SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 73.8 SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias es una serie de la forma & SERIES TRIGONOMÉTRICAS Una serie de potencias es una serie en la cual cada uno de los términos es una función con potencias. Una serie trigonométrica a n cos n b n sen n es una serie cuyos términos son funciones trigonométricas. Este tipo de serie se analiza en la página web www.stewartcalculus.com Dé un clic en Additional Topics y luego en Fourier Series. & Nótese que n! n nn 3 n c n n c c c c 3 3 donde es una variable y las c n son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada establecida, la serie () es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función cuyo dominio es el conjunto de todas las para las cuales la serie es convergente. Observe que f es parecida a un polinomio. La única diferencia es que f tiene una cantidad infinita de términos. Por ejemplo, si hace c n para toda n, la serie de potencias se transforma en una serie geométrica que es convergente cuando y es divergente cuando (véase ecuación..5). En general, una serie de la forma se denomina serie de potencias en a, o bien, serie de potencias centrada en a, o también, serie de potencias con respecto a a. Observe que al escribir el término correspondiente a n en las ecuaciones y, se ha adoptado la convención de a aun cuando a. Asimismo, note que cuando a todos los términos son para n y de este modo la serie de potencias () siempre es convergente cuando a. V EJEMPLO Para qué valores de la serie es convergente? SOLUCIÓN Aplique la prueba de la razón. Si denota con a n, como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, entonces a n n. Si, lím a n n!n lím n n l n l a n lím n l n Según la prueba de la razón, la serie es divergente cuando. En estos términos, la serie dada converge sólo cuando. V f c c c c n n n n c n a n c c a c a EJEMPLO Para qué valores de la serie SOLUCIÓN Sea a n 3 n n. En tal caso a n 3n n a n n 3 n n n 3 n n n 3 l 3 es convergente? cuando n l
74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS De acuerdo con la regla de comparación, la serie dada es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente cuando 3 y divergente cuando 3. Ahora 3 &? 3 &? 4 de modo que la serie converge cuando 4 y diverge cuando o bien 4. La prueba de la razón no proporciona información cuando 3 de modo que debe considerar y 4 por separado. Si pone 4 en la serie, se vuelve n, la serie armónica, la cual es divergente. Si, la serie es n n, la cual es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por lo tanto, la serie de potencias dada converge para 4. National Film Board of Canada Ya verá que el uso principal de las series de potencias es proporcionar una manera de representar algunas de las funciones más importantes que surgen en matemáticas, física y química. En particular, la suma de la serie de potencias del ejemplo siguiente se llama función de Bessel, en honor al astrónomo alemán Friedrich Bessel (784-846), y la función dada en el ejercicio 35 es otro ejemplo de la función de Bessel. En efecto, estas funciones surgieron primero cuando Bessel resolvió la ecuación de Kepler para describir el movimiento de los planetas. Desde esa época, estas funciones se aplican en diversas situaciones físicas, sin olvidar la distribución de temperaturas en una lámina circular y las vibraciones de una membrana de un tambor. EJEMPLO 3 Determine el dominio de la función de Bessel de orden definida por J n n n & Observe cómo la aproimación del modelo generado por computadora (el cual utiliza funciones de Bessel y de cosenos) coincide con la fotografía de una membrana vibratoria de hule. SOLUCIÓN Sea a n n n n. En tal caso a n a n n n n n! n n n n n n n n 4n l para toda De este modo, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge para todos los valores de. En otras palabras, el dominio de la función de Bessel J es,. Recuerde que la suma de una serie es igual al límite de la sucesión de las sumas parciales. De esa manera, cuando se define la función de Bessel del ejemplo 3 como la suma de una serie quiere decir que, para todo número real, J lím n l s n Las primeras sumas parciales son donde s n n i i i i i! s s 4 s 4 4 64 s 3 4 4 64 6 34 s 4 4 4 64 6 34 8 47 456
SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 75 y s s s J s s FIGURA Sumas parciales de la función de Bessel J y y=j () En la figura se muestran las gráficas de estas sumas parciales, las cuales son polinomios. Todas son aproimaciones de la función J, pero observe que la aproimación es mejor cuando se incluyen más términos. En la figura se ilustra una gráfica más completa de la función de Bessel. En lo que respecta a la serie de potencias eaminadas hasta el momento, el conjunto de valores de para los cuales la serie es convergente ha resultado ser siempre un intervalo [un intervalo finito de la serie geométrica y la serie del ejemplo, el intervalo infinito, del ejemplo 3 y un intervalo colapsado, del ejemplo. El teorema siguiente, demostrado en el apéndice F, establece que esto es válido en general. 3 TEOREMA Para una serie de potencias dada c n a n hay sólo tres posibilidades: (i) La serie converge sólo cuando a. (ii) La serie converge para toda. (iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si a R y diverge si a R. _ FIGURA El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias. Por convención, el radio de convergencia es R en el caso (i) y R en el caso (ii). El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo que consiste en todos los valores de para los cuales la serie converge. En el caso (i) el intervalo consta de un solo punto a. En el caso (ii) el intervalo es,. Observe que en el caso (iii) la desigualdad a R se puede escribir de nuevo como a R a R. Cuando es un etremo del intervalo, es decir, a R, cualquier cosa puede suceder: la serie podría ser convergente en uno o en ambos etremos, o podría ser divergente en ambos etremos. Por lo tanto, en el caso (iii) hay cuatro posibilidades para el intervalo de convergencia: a R, a R a R, a R a R, a R a R, a R La situación se ilustra en la figura 3. convergencia para -a <R FIGURA 3 a-r a a+r divergencia para -a >R Se resumen a continuación el radio y el intervalo de convergencia para cada uno de los ejemplos ya considerados en esta sección. n Serie Radio de convergencia Intervalo de convergencia Serie geométrica R, Ejemplo n R Ejemplo 3 n R, 4 n n Ejemplo 3 n n R, n
