El campo electostático en el vacío Con este tema comenzamos a estudia los efectos que poduce, y cómo medilos, la ota popiedad de la mateia: la caga eléctica. Con él iniciamos la pate de la Física dedicada a estudia una de las fuezas fundamentales de la Natualeza: la inteacción electomagnética. Lo iniciamos en la situación más sencilla: las cagas están estáticas, no se mueven; de ahí el nombe de electostático. Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz
Intoducción abemos que la mateia está constituida po átomos y estos po cagas. i no fuese po el hecho de que se encuenta genealmente en estado neuto, todos los fenómenos macoscópicos obsevables estaían dominados po las fuezas electomagnéticas, que son mucho más intensas que las fuezas gavitatoias a las que estamos familiaizados. El conocimiento de que la mateia poseía algo difeente que no tenía que ve con la gavedad ya fue conocido en la época de los giegos: al fota un tozo de ámba, o de vidio, con lana, éste ataía pequeños tocitos de papel. A esta popiedad se llamó electicidad, que poviene de la palaba giega elekton que significa ámba. Posteiomente, Fanklin, en 175, intodujo el convenio de llama caga negativa a la popiedad que pesentaba el ámba y caga positiva a la que pesentaba el vidio. Hoy ya sabemos da espuesta a eso: en el fotamiento de ambos cuepos, ámba-lana o vidiolana, inicialmente descagados ambos, tiene luga una tansfeencia de caga ambos cuepos se cagan de tal manea que la suma de sus cagas después del fotamiento es la misma que la suma de sus cagas antes de fotalos. Además, quedan cagados con la misma cantidad de caga peo de distinto Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 1
signo; lo que ha pasado es simplemente que uno se ha quedado con exceso de caga, la misma que el oto cuepo se ha quedado con defecto. Q neta antes del fotamiento = Q lana antes del fotamiento + Q vidio (ámba) antes del fotamiento = + = = Q neta después del fotamiento = Q lana después del fotamiento () + Q vidio (ámba) después del fotamiento () Qué tipo de caga se ha tansfeido? abemos que los átomos que componen la mateia están constituidos po: electones (con popiedades análogas a las del ámba cuando se fota), potones (popiedades análogas a las del vidio cuando se fota) y neutones (no pesentan compotamiento eléctico). En geneal, el átomo está en estado neuto (igualdad del númeo de potones y electones) po lo que, a escala macoscópica, también la mateia, compuesta po átomos, se encuenta en estado neuto. Po ello, a escala macoscópica, la mateia no pesenta efectos elécticos salvo cuando se actúa extenamente sobe ella. Cuando se fotan los dos cuepos se está inteviniendo extenamente; la caga susceptible de se tansfeida son los electones que son los más extenos y los que menos enegía necesitan paa se aancados de su átomo (potones y neutones están en el núcleo ligados po la fueza nuclea fuete y es necesaia muchísima más enegía paa sepaalos del núcleo). Po eso, cuando Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz
se dice que un cuepo está cagado positivamente significa que tiene un defecto de electones, y negativamente cuando tiene exceso de electones. A finales del siglo XVIII se clasificó a los cuepos en dos gandes categoías: Aislantes o dielécticos (vidio, ámba, plástico, etc.) las cagas no pueden movese libemente. i el cuepo se caga po electización (fotamiento), las cagas tansfeidas se quedan allí donde se las colocó el fenómeno de electización es obsevable. Conductoes (metales, el cuepo humano, la Tiea, etc.) las cagas pueden movese libemente (los electones se mueven fomando una nube electónica ) el fenómeno de electización es difícil de obseva. Po qué?: supongamos que cogemos con la mano un conducto a caga po fotamiento; como nuesto cuepo es así mismo conducto, la caga que se tansfiee al conducto po el fotamiento pasa, a tavés de nuesto cuepo, a tiea; esto hace que se descague se piede la caga que hace que podamos obseva el efecto. En la actualidad había 4 gupos: se añadiían semiconductoes y supeconductoes. La petenencia a un gupo u oto no es ceada, depende también de factoes extenos como tempeatua, pesión, campo E exteno, campo B exteno, impuezas, etc. Po ejemplo, el aie es aislante peo sometido a campos E extenos muy intensos se conviete en conducto. Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 3
