MATEMÁTICA I - 01- Capítulo CONJUNTOS Y FUNCIONES Comenzaremos on algunos omentarios generales aera de las demostraiones de enuniados matemátios. Se sugiere que repasen y relean el apunte de lógia visto en el ingreso. Las demostraiones: Los resultados válidos en Matemátia son aquellos que se pueden demostrar. La manera de haer demostraiones depende de lo que se quiera demostrar y también de la "forma" del enuniado. Los enuniados son proposiiones, se afirma algo de todos o de algunos elementos de un onjunto o de un universo dado. Si el enuniado a probar es de forma existenial alanzará en algunos asos on exhibir un individuo on las araterístias que die el enuniado o una manera de onstruirlo. Por ejemplo: Existen números enteros que son primos Este enuniado podemos simbolizarlo omo: ( x) p( x), siendo p(x)= x es primo y el Universo los números enteros. En prinipio debemos onoer la definiión de número primo, un número a es primo si sólo es divisible por 1,-1, a y a. Alanza entones on mostrar que el número entero 7, es primo ya que sólo es divisible por 1,-1,7 y -7. El enuniado afirma que existen primos es deir que al menos hay uno. Si el enuniado es de forma universal habrá que probar que ada uno de los elementos del universo umple on lo afirmado. Si el universo fuera de un número finito de individuos podríamos analizar que ada uno de ellos verifia lo enuniado. Si el universo es infinito, habrá que tomar un elemento arbitrario (NO un ejemplo) del universo del que se habla, y probar que tiene la propiedad enuniada. Por ejemplo: Si un número entero es par, su uadrado es par Es un enuniado universal porque afirma algo aera de todos los elementos del onjunto de los números enteros. Podemos simbolizarlo omo: ( x)( p( x) q( x)), siendo p(x)= x es par, q(x)= x es par y el Universo los números enteros. 1
Veremos distintos métodos: Método direto: Este enuniado tiene la forma de un ondiional, es importante identifiar anteedente y onseuente o hipótesis y tesis, para saber uándo será verdadero. Sabemos que un ondiional es falso sólo uando el anteedente es verdadero y el onseuente falso, partiremos entones de anteedente verdadero y tratamos de ver que el onseuente tiene que ser verdadero, es deir que no se da el aso de anteedente verdadero y onseuente falso, por lo tanto la impliaión será verdadera y queda probado el enuniado. En este aso el anteedente es x es par y el onseuente x es par Tomamos entones un entero par ualquiera, es deir que podemos tomar un número x, tal que x=k, siendo k un entero. Tenemos que ver que si lo elevamos al uadrado también es par. x =(k) entones x =k.k, o equivalentemente x =(kk), siendo kk un número entero, por lo tanto x es par. De esta forma queda demostrado. Método del absurdo: Esto onsiste en suponer que el enuniado es falso y llegar a un absurdo. Cuando el enuniado tiene la forma de un ondiional, suponer que es falso, es negar el ondiional. Reordemos que ( p q) p q, es deir que negar el ondiional es suponer que tanto el anteedente omo la negaión del onseuente pueden ser verdaderas. Al llegar a un absurdo deimos entones que lo que supusimos era falso y por lo tanto el ondiional es verdadero. Volviendo al ejemplo, demostrar por el método del absurdo sería suponer que : x es par y x no es par Esto impliaría que x=k y x =t+1 (ya que si no es par, es impar) Pero entones x = (k) y además x =t+1, esto implia que x = (kk) y x =t+1, es deir que x es par e impar, ABSURDO. El absurdo proviene de suponer que el enuniado era falso, por lo tanto la impliaión es verdadera. Método indireto o de ontrarreíproo: En realidad es haer el método direto a la proposiión ontrarreíproa de lo que se quiere demostrar. Pues ya se ha probado que un ondiional y su ontrarreíproa son equivalentes. Es deir que: p q q p Sólo se trata de reformular el problema, esribirlo on un enuniado equivalente y demostrarlo.