76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS En general, la prueba de la razón (o a veces, la prueba de la raíz) se debe usar para determinar el radio de convergencia R. Las pruebas de la razón y la raíz siempre fracasan cuando es un etremo del intervalo de convergencia, de modo que es necesario verificar los etremos por medio de alguna otra prueba. EJEMPLO 4 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie 3 n n sn SOLUCIÓN Sea a n 3 n n sn. Por lo tanto a n a n 3n n sn sn 3 n n De acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge si 3 y es divergente si 3. En estos términos, es convergente si y diverge si. Esto quiere decir que el radio de convergencia es R 3 3 3. Sabemos que la serie converge en el intervalo ( 3, 3 ), pero ahora es necesario probar si hay convergencia en los etremos de este intervalo. Si 3, la serie se transforma en 3 n ( 3) n sn n 3 n l 3 la cual es divergente. (Aplique la prueba de la integral o simplemente observe que es una p-serie con p.) Si 3, la serie es 3 n ( 3) n sn la cual converge de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por lo tanto, la serie dada de potencias converge cuando, de modo que el intervalo de convergencia es ( 3, 3 3 3]. V EJEMPLO 5 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie n n 3 n SOLUCIÓN Si a n n n 3 n, entonces a n a n sn s s s3 s4 n n 3 n n 3 3 n n n Al aplicar la prueba de la razón, se ve que la serie es convergente si 3 y que es divergente si 3. De modo que es convergente si 3 y divergente si 3. Así que, el radio de convergencia es R 3. l 3 n n n sn 3 cuando n l cuando n l
SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 77 La desigualdad 3 se puede escribir como 5, así que probamos la serie en los etremos 5 y. Cuando 5, la serie es n3 n 3 n 3 n n la cual es divergente según la prueba de la divergencia [ n n no converge en ]. Cuando, la serie es n3 n 3 n 3 n la cual también es divergente según la prueba de la divergencia. Por esto, la serie converge sólo cuando 5, de modo que el intervalo de convergencia es (5, )..8 EJERCICIOS. Qué es una serie de potencias?. (a) Cuál es el radio de convergencia de una serie de potencias? Cómo se determina? (b) Cuál es el intervalo de convergencia de una serie de potencias? Cómo se calcula? 3 8 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie. 3. n n 5. 6. 7. 9. n n n.. n n. n s 4 n 3. n 4. 4 n ln n 5. n n n n 4. 8. 6. 7. 3 n 4 n 8. n sn n 9.. n. n, b. n an b n n sn n n 3 n n n n n n n n n sn n n n n n n n n n n 3 n n 3 n n n3 n n n 5 n n 5 n n 3n n n n n n 4 n 4 n n 3 3. 4 n 5. 6. 7. 8. 9. n n n n n Si c n4 n es convergente, se infiere que la serie siguiente es convergente? (a) (b) 3. Suponga que c n n es convergente cuando 4 y diverge cuando 6. Qué puede decir con respecto a la convergencia o divergencia de la serie siguiente? (a) (c) n n 3 5 n n 3 5 n c n n c n c n3 n (b) (d) n n c n4 n n nln n c n8 n n c n9 n n n 4 6 n 3. Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la serie k k n 3. Sean p y q números reales con p q. Encuentre una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia sea (a) p, q (b) p, q (c) p, q (d) p, q 33. Es posible hallar una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia sea,? Eplique. 4.
78 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS ; 34. Dibuje las primeras sumas parciales s n de la serie n, junto con la función suma f, sobre una misma pantalla. En qué intervalo parece que convergen estas sumas parciales y f? 35. La función J definida por J se llama función de Bessel de orden. (a) Determine el dominio. ; (b) Dibuje las primeras sumas parciales en una misma pantalla. CAS (c) Si su CAS tiene incorporadas las funciones de Bessel, dibuje J en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso (b) y observe cómo se aproiman las sumas parciales a J. 36. La función A se define mediante n n n! n A 3 3 6 3 5 6 9 3 5 6 8 9 que se llama función de Airy en honor al matemático y astrónomo inglés sir George Airy (8-89). (a) Determine el dominio de la función de Airy. ; (b) Dibuje las primeras sumas parciales s n en una misma pantalla. CAS 37. (c) Si su CAS tiene incorporadas las funciones de Airy, dibuje A en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso b), y observe cómo las sumas parciales se aproiman a A. Una función f está definida mediante f 3 4 es decir, sus coeficientes son c n y c n para toda n. Determine el intervalo de convergencia de la serie y plantee una fórmula eplícita para f. 38. Si f c n n, donde c n4 c n para toda n, determine el intervalo de convergencia de la serie y una fórmula para f. 39. Muestre que si lím n l s n c n c, donde c, en tal caso el radio de convergencia de la serie de potencias c n n es R c. 4. Suponga que la serie de potencias c n a n satisface c n para toda n. Demuestre que si eiste lím nl c nc n, por lo tanto es igual al radio de convergencia de la serie de potencias. 4. Suponga que el radio de convergencia de la serie c n n es y que el radio de convergencia de la serie d n n es 3. Cuál es el radio de convergencia de la serie c n d n n? 4. Suponga que el radio de convergencia de la serie de potencias c n n es R. Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias c n n?.9 & Una ilustración geométrica de la ecuación se muestra en la figura. Como la suma de una serie es el límite de la sucesión de las sumas parciales lím sn n l donde s n n es la n-ésima suma parcial. Observe que cuando n se incrementa, s n se vuelve una mejor aproimación para f en. REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS En esta sección aprenderá a representar ciertos tipos de funciones como sumas de series de potencias mediante la manipulación de series geométricas, o mediante derivación o integración de dichas series. Quizá se pregunte por qué siempre se busca epresar una función conocida como una suma de una cantidad infinita de términos. Más adelante se eplica la utilidad de esta estrategia en la integración de funciones que no tienen antiderivadas elementales, en la solución de ecuaciones diferenciales y para aproimar funciones mediante polinomios. (Los científicos lo hacen así para simplificar las epresiones con las que trabajan; los especialistas en computación lo hacen así para representar funciones en calculadoras y computadoras.) Inicie con una ecuación que estudió antes: 3 n Ya encontró esta ecuación en el ejemplo 5 de la sección., donde la obtuvo al observar que es una serie geométrica con a y r. Pero en este caso la opinión es distinta. Ahora considere la ecuación como epresión de la función f como una suma de una serie de potencias. y s sˆ s f s FIGURA ƒ= - y algunas sumas parciales _
