GUÍA DE APRENDIZAJE Prof: Víctor Manuel Reyes Feest N 5 Contenido: Par ordenado, función lineal y pendiente. 1. Reflexiona y señala cuál de las siguientes gráficas corresponden a una función a) b) c) d) e) f) 2. En el conjunto = { 2, 1,0,1,2,3,4} definimos las siguientes relaciones: = { (0, 1); (2,0); ( 1,2); (1,2) } = {(1,1); (1, 1); (4,2); (4, 2); (3,3) } = {( 2,2); ( 1,1); (0,0); (1, 1); (2, 2); (3,0); (4,0) } De estas relaciones. a. Cuáles son funciones? b. Determina el dominio y recorrido de cada una ellas. 3. Determina la ecuación de la línea recta que pasa por los siguientes pares de puntos: a. (5,3) y (6,5) b. (- 2,- 3) y (1,2) c. (3,1) y (- 2,8) 4. Sea = ( ) = 5 2 a. Qué gráfico representa a esta función? b. Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición? c. Cuál es el dominio y el recorrido de esta función? d. Es ( ) función biyectiva? Justifica e. Admite ( ) función inversa? Si existe, defínela 5. Determina la ecuación de la línea recta que pasa por el punto dado y tiene una pendiente. Confecciona la gráfica correspondiente: a. (6,- 1) y = 3 b. (- 4,2) y = - 5 Guía N 5; Par ordenado, función lineal y pendiente. 1
6. Grafíca cada una de las siguientes líneas rectas y determine las intersecciones con los ejes y su pendiente: a. 5 2 +10=0 c. 4=2( 3) b. =2 d. =4 7 7.- Determina la ecuación en la forma general de la línea recta que pasa por el punto (4,2) y es paralela a la recta con pendiente 4. 8. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas se puede aproximar mediante la fórmula = 1,5 6,7, en la cual es la longitud en cms y la edad en semanas. La longitud prenatal se puede determinar mediante ultrasonido. a. Calcule la edad aproximada de un feto cuya longitud es de 28 cms. b. Cuál es la tasa de crecimiento del bebe en gestación? Cuál es su significado? c. Cual es el dominio y reccorrido de la función? d. Cuál es la tasa de crecimiento del feto? 9. Los investigadores están estudiando la correlación que existe entre la obesidad y la repuesta al umbral del dolor. La obesidad se mide como el porcentaje sobre el peso ideal ( ), mientras que la respuesta al dolor se mide utilizando el umbral de reflejo de flexión nociceptiva ( ), que es una medida de la sensación de punzada. Es así como se obtiene los siguientes datos. Obesidad % 20 40 60 70 90 Flexión Nociceptiva 2 3 4 4,5 5,5 a. Encuentra la función lineal que mejor exprese la variación de respuesta al dolor acorde al porcentaje de obesidad en el individuo. 10. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento de 1 % por encima de este nivel aumenta el riesgo coronario en un 2 %.Se encontró, para un grupo de edad particular, que el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol, es de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192 a. Encuentra una ecuación lineal que exprese el riesgo en términos del nivel de colesterol. b. Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260? c. Como se puede interpretar la tasa de cambio de riesgo en términos del colesterol? d. En información complementaria, de investigación, señala un dominio aproximado de la función. 11. La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que denota la natalidad por cada 1.000 personas y representa el tiempo medido en años desde 1995. a. Determina la función lineal de natalidad. b. Interprete el significado de la pendiente en términos de cambio poblacional. c. Si el modelo lineal se mantiene igual. Cuál será la natalidad esperada para el año 2015? Guía N 5; Par ordenado, función lineal y pendiente. 2
12. La evolución de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus tejidos. Según antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados. Determina: a. La función lineal que describe el problema. b. La cantidad de tejido regenerado, cuando han transcurrido 30 días. c. El tiempo aproximado para obtener una evolución en el tejido de 100 milímetros cuadrados. d. Como es la tasa de recuperación del tratamiento? 13. La temperatura medida en grados centígrados es una función lineal de la temperatura medida en grados Fahrenheit, y puede ser representada por la relación = +, donde y son constantes reales. Determina: a. Las constantes, si se sabe que el punto de congelación para el agua es 0 C y 32 F, y que el punto de ebullición es 100 C y 212 F b. La temperatura en grados centígrados si la temperatura es de 104 F 14. La tabla siguiente muestra algunos pesos promedios de un recién nacido ( ) 0 5 10 15 20 25... ( ) 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8,2... a. Construye el gráfico correspondiente al peso en función del tiempo b. Calcula la pendiente y da una interpretación del valor encontrado en términos de la tasa de crecimiento. c. Escribe la ecuación de en función de. d. Qué peso se espera para un bebé de 42 días? e. Cuál sería eldominio y recorrido de la función, en otras palabras, cuál son los rangos posibles de la función? 