Popiedades de la caga eléctica 1.- Existencia de dos clases de caga (+ y - ) Caga + defecto de electones Caga - exceso de electones Cagas de igual signo se epelen, y de signo contaio se ataen..- Pincipio de consevación de la caga en sistemas aislados: la caga no se cea ni se destuye Caga ( cea caga ) o descaga ( destui caga ) poceso de tansfeencia de caga, donde Q antes del contacto = Q después del contacto 3.- La caga neta de un cuepo está cuantizada (su valo aumenta o disminuye a saltos de e) Q neta = Ne / e = unidad fundamental de caga =1.6 1-19 C La existencia de los quaks, patículas elementales con caga faccionaia de e, no lo contadice. 4.- La caga es un invaiante: vale lo mismo en cualquie sistema de efeencia, incluso paa velocidades póximas a la de la luz (v c)! Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 4
Cómo descibi los efectos de las cagas?: con el campo eléctico La idea subyacente es: Caga efectos elécticos todo cuepo cagado petuba la egión de alededo en la que se encuenta a todo punto de esa egión petubada se le asigna una magnitud vectoial módulo diección sentido un campo vectoial E la caga eléctica Cómo se miden los efectos que E poduce sobe otas cagas que están en esa egión petubada? cea campo E midiendo la fueza que la caga que cea E ejece sobe esas cagas que se encuentan en la egión petubada! Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 5
q Cuánto valen los efectos de q en este punto? Región petubada po los efectos de q q Definición de campo eléctico: q cea E E() F() lim q q q caga test positiva que va a sopota el efecto eléctico de q, es deci, va a sopota la fueza F() ejecida po q sobe ella q paa que no modifique el campo a medi al E, como campo vectoial que es, se le puede aplica todo lo estudiado en el Tema 1 sobe campos vectoiales. Una de las cosas estudiadas ea que es epesentable po líneas de campo, que po convenio, nacen en cagas + y mueen en cagas - son líneas de campo abietas Los efectos de E sobe cualquie ota caga Q que esté dento de la egión petubada po q se mediían a pati de la fueza que actúa sobe Q: F comunicación!! QE el campo E es el medio de inteacción caga-campo (Q, E) inteacción caga-caga (Q, q) Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 6
Peo paa medi E en un punto de la egión hay que medi F en dicho punto (ve def.) Cómo lo hacemos?: con la Ley de Coulomb q q E()? Colocamos la caga test positiva en el punto donde queemos medi el campo eléctico y allí, medimos la fueza que apaece sobe q F sobe q q cea E E() lim q q Ley de Coulomb (es una ley expeimental, como lo es la Ley de Gavitación univesal). 1 q 1 1 1 q Expeimentalmente se encuenta que la fueza que sopota q debido a los efectos que poduce q 1 es: q q q q q q ( ) F F =K u = K K 1 1 1 1 1 de 1 sobe 1 1 3 1 1 1 1 si signo (q 1 ) signo (q ) fueza atactiva si signo (q 1 ) = signo (q ) fueza epulsiva tal que Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 7
donde 1 Nm C K 91 8,851 4 C Nm 9 1, y = pemitividad eléctica del vacío. De igual foma, la fueza que sopota q 1 debida a los efectos que poduce q seá F 1. Puesto que las cagas están en eposo, se veifica la ley de acción y eacción F 1= F1 Validez de la ley signo(q 1 ) = signo(q ) 1.- Paa cagas puntuales (o dimensiones << distancia). Caso especial: caga distibuida en esfeas..- Cagas en eposo: si existe movimiento F1 F1 F 1 q 1 3.- La ley del inveso del cuadado de la distancia funciona a distancias tanto macoscópicas como submicoscópicas qué ocue a distancias d? No hay poblema: en el átomo, paa d < 1-14 m (tamaño típico del núcleo atómico) pedominan las fueza nucleaes en luga de la electomagnética. 1 4.- El exponente en la ley, tiene una pecisión de 1-15!!! F 1 q F 1 q F signo(q 1 1 ) signo(q ) q 1 Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 8