SECCIÓN.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 79 & Cuando se pide una serie de potencias en esta sección, se supone que la serie está centrada en, a menos que se indique de otra forma. V EJEMPLO Eprese como la suma de una serie de potencias, y determine el intervalo de convergencia. SOLUCIÓN Al reemplazar por en la ecuación, queda n n n 4 6 8 Como es una serie geométrica, es convergente cuando, es decir,, o bien,. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es,. Naturalmente, podría haber determinado el radio de convergencia aplicando la prueba de la razón, pero esa cantidad de trabajo es innecesaria en este caso. EJEMPLO Determine una representación para. SOLUCIÓN Con objeto de poner esta función en la forma del lado izquierdo de la ecuación, primero se factoriza un del denominador: n n n n Esta serie converge cuando, es decir,. De modo que el intervalo de convergencia es,. EJEMPLO 3 Obtenga una representación como serie de potencias de 3. & Es válido pasar 3 al otro lado del signo de la suma porque no depende de n. [Aplique el teorema..8(i) con c 3.] SOLUCIÓN Puesto que esta función es justamente 3 veces la función del ejemplo, todo lo que debe hacer es multiplicar esa serie por 3 : 3 3 3 n n n n n3 n 3 4 4 8 5 6 6 Otra forma de escribir esta serie es como sigue: 3 n3 n n n Como en el ejemplo, el intervalo de convergencia es,. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS La suma de una serie de potencias es una función f c n a n cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Para ser capaces de derivar e integrar estas funciones, el siguiente teorema (el cual no será demostrado) establece que es posible hacerlo derivando o integrando cada uno de los términos de la serie, justo como se haría para un polinomio. Esto se denomina derivación e integración término a término.
73 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TEOREMA Si la serie de potencias c n a n posee un radio de convergencia R, entonces la función f definida por f c c a c a c n a n es derivable (y, por lo tanto, continua) en el intervalo a R, a R y (i) f c c a 3c 3 a n nc n a n & En el inciso (ii), c d c C se escribe como c a C, donde C C ac, de modo que todos los términos de la serie tienen la misma forma. (ii) y f d C c a c C c n an n a c a3 3 Los radios de convergencia de la serie de potencias en las ecuaciones (i) y (ii) son R. NOTA Las ecuaciones (i) y (ii) del teorema se pueden volver a escribir en la forma (iii) (iv) n d d c n a y c n a nd d d c n a n y c n a n d Se sabe que, por lo que toca a las sumas finitas, la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales. Las ecuaciones (iii) y (iv) aseguran que lo mismo se cumple para sumas infinitas, siempre que esté trabajando con series de potencias. (En el caso de otros tipos de series de funciones la situación no es tan simple; véase ejercicio 36.) NOTA Aunque el teorema establece que el radio de convergencia es el mismo cuando una serie de potencias es derivada o integrada, esto no quiere decir que el intervalo de convergencia siga siendo el mismo. Podría suceder que la serie original converja en el etremo, y que la serie derivada sea divergente aquí. (Véase ejercicio 37.) NOTA 3 La idea de derivar una serie de potencias término a término es la base de un método eficaz para resolver ecuaciones diferenciales. Estudiará este método en el capítulo 7. EJEMPLO 4 En el ejemplo 3 de la sección.8 vio que la función de Bessel J n n n se define para toda. De esta manera, de acuerdo con el teorema, J es derivable para toda y su derivada se encuentra derivando término a término como sigue: J d d n n n n n n n n
SECCIÓN.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 73 V EJEMPLO 5 Eprese como una serie de potencias derivando la ecuación. Cuál es el radio de convergencia? SOLUCIÓN Al derivar cada miembro de la ecuación se obtiene 3 3 n n n n Si quisiera podría reemplazar n por n y escribir la respuesta como De acuerdo con el teorema, el radio de convergencia de la serie derivada es el mismo que el radio de convergencia de la serie original, R. EJEMPLO 6 Determine una representación como serie de potencias para ln y su radio de convergencia. SOLUCIÓN Observe que, ecepto en el caso de un factor de, la derivada de esta función es. Por eso integre ambos miembros de la ecuación : n n ln y d y d 3 3 C n n C n n n C Para determinar el valor de C haga en esta ecuación y obtenga ln C. Por lo tanto, C y ln 3 3 n n n El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R. Observe qué sucede si hace ln ln, en el resultado del ejemplo 6. Puesto que V EJEMPLO 7 Encuentre una representación como serie de potencias para f tan. SOLUCIÓN Observe que f y encuentre la serie requerida integrando la serie de potencias para determinada en el ejemplo. tan y ln 8 4 64 d y 4 6 d C 3 3 5 5 7 7 n n n
73 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & La serie de potencias para tan obtenida en el ejemplo 7 se llama serie de Gregory en honor al matemático escocés James Gregory (638-675), quien pronosticó algunos de los descubrimientos de Newton. Ya se demostró que la serie de Gregory es válida cuando, pero resulta que (aunque no es fácil de demostrar) también es válida cuando. Observe que cuando la serie se transforma en 4 3 5 7 Este admirable resultado se conoce como fórmula de Leibniz para p. Para determinar C haga y obtiene C tan. Por lo tanto, tan 3 3 5 5 7 7 Puesto que el radio de convergencia de la serie para es, el radio de convergencia de esta serie para tan es también. EJEMPLO 8 (a) Evalúe 7 d como una serie de potencias. (b) Mediante el inciso (a) obtenga una aproimación de.5 7 d que no difiera en 7 del valor real. n n n SOLUCIÓN (a) El primer paso es epresar la integral, 7, como la suma de una serie de potencias. Como en