15. Un donante entrega sangre en un hospital. La secuencia de extracción tiene el siguiente registro parcial: ( ) 0 0,5 1,0 1,5... ( ) 0,30 0,39 0,48 0,57... Se sabe que la cantidad de sangre,, extraída varía linealmente con respecto al tiempo,, y que en el envase había inicialmente una cierta cantidad de líquido anticoagulante. a. Escribe la ecuación que relaciona con. Grafica la función. b. Cuántos cm 3 de anticoagulante había en el envase? c. Cuántos cm 3 de sangre se le extrajo al donante? d. Qué representa la pendiente y el coeficiente de posición? Guía N 5; Par ordenado, función lineal y pendiente. 3
16. Supone que la temperatura que adquiere un gramo de hielo a 0 al licuarse es una función lineal de la cantidad da calor,, entregada (en calorías), y que al entregar 90 calorías, la temperatura es de 10 y al entregar 150 calorías la temperatura es de 70. a. Escribe la ecuación = ( ) b. Cuál es el dominio y el recorrido de esta función? varía entre 80 y 180 calorías. 17. Un bebé pesa 2.8 kilos al nacer y 3 años después su peso es de 8.5 kilos. Suponga que el peso (en kilos) y la edad (en años) están relacionados linealmente: a. Expresa en términos de. b. Cuál será el peso del niño en su cuarto cumpleaños? c. A qué edad el niño pesará 20 kilos? d. Grafica la función para 0 12. e. Cuál es la tasa de crecimiento de un bebe? 18. En fisiología del ejercicio, la potencia aeróbica se define en términos del consumo máximo de oxígeno. Para altitudes hasta 1800 metros, la potencia aeróbica es óptima, es decir, de 100%. Sobre los 1800 metros la potencia aeróbica disminuye linealmente hasta alcanzar aproximadamente un 40% en los 5000 metros. a. Exprese mediante una función lineal la potencia aeróbica en términos de la altitud en metros. b. Estime la potencia aeróbica en la ciudad de Calama cuya altitud es de 2300 metros aproximadamente. c. Grafique la función lineal obtenida en la parte a. d. Cuál sería el dominio y recorrido válido según el contexto del problema? argumenta. 19. Los productos farmacéuticos deben especificar la dosis recomendada para adultos y niños. Se tienen dos fórmulas para determinar la dosis de los niños: Regla de Cowling: = + Regla de Friend: = 8t Donde t es la edad del niño (en años) a. Grafique ambas ecuaciones para niños con una edad entre 0 y 12 años. b. Para qué edad las fórmulas coinciden en la dosis? 20. La cantidad total de alcohol en el cuerpo disminuye en forma lineal respecto del tiempo transcurrido sin ingerir alcohol. Una persona tiene 60 gramos de alcohol en el cuerpo después de haber abandonado una fiesta, y 30 gramos de alcohol tres horas más tarde (de la hora anterior). a. Escribe la ecuación que proporciona la cantidad de alcohol retenida en el cuerpo en función del tiempo b. Construye el gráfico c. Después de cuánto tiempo la persona no tiene alcohol en su cuerpo? d. Cuál es la tasa de (de)crecimiento de alcohol en la sangre? 21. La ley de Charles para los gases afirma que si la presión permanece constante entonces la relación entre el volumen (en cm 3 ) ocupado por un gas y su temperatura (en ºC) está dada por = 1+ a. Cuál es el significado de? b. Qué incremento de temperatura corresponde a un incremento en el volumen de a 2? c. Traza la gráfica de la ecuación en un plano para el caso en que = 100 para -273 Guía N 5; Par ordenado, función lineal y pendiente. 4
22. Si la relación entre concentración de plomo y hemoglobina viene dada por: ( )= 15 0.1, donde es la concentración de plomo y ( ) es la hemoglobina probable. Cuál es la concentración de hemoglobina si la de plomo es de 20mg/100ml? 23. Existe una función que relaciona la cantidad de grasa como máximo que debe consumir diariamente una persona conociendo su peso en kilos, ésta es: ( )= (1,5), donde es el peso del individuo medido en kilos, y ( ) es la cantidad diaria de grasa, medida en gramos. Determine: a. Cuál es la cantidad diaria de grasa que debe consumir como máximo una persona cuyo peso es 45 kilos? b. Si una persona puede consumir como máximo 50 gramos de grasa diarios, cuál es su peso? c. Cuál es eldominio y recorrido de la función? 24. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardiaca en adultos y se obtuvieron los siguientes resultados: Dosis administrada en mg 0,5 0,75 1 1,25 Disminución en la frecuencia cardiaca (latidos/minuto) 9,05 10,075 11,1 12,125 Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determina: a. La función que representa el problema. b. Interprete la pendiente de la recta en términos de la tasa de cambio. c. Si se administran 2 mg, cuál es la disminución en la frecuencia cardiaca? d. Para qué dosis la frecuencia cardiaca disminuye en 10 latidos/minutos? 25. Se ha comprobado en un tipo particular de pacientes que la relación entre el riesgo coronario, y el nivel de colesterol, cuando éste último está por encima de 210 es lineal. Sabiendo que el riesgo coronario a un nivel de colesterol de 210 es 0,160 y a un nivel de 231 es 0,192: a. Encuentra la ecuación que relaciona en función de. b. Interpreta la pendiente de la función lineal encontrada en el punto a. c. Qué riesgo coronario corresponde a un nivel de colesterol de 260? d. Para qué nivel de colesterol el riesgo es de 1? e. En información complementaria, de investigación, señala un dominio aproximado de la función. 26. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfría. Si la temperatura a nivel de la tierra es de 20ºC y a 1 Km. de altura es 10ºC: a. Escribe la relación entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe una relación lineal. b. Haz el gráfico. c. Determine la temperatura a 3 Km. de altura. Guía N 5; Par ordenado, función lineal y pendiente. 5
27. En pacientes con enfisema pulmonar, se estudia el número de años que el paciente ha fumado y la evaluación médica con respecto al daño sufrido por los pulmones (Medido en una escala de 1 a 100 ptos).los pacientes son clasificados según la edad de éstos en: menores de 40 años y 40 o más años. Algunos antecedentes relativos al estudio, indican que el daño sufrido por los pulmones es de 25 ptos, para los pacientes que llevan fumando 20 años, en cualquiera de los grupos etáreos. Además se sabe que para un paciente con 40 o más años, que lleva 28 años fumando, el daño pulmonar tiene un puntaje de 30. Para un paciente menor a 40 años, que lleva 28 años fumando, el daño pulmonar es de 28 ptos. Según lo anterior determina: Responda b. y c. considerando el grupo de pacientes con 40 o más años. a. Gráfica de análisis, correspondiente a la situación descrita y la expresión matemática adecuada al caso. b. Si al aumentar el número de años que ha fumado un paciente. c. Aumenta o disminuye el daño en los pulmones?, A qué razón? d. Cuál es el daño pulmonar para un paciente que lleva fumando 42 años? e. Lo mismo que en b), pero considerando a los paciente con menos de 40 años. 28. Se investiga la capacidad vital en niños de distintas edades, clasificando entre niños nacidos en parto normal y parto con problemas. En general la capacidad vital de un niño de 4 años que nació en parto normal es de 0,79 y es de 0,78 para un niño que nació en un parto con problemas. Independiente del tipo de parto, se sabe que existe aproximadamente un aumento de 0,1 en la capacidad vital, al aumentar en un año la edad del niño. Según lo anterior determina: a. Gráfica de análisis, correspondiente a la situación descrita y la expresión matemática adecuada al caso. b. A que razón aumenta la capacidad vital por año de edad, en el grupo de niños que nacieron en un parto normal?. Lo mismo para el caso de partos con problemas. c. En que edad tienen la misma capacidad vital los dos grupos de niños. d. Cuál es la capacidad vital de un niño de 5 años que nació en parto normal? Conteste además la pregunta considerando, como segundo caso, un niño que haya nacido con el mismo peso pero en un parto con problemas. 28. Una investigadora hace un experimento para probar su hipótesis acerca de la niacina y el retinol, que son dos nutrientes. Desea alimentar uno de sus grupos de ratas de laboratorio con una dieta que contenga exactamente 32 unidades de niacina y 22.000 de retinol, por día. Tiene 2 alimentos comerciales en pastillas. El alimento A contiene 0,12 unidades de niacina y 100 de retinol por gramo. El alimento B contiene 0,20 unidades de niacina y 50 de retinol por gramo. Cuántos gramos de cada alimento debe dar a este grupo de ratas cada día? 30. A dos pacientes, uno de sexo femenino y el otro de sexo masculino, se les administra simultáneamente 500 mg y 250 mg, respectivamente de claritromicina. Si el medicamento es absorbido por la mujer a razón de 30 mg/hr y por el hombre a 80 mg/hr, En qué instante la concentración del fármaco es la misma en ambos pacientes? Guía N 5; Par ordenado, función lineal y pendiente. 6