EL TRIÁNGULO: Un polígono con propiedades especiales Identificación de los puntos y las líneas notables del triángulo Introducción 1. Sabes por qué se sostienen los triángulos? 2. Son todos iguales? Figura 1. características del triángulo on ayuda de tu profesor vas a identificar, mucho más a fondo, a partir de la siguiente actividad, las características de los triángulos en general. partir de la imagen de la introducción, define cuáles de las siguientes imágenes representan un triángulo. Sustenta tu respuesta en los recuadros que están debajo de cada imagen. Figura 2. Triángulo SM_M_G08_U04_L03_M 1
Lo anterior se refuerza con la definición de triángulo: on origen en el latín triangulus, la palabra triángulo se utiliza para identificar un polígono compuesto por tres lados. Esta figura geométrica se logra a partir de la unión de tres rectas que se interceptan en tres puntos desalineados. ada uno de estos puntos donde las rectas se unen recibe el nombre de vértice, mientras que los segmentos que se pueden apreciar en el triángulo reciben el nombre de lados. (Tomada de http://definición.de/triángulo/) Objetivos de aprendizaje Describir propiedades del triángulo al trazar diferentes tipos de rectas y sus intersecciones. Identificar las clases, los componentes y las propiedades de los polígonos de tres lados. Dibujar diferentes triángulos, realizando la construcción geométrica de sus líneas y puntos notables. ctividad 1 Elementos de composición de un triángulo Teniendo en cuenta la actividad anterior, en equipos de tres personas realiza la siguiente actividad: partir del siguiente triángulo completa las siguientes oraciones escribiendo los valores y las respuestas correctas en los recuadros. Figura 3. Elementos del triángulo 1. Un triángulo tiene lados, vértices y ángulos, y la suma de la medida de sus ángulos internos es grados. 2. El lado que se encuentra opuesto a un ángulo de 90 grados y el segmento perpendicular a una base y que va desde la base al vértice opuesto se llama. SM_M_G08_U04_L03_M 2
ctividad 2 (Propiedades de los triángulos), Son cinco las propiedades generales de los triángulos c a Un lado de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados y mayor que su diferencia b La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, ++=180º. PROPIEDDES DE LOS TRIÁNGULOS α El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. = + entonces = 180º -. c a b En un triángulo el ángulo de mayor medida es el opuesto al lado de mayor medida c a Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales. Figura 4. Propiedades del triángulo partir de la información anterior, observa la siguiente figura y responde: a b D 100 c Figura 5. Elementos del triángulo 1. uánto miden los ángulos y? y. 2. uál es el lado mayor? y por qué? 3. Dados los lados a,b y c del triángulo, responde falso o verdadero a las siguientes proporciones: a+b>c F V a<b+c F V a>b -c F V a=b+c F V 4. uál es la medida del ángulo D? SM_M_G08_U04_L03_M 3
ctividad 3 Tipos de Triángulos, Triángulos según sus ÁNGULOS Según sus ángulos, el puede ser: Rectángulo cutángulo Obtusángulo Tiene un ángulo recto Tiene tres ángulos agudos Tiene un ángulo obtuso Figura 6. Triángulos según sus ángulos Triángulos según sus LDOS Según sus lados, el puede ser: ESLENO No tiene ningún lado igual ISÓSELES Tiene al menos dos lados iguales EQUILÁTERO Tiene tres lados iguales Figura 7. Triángulos según sus lados SM_M_G08_U04_L03_M 4
1. Ejercicio: Teniendo en cuenta la explicación sobre los tipos de triángulos, clasifica los que aparecen en la tabla, según sus lados y ángulos, completa las oraciones de la descripción y dibuja un objeto de tu casa o barrio donde se encuentren estos triángulos, remarcándolo en el dibujo (te colocamos dos ejemplo de objetos) Haz la actividad en parejas. Figura Todos sus lados son - y tiene un ángulo. Tiene al menos - lados y un ángulo. Tiene lados y - todos sus ángulos son. Tiene al menos - lados y un ángulo. No se pueden construir triángulos: Equilátero Rectángulo, ni Equilátero - Obtusángulo Figura 8. Triángulos según sus lados SM_M_G08_U04_L03_M Dibujo objeto y lugar Todos sus lados son - y tiene un ángulo. Descripción Todos sus lados son - y sus ángulos son. Tipo de triángulo según sus lados y ángulos 5