No siempre las demostraiones pueden haerse por los 3 métodos. Por eso para mostrar este método pondremos otro ejemplo: Si el uadrado de un número entero es par, entones el número es par Podemos simbolizarlo omo: ( x)( p( x) q( x)), siendo p(x)= x es par, q(x)= x es par y el Universo los números enteros. Vamos a demostrarlo por el método del ontrarreíproo, reformulando el enuniado en uno equivalente: ( x)( q( x) p( x)) Trataremos de probar entones que: Si un número no es par entones su uadrado no es par. Ahora planteamos, sea x=h+1 (un número impar) entones x =(h+1) Desarrollando el uadrado x =(h) +h+1 Saando fator omún x = (h +h)+1, que es un número impar ya que puede esribirse omo por un entero más 1. Por lo tanto partimos de un número impar y llegamos a que su uadrado también debe ser impar, on lo que queda demostrado. A estas herramientas haremos referenia ada vez que queramos haer una demostraión. Conjuntos, elementos, pertenenia. De manera intuitiva un onjunto es una oleión bien definida de objetos que generalmente se representa on una letra mayúsula A, B, X, W, et. Los objetos que integran el onjunto se denominan sus elementos. El enuniado t pertenee a A o equivalentemente t es un elemento de A se india t A. Si un elemento u no pertenee a A, se india u A. El onjunto que no tiene elementos es el onjunto vaío, que se india on el símbolo Ø. Un onjunto está bien definido si se sabe exatamente qué elementos lo integran y uáles no. Existen esenialmente dos formas de espeifiar un determinado onjunto: dando de manera explíita ada uno de sus elementos (por extensión) o bien mediante una propiedad que araterie a ada uno de sus elementos y úniamente a ellos, es deir que todo elemento que umpla tal propiedad estará en el onjunto y sólo ellos (por omprensión). Es posible definir el onjunto por extensión si el onjunto tiene un número finito y relativamente pequeño de elementos, sin embargo algunos onjuntos infinitos o on muhos elementos se presentan de esa manera uando se entiende su ley de formaión. 3
Ejemplos: 1) Se define el onjunto A por extensión omo: A={ 1, 3, 5, 7 } se tiene que 1 A, 3 A, 5 A y 7 A, por otra parte por ejemplo 9 A, 1 A. También se puede definir A por omprensión omo: A={x: x es un número entero positivo impar menor que 9 }= ={x: x = k 1 para k Z + x < 9 } En ambos asos, la propiedad (o prediado o esquema proposiional) P(x): x es un número entero positivo impar menor que 9, equivalentemente P(x): x = k 1 para k Z + x < 9 es la que arateriza a todos los elementos de A y úniamente a ellos. ) El onjunto de los números naturales (según la definiión que se adopte puede tener al 0 o al 1 omo primer elemento), y el onjunto de los enteros a pesar de ser infinitos es usual indiarlos respetivamente: N = { 1,, 3,...}, Z = {... -3, -, -1, 0, 1,, 3,...} on puntos suspensivos. En estos asos se intuye uáles son los restantes elementos por la ley de formaión y el orden. Cabe destaar que en un onjunto ualquiera no interesa en qué orden apareen los elementos, así omo tampoo interesa que un elemento apareza repetido. El onjunto B={5, b, 3, d, d, 1, w}={1, 3, 5, w, w, d, b}={d, 1, 3, b, 5,w} es el mismo onjunto on 6 elementos en ualquiera de las tres formas en que aparee. Los onjuntos N y Z se representan sobre una reta, en la que se establee un punto origen O, que representa el número 0, un punto U, a la dereha de O, representa al 1. Se onsidera una unidad de medida (longitud del segmento OU) que se transporta a la dereha de O representando a los números positivos y a la izquierda de O los números negativos. Con las letras Q y R se representa respetivamente los onjuntos de los números raionales y reales. Q y R también se representan en la reta. Ejeriio 1: Definir de dos maneras distintas los siguientes onjuntos: a) El onjunto de los números enteros pares mayores que -8 4