5.- Es aplicable el pincipio de supeposición la ley sigue siendo válida paa conjuntos de cagas puntuales (se llaman también distibuciones discetas) y paa distibuciones continuas de caga. El efecto total en un punto = suma de efectos de todas las cagas en ese punto A pati de la ley de Coulomb es fácil obtene la expesión del campo eléctico E que está ceando la caga puntual q 1 en el punto donde está colocada la caga q ya que como F F q E ( ) de 1 sobe 1 ceado po q1 q ( ) q E ( ) K K u 1 1 1 1 3 1 1 q u E()? Genealizando: el campo eléctico E, que cea una caga puntual E() q en un punto cualquiea del espacio, es: 1 q q ( ) u 4 4 3 i q está colocada en el oigen del sistema de coodenadas ( ) E() 1 q q u 4 4 3 Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 9
Campo eléctico E() ceado po un conjunto de cagas puntuales ean q 1, q, q 3,. q N cagas puntuales colocadas en 1 q 1 N 1 q q N N E()? q puntos con vectoes de posición 1,, 3,..., N. Paa calcula el campo eléctico ceado po todas ellas en un punto abitaio dado po el vecto de posición, basta coloca la caga test positiva allí, medi la fueza que ejece cada q i sobe ella, y aplica el pincipio de supeposición. Cada q i ejece sobe q una fueza 1 qq F sobe q ( ) 4 N i 3 i i1 i 1 qq F i ( i). Po el pincipio de supeposición 4 i 3 i 1 N i E() ( 3 i ) 4 i1 i q Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 1
Distibución de líneas de campo Epaa algunos ejemplos de cagas puntuales E total E total Líneas de campo de una caga puntual positiva. Paa caga negativa, bastaía cambia el sentido de las líneas de campo. Líneas de campo de dos cagas puntuales de igual caga y distinto signo (un dipolo si su sepaación es pequeña compaada con la distancia a la que se miden sus efectos). E E total E 1 q 1 q Líneas de campo de dos cagas iguales y de igual signo Líneas de campo de dos cagas puntuales de distinto signo, con doble de caga la positiva que la negativa. Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 11
Campo eléctico E() ceado po distibuciones continuas de caga Acecándonos más a la ealidad, la caga neta que posee un cuepo puede esta colocada a lo lago de líneas, o en supeficies, o en volúmenes. Paa cada situación se define una magnitud macoscópica, la densidad de caga (lineal, supeficial, o volúmica, según el caso), que es función del punto, continua y deivable. s L q qq l q q q dq dq ( )dl ( ) lim l l dl Q dq ( )dl neta en L L L q dq dq ( )ds ( ) lim s s ds neta en Q dq ( )ds q dq () lim d neta en dq ( )d Q dq ( )d Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 1
Paa detemina el campo eléctico ceado po una distibución continua de caga, volúmica, po ejemplo, el planteamiento seía el habitual: colocamos la caga test en el punto donde queemos calcula el campo, medimos allí la fueza que cada dq ejece sobe esta caga q y aplicamos el pincipio de supeposición; en este caso la suma se conviete en una integal. La caga existente en el elemento de volumen es: q q E( )? dq ( )d. Dicha caga dq ejece una fueza dfsobe q en ese punto del espacio 1 dqq 1 ( )dq df ( ) ( ) sobe q 3 3 4 4 La fueza total, la que ejecen todos los dq que están en el volumen total total, seá: q ( )d F ( ) sobe q 3 4 F sobe q q q 4 1 ( )d E() lim ( ) 3 Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 13
De foma análoga, tabajaíamos paa calcula el campo eléctico ceado po un cuepo cagado cuya caga estuviea epatida de foma continua en una supeficie, o epatida en una línea. Las expesiones quedaían: s L q E( )? q q q l E( )? q Fsobe q 1 ( )ds sobe q 1 ( )dl E() lim F ( ) q 3 q 4 L E() lim ( ) q 3 q 4 El caso más geneal seía tene de todo: cagas puntuales y distibuciones continuas lineales, supeficiales y volúmicas. Po el pincipio de supeposición, el campo eléctico en un punto del espacio vendá dado po: N 1 qi 1 ( )dl ( )ds ( )d E() ( 3 i ) ( ) ( ) ( ) L 3 3 3 4 i 1 4 i Cualquie ota caga q colocada en ese punto expeimentaá una fueza Fsobe q qe() Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 14