el ejemplo, inicie con la ecuación y reemplace por 7 : 7 7 7 n n 7n 7 4 & Este ejemplo demuestra una manera útil de las representaciones como series de potencias. Integrar 7 a mano es increíblemente difícil. Diferentes sistemas algebraicos computacionales dan respuestas de distintas formas, pero son etremadamente complicadas. (Si tiene un CAS, inténtelo usted mismo.) La respuesta de la serie infinita que se obtiene en el ejemplo 8(a) es realmente mucho más fácil de manejar que la respuesta finita que proporciona un CAS. Ahora integre término a término: y 7 d y C 8 Esta serie converge para 7, es decir, para. n 7n d C 8 5 5 (b) Si aplica el teorema fundamental del cálculo no importa qué antiderivada use, de modo que utilice la antiderivada del inciso (a) con C : n 7n 7n y.5 d 8 7 8 Esta serie infinita es el valor eacto de la integral definida, pero como es una serie alternante, puede obtener una aproimación de la suma aplicando el teorema de la estimación de la serie alternante. Si deja de sumar después del término n 3, el error es menor que el término con n 4: De modo que 5 5 8 8 5 5 n 7n 7n 9 6.4 9 y.5 d 7 8 8 5 5.4995374
SECCIÓN.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 733.9 EJERCICIOS. Si el radio de convergencia de la serie de potencias c n n es, cuál es el radio de convergencia de la serie n nc n n? Por qué?. Suponga que sabe que la serie b n n es convergente para. Qué puede decir de la serie siguiente? Por qué? 3 Encuentre una representación como serie de potencias para la función y determine el intervalo de convergencia. 3. f 4. 5. 7. 9. f. Eprese la función como la suma de una serie de potencias usando primero fracciones parciales. Determine el intervalo de convergencia. 3. f. 3. f 3 f 9 (a) Use la derivación para determinar una representación como serie de potencias para f Cuál es el radio de convergencia? (b) Por medio del inciso (a) determine una serie de potencias para f (c) Mediante el inciso (b) determine una serie de potencias para f b n n n 4. (a) Determine una representación como serie de potencias para f ln. Cuál es el radio de convergencia? (b) Mediante el inciso (a) determine una serie de potencias para f ln. (c) Mediante el inciso (a) determine una serie de potencias para f ln 6. 8. 3 3 f 3 4 f f f f a 3 3 5 8 Encuentre una representación como serie de potencias para la función, y determine el radio de convergencia. 5. 7. f 8. f arctan3 ; 9 Encuentre una representación como serie de potencias para f, y dibuje f y varias sumas parciales s n en la misma pantalla. Qué sucede cuando n se incrementa? 9. f. f ln 4 f ln 6.. f tan 3 6 Evalúe la integral indefinida como una serie de potencias. Cuál es el radio de convergencia? 3. f ln5 y 7 3 Use una serie de potencias para aproimar la integral definida con seis cifras decimales. 6. 4. 5. y tan d 6. y tan d 3 7. y. 8. d 5 y. t t 8 dt 9. arctan3 d 3. 3. A través del resultado del ejemplo 6, calcule ln. con cinco cifras decimales. 3. Demuestre que la función es una solución de la ecuación diferencial 33. (a) Demuestre que J (la función de Bessel de orden dada en el ejemplo 4) cumple con la ecuación diferencial (b) Evalúe 3 J J J J d f y n n y.3 f f f ln t t y.4 ln 4 d 4 d con tres cifras decimales. dt
734 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 34. La función de Bessel de orden se define con (a) Demuestre que (b) Demuestre que J J. 35. (a) Demuestre que la función satisface la ecuación diferencial es una solución de la ecuación diferencial (b) Demuestre que f e. 36. Sea f n sen nn. Demuestre que la serie f n es convergente para todos los valores de, pero la serie de derivadas f n es divergente cuando n, n es un entero. Para qué valores de la serie f n es convergente? 37. Sea J J n n n! n J J J f Determine los intervalos de convergencia para f, f y f. f n n f f n n 38. (a) Empezando con la serie geométrica n, calcule la suma de la serie n n n (b) Calcule la suma de cada una de las series siguientes. (i) n n, (ii) (c) Determine la suma de cada una de las series siguientes. (i) nn n, (ii) n n n n n n (iii) 39. Utilice la serie de potencias para tan para demostrar que la epresión siguiente para como la suma de una serie infinita: n n 3 n 4. (a) Aplique el método de completar cuadrados para demostrar que (b) Mediante la factorización de 3 como una suma de cubos, escriba de nuevo la integral del inciso (a). Luego eprese 3 como la suma de una serie de potencias y úsela para demostrar la fórmula siguiente para : n 4 8 n 3n 3n 3s3 s3 y d n n n n n n 3s3. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN En la sección anterior, se representaron como series de potencias una cierta clase restringida de funciones. En esta sección se tratan problemas más generales: Qué funciones se pueden representar como series de potencias? Cómo es posible hallar esa representación? Empiece por suponer que f es cualquier función que se puede representar mediante una serie de potencias f c c a c a c 3 a 3 c 4 a 4 a R Trate de determinar qué coeficientes c n tienen que estar en función de f. Para empezar, observe que si hace a en la ecuación, en tal caso todos los términos después del primero son y obtiene f a c De acuerdo con el teorema.9., puede derivar la serie de la ecuación término a término: f c c a 3c 3 a 4c 4 a 3 y al sustituir a en la ecuación tiene a R f a c
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 735 En seguida derive ambos miembros de la ecuación y obtiene 3 f c 3c 3 a 3 4c 4 a Una vez más haga a en la ecuación 3. El resultado es a R f a c Aplique el procedimiento una vez más. La derivación de la serie de la ecuación 3 origina 4 f 3c 3 3 4c 4 a 3 4 5c 5 a y la sustitución de a en la ecuación 4 da a R f a 3c 3 3!c 3 Ahora ya puede ver el patrón. Si continúa derivando y sustituyendo a, obtendrá f n a 3 4 nc n c n Al resolver esta ecuación para el n-ésimo coeficiente c n, tiene c n f n a Esta fórmula sigue siendo válida incluso para n si adopta la convención de que! y f f. En estos términos, ha demostrado el teorema siguiente: 5 TEOREMA Si f se puede representar como una serie de potencias (epansión) en a, es decir, si f c n a n a R entonces sus coeficientes los da la fórmula c n f n a Si sustituye esta fórmula de c n de nuevo en la serie, observe que si f tiene un desarrollo en serie de potencias en a, después debe ser de la forma siguiente: 6 f f n a f a f a! a n a f a! a f a 3! a 3
