Diseño de controladores por el método de respuesta en frecuencia de sistemas discretos. (método gráfico) CONTROL DIGITAL 07--0 Catedrático: Dr. Manuel Adam Medina Alumno: Ing. Jaimes Maldonado José Luis
Compensación de adelanto, atraso y adelantoatraso de fase La compensación de adelanto produce, en esencia, un mejoramiento raonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable, Puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Por su parte, la compensación de atraso produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estable a costa de aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales de ruido a altas frecuencias. La compensación de atraso-adelanto combina las características de la compensación de adelanto con las de la compensación de atraso. El uso de un compensador de atraso o de adelanto aumenta el orden del sistema en. El uso de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en, lo cual significa que el sistema se vuelve más complejo y que es más difícil controlar el comportamiento de la respuesta transitoria.
Procedimiento de diseño en el plano :.- Primero obtenga G (), la transformada de la planta, precedida por un retén, a continuación transforme G () en una función de trasferencia G () mediante la transformación bilineal dada por: T T.- Sustituya =j*v en G () y trace el diagrama de Bode para G (j*v)
3.- Lea del diagrama de Bode las constantes de error estático, el margen de fase y el margen de ganancia. 4.- Suponiendo que la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia del controlador en tiempo discreto GD () es la unidad, determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para una constante dada de error estático. A continuación utiliando técnicas de diseño convencionales para sistemas de control en tiempo continuo, determine los polos y ceros de la función de transferencia del controlador digital, entonces la función de transferencia del controlador en lao abierto esta dada por: GD ()*G (). 5.- Transforme la función de transferencia del controlador GD () en GD () mediante la transformación bilineal dada por: T entonces: ( ) G ( ) l función de transferencia pulso del controlador digital. G D D ( ) ( ) T ( )
6.- Lleve acabo la función de transferencia pulso mediante un algoritmo de calculo. EJEMPLO 4- Sistemas de control en tiempo discreto, Ogata. Considere el sistemas de control digital que se muestra en la Fig. Diseñe un controlador digital en el plano de tal forma que el margen de fase sea 50, el margen de ganancia sea de por lo menos 0 db, y la constante de error estático Kv sea /seg. Suponga que el periodo de muestreo es 0. seg., T=0.. Diagrama de bloques del sistema de control digital.
Solución: Primero obtenemos la función de transferencia pulso G () de la planta que esta precedida por un retenedor de orden cero: a continuación, transformamos la función de trasferencia pulso G () en una función de transferencia G () mediante la transformación bilineal dada por la ecuación: Entonces: 0.887.887 0.075) (0.087 ) ( 0.887) )( ( 0.9356) ( 0.087 ) ( ) ( ) ( ) ( 0. K G K s s K Z s s K s e Z G s T T 0. 0. ) ( 0 300 ) ( 0.9966 0.9966 0.09633 0.000333 0.887 0. 0..887 0. 0. 0.075 0. 0. 0.087 ) ( K G K K G
Un compensador simple de adelanto de fase probablemente cumplirá todos los requisitos. Por tanto, probaremos compensación mediante adelanto. (si la compensación en adelanto no satisface todos los requisitos, será menester utiliar un tipo de compensación diferente. Supongamos ahora que la función de transferencia del controlador digital tiene una ganancia unitaria para el intervalo de baja frecuencia y tiene la forma siguiente: G D ( ), 0 (se trata de un compensador de atraso de fase) Ésta es una de las formas más sencillas de la función de transferencia del controlador digital. La función de transferencia en lao abierto es: K( 0.000333 0.09633 0.9966) G D ( ) G( ) 0. 9969 La constante de error de velocidad estática Kv queda especificada como /seg. Por tanto, K v limg 0 D ( ) G( ) K
