TEMA : NÚMEROS ENTEROS 1. NÚMEROS ENTEROS Los números naturales se utilizan para expresar matemáticamente multitud de situaciones cotidianas. Sin embargo, a veces no sirven para cuantificar las situaciones opuestas asociadas. En esos casos, es necesaria la utilización de los números negativos. Por ejemplo: Estamos a 8 grados centígrados + 8 Nº Natural Estamos a 8 grados bajo cero 8 Nº negativo Julián gana 0 euros + 0 Nº Natural Julián gasta 0 euros 0 Nº negativo Aparcamos en el segundo sótano Nº negativo Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros, que se representa con la letra El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y los que están por debajo del cero, que llamamos negativos y se escriben precedidos del signo menos y el cero. Al escribir los números enteros positivos no se suele escribir el sino + delante del número. = {, 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, } Igual que los números naturales, los números enteros se pueden representar sobre una recta. Para ello, se sitúa el 0 en un punto de la recta y se escoge la longitud de la unidad. Del 0 hacia la derecha se sitúan los números enteros positivos, y del 0 hacia la izquierda los enteros negativos. Valor absoluto de un número entero: El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numérica. Se expresa escribiendo el número entre barras: El valor absoluto de 7 es 7: 7 = 7 El valor absoluto de + 4 es 4: +4 = 4 Opuesto de un número entero: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y distinto signo. El opuesto del número 6 es 6: op(6) = 6 El opuesto del número 15 es 15: op( 15) = 15 Departamento de Matemáticas. CEPA Plus Ultra Pág. 1
Comparación de números enteros: Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: +0 > +8. Cualquier número positivo es mayor que el cero, y el cero es mayor que cualquier negativo. Por ejemplo: + 8 > 0 > 8. Entre dos enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Por ejemplo: 8 > 0.. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Suma: Para sumar dos números enteros con el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos: (+ 5) + (+ 1) = + 17 = 17 ( 4) + ( 7) = 11 Para sumar dos números enteros con distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto: ( 6) + (+ 8) = + = (+ 1) + ( 0) = 8 Para sumar más de dos números enteros podemos: Sumarlos de dos en dos sucesivamente: ( 5) + 3 + ( 6) + 7 = ( ) + ( 6) + 7 = ( 8) + 7 = 1 Sumar por separado los positivos y los negativos: ( 5) + 3 + ( 6) + 7 = ( 5) + ( 6) + 3 + 7 = ( 11) + 10 = 1 Ejemplo: Un ascensor que está parado en el portal lo llaman del segundo sótano y luego sube cinco plantas. En qué piso se para el ascensor? ( ) + (+ 5) = + 3 El ascensor se para en el tercer piso Resta: casos: Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo. Se pueden dar cuatro La resta de dos números enteros positivos pasa a ser la suma de un número positivo y otro negativo: (+ 1) (+ 9) = (+ 1) + ( 9) = 1 9 = 3 La resta de un número positivo menos un número negativo se pasa a ser la suma de dos números positivos: (+ 6) ( 5) = (+ 6) + (+ 5) = 6 + 5 = 11 Departamento de Matemáticas. CEPA Plus Ultra Pág.
La resta de un número negativo menos un número positivo pasa a ser la suma de dos números negativos: ( 4) (+ 6) = ( 4) + ( 6) = 4 6 = 10 La resta de dos números negativos se transforma en la suma de un número negativo más un número positivo: ( 8) ( 5) = ( 8) + (+ 5) = 8 + 5 = 3 La operaciones con números enteros parecen complicadas por el uso de los paréntesis, podemos simplificar la notación teniendo en cuenta que el signo menos delante de un paréntesis cambia los signos de los términos que hay dentro, y el signo más deja el mismo signo que tiene el número dentro del paréntesis; como se indica en el cuadro de la derecha. ( a) = a + ( a) = a + (+ a) = a (+ a) = a Ejemplo: A las 3 de la madrugada el termómetro de una localidad marcaba 3º C y a las 10 de la mañana marcaba 7º C, cuántos grados ha subido la temperatura? 7 ( 3) = 7 + 3 = 10 La temperatura ha subido 10º C Multiplicación: Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo + si los dos números tienen el mismo signo, y el signo si tienen distinto signo. ( 7) ( + 3) = 1 ( 1) ( 4) = + 48 = 48 (+ 1) ( ) = 4 Para obtener el signo del producto de dos números enteros se utiliza la regla de los signos: + + = + + = + = = + Ejemplo: El grifo de una bañera está estropeado y pierde litros de agua cada día, qué cantidad de agua habrá perdido en una semana? ( ) 7 = 14 En una semana habrá perdido 14 litros División: Para calcular la división de dos números enteros se halla el cociente de sus valores absolutos, y al resultado se le añade el signo + si los dos números tienen el mismo signo, y el signo si tienen distinto signo. ( 4) : (+ 7) = 6 ( 1) : ( 3) = + 4 = 4 (+ 15): ( 3) = 5 Al igual que en el producto, se emplea la regla de los signos para calcular el signo del cociente: + : + = + + : = : + = : = + Departamento de Matemáticas. CEPA Plus Ultra Pág. 3
Potencias de base entera: Recuerda que una potencia es una multiplicación de factores iguales, 4 3 = 4 4 4 = 64 Si la base de la potencia es un número negativo se obtienen, alternativamente, resultados positivos y negativos: ( 3) = ( 3) ( 3) = + 9 ( 3) 3 = ( 3) ( 3) ( 3) = 7 ( 3) 4 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = + 81 En general, al elevar un número negativo a una potencia: Cuidado! Cuando las potencias tienen base negativa, el uso del paréntesis cambia el resultado: Si el exponente es par, el resultado es positivo: ( a ) par positivo Si el exponente es impar, el resultado es negativo: ( a ) impar negativo 5 = 5 5 = 5 ( 5) = ( 5) ( 5) = 5 Raíz cuadrada: La raíz cuadrada de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero. Calcular la raíz cuadrada de un número es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado: a b b Selee: la raíz cuadrada de a es igual a b a Por la regla de los signos, un número positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas entre sí, y un número negativo no tiene raíz cuadrada, porque ningún número entero elevado al cuadrado es negativo. Raíces cuadradas exactas: Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo, son cuadrados perfectos 36, 100 ó 400. 36 6 6 36 y 6 36 100 10 10 100 y 10 100 400 0 0 400 y 0 400 Ejemplo: a) 11 11 b) 81 9 c) 196 14 Departamento de Matemáticas. CEPA Plus Ultra Pág. 4
Operaciones combinadas: A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver operaciones combinadas es la siguiente: 1.- Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes..- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes 3.- Multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes. 4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial. Ejemplo: Ejemplos: a) (1 ) : ( 1 6 ) = 10 : (-5) = - b) + ( 5 1 : 3 ) ( 3 + 4 : ) = - + (-9) (-1) = 7 c) 18 + [ 13 + 4 ( 5 7 ) + 6 ] = 18 + [13 + 4 ( ) + 6] = 43 Departamento de Matemáticas. CEPA Plus Ultra Pág. 5