736 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TAYLOR Y MACLAURIN & La serie de Taylor lleva este nombre en honor al matemático inglés Brook Taylor (685-73) y la serie de Maclaurin se llama así para recordar al matemático escocés Colin Maclaurin (698-746) a pesar del hecho de que la serie de Maclaurin es realmente un caso especial de la serie de Taylor. Pero la idea de representar funciones particulares como sumas de series de potencias se remonta a Newton, y el matemático escocés James Gregory conoció la serie general de Taylor en 668 y el matemático suizo John Bernoulli la conoció por 69. Al parecer, Taylor no conocía el trabajo de Gregory ni de Bernoulli cuando publicó sus descubrimientos relacionados con las series en 75 en su libro Methodus incrementorum directa et inversa. Las series de Maclaurin se llaman así porque Colin Maclaurin las popularizó en su libro de teto Treatise of Fluions que se publicó en 74. La serie de la ecuación 6 se denomina serie de Taylor de la función f en a (o bien, con respecto a a o centrada en a). Para el caso especial a la serie de Taylor se transforma en 7 f f n n f f! f! Como este caso surge con bastante frecuencia, se le da el nombre especial de serie de Maclaurin. NOTA Ya se demostró que si f se puede representar como una serie de potencias con respecto a a, después f es igual a la suma de sus series de Taylor. Pero hay funciones que no son iguales a la suma de sus series de Taylor. Un ejemplo de tales funciones se presenta en el ejercicio 7. V EJEMPLO Determine la serie de Maclaurin de la función f e y su radio de convergencia. SOLUCIÓN Si f e, entonces f n e, por lo que f n e para toda n. Por lo tanto, la serie de Taylor para f en, (es decir, la serie de Maclaurin), es f n n n!! 3 3! Para determinar el radio de convergencia haga a n n En tal caso por esto, según la prueba de la razón, la serie converge para toda y el radio de convergencia es R. La conclusión que obtiene del teorema 5 y el ejemplo es que si e tiene un desarrollo de serie en potencias en, por lo tanto Por eso, cómo se puede decir si e tiene una representación como serie de potencias? Investigue la cuestión más general: en qué circunstancias es una función igual a la suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, cuándo es cierto que Como sucede con cualquier serie convergente, esto quiere decir que f es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales son T n n i a n a n f i a i! f a f a! n n! n a i f e f n a a f a! n n l a n a f n a a n
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 737 y=t () FIGURA y=t () y y= y=t () y=t () (, y=t () Observe que T n es un polinomio de grado n llamado polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de f en a. Por ejemplo, en el caso de la función eponencial f e, el resultado del ejemplo muestra que los polinomios de Taylor en (o polinomios de Maclaurin), con n, y 3 son Las gráficas de la función eponencial y estos tres polinomios de Taylor se ilustran en la figura. En general, f es la suma de su serie de Taylor si Si hace T T! f lím n l T n T 3! 3 3! & Cuando n se incrementa, T n parece aproimarse a e en la figura. Esto hace pensar que e es igual a la suma de su serie de Taylor. R n f T n de modo que f T n R n entonces R n se llama residuo de la serie de Taylor. Si puede de alguna manera demostrar que lím n l R n, entonces se sigue que lím T n lím f R n f lím R n f n l n l n l Por lo tanto, ha demostrado lo siguiente: 8 TEOREMA Si f T n R n, donde T n es el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y lím R n n l para a a R R., entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo Al tratar de demostrar que lím n l R n para una función específica f, se usa por lo regular el hecho siguiente. f n M a d 9 DESIGUALDAD DE TAYLOR Si para, entonces el residuo R n de la serie de Taylor cumple con la desigualdad R n M n! a n para a d Para entender por qué es cierto para n, suponga que tiene f M, y de tal manera para a a d f M. En particular, se y a f t dt y M dt Una antiderivada de f es f, por lo que según la parte del teorema fundamental del cálculo tenemos a f f a M a o bien, f f a M a
738 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & Otras opciones aparte de la desigualdad de Taylor son las fórmulas siguientes para el residuo. Si f n es continua en un intervalo I y I, por lo tanto R n y t n f n t dt a En estos términos, y a f t dt y f a Mt a dt a f f a f a a M a Esta epresión recibe el nombre de forma integral del término del residuo. Otra fórmula, que se llama forma de Lagrange del término del residuo, establece que hay un número z entre y a tal que R n f n z an n! Esta versión es una generalización del teorema del valor medio, que es el caso n ). Las demostraciones de estas fórmulas, además del análisis de cómo usarlas para resolver los ejemplos de las secciones. y., se encuentran en la página web www.stewartcalculus.com Dé un clic en Additional Topics y luego en Formulas for the Remainder Term in Taylor series. Pero R f T f f a f a a. De modo que R M a Un razonamiento similar, aplicando f M, demuestra que R M a De donde f f a f a a M a R M a Aunque hemos supuesto supuesto que a, cálculos similares muestran que esta desigualdad es válida también para a. Esto demuestra la desigualdad de Taylor para el caso donde n. El resultado para cualquier n se demuestra de manera parecida integrando n veces. (Véase el ejercicio 69 para el caso n.) NOTA En la sección. se eplora el uso de la desigualdad de Taylor en funciones que se aproiman. Aquí, el uso inmediato es junto con el teorema 8. Con frecuencia, al aplicar los teoremas 8 y 9 es útil recurrir al hecho siguiente. n lím n l para todo número real Es verdadero porque de acuerdo con el ejemplo, la serie n es convergente para toda y de este modo su n-ésimo término se aproima a. V EJEMPLO Demuestre que e es igual a la suma de su serie de Maclaurin. SOLUCIÓN Si f e, entonces f n e para toda n. Si d es cualquier número positivo y d, después f n e e d. Por eso, la desigualdad de Taylor, con a y M e d, establece que e d R n para d M e d n! n Observe que la misma constante ecuación, funciona para todo valor de n. Pero, según la lím n l e d n! n e d lím n l n n!