y menores o iguales que 1. b) El onjunto de las primeras seis potenias enteras de -. ) El onjunto de los números naturales pares. d) El onjunto de los enteros múltiplos de 3. e) El onjunto de los naturales múltiplos de 5. f) El onjunto de los enteros múltiplos de 9. g) El onjunto de los números reales que anulan la euaión 1 4 3 ( x x).( x 3).( x + 5) Igualdad de onjuntos Los onjuntos A y B son iguales si y sólo si A y B tienen los mismos elementos. Es deir que todo elemento de A es también elemento de B y reíproamente, o sea que se verifia x A x B. Se india: A = B. Ejemplo 3: Los onjuntos A, B y C son iguales: A={0, }, B={ x; x x = 0} y C ={x : x=.k (k =0 k = 1)} Inlusión, subonjuntos Puede ourrir que todo elemento de un onjunto sea elemento de otro onjunto pero no se umpla la reíproa, por ejemplo dados A={0, } y B ={0,, 4, 6, 8,10} todo elemento de A es elemento de B, pero no todo elemento de B es elemento de A. También es ierto que todos los elementos de A y de B son elementos de N y que todo elemento de N es elemento de Z. Si dados dos onjuntos A y B, todo elemento de A es elemento de B, se usará alguna de las siguientes expresiones que son todas equivalentes: a) A es subonjunto de B b) A es parte de B ) A está inluido en B d) A está ontenido en B e) B ontiene a A 5
A B Se verifia que x, x A x B Se utiliza la notaión A B para indiar esta relaión entre onjuntos. También a vees se usa indiarlo on B A. Si A no es subonjunto de B, se india on A B. En forma similar a las desigualdades, < entre números o expresiones algebraias, entre los onjuntos india la inlusión estrita, mientras que equivale a o =. Es deir: A B signifia que A B y A B, se die que A está inluido o ontenido estritamente en B, o que A es parte propia o subonjunto propio de B. Conjunto universal: En ualquier apliaión de la teoría de onjuntos, todos los onjuntos que se onsideren serán subonjuntos de un onjunto universal U, si se trata on onjuntos de personas U es el onjunto de todos los seres humanos, en geometría plana U será R, en problemas on onjuntos numérios U será R, o bien N, Z o Q de auerdo on el ontexto del problema. Ejemplo 4: a) Probar que los múltiplos enteros de 1 son múltiplos enteros de 3. Del enuniado de este problema se infiere que el onjunto universal es Z, se hae referenia a los onjuntos D={ x Z; x = 1 k, k Z} y T={ x Z; x = 3 q, q Z}, se quiere probar que D está inluido en T, de auerdo on la definiión de inlusión hay que probar que todo elemento de D es elemento de T. Un elemento arbitrario x de D se esribe x=1k, donde k 6
es algún entero. Para demostrar que x pertenee a T habrá que ver que x=3m para algún entero m. Si x=1k=(3.4).k, por la propiedad asoiativa del produto de enteros (3.4).k=3.(4.k), omo 4 y k son enteros, entones su produto es también un entero, luego 4k=m, y se obtiene que x=1k=3m. Entones x T. Como x es un elemento arbitrario de D, queda probado que para todo x, x D x T, es deir que D T y por lo tanto todo múltiplo de 1 es múltiplo de 3. b) Es todo múltiplo de 3 múltiplo de 1? Con la notaión usada equivale a la pregunta T D? Es sufiiente mostrar un elemento de T que no esté en D, por ejemplo 15=3.5, 15 T, pero no existe ningún entero k tal que 15 se pueda esribir omo 1.k, o sea que 15 D, luego T D. Propiedades de la inlusión 1) A=B si y sólo si A B y B A (antisimetría) Esta propiedad da un riterio para probar igualdad entre onjuntos. Si se prueba que A es subonjunto de B y que B es subonjunto de A, entones A=B. ) onjunto A se umple que A A (reflexividad) 3) Dados los onjuntos A, B, C, Si A B y B C A C (transitividad) 4) onjunto A se umple que Ø A Por lo obtenido en el Ejemplo 4 y el riterio de igualdad de onjuntos, se puede afirmar que T D, porque se probó que D T y que T D Ejeriios: En ada aso indiar el onjunto universal y esribir por extensión y por omprensión los onjuntos que se menionan. 7
) Probar que los múltiplos naturales de 18 son múltiplos de 6. 3) Probar que los múltiplos enteros de 60 son múltiplos de 15. 4) Probar que los múltiplos enteros de 1 son pares. 5) Son los múltiplos naturales de 3 múltiplos de 1? 6) Son los múltiplos enteros de 13 múltiplos de 39? 7) Probar que los múltiplos enteros de 39 son múltiplos de 13. 8) Sean B el onjunto de los múltiplos enteros de -5 y C el onjunto de los múltiplos enteros de 5, probar que B=C. Operaiones entre Conjuntos Unión La unión de dos onjuntos A y B, indiada por A B es el onjunto de todos los elementos que perteneen a A o a B. A B = x; x A x B Propiedades: { } ( ) = ( ) a) asoiatividad A B C A B C b) A B A B = B Demostraión ) Por el riterio para probar la igualdad A B = B probando que valen las dos inlusiones, se debe probar que A B B y que B A B. ) Sea x A B, luego x A x B, por hipótesis A B es deir que x A implia x B, luego x B x B, en onlusión x B. ) B A B es inmediata por la definiión de unión. )hay que probar que si A B = B A B. Por la ontrarreíproa suponer que A B, es deir que algún elemento de A que no está en B, en onseuenia A B B. ) onmutatividad A B = B A 8
Interseión La interseión de dos onjuntos A y B, indiada por A B es el onjunto de todos los elementos que perteneen a A y a B. { ; } A B = x x A x B Si A y B son no vaíos y A B=Ø, A y B se llaman disjuntos. Propiedades: a) asoiatividad ( A B) C = A ( B C) b) A B A B = A ) onmutatividad A B = B A Diferenia La diferenia de dos onjuntos A y B, indiada por A-B es el onjunto de todos los elementos que perteneen a A y no perteneen a B. { ; } A B = x x A x B A = {a, b,, d, e} B = {x, y, e, z, d} A B={d, e}, A B={a,b,, d, e, x, y, z}, A-B={a, b, }, B-A ={ x, y, z } Propiedades: a) A A = b) A = A ) - A = d) Si A- B = B - A A = B Demostraión: por la ontrarreíproa suponer que A B, eso implia que x tal que x A y x B, o que x tal que x B y x A. En el primer aso x A B, omo x B entones x B A. En el segundo aso, x B-A pero x A- B. En ambos asos A- B B - A Complemento El omplemento de un onjunto A es el onjunto de todos los elementos (del universo U) que no están en A A = = U A Propiedades: { x; x A} 9
a) ( A ) Demostraión: = A ; b) = U ; ) U = d) A B B A ) Probar que si A B B A B A usando la hipótesis A B,,se debe probar que Sea x B,luego x B, omo A B, x A, por definiión de omplemento x A, on lo que queda probada la inlusión B A. ) Probar que si B A A B. Sea x A, entones x A, omo por hipótesis A, x luego x B. Propiedades ombinando operaiones B B Distributivas: a) = ( ) A ( B C) A B ( A C) b) = ( ) A ( B C) A B ( A C) Leyes de De Morgan: ) ( A B) = A B d) ( ) Demostraión de ): ( ) ( ) A B = A B x A B por definiión de omplemento x A B x A B x A x B x A x B de unión x A B por definiión. Todas las proposiiones son equivalentes, las dos inlusiones quedan probadas y de ambas se dedue la igualdad. Ejeriios 9) Si A, B y C son onjuntos ualesquiera, probar: a) A B A B = A b) A A = ) A = A d) A B A e) A A B f) Probar que g) ( A ) B A A B h) A ( B C) = ( A B) ( A C) i) ( ) = j) B B = k) = A A B A B B B = U 10) Sean P el onjunto de los enteros pares e I el onjunto de los enteros impares 10
