Parábola. Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija z llamada directriz. Siendo F no perteneciente a z. Entonces siendo P la parábola, M P d(m,f)=d(m,z) Definición: Diremos que M es interior a P d(m,f) < d(m,z) Diremos que M es interior a P d(m,f) > d(m,z) Construcción Métrica: Sea e z tal que F e. e I z = { A} V = p. mfa por tanto V P ya que: d ( V, F ) = d( V, z) Sea r z, con r I z = { B} Sea m la mediatriz de BF, consideremos el punto M tal que M = mi { } r =, entonces M pertenece a P Dado que d ( M, F ) d( M, z) = d( M, B) Podemos concluir que por cada recta perpendicular a la directriz de una parábola hay un punto, y sólo uno, de ella. Podemos observar que la parábola tiene un eje de simetría (e) y un vértice (V). La recta e que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz se denomina eje de la parábola. Siendo e z = {Α}, el punto V medio del segmento AF, está por definición en la parábola y se denomina vértice. Página 1 de 6
Ecuación de la parábola: Sea p d( F, z) =. 1) Parábola de eje Oy y vértice O (0,0): Datos: foco F 0, p, directriz p z) y =. P d( M, F ) = d ( M z) ( 0) M, 1 x p p x + y = y + x + y p = y + p x py = py y = p Si a 0 p 1 lo llamamos a tenemos la siguiente ecuación: p y = ax con a 0 ) de la parábola de eje Ox y vértice O (0,0). (Queda como ejercicio a cargo del lector) Traslación de ejes: Dado un punto M(x,y) referido a un sistema de coordenadas xoy, pretendemos hallar las coordenadas de ese punto referido otro sistema x O y con ejes x y paralelos a x e y respectivamente. x ' = x x0 x = x ' + x0 O (x 0,y 0 ) o y ' = y y y = y ' + y 0 0 Página de 6
3) Ecuación de la parábola de eje parelelo a Oy: La ecuación de la parábola de eje paralelo a Oy (x=x 0 ) y vértice V(x 0,y 0 ), referida a los ejes cartesianos x O y es y =ax. Buscamos la ecuación de esta parábola pero referida a los ejes xoy: Aplicando las ecuaciones de traslación de ejes, nos queda: P) ( y y ) = a( x ) por tanto: y = ax ax0x + x0 + y Resultando una ecuación del tipo: y = ax + bx + c. Para hallar sus elementos debemos conocer x 0 e y 0 en función de a, b y c: b ax0 x0 = a 4ac b ax0 + y0 = c y0 = c ax0 y0 = 4a Por lo tanto: 0 0 x 0 Vértice Eje Foco Directriz y=ax y=ax +bx+c 4) Ecuación de la parábola de eje paralelo a Ox. (Ejercicio a cargo del lector) (También sus elementos) Ejercicios: 1) Hallar la ecuación de la parábola de eje Oy, vértice (0,0) y que pasa por el punto (1,4). a. Hallar la ecuación de su foco y directriz. ) Hallar la ecuación de la parábola de eje Oy, vértice (0,0) y que pasa por el punto (1,-4) a. Hallar la ecuación de su foco y directriz. 3) Idem a 1) y ) pero de eje Ox. 4) Determinar elementos de las siguientes parábolas: a. y = -x +3x- b. y = x -4x-6 Página 3 de 6
Parábola (segunda parte) Definición: Cónicas Llamamos cónica al conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas verifican una ecuación de segundo grado del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, con A, B, C, D, E, F números reales. Es decir que K={M/ M(x,y), M π / Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey+F=0} Observación: La ecuación de una circunferencia es la ecuación de una cónica donde A=C 0, B=0. 5) Ecuación de la parábola de eje cualquiera: Datos: foco ( α, β ) F directriz z ) y = mx + n. Consideremos un punto M de coordenadas ( x, y) M P ( x α ) + ( y β ) = mx y + n m + ( 1) * ( m )( ) ( ) ) + 1 x α + y β = ( mx y + n ) Observamos que esta es una ecuación del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, donde A=1, B=m, C= m. De esta manera podemos decir que la ecuación de P tiene estos coeficientes o múltiplos de ellos. Por otra parte podemos observar que dentro de este caso de ecuación de parábola quedan incluidos todos los anteriores, excepto los que poseen directriz paralela al eje de las ordenadas. Para encontrar una particularidad, además de la vista