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 739 Se infiere entonces del teorema de la compresión que el lím n l R n y, por lo tanto, lím para todos los valores de. De acuerdo con el teorema 8, e n l R n es igual a la suma de la serie de Maclaurin, es decir, e n para toda & En 748, Leonhard Euler aplicó la ecuación para determinar el valor de e con 3 dígitos decimales. En 3 Shigeru Kondo, de nuevo usando la serie en (), calculó e a más de 5, millones de lugares decimales. Las técnicas especiales que utilizaron para acelerar el cálculo se eplican en la página web www.numbers.computation.free.fr En particular, si hace en la ecuación, obtiene la epresión siguiente para el número e como una suma de una serie infinita: e!! 3! EJEMPLO 3 Determine la serie de Taylor para f e en a. SOLUCIÓN Se tiene f n e y, de este modo, al hacer a en la definición de la serie de Taylor (6) obtiene f n n e n También se puede verificar, como en el ejemplo, que el radio de convergencia es R. Como en el ejemplo puede comprobar que lím n l R n, de modo que 3 e e n para toda Hay dos desarrollos de series de potencias para e, la serie de Maclaurin de la ecuación y la serie de Taylor de la ecuación 3. El primero es mejor si está interesado en valores de cercanos a y el segundo funciona muy bien si es cercano a. EJEMPLO 4 Determine la serie de Maclaurin para sen y demuestre que representa a sen para toda. SOLUCIÓN Acomode los cálculos en dos columnas como sigue: f sen f f cos f f sen f f cos f Puesto que la derivada se repite en un ciclo de cuatro, puede escribir la serie de Maclaurin como sigue: f f! f 4 sen f 4 f! f 3! 3 3 3! 5 5! 7 7! n n n!
74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & En la figura se ilustra la gráfica de sen junto con su polinomio de Taylor (o de Maclaurin) T T 3 3 Observe que cuando n se incrementa, T n se vuelve una mejor aproimación para sen. 3! T 5 3 3! 5 5! Puesto que f n es sen o bien, cos, sabe que para toda. De este modo puede tomar a M en la desigualdad de Taylor 4 R n M n! n f n n n! De acuerdo con la ecuación el lado derecho de esta desigualdad tiende a cuando n l, de modo que R n l según el teorema de compresión. Se infiere entonces que R n l cuando n l, de modo que sen es igual a la suma de su serie de Maclaurin de acuerdo con el teorema 8. y=sen y T T T Se establece el resultado del ejemplo 4 para referencia futura. 5 sen 3 n n n! 3! 5 5! 7 7! para toda FIGURA EJEMPLO 5 Determine la serie de Maclaurin para cos. SOLUCIÓN Podría proceder en forma directa como en el ejemplo 4, pero es más fácil derivar la serie de Maclaurin para sen dada por la ecuación 5: cos d d sen d 3 d 3! 5 5! 7 7! 3 3! 5 4 5! 7 6 7!! 4 4! 6 6! & La serie de Maclaurin para e, sen y cos que determinó en los ejemplos, 4 y 5 la descubrió Newton aplicando métodos distintos. Estas ecuaciones son notables porque se conoce todo con respecto a cada una de estas funciones si conoce todas sus derivadas en el número. Puesto que la serie de Maclaurin para sen converge para toda, el teorema de la sección.9 señala que la serie derivada para cos converge también para toda. En estos términos, 6 cos! 4 4! 6 6! n n para toda EJEMPLO 6 Determine la serie de Maclaurin para la función f cos. SOLUCIÓN En lugar de calcular las derivadas y sustituir en la ecuación 7, es más fácil multiplicar la serie para cos, ecuación 6, por : cos n n n n EJEMPLO 7 Represente en 3. f sen como la suma de su serie de Taylor centrada
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 74 & Ha obtenido dos diversas series de representaciones para sen, la serie de Maclaurin en el ejemplo 4 y la serie de Taylor en el ejemplo 7. Es mejor utilizar la serie de Maclaurin para los valores de cerca a y la serie de Taylor para cerca a p/3. Observe que el tercer polinomio de Taylor T 3 en la figura 3 es una buena aproimación al sen cerca de p/3, mas no así cerca de. Compárelo con el tercer polinomio de Maclaurin T 3 en la figura, donde está el polinomio opuesto verdadero. y y=sen π 3 T SOLUCIÓN Primero acomode los valores en columnas f sen f 3 s3 f cos f 3 f sen f 3 s3 f cos f 3 y este patrón se repite en forma indefinida. Por lo tanto, la serie de Taylor en 3 es f f 3 3 3 3!! 3! f 3 s3! La demostración de que esta serie representa sen para toda es muy similar a la del ejemplo 4. [Sólo reemplace por 3 en (4).] Puede escribir la serie con la notación sigma o suma si separamos los términos que contienen s3: sen f 3 3 n s3 s3! 3 3 3 n La serie de potencias obtenidas mediante métodos indirectos en los ejemplos 5 y 6 y en la sección.9 son realmente la serie de Taylor o de Maclaurin de las funciones dadas porque el teorema 5 así lo establece, ya que no importa cómo una representación de una serie de potencias f c se obtenga, siempre es cierto que c n f n n a n a En otras palabras, la determinación de los coeficientes es única. En la tabla siguiente están reunidas, para referencia futura, algunas de las series importantes de Maclaurin deducidas en esta sección y en la anterior. 3! n n! 3 3 3 3 n EJEMPLO 8 Encuentre la serie de Maclaurin para f() ( ) k, donde k es cualquier número real. SOLUCIÓN Al ordenar el trabajo en columnas f() ( ) k f() f() k( ) k f() k f() k(k )( ) k f() k(k ) f() k(k )( )( ) k 3 f() k(k )(k ) f (n) () k(k ) (k n )( ) k n f (n) () k(k ) (k n ) Por lo tanto, la serie de Maclaurin de f() ( ) k es f (n) () n k(k ) (k n ) n