Popiedades del campo electostático Caácte consevativo del campo electostático potencial electostático Ley de Gauss 1) Caácte consevativo del campo electostático. Potencial electostático La fueza eléctica es del tipo de fuezas que son consevativas, es deci, el tabajo que ealiza, F dl, no depende de la tayectoia que se siga paa llega desde el punto 1 al punto. Esto ea 1 equivalente a deci que U() (campo escala) tal que F F dl. La consecuencia impotante ea que esto es así una función C U. Compobemos que la fueza eléctica es consevativa. upongamos una caga q colocada, po simplifica, en el oigen de coodenadas. Imaginemos una caga q que sigue una tayectoia ceada C. q cea E q E (q centada en el oigen de coodenadas) 4 3 q es la caga test sobe la que se ealiza tabajo, donde la fueza que ejece el campo es F qe Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 15
q dl E C q E q dl E dl Cuánto vale W C F dl F dl C C C C 3 d C 3 C q q E dl q E dl q dl 4 q q dlcos q q d q q 1 4 4 4 qq 1 1!!!! 4 A A A A dl E Po tanto, la fueza eléctica es consevativa F U, donde U epesenta la enegía potencial electostática que tiene la caga q po encontase en el campo E ceado po q. U F q E U E= q e define el concepto de potencial electostático en un punto del espacio como: V() U() lim q q y E() V Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 16
E Volvamos de nuevo al tabajo ealizado po el campo eléctico sobe una caga cualquiea q que sigue una tayectoia desde el punto 1 1 al punto. W 1 F dl qe dl q E dl 1 1 1 Como E() V W q V dl q dv q(v V ) q(v V ) 1 1 1 1 1 dv Popiedad vista en Tema 1: d W q ó 1 V1 V E dl 1 d V V1 E dl 1 Además, como W 1 U (U U 1) U 1 U U1 U q(v1 V ) Al igual que pasaba con la enegía potencial gavitatoia, necesidad de defini una efeencia de enegía potencial nula, con el potencial electostático pasa lo mismo (lógico, ya que el potencial es enegía potencial po unidad de caga). Así, eligiendo: punto 1 ( en muchos casos) / V( ) y punto cualquiea V() E dl (ó ) V() (ó ) E dl Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 17
Comentaios a la elación obtenida: Allí donde haya campo electostático, existe un valo del potencial electostático tal que E en ese punto es igual al vecto (gadiente del potencial) en dicho punto. Las líneas del campo electostático E apuntan siempe hacia potenciales dececientes (el signo menos delante del gadiente). V() es una magnitud escala más fácil tabaja con el escala V() que con el vecto E. Una vez que se tiene V(), es fácil calcula E sin más que obtene el gadiente de V() ya que E() V. Puesto que V() es un campo escala es epesentable mediante supeficies equiescalaes, que en este caso se llaman equipotenciales. Como cte E() V V cte las líneas de E siempe son pependiculaes a las supeficies equipotenciales en todo punto. La función V() está definida salvo constantes. De todo lo anteio, el caácte consevativo del campo electostático se expesa como: E dl con E() V (añadiemos ota foma más al final del tema) C Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 18
Potencial ceado po los distintos tipos de distibuciones de caga Paa una caga puntual q u V()? De la expesión del campo ceado po una caga puntual Teniendo en cuenta que 1 u 1 E() u q u 4 q 1 4 E(), que en este caso se taduce en: V() V q u 4 q 1 4 Paa una distibución disceta de cagas N 1 qi Po el pincipio de supeposición, V() 4 i1 i 1 q 1 N 1 q q N N V()? Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 19
Paa distibuciones continuas de caga (,, ) dq qq L dq dq V() 1 ( )d 4 V() 1 ( )ds 4 V() 1 ( )dl 4 L Antes de pasa a estudia la ota popiedad del campo electostático, la ley de Gauss, veamos algunos conceptos que necesitamos: a) Flujo de un campo vectoial. Divegencia de un campo vectoial; y elación ente ambos a tavés del teoema de la divegencia b) Rotacional de un campo vectoial; y la elación con la ciculación de un campo vectoial a tavés del teoema de tokes Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz
Flujo de un campo vectoial F(). e define flujo elemental, d, del campo vectoial F() a tavés de una supeficie elemental ds (la enmacada en ojo, según la figua) ds líneas de campo F ds F ds F a la intensidad del campo F d F ds a la supeficie ds a la oientacion de F y ds el flujo total del campo F() a tavés de la supeficie finita F ds ó F ds (nos da idea del númeo de líneas de campo que ataviesan a la supeficie (ecoda que la intensidad del campo ea N/ )) Citeio paa el sentido del vecto supeficie ds: i es convexa ds i es ceada apunta siempe hacia fuea del volumen ds i es plana es indifeente la elección ds Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 1
