UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263)
LENGUAJE ALGEBRAICO Una expresión algebraica es aquella que combina: números, operaciones y letras. Ejemplos de expresiones algebraicas: 3 + x x 2 y x + y x 2 y
LENGUAJE COTIDIANO Y LENGUAJE ALGEBRAICO La mitad de un número. El doble de un número. La diferencia entre dos números. La tercera parte de la suma de dos números. El cubo de un número. Al triple de un número le añadimos 7 unidades. La diferencia entre el doble de un número y la mitad de otro. x 2 2x x y x+y 3 x 3 3x + 7 2x y 2
MONOMIOS Un monomio es un producto entre números y letras. En un monomio se distinguen dos partes: La parte numérica o coeficiente. La parte literal. Se denomina grado del monomio a la suma de los exponentes de cada letra que aparece en la parte literal.
EJEMPLOS DE MONOMIOS Monomio Coeficiente Parte literal Grado 3x 2 3 x 2 2 x 3 1 x 3 3 -x 6 y -1 x 6 y 7 6xyz 6 xyz 3 3 3 x 0 0
MONOMIOS SEMEJANTES Se denominan monomios semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal (aunque no coincidan los coeficientes). Ejemplos: 3x 3 y 5x 3 son semejantes pues sus partes literales coinciden, x 3. 7x 2 y 7x 3 no son semejantes pues tienen partes literales diferentes, x 2 el primero y x 3 el segundo.
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS OJO! Sólo podemos sumar o restar monomios semejantes. Si son semejantes de procede del siguiente modo: Se operan los coeficientes. Se deja la parte literal.
EJEMPLOS DE SUMAS Y RESTAS CON MONOMIOS: a) 3x 2 + 7x 2 = 10x 2 b) x 5x = 4x c) 7x 5y + 9y x = 6x + 4y d) 4xy 2 + 2x 2 y no se pueden operar pues no coinciden las partes literales
PRODUCTO DE MONOMIOS Siempre podemos multiplicar monomios del siguiente modo: Multiplicamos los coeficientes. Multiplicamos las partes literales. Ejemplos: a) 3x 2 5x 3 = 3 5 x 2 x 3 = 15x 5 b) 3x x 6 = 3 1 x 1 x 6 = 3x 7 c) 2x 2 5 = 2 5 x 2 = 10x 2 d) 4x 3 x 4 x = 4 x 3 x 4 x = 4x 8
POTENCIAS CON MONOMIOS Para elevar un monomio a una potencia: Se eleva a dicha potencia el coeficiente. Se eleva a esa misma potencia la parte literal. Ejemplos: a) 4x 3 2 = 4 2 x 3 2 = 16x 3 2 = 16x 6 b) 3x 2 = 3 2 x 1 2 = 9x 1 2 = 9x 2 c) 2x 2 4 = 2 4 x 2 4 = 16x 2 4 = 16x 8
POLINOMIOS Se conoce como polinomio a la suma o resta de varios monomios: Siendo: Los términos del polinomio, cada uno de los monomios que forman el polinomio. La indeterminada, es el número desconocido que se representa por la letra x. El grado del polinomio, al mayor de los grados de sus monomios. El término independiente, el monomio que no posee parte literal. El coeficiente principal es el coeficiente que multiplica al monomio de mayor grado.
EJEMPLOS DE POLINOMIOS Polinomio Número de términos Grado del polinomio Coeficiente principal Término independien te 3x 2 + x 9 3 2 3-9 x 6 8x 2 2 6 1 0 x 4 7 2 4-1 -7
SUMA DE POLINOMIOS Para sumar polinomios se operan los monomios semejantes previa eliminación de los paréntesis : Ejemplos: a) 3x + 6 + 7x 4 = 3x + 6 + 7x 4 = 10x + 2 b) 5x 4 8x 3 + x 2 1 + 3x 3 2x + 7 = 5x 4 8x 3 + x 2 1 + 3x 3 2x + 7 = 5x 4 5x 3 + x 2 2x + 6
RESTA DE POLINOMIOS En la resta, al igual que en la suma, se operan los monomios semejantes, aunque primero se quitan paréntesis teniendo en cuenta que el signo menos cambia el signo a los términos contenidos en el paréntesis que le sigue: Ejemplos: a) 8x + 6 7x 4 = 8x + 6 7x + 4 = x + 10 b) 5x 4 8x 3 + x 2 1 3x 3 2x 2 + 7 = 5x 4 8x 3 + x 2 1 + 3x 3 + 2x 2 7 = 5x 4 5x 3 + 3x 2 8
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO. Para multiplicar un monomio por un polinomio, el monomio multiplica a cada término del polinomio. Ejemplo: a) 2x 3 4x 3 = 8x 4 6x 3 b) 6x 2 x 3 + 2x 1 = 6x 5 12x 3 + 6x 2
PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS Para multiplicar dos polinomios se siguen dos pasos: 1. Cada monomio del primer polinomio multiplica al segundo polinomio completo. 2. Tras realizar todas las multiplicaciones se suman los monomios semejantes.
EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. 3x 2 4x 5x 3 2x 2 1 = 15x 5 6x 4 3x 2 20x 4 + 8x 3 + 4x = 15x 5 6x 4 20x 4 + 8x 3 3x 2 + 4x = 15x 5 26x 4 + 8x 3 3x 2 + 4x
IGUALDAD NOTABLE I. CUADRADO DE UNA SUMA. El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo sumando. a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Ejemplos: a) x + 3 2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9 b) 2 + x 2 2 = 2 2 + 2 2 x 2 + x 2 2 = 4 + 4x 2 + x 4
IGUALDAD NOTABLE II. CUADRADO DE UNA DIFERENCIA. El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos dos veces el minuendo por el sustraendo, más el cuadrado del sustraendo. a b 2 = a 2 2ab + b 2 Ejemplos: a) x 3 2 = x 2 2 x 3 + 3 2 = x 2 6x + 9 b) 2 x 2 2 = 2 2 2 2 x 2 + x 2 2 = 4 4x 2 + x 4
IGUALDAD NOTABLE III. PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA. En el producto de una suma por su diferencia se obtiene el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. a + b a b = a 2 b 2 Ejemplos: a) x + 6 x 6 = x 2 6 2 = x 2 36 b) x 9 x + 9 = x 2 9 2 = x 2 81 c) 2 + x 2 2 x 2 = 2 2 x 2 2 = 4 x 4
DIVISIÓN POR RUFFINI La división por Ruffini es un método que permite dividir dos polinomios siempre y cuando el divisor tenga la forma x ± a. Ejemplos donde se puede dividir por el método de Ruffini: a) x 3 5x 2 + 3x 10 : x + 1 b) x 4 + x 2 2x + 3 : x 2
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Para calcular el valor numérico de un polinomio, P x, se sustituye en el polinomio la indeterminada x por un valor numérico indicado a. Ejemplo: Calcula el valor numérico del polinomio P x = x 2 3x + 1 en x = 2. P 2 = 2 2 3 2 + 1 = 4 6 + 1 = 2 + 1 = 1