74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Esta serie se denomina serie binomial. Si su n-ésimo término es a n, entonces a n k(k ) (k n )(k n)n a n n! k n n k n n l k(k ) (k n ) n es n l Entonces, por la prueba de la razón, la serie binomial converge si y diverge si. La notación tradicional para los coeficientes de la serie binomial es n k k(k )(k ) (k n ) y los números se llaman coeficientes del binomio. El siguiente teorema epresa que ( ) k es igual a la suma de su serie Maclaurin. Es posible demostrar esto al probar que el término restante R n () se aproima a, pero esto resulta ser muy difícil. La prueba resumida en el ejercicio 7 es mucho más fácil. 7 SERIE BINOMIAL Si k es cualquier número real y, entonces ( ) k n k k(k ) k(k )(k ) n k 3! 3! Aun cuando la serie binomial siempre converge cuando, la pregunta de si converge o no en los etremos,, depende del valor de k. Resulta que la serie converge en si k y en ambos etremos si k. Nótese que si k es un entero positivo y n k, entonces la epresión para k n contiene un factor (k k), de modo que n k para n k. Esto significa que la serie termina y reduce el teorema del binomio ordinario cuando k es un entero positivo. (Véase la página de referencia.) V EJEMPLO 9 Encuentre la serie de Maclaurin para la función radio de convergencia. f() s4 y su SOLUCIÓN Escriba f() de forma que pueda usar la serie binomial: s4 4 4 4 4 4
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 743 Y al usar la serie binomial con k y donde fue reemplazada por 4, tenemos s4 4 8 n 4n 4 3! 4 3 5 3! 43 3 5 n 3 3 5!8 3 3!8 3 4n 3 5 n 8 n n Sabe de (7) que esta serie converge con 4, es decir, 4, de modo que el radio de convergencia es R 4. En la tabla siguiente están reunidas, para referencia futura, algunas de las series importantes de Maclaurin que ha deducido en esta sección y en la anterior.. TABLA Series importantes de Maclaurin y sus radios de convergencia. e n!! 3 3! sen n n n! cos n n tan n n n n 3 3! 4 4! 6 6! 3 3! 5 5! 7 7! 3 5 5 7 7 R R R R R k n k kk kk k n k 3! 3! R TEC Module./. permite ver cómo polinomios sucesivos de Taylor se aproiman a la función original. Una razón de que las series de Taylor sean importantes, es que permiten integrar funciones que no se podían manejar antes. En efecto, en la introducción de este capítulo mencionamos que Newton integraba a menudo funciones epresándolas primero como series de potencias, y que después integraba la serie término a término. No es posible integrar la función f e por medio de las técnicas conocidas hasta este momento, porque su antiderivada no es una función elemental (véase sección 7.5). En el ejemplo siguiente se aplica la idea de Newton para integrar esta función.
744 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS V EJEMPLO (a) Evalúe e d como una serie infinita. (b) Evalúe de tal manera que no difiera. del valor real. e d SOLUCIÓN (a) Primero encuentre la serie de Maclaurin de f e. Aunque es posible usar el método directo, determinémosla simplemente mediante el reemplazo de con en la serie de e dada en la tabla. Por esto, para todos los valores de, e n n n! 4! 6 3! Ahora integre término a término y e d y C 3 3! 5 5! 7 Esta serie es convergente para toda porque la serie original para toda. (b) El teorema fundamental del cálculo! 4! 6 n n 3! d 7 3! n n n e converge para & Es posible hacer C en la antiderivada del inciso (a). y e d 3 3! 5 5! 7 7 3! 9 9 4! 3 4 6 3 4 6.7475 El teorema de estimación de la serie alternante demuestra que el error que hay en esta aproimación es menor que 5!. 3 Otra aplicación de la serie de Taylor se ilustra en el ejemplo siguiente. El límite podría ser calculado con la regla de l Hospital, pero en lugar de hacerlo así se recurre a las series. e EJEMPLO Evalúe lím. l SOLUCIÓN Al utilizar la serie de Maclaurin para e & Algunos sistemas algebraicos computacionales calculan los límites de esta manera. e!! 3 3! lím lím l l lím l lím l! 3 4 3! 4! 3! porque las series de potencias son funciones continuas. 4! 3 5!