Divegencia de un campo vectoial F() en un punto del espacio. Popociona infomación aceca de las fuentes o sumideos existentes en ese punto. F P d ea un campo vectoial F() y un punto P en esa egión ea d un volumen elemental al cual el punto P petenece Ese elemento de volumen d está delimitado po la supeficie ceada e define divegencia del campo vectoial en un punto del espacio como: div F() = lim elemental F ds d d significado físico: div F es el flujo (el que pasa a tavés de la supeficie ceada que delimita al volumen elemental del entono del punto) po unidad de volumen i div F> flujo neto saliente de existen fuentes en ese punto i div F< flujo neto entante en existen sumideos en ese punto i div F= flujo neto a tavés de no existen fuentes ni sumideos en ese punto Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz
Relación ente flujo y divegencia: a tavés del Teoema de la divegencia d Como div F el flujo a tavés de la supeficie ceada que delimita al elemento de volumen que d contiene al punto P seá: d div F d el flujo total a tavés de la supeficie finita, que es la supeficie ceada extena que limita al volumen finito (ve figua) seá la suma de flujos a tavés de todas las supeficies ceadas elementales con las que vamos econstuyendo la supeficie finita d div F d F ds Teoema de la divegencia j Al hace la suma de todos los flujos, queda como flujo neto el flujo a tavés de la supeficie ceada finita que limita al volumen finito ya que en los volúmenes elementales (cubos de la figua) contiguos, el flujo que es saliente paa uno de ellos, es entante paa el contiguo. El único flujo que no se cancela es el que ataviesa a la supeficie ceada exteio,. Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 3
i se aplica la definición de div F() = lim elemental F ds a un volumen elemental como el de la figua, un cubo de dimensiones x, y y z, en cuyo cento estaía el punto P, que es donde queemos conoce el valo de la divegencia, había que calcula el flujo a tavés de las 6 caas del cubo (el conjunto de las 6 caas hacen la supeficie ceada que enciea el volumen inteio del cubo). i se tabaja en catesianas, se obtiene la expesión siguiente: Z y x z P(x,y,z ) Y i F() Fxu x Fyu y Fzu z y xy z F ds div F lim... xyz F F x y F x y z z (x,y, z ) X Y esto esulta se igual, matemáticamente, a: F F F F x y z ux uy u z (Fxu x Fyu y Fzu z ) x y z x y z!!! div F F Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 4
) Ley de Gauss. La ley de Gauss, además, de se una de las 4 ecuaciones fundamentales del electomagnetismo, las llamadas ecs de J.C. Maxwell, va a se una heamienta muy potente paa esolve poblemas electostáticos cuando exista simetía. E Z E ea una caga puntual q que suponemos, po ejemplo, positiva, y colocada en el oigen de coodenadas. ea una supeficie ceada, la E esfea oja de la figua, y la caga colocada en el cento de dicha esfea. X q E Y La supeficie ceada de la esfea enciea un volumen,. abemos que la expesión del campo que cea la caga q colocada en el oigen de coodenadas es 1 q 1 q E() 4 4 3 3 Calculemos el flujo de E() a tavés de la esfea de supeficie. 1 q q 1 q u senddu q q q u ds u ds sen d d 4 4 4 4 4 4 E ds!!!!! Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 5
Z El esultado hubiea sido distinto si la caga q no hubiea estado colocada el cento de la esfea? Pensad qué significa el flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie. q Y X E El esultado hubiea sido distinto si, en luga de una esfea, hubiéamos escogido una supeficie ceada E Z ds E que tuviea foma totalmente abitaia? (Pensad en una patata: seía la piel maón de la patata y seía su inteio, lo blanco de la patata). X q Y La espuesta a todas las peguntas es NO! el flujo de campo eléctico a tavés de cualquie supeficie ceada es igual a la caga neta enceada/ ( y no depende de dónde esté colocada!, ni de la foma de la supeficie ceada!) Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 6
Y si la caga q está fuea de la supeficie ceada? E E E El flujo neto a tavés de la supeficie ceada es ceo puesto que a tavés de ella salen tantas líneas de campo como entan. q Y si la supeficie ceada enciea vaias cagas puntuales? Po el pincipio de supeposición: N N N i total i E i ds i1 i1 i1 q / i q q 1 q q N q 3 E ds Q neta enceada po i Q neta enceada = E ds E!! Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 7