ctividad 4 (Propiedad sobre la suma de los ángulos internos del triángulo) Dibuja un cuadrado o rectángulo. Después traza una diagonal de un ángulo a su ángulo opuesto. Posteriormente, con la ayuda del transportador mide sus ángulos, y define qué tienen en común las medidas de cada triángulo con respecto a la del otro triángulo. nota tus conclusiones. Después de realizar la actividad, puedes ver la animación y darte cuenta de que dicha propiedad se puede demostrar de diferentes formas. En la animación te presentamos una de ellas. ompara tus conclusiones con lo que presenta la animación. nota tus conclusiones de la construcción y también las que saques cuando veas la animación y compares con lo que hiciste. SM_M_G08_U04_L03_M 6
ctividad 5 (Incentro de un triángulo) En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determina cierto punto notable: circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro, respectivamente. (Shariguin, 1989). partir de esta actividad hasta la octava, desarrollaremos estos conceptos. El Incentro y la bisectrices Las líneas que dividen en dos ángulos iguales, cada uno de los ángulos, se conocen como isectrices y el punto donde se encuentran todas las bisectrices (punto I), se denomina Incentro. Incentro I Figura 9. Incentro aracterísticas del Incentro del triángulo Incentro írculo inscrito D I Figura 10. aracterísticas incentro Figura 11. aracterísticas incentro La distancia desde el Incentro a los tres lados del triángulo, es igual. El Incentro es el centro del irculo Inscrito, que resulta de dibujar una circunferencia dentro del triángulo, cuyo centro es I. uando dibujamos la circunferencia decimos que esta, está inscrita al triángulo, y la denominamos como el irculo inscrito del, el cual hace tangencia con los lados del triángulo. SM_M_G08_U04_L03_M 7
Ejercicio 1 partir de la explicación anterior y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación: Si se desea construir tres casas que estén situadas a igual distancia de una escuela y sobre la carretera, en qué punto deberán ir las casas y donde estaría la escuela?, si las carreteras están representadas por los segmentos del siguiente triángulo. Sitúa cada una de las casas y la escuela. arretera 1 arretera 3 Figura 12. ctividad incentro arretera 2 SM_M_G08_U04_L03_M 8
ctividad 6 (Las mediatrices y el cincuncentro del triángulo) La rectas perpendiculares a cada lado, y que pasa por su punto medio, se llaman Mediatrices del triángulo; el punto donde se encuentran dichas líneas, se llama ircuncentro, que en esta imagen está representado por el punto O. o ircuncentro Figura 13. ircuncentro aracterísticas del circuncentro del triángulo La distancia del ircuncentro a los tres vértices es igual. Figura 14. aracterísticas circuncentro ircuncentro Observa esta otra característica del circuncentro y después resuelve el ejercicio Definiendo como centro el punto O, podemos dibujar un círculo tomando como radio el segmento O. uando dibujamos el circulo, el cual hace tangencia con los vértices del triángulo, se dice que circunscribimos el círculo O al y lo llamamos círculo circunscrito del. O írculo circunscrito Figura 15. aracterísticas circuncentro SM_M_G08_U04_L03_M 9
Ejercicio 1 partir de lo explicado anteriormente y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación: se piensa construir un parque que quede a la misma distancia de 3 casas, las cuales aparecen en la siguiente figura: Indica, exactamente, dónde debería quedar el parque. Utiliza para ello la construcción de las mediatrices y el circuncentro. Figura 16. ctividad circuncentro SM_M_G08_U04_L03_M 10
ctividad 7 (Las medidas y el baricentro) Los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto se llaman medianas, y el punto donde se cortan las tres medianas se llama aricentro o entro de Gravedad, como se ilustra en la gráfica: aricentro G Figura 17. aricentro NOT: la distancia entre el aricentro y cada vértice es de 2 de la longitud total de la mediana 3 correspondiente, como se puede observar en la siguiente gráfica: 2 3 aricentro 1 3 G Figura 18. aracterísticas del baricentro SM_M_G08_U04_L03_M 11
