PROBABILIDAD CONDICIONAL

PROBABILIDAD CONDICIONAL M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Si en el experimento de lanzar un dado tenemos: Entonces: A {1,3,5}; B {2,3,4, 5,6} P(A) 1 2 ; P(B) 5 6 Suponga que sabemos que el evento B ocurrió. probabilidad de A dado que ocurrió B es: Entonces la P(A B) 2 5 A B B IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 1 Esto es, que ahora la probabilidad de A depende de la información que tenemos. El hecho de saber que el evento B ocurre, nos permite considerar a B como un nuevo y restringido espacio muestral. Definición: Si P(B) > 0, entonces la probabilidad condicional de A dado B es igual a: P(A B) P(A B) P(B) Qué pasa con P(A B) si los dos eventos son mutuamente excluyentes? Qué pasa con P(A B) si P(B) 0? IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 2

Ejemplo: Una pareja tiene dos hijos, al menos uno es hombre. Cuál es la probabilidad de que AMBOS sean hombres? Ω {mm, mh, hm, hh} C {hh} D {mh, hm, hh} P(C D) P(C D) P(D) P(C) P(D) 1 3 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 3 Ejemplo: Se lanzar dos dados y se toma la suma de las caras. A {3,5,7,9, 11} B {2,3} P(A) P(3) + P(5) +... + P(11) 2/36 + 4/36 +... + 2/36 1/2 P(B) P(2) + P(3) 1/36 + 2/36 1/12 P(A B) P(A B) P(B) P(3) P(B) 2/36 1/12 2 3 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 4 Principio de la Multiplicación de Probabilidades Principio de la Multiplicación de Probabilidades A partir de la fórmula de la probabilidad condicional, podemos derivar las fórmulas para la intersección de los eventos, a través del producto de dos probabilidades. P(A B) P(B) P(A B) P(A B) P(A) P(B A) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 5

Principio de la Multiplicación de Probabilidades Principio de la Multiplicación de Probabilidades Ejemplo: En un caja hay doce botellas, ocho verdes y cuatro ámbar. Seleccione dos botellas sin reemplazo. A : Primer botella es ambar. B : Segunda botella es ambar. (A B) : Ambas botellas son ambar. P(A B) P(A) P(B A) 4 12 3 11 1 11 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 6 Diagramas de Árbol de Probabilidades Diagramas de Árbol de Probabilidades Considere el experimento de lanzar un dado. A {1} : Cae el número uno. B {1,3,5} : Cae un número non. P(A B) P(A B) Ω P(B) P( B) B B P(A B) P(Ā B) P(A B) P(Ā B) A Ā A Ā IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 7 Diagramas de Árbol de Probabilidades P(A B C) P(A) P(B A) P(C A B) Ω P(A) P(Ā) A Ā P(B A) P( B A) B B B B P(C A B) P( C A B) P(C A B) P(C A B) C C C C C C C C IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 8

Propiedades, Probabilidades Condicional Propiedades, Probabilidades Condicional 1. 0 P(A B) 1 2. P(Ω B) 1 3. Si A 1 A 2, entonces P(A 1 A 2 B) P(A 1 B) + P(A 2 B) 4. Si A 1, A 2,... son mutuamente excluyentes, entonces ( ) P A i B P(A i B) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 9 Partición del Espacio Muestral Partición del Espacio Muestral Los eventos A 1, A 2,..., A n muestral Ω si y solo si: forman una partición del espacio 1. A 1, A 2,..., A n son mutuamente excluyentes. Ω n 2. A i Ω. 3. P(A i ) > 0 para toda i. A 3 A 2 De esta manera cuando un experimento probabiĺıstico se efectúa, solo un A i ocurre. A 1 A 4 Ejemplo: Un evento A y su complemento A forman una partición. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 10 Teorema de Probabilidad Total Teorema de Probabilidad Total Si hacemos una partición del espacio muestral Ω y B un evento arbitrario Ω B A 2 A 1 P(B) A 3 n P(A i B) n P(A i )P(B A i ) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 11

Teorema de Probabilidad Total Teorema de Probabilidad Total Ejemplo: En el experimento anterior de las botellas. A : Primer botella es ámbar B : Segunda botella es ámbar (A B) : Ambas botellas son ámbar (Ā B) : La primera es verde y la segunda ámbar P(B) P(A B) + P(Ā B) P(A)P(B A) + P(Ā)P(B Ā) ( 4 12 3 ) ( 8 + 11 12 4 ) 1 11 3 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 12 Ya conocemos las probabilidades a priori P(A i ) y las condicionales P(B A i ); ahora deseamos conocer la P(A i B). Usando el teorema de probabilidad total y la definición de la probabilidad condicional obtenemos el. Si A 1, A 2,..., A n forman una partición de Ω y B es un evento cualquiera, entonces: P(A i B) P(B A i)p(a i ) n j1 P(B A j)p(a j ) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 13 Ejemplo: De un grupo de 40 ductos metálicos, 12 presentan fracturas internas. Suponga que la sistema para detectar fracturas no es perfecto. Detectando fracturas en solo el 90% de los casos en que estas se presentan. Además, existe un 40% de probabilidad de sistema de una falsa alarma. Cuál es la probabilidad de que una tubería que se le haya detectado fracturas en realidad las tenga? F : El ducto presenta fracturas D : Fracturas son detectadas IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 14