i la supeficie ceada enciea distibución de caga, po ejemplo, volúmica, de densidad La clave paa esolvelo está en: dq 1) supone que el elemento de caga dq es equivalente a la caga puntual de los casos anteioes ) aplica el pincipio de supeposición dq dq dq de d = de ds 4 3 elceadopo dq Como cada dq contibuye al flujo neto con dq dq 1 t otal E ds ( )d caga neta enceada po la supeficie i enciea caga que está epatida en una supeficie i enciea caga que está epatida en una línea L dq 1 t otal E ds ' dq 1 total E ds L ( )ds ' caga neta enceada po la supeficie ( )dl L cag a neta enceada po la supeficie Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 8
Resumen y consecuencias al aplica la ley de Gauss E ds Q neta enc. po es una supeficie ceada cualquiea, eal o imaginaia. i i neta enc. po!! E punto de E ds Q Qneta enc. po E ds E!! Aunque el flujo de E a tavés de dependa únicamente de la caga enceada, el campo que apaece en la expesión del flujo, exteio a y la inteio a ). E ds, es el campo eléctico total (el debido a la caga La ley de Gauss, como vemos, nos pemite calcula el flujo a tavés de una supeficie ceada. Peo, además, es útil en poblemas con simetía, pues en esos casos pemite obtene el valo del módulo del campo eléctico, E (como se iá viendo en clase de poblemas). Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 9
Una vez vistas las dos popiedades del campo electostático, peo expesadas de foma integal, su caácte consevativo: E dl C la ley de Gauss: Q E ds neta enc. po queemos expesalas de ota foma, en foma difeencial. Paa la pimea de ellas, necesitamos oto concepto que no hemos estudiado todavía: el otacional de un campo vectoial y su elación con la ciculación del campo. Veámoslo. Rotacional de un campo vectoial F() en un punto del espacio. Popociona infomación de la tendencia de un campo vectoial a intoduci otación alededo de un l ds ds F l F C punto. ea s un elemento de supeficie de una supef abieta!! La supeficie s está limitada po el contono elemental ceado l. El sentido de ecoido del contono l es el que coesponde al ds (gio del sacacochos). ds l Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 3
e define otacional de F() en un punto del espacio, como un vecto cuya poyección en la diección pependicula a la supeficie, dada po el vecto unitaio n, se define como: 1 1 ot F n lim F dl F dl s s elemental ds ot F nds F dl ot F ds Fdl elemental lo que significa que: el flujo elemental del campo vectoial ot F a tavés de la supeficie abieta (elemental), es deci, ot F ds, es igual a la ciculación del campo F() a lo lago del contono ceado l (elemental) que odea a la supeficie s (elemental). Relación ente otacional de un campo y ciculación del campo: a tavés del teoema de tokes Como ot F ds es el flujo elemental que pasa a tavés de la supeficie abieta elemental s y vale F dl el flujo total a tavés de la supeficie finita abieta seá la suma de los flujos a elemental tavés de todos los s que foman ot F ds. Al hace la suma (la integal) se obtiene: ot F ds F dl Teoema de tokes C s Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 31
C i nos fijamos en la expesión anteio, vemos que como ciculación total (pate deecha de la ecuación) queda la que se calcula a lo lago del contono finito exteio, C, es deci, el que limita a la supeficie finita abieta. Esto es así poque, al i sumando las ciculaciones a lo lago de los contonos elementales l, en los contonos elementales contiguos cada tamo es ecoido en un sentido paa uno y en sentido contaio paa el contiguo. La única ciculación del campo que no se cancela es la que coesponde a los tamos de contono exteio, que todos C juntos confoman la cuva ceada C, la que limita, o en la que se apoya, la supeficie abieta. ds l Ejemplo de campo con otacional no nulo Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 3