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 745 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE SERIES DE POTENCIAS Si las series de potencias se suman o restan, se comportan como polinomios; (el teorema..8 lo ilustra). En efecto, como lo ilustra el ejemplo siguiente, las series también se pueden multiplicar y dividir como los polinomios. Primero determine los primeros términos porque los cálculos para los siguientes se vuelven tediosos y los términos iniciales son los más importantes. EJEMPLO Calcule los primeros tres términos no cero de la serie de Maclaurin para (a) e sen y (b) tan. SOLUCIÓN (a) Mediante la serie de Maclaurin para e y sen en la tabla e sen! Al multiplicar esta epresión y agrupar por términos semejantes, al igual que con los polinomios:! 3 3! 3 3! 6 3 6 3 6 4 3 6 4 6 3 3 3 Así, e sen 3 3 (b) Al utilizar la serie de Maclaurin en la tabla tan sen cos 3 3! 5 5!! 4 4! Aplique un procedimiento como el de la división larga 3 3 5 5 4 4 3 6 5 3 4 5 3 3 3 5 3 3 6 5 5 5 Por consiguiente, tan 3 3 5 5 No se ha intentado justificar las manipulaciones formales que se utilizaron en el ejemplo, pero son legítimas. Hay un teorema que establece que si tanto f c n n como t b convergen para n n R y las series se multiplican como si fueran polinomios, en tal caso la serie resultante también converge para R y representa f t. En cuanto a la división es necesario que b ; la serie resultante converge para suficientemente pequeña.
746 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. EJERCICIOS. Si f b n 5 n para toda, escriba una fórmula para. b 8. Se proporciona la gráfica de f. y (a) Eplique por qué la serie no es la serie de Taylor de f centrada en. (b) Eplique por qué la serie.6.8.4. 3.8.5.5. 3 no es la serie de Taylor de f centrada en. 3. Si f (n) () (n )! para n,,,, encuentre la serie de Maclaurin para f y su radio de convergencia. 4. Encuentre la serie de Taylor para f con centro en 4 si f (n) 4 n 3 n n Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor? 5 Encuentre la serie de Maclaurin para f usando la definición de la serie de Maclaurin. [Suponga que f tiene un desarrollo en serie de potencias. No demuestre que R n l.] Determine también el radio asociado con la convergencia. f 7. f cos, a 8. f sen, a 9. f s, a 9. f,. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 7 representa sen p para toda.. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 8 representa sen para toda. 3. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio representa senh para toda. 4. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio representa cosh para toda. 5 8 Use la serie binomial para epandir la función como una serie de potencias. Eprese el radio de convergencia. 5. s 6. 7. 9 38 Utilice la serie de Maclaurin que paracere en la tabla para obtener la serie de Maclaurin para la función dada. 8. 9. f sen 3. 3. f e e 3. 33. ( ) 3 f cos 35. f s4 37. f sen [Sugerencia: utilice sen cos.] 33. 36. ( ) 4 ( ) 3 f cos() f e e f tan () 3 f s a 5. f 6. 7. f sen p 8. f ln f cos 3 38. f 6 sen 3 isif isif 9. f e 5. f e. f senh. f cosh 3 Calcule la serie de Taylor para f centrada en el valor dado de a. [Suponga que f tiene un desarrollo de serie de potencias. No demuestre que R n l.] 3. f 4 3, a 4. f 3, a 5. f e, a 3 6. f, a 3 ; 39 4 Determine la serie de Maclaurin de f (mediante cualquier método), y su radio de convergencia. Dibuje f y sus primeros polinomios de Taylor en la misma pantalla. Qué observa con respecto a la correspondencia entre estos polinomios y f? 39. f cos 4. 4. f e 4. f e cos f n( ) 43. Mediante la serie de Maclaurin para e calcule e. con cinco posiciones decimales.
SECCIÓN. SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 747 44. Utilice la serie de Maclaurin para sen a fin de calcular con cinco posiciones decimales. sen 3 6. y 6. sen y e ln 45. (a) Use la serie binomial para epandir s (b) Use la parte (a) para hallar la serie de Maclaurin para sen. 46. (a) Epanda s 4 como una serie de potencias. (b) Use el inciso (a) para estimar correctamente 4 con tres s. posiciones decimales. 47 5 Evalúe la integral indefinida como una serie infinita. 47. y cos 3 d 48. 5 54 Utilice series para obtener un valor aproimado de la integral definida con la eactitud indicada. y 5. cos 3 d (tres decimales); y e cos 49. y d 5. y arctan( ) d d 63 68 Calcule la suma de la serie. 63. 64. 65. n n 66. 4 n n! 67. 3 9! 68. 4n n 7 3! ln 8 4! ln! ln 3 3! n n 6 n 3 n 5 n 69. Demuestre la desigualdad de Taylor para, es decir, demuestre que si para, en tal caso n f M a d y. 5. tan 3 sen 3 d (cinco decimales) R M 6 a 3 para a d 53. y.4 s 4 d ( error 5 6 ) 7. (a) Demuestre que la función definida por 54. y.5 e d ( error.) f e si si 55 57 Mediante las series evalúe el límite. tan 55. lím 56. l 3 sen 6 3 57. lím l 5 58. Utilice la serie del ejemplo (b) para evaluar Este límite se calculó en el ejemplo 4 de la sección 4.4 utilizando la regla de l Hospital tres veces. Cuál método prefiere? 59 6 Utilice la multiplicación o la división de series de potencias para determinar los primeros tres términos diferentes de cero en la serie de Maclaurin para cada función. 59. y e cos tan lím l 3 lím l 6. y sec cos e no es igual a la serie de Maclaurin. ; (b) Dibuje la función del inciso (a) y comente su comportamiento cerca del origen. 7. Use los pasos siguientes para demostrar (7). (a) Sea g n kn. Derive esta serie para demostrar que g kg (b) Sea h() ( ) k g() y demuestre que h(). (c) Deduzca que g() ( ) k. 7. En el ejercicio 53 de la sección. se demostró que la longitud de la elipse a sen, y b cos, donde a b, es L 4a y s e sen d donde e sa b a es la ecentricidad de la elipse. Epanda el integrando como serie binomial y use el resultado del ejercicio 46 de la sección 7. para epresar L como una serie en potencias de la ecentricidad hasta el término en e 6.