Ejercicio 1 partir de la explicación anterior y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación, usando para ello las medianas y el baricentro: Si en tu colegio se está construyendo el comedor y se piensa hacer una mesa en forma triangular, cuyas medidas serán 4, 4 y 6 metros, indica en tu material, el punto exacto donde debería ir la base de la mesa para que esta esté en equilibrio. Mesa 4 Mt ase 6 Mt 4 Mt Figura 19. ctividad baricentro SM_M_G08_U04_L03_M 12
ctividad 8 Observa el video de la actividad, en el podrás ver la construcción de las líneas y puntos notables de los triángulos trabajados en esta unidad. Esta construcción es realizada con la ayuda del Geogebra. demás del Geogebra, que es un software gratis, podrás encontrar otros programas en la internet como abri (se debe pagar por adquirirlo), ompas and rules (gratis); entre otros, que te ayudaran a la aplicación de los temas vistos. Luego de ver el video realiza en tu casa ejercicios relacionados con la temática vista en Geogebra o en algún otro programa. Después de la observación del video en el que se representa la construcción de las líneas y puntos notables de los triángulos, partiendo de la figura20, dibuja las líneas y puntos notables. Figura 20. Triángulo geogebra SM_M_G08_U04_L03_M 13
ctividad 9 (Las alturas y el ortocentro) El Ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Figura 21. Ortocentro Te en cuenta que la posición del ortocentro cambia según el triángulo, así: Triángulo gudo Triángulo Obtuso Triángulo Recto Ortoncentro interno Ortoncentro externo Ortoncentro en el vértice del ángulo recto Figura 22. aracterísticas ortocentro SM_M_G08_U04_L03_M 14
Socializa y comparte partir de la explicación anterior, y de ver el video de la actividad sobre altura y el ortocentro, reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes ejercicios. Posteriormente compartan la solución con otros compañeros y realicen las adecuaciones que consideren pertinentes en el material que reciban. 1. Si un triángulo Obtusángulo Isósceles tiene un ángulo de 120 grados y sus lados iguales son de 5 cm, construye el triángulo y luego dibuja las alturas y el ortocentro. 2. Haz lo mismo con un triángulo Escaleno cuyos lados son de 6 cm, 7 cm y 8 cm. SM_M_G08_U04_L03_M 15
EL TRIÁNGULO: Un polígono con propiedades especiales Identificación de los puntos y las líneas notables del triángulo Los puntos y las líneas notables Incentro: es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita, que equidista de sus tres lados. ircuncentro: es el punto de corte de las tres mediatrices, y es el centro de la circunferencia circunscrita que tiene la misma distancia de los puntos de sus mediatrices. aricentro o entro de Gravedad: es punto donde se cortan las tres medianas. Ortocentro: es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. SM_M_G08_U04_L03_S 1
EL TRIÁNGULO: Un polígono con propiedades especiales Identificación de los puntos y las líneas notables del triángulo Ejercicio 1 Si tenemos un triángulo rectángulo Isósceles, cuyos lados iguales son de 6 cm, construye el triángulo y dibuja las lturas y el Ortocentro del triángulo. Ejercicio 2 Si tenemos un triángulo Escaleno, cuyos lados son de 3cm, 4 cm y 5 cm., construye el triángulo y traza las medianas y aricentro del triángulo. Ejercicio 3 Si tenemos un triángulo Equilátero con lados de 4 cm. construye el triángulo y traza las bisectrices y el incentro del triángulo. SM_M_G08_U04_L03_ 1
Lista de figuras Figura 1. aracterísticas del triángulo Figura 2. Triángulo Figura 3. Elementos del triángulo Figura 4. Propiedades de los triángulos Figura 5. ctividad elemento del triángulo Figura 6. Triángulos según sus ángulos Figura 7. Triángulos según sus lados Figura 8. lasificación triángulos Figura 9. Incentro Figura 10. aracterísticas incentro Figura 11. aracterísticas incentro Figura 12. ctividad incentro Figura 13. ircuncentro Figura 14. aracterísticas circuncentro Figura 15. aracterísticas circuncentro Figura 16. ctividad circuncentro Figura 17. aricentro Figura 18. aracterísticas baricentro Figura 19. ctividad baricentro Figura 20. Triángulo geogebra Figura 21. Ortocentro Figura 22. aracterísticas ortocentro ibliografía SM_M_G08_U04_L03_ 2