i se aplica la definición de 4 1 y X Z ds dsu z 3 P z x 3 P z 4 ds ds u x y 1 ot F n F dl ds a contonos l como los de la figua, se obtendían, tabajando elemental 3 P(x,y,z ) 1 4 y 1 x ds dsu Y en catesianas, las componentes ot F en el punto genéico P(x,y,z ), donde: F() Fxu x Fyu y Fzu z x ot F, ot F, y z ot F del s=zy; s=zx; y s=yx paa las componentes x, y, y z, espectivamente. Nota: en las tes figuas P epesenta al punto de coodenadas (x,y,z ) Uniendo todos los esultados paciales, x y F F F F F F y z z x x y z y x z y x ot F ot F u ot F u ot F uz ux uy uz x y z u u u x y z x y z, y esto esulta se igual a: F F F F F F F F F F F F F u u u u u u u u u x y z y z x y z x y z z x x y F F F z x y x y z z y x z y x x y z z x y x y z ot F F Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 33
Ya estamos en condiciones de expesa las dos popiedades del campo electostático en foma difeencial: 1) Caácte consevativo: E dl. C Po el teoema de tokes E dl ( E) ds E C ) Ley de Gauss: Q neta enc. po E ds Q 1 E ds d neta enc. po 1 Po el teoema de la divegencia E ds E d d E d tanto si > como si <, siendo el volumen enceado po la supeficie gaussiana y el volumen que ocupa la distibución de caga (cuepo cagado) E Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 34
Notas impotantes: i F punto campo consevativo o iotacional Consecuencia líneas de campo abietas Ejemplo: el campo electostático: las líneas nacen en las cagas positivas y mueen en las negativas Recodemos lo que poníamos en el Tema 1 aceca de: Condiciones equivalentes de deci que un campo vectoial es consevativo: 1) la ciculación F dl no depende de la tayectoia seguida, sólo de los puntos inicial y final ente los que se calcula. 1 ) F dl C C 3) F es consevativo () (campo escala) / F 4) F es consevativo F (se veá más adelante). Ahoa ya lo hemos justificado Como el campo electostático lo es, en las expesiones anteioes sólo hay que cambia la leta del campo vectoial F po la leta E Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 35
i F punto campo solenoidal Consecuencia líneas de campo ceadas Ejemplo: el campo magnético Otas identidades impotantes: ( F) ( ) Otas cosas que saldán en Fundamentos II: Opeado Laplaciana: x y z opeado Laplaciana en catesianas, y donde es un campo escala F ( F) ( F), donde F() es un campo vectoial Ecuaciones difeenciales paa el potencial eléctico Como E y E V V V V V (si ) Ecuación de Poisson Ecuación de Laplace V Las usaéis en ºcuso en Popagación de ondas Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 36
Aplicación del teoema de Gauss paa detemina el E de distibuciones siméticas de caga Antes habíamos escito: La ley de Gauss pemite calcula el flujo a tavés de una supeficie ceada. Peo, además, es útil en poblemas con simetía, pues en esos casos pemite obtene el valo del módulo del campo eléctico, E. Qué implica que el poblema tiene simetía?: que el campo eléctico no depende de alguna de las coodenadas espaciales eso hace que, a pioi, podamos sabe cómo son las líneas de campo que cea el cuepo cagado, aunque desconozcamos su valo (su módulo). El módulo es el que vamos a pode obtene aplicando la ley de Gauss a ese poblema que tiene simetía. Pasos impescindibles a da paa aplicalo coectamente y entende lo que, y po qué, se hace 1.- Imagina cómo son las líneas de campo E. Pintalas..- Difeencia las egiones donde se va a calcula E. 3.- En cada egión, elegi una supeficie ceada (eso implica que la supeficie debe encea un volumen; paalelepípedos, esfeas y cilindos son ejemplos de supeficies ceadas). Debe elegise la adecuada en función de cómo son las líneas de campo que se han dibujado antes. 4.- Calcula el flujo de campo eléctico a tavés de la supeficie ceada elegida en cada egión. 5.- Calcula la caga neta que la supeficie elegida enciea. Esta caga neta se calculaá como: una integal de volumen de la densidad volúmica de caga libe, o como una integal de supeficie de la densidad supeficial de caga libe, o como una integal de longitud de la densidad lineal de caga libe, o simplemente sumando las posibles cagas puntuales que estén enceadas, dependiendo del poblema que tengamos ente manos. 6.- Iguala lo obtenido al tabaja la pate izquieda de la ley con lo obtenido de la pate deecha de la ley. e añade a la expesión del campo la diección y sentido que tiene, y las unidades coespondientes. Fundamentos Físicos I_Tema 3 Maía Elena aiz 37