La ganancia K se determina entonces como el escalar. Al definir K=, traamos el diagrama de Bode de G (): ( 0.000333 0.09633 0.9966) ) G( ) 0.9969 G D ( 300 0 ( )
La figura anterior muestra el diagrama de Bode del sistema. Para las curvas de magnitud hemos utiliado asuntotas con líneas rectas. La magnitud y el Angulo de fase de G (j*v) aparecen como curvas punteadas. Note que el cero en v=0 que ocurre en el semiplano derecho de da retraso de fase. El margen de fase se puede leer del diagrama de Bode, (curvas punteadas) como 30 y el margen de ganancia como 4.4 db. -Diseñemos el compensador de adelanto: --Ya que las especificaciones exigen un margen de fase de 50, el ángulo adicional del adelanto de fase necesario para satisfacer este requisito es de 0. Para obtener un margen de fase de 50 sin reducir el valor de K, el compensador de adelanto debe contribuir al ángulo de adelanto de fase requerido. --Si se considera el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce, debemos suponer que el ángulo máximo de adelanto de fase requerido es de aproximadamente 8 (se han añadido 8 para compensar el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce); si: sen m el ángulo igual a 8 corresponde a 0.36
Una ve que el factor de atenuación (alfa) se ha determinado sobre la base del ángulo de adelanto de fase requerido, el siguiente paso es determinar las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: jv jv v/ A continuación encontramos el punto de frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado es 0log(/ ) 0log(/ 0.36) 0log.6643 4.45dB Para encontrar el punto de frecuencia donde la magnitud es -4.45 db, sustituimos =j*v en G () y encontramos la magnitud de G (j*v): G( jv) v 300 v v v 0
mediante prueba y error, encontramos que v=.7, la magnitud se convierte en alrededor de -4.4 db. Seleccionamos esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia entonces: v.7 0. 9790.7 Y el compensador de adelanto determinado es: 0. 3534 G 0.9790 ( ) D 0. 3534 De el diagrama de Bode vemos que el margen de fase es 50 y el margen de ganancia es 4 db. la función de transferencia del controlador se transformara de regreso al plano mediante la transformación bilineal siendo: T 0. 0
Entonces: G D 0.97900 ( ) 0.35340.3798.9387 0.5589 La función de transferencia pulso en lao abierto del sistema compensado es: G D.3798.9387 0.03746( 0.9356) 0.089 0.008 0.0679 ( ) G( ) 3 0.5589 ( )( 0.887).3776.835 0.4576 La función de transferencia pulso diseñada en lao cerrado es: C( ) R( ) 3 0.089 0.008 0.0679.885.8460 0.555 0.089( 0.9357)( 0.845) ( 0.86)( 0.7379 j0.396)( 0.7379 j0.396) observe que la función de transferencia pulso en lao cerrado implica dos ceros localiados en =0.9357 y =0.845. este ultimo cero prácticamente se cancela con el polo en lao cerrado en =0.86.
salida c(k) RESPUESTA DEL SISTEMA:.4 respuesta escalon del sistema. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 periodo de muestreo 0. seg
--La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de fase, mientras que la compensación de retardo logra el resultado a través de su propiedad de atenuación a altas frecuencias. --La compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad. La compensación de adelanto da una frecuencia de cruce de ganancia mas alta que la que puede obtenerse con la compensación de retardo. --La frecuencia de cruce de ganancia mas alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande implica una reducción en el tiempo de asentamiento. Si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rápida, debe emplearse la compensación de adelanto. Sin embargo, si hay señales de ruido, tal ve no esa adecuado un ancho de anda grande, porque esto hace al sistema mas sensible a las señales de ruido, debido a un incremento de la ganancia a altas frecuencias. Se ve la cierta equivalencia entre un compensador de adelanto y un regulador PD, mientras que un compensador de retardo equivale a un PI. En el arreglo de compensación adelanto-atraso, se tienen mecladas ambas combinaciones pero cabe mencionar que el sistema se vuelve mas complicado para su análisis, puede observarse a equivalencia con un regulador PID.
Fin