N O S