anteriormente, que vincule los coeficientes de toda parábola hallemos: B -4AC, siendo A=k, B= km, C= km. Podemos decir entonces que B -4AC=0. En el caso de una parábola de eje paralelo a Oy tenemos y=ax +bx+c o lo que es lo mismo Ax +Dx-y+F=0, por lo cual B -4AC=0-4A.0, lo que implica que B -4AC=0 también. Así la ecuación de toda parábola es del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 con B 4AC = 0. Observación: Si tenemos la ecuación de dos rectas r ) ax + by + c = 0 y r ') a' x + b' y + c' = 0 y multiplicamos ambas ecuaciones obtenemos una nueva del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, donde A=aa, B=ab +ba, C=bb. Hallemos B 4AC : B 4AC = ( ab' ) + ( ba' ) + aa' bb' 4aa' bb' = ( ab' ) + ( ba' ) aa' bb' = ( ab' a' b) = 0 ab' = a' b r // r'. Por lo tanto la condición hallada para los coeficientes si bien es necesaria no es suficiente, para que la ecuación sea la de una parábola. También puede ser el producto de la ecuación de dos rectas paralelas. * Se puede demostrar que d( M, z) = mx M y m + M + n ( 1) con ( ) x M y M M, y z ) mx y + n = 0 Página 4 de 6
Elementos de una parábola: En la ecuación general de la parábola observamos que: D=-αm α mn = α( m + 1) mn E=- βm β + n = β ( m + 1) + n F= ( m 1)( α β ) + + n Si dada la ecuación de una parábola queremos hallar las coordenadas del foco y su directriz, debemos hallar α, β, m y n. Siendo así contamos con tres ecuaciones para determinar cuatro incógnitas. Es por eso que debemos encontrar una nueva ecuación. Dirección del eje de una parábola. Tomemos una recta y = m' x, por el origen. Observemos ahora cuál es la posición de esta recta relativa a la parábola. Para eso vamos a intersectar la recta con dicha parábola. y = m' x Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Al intersectarlas nos queda: Ax + Bx( m' x) + C( m' x) + Dx + E( m' x) + F = 0 Cm + Bm + A x + Em + D x + F = Entonces si: a. El coeficiente de x Cm ' + Bm' + A es distinto de 0 y i. = 0, r es tangente a la parábola. ii. < 0, r es exterior a la parábola. iii. > 0, r es secante a la parábola. Lo cual ordenada en x nos queda: ( ' ' ) ( ' ) 0 b. El coeficiente de x es igual a 0, la recta tiene un único punto de intersección con la parábola. Esto, en el único caso que sucede, es cuando la recta tiene dirección paralela al eje de la parábola. De esta manera sabemos que el eje de la parábola tiene coeficiente angular m tal que Cm ' + Bm' + A = 0. Para hallar m entonces debemos resolver la ecuación de segundo grado Cm ' + Bm' + A = 0, de donde resulta que: m B ' = C Habiendo encontrado el coeficiente angular del eje, podemos hallar el coeficiente angular de la directriz, por lo tanto : m = C B Y al tener el valor de m, podemos ir a las ecuaciones originales y hallar las coordenadas del foco, y la ordenada en el origen de la directriz. El eje además de tener coeficiente angular m pasa por el foco, así terminamos de hallar su ecuación, y el vértice lo hallamos intersectando el eje con la parábola. Página 5 de 6
Ejercicios (segunda parte). 1. Hallar la ecuación de la parábola: a) de foco F(-1,) y directriz x-y =0. b) de foco F(-1,1) y directriz x+y-5 =0. c) de eje paralelo a Ox que pasa por A(0,3),B(-,1) y C(4,-1). d) de eje paralelo a Oy que pasa por A(1,-3),B(-,9) y C(1/,-6).. Investigar la naturaleza de los siguientes lugares; si son parábolas informar sus elementos: a) x -y-4=0 b)x(x+1)-y(y-1)=y+x e) x +6xy+9y -8x-104y+56=0 b)x =16-8y d)x +xy+3y -4x+6y=0 3. Representar gráficamente los lugares: a) x -y =0 d)x -5xy+6y =0 b) x +y =0 e)x +y -4>0 c) x +x-3=0 f)(x +y -x-4y)(1-x -y )>0 4. Delimitar la zona del plano tal que: x + y x 4 0 3( x ) y 0 5. Sean F(0,4) y r)y-mx=0 a) Ecuación de las parábolas P de foco F y directriz r. b) L.G. de los vértices de las parábolas al variar r. Sea A dicho lugar, reconocer e informar elementos. x 3y 0 c) Delimitar la zona: x y 0 Página 6 de 6