La partición de Ω es {F, F} P(F) 0.3; P(D F) 0.9; P(D F) 0.4 P(F D) P(D F)P(F) P(D F)P(F) + P(D F)P(F) (0.9)(0.3) (0.9)(0.3) + (0.4)(0.7) 0.27 0.55 0.5 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 15 Otro Ejemplo: Una distribuidora obtiene la mitad de sus productos de la Fábrica 1, la otra mitad es obtenida de las Fábricas 2 y 3 en la misma proporción. Los porcentajes de productos defectuosos son 4%, 5% y 6% respectivamente para las Fábricas 1, 2 y 3. Un artículo de la distribuidara resulta ser defectuoso. Encuentre la probabilidad de este venga de la Fábrica 1. F i : Artículo proviene de la Fábrica i D : Artículo defectuoso IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 16 La partición de Ω es {F 1, F 2, F 3 } P(F 1 ) 0.5; P(F 2 ) P(F 3 ) 0.25 P(F 1 D) 3 P(D F 1 )P(F 1 ) P(D F i)p(f i ) (0.04)(0.5) (0.04)(0.5) + (0.05)(0.25) + (0.06)(0.25) 0.02 0.0475 0.42 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 17

Si consideramos los siguientes dos eventos J : Al menos una luna de Júpiter esta llena. T : Cantidad de autos que pasarán hoy de 9:00 a 9:10 por Av Te. El estado de las lunas de Júpiter tiene algo que ver con el flujo de autos frente a UPIICSA? Así que estos eventos son independientes. Una forma de comprobar esto, es al comparar las estadísticas diarias del flujo de autos cuando las lunas de Júpiter están llenas, no veríamos diferencia alguna. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 18 Definición: Los eventos A y B son independientes si y solo si P(A B) P(A) P(B) Si P(A B) P(A) P(B),entonces P(A) P(A B) y P(B) P(B A) Si P(A) 0 entonces A es independiente de cualquier otro evento. Si A y B son independientes, entonces A y B son independientes. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 19 No confundas el que dos eventos sean independientes con el que sean mutuamente excluyentes. Teorema: Si P(A) > 0 y P(B) > 0, entonces A y B no pueden ser independientes y mutuamente excluyentes al mismo tiempo. Demostración: Si A y B son mutuamente excluyentes: (A B) P(A B) 0 P(A B) < P(A) P(B) Por lo cual no pueden ser independientes. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 20

Dos eventos pueden estar físicamente relacionados y aun así ser independientes. Ejemplo: Al lanzar un dado. P(A) P(B) A B P(A B) P(A) P(B) A {2,4,6}; B {1,2, 3,4} IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 21 Ejemplo: Una urna contiene tres canicas rojas y dos verdes. Considere el experimento de extraer una canica de la urna colocarla de nuevo y sacar una segunda canica. A: La primera canica es verde. B: La segunda canica es verde. Los eventos A y B son independientes? P(A) P(B) P(A B) Qué pasa si no regresamos la primera canica? P(A) P(B) P(A B) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 22 Para Más de Dos Eventos Para Más de Dos Eventos Los eventos A, B, C son independientes si y solo si: (a) La probabilidad de la intersección de los tres eventos es igual al producto de las probabilidades de cada evento. P(A B C) P(A) P(B) P(C) (b) Además, todos los pares de eventos deben ser independientes: P(A B) P(A) P(B) P(A C) P(A) P(C) P(B C) P(B) P(C) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 23

Para Más de Dos Eventos Tan solo (a) no es suficiente. Ejemplo: Ω {1,...,8}, prob. de cada elemento es 1/8 A {1,2, 3,4}; B {1,5, 6,7}; C {1,2,3, 8} A B A B C P(A B) P(A B C) P(A) P(B) P(A) P(B) P(C) Tan solo (b) no es suficiente. Ejemplo: Ω {1,...,4}, prob. de cada elemento es 1/4 A {1,2}; B {1,3}; C {1,4} A B A B C P(A B) P(A B C) P(A) P(B) P(A) P(B) P(C) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 24 : Definición General : Definición General A 1,..., A n son independientes si y solo si ( n ) n P A i P(A i ) y todos los subconjuntos de {A 1,..., A n } son independientes. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 25