a) Indiar qué onjuntos son P I, P-I, I-P, b) Probar que P I=Ø P, I Indiaiones: probarlo por el absurdo suponiendo que fuera distinto del Ø, o sea existe un número m que es la vez par e impar, éste tendrá las formas m=k=t+1, siendo k, t enteros. De ahí llegar a una ontradiión. 11) Si T es el onjunto de enteros múltiplos de 3 y C el de los enteros múltiplos de 4, Que onjuntos son T C, C T, T-C, C-T, T, C? Produto artesiano El produto artesiano es otra operaión entre onjuntos, a diferenia de las anteriores sus elementos son pares ordenados. Si A y B son onjuntos ualesquiera el produto artesiano AxB es el onjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a A y b B, A B = {( a, b); a A b B} Ejemplos 5) Si A={ 1,3,5 }, B={ w,1}, AxB={ (1, w),(3, w),(5, w ),(1,1),(3,1),(5,1) } 6) En geometría, el plano R es el produto artesiano R R, y en efeto sus elementos, los puntos del plano, son pares ordenados ( ) x, y, x R y R. Ejeriio 1) Hallar el produto artesiano ExF de los onjuntos E={-3,-,-1, 0, 1,, 3, 4, 5}, F={-1, 0, 1,, 3} y representarlo en R omo puntos del plano. 13) Si A={1,,3,4,5} B={-,-1,0,1} y C ={6,7}, hallar Ax( B C) y ( AxB) ( AxC) y verifiar que son iguales Relaiones binarias Una relaión binaria o orrespondenia de un onjunto A en un onjunto B, es un subonjunto R del produto artesiano AxB. Sus elementos son pares ordenados (a,b) donde a A y b B, no neesariamente todos tales pares ordenados. Cuando un par 11
(a,b) R, también se india arb o b R(a), donde R(a)={x B; arx} o sea el onjunto de todos los elementos x de B relaionados por R on un elemento fijo a de A. Si A y B son finitos y tienen poos elementos es posible representar gráfiamente la relaión R de A en B mediante un diagrama para A, otro para B y una fleha on origen en un elemento a de A y extremo en uno b de B si y sólo si el par (a,b) pertenee a la relaión R. A B Ejemplos 7) En el Ejemplo 5 de produto artesiano se define la relaión binaria T= {(1, w),(5, w),(1,1),(5,1) } A B, en este aso T(5)={x B; 5Tx }= { w,1} 8) En el plano R se define por omprensión la relaión binaria { (, ); 3 } S = x y y = x, sus elementos son todos los puntos del plano que perteneen a la parábola 9) En el plano {(, ); } P x y y x y = x 3 R se define la relaión binaria = =, sus elementos son todos los puntos del plano que perteneen a y = x parábola de eje foal x. Funiones Una relaión binaria de A en B que umpla que a todo elemento a A le asigna un únio elemento b B es una funión de A en B, se india on f: A B. El 1
elemento únio de B asignado a ada a A se llama la imagen de a por f y se india f(a). El onjunto A se llama el dominio de f que se india on Dom(f), y el onjunto B el odominio. En una relaión binaria ualquiera de A en B, el onjunto R(a), para a A, puede ser vaío o tener ualquier número de elementos. En una funión tal onjunto nuna es vaío y tiene exatamente un elemento que se india on f(a), la imagen de a por f. Ejemplo 10 El siguiente es el diagrama de la funión f de A en B, que asigna f(a)=x, f(b)=y, f()=y, f(d)=z, f(e)=z. De ada elemento del dominio A=Dom(f) debe salir una fleha únia, a elementos del odominio B pueden llegar más de una fleha o ninguna, omo en los elementos y, z, w de B. f a x b y d z e w A B La imagen de una funión f es el onjunto de todos los y B tales que sean imagen por f de algún elemento x de A, en términos de onjuntos Im( f ) { y, y B / x, x A, y f ( x)}. = = B La imagen es un subonjunto del odominio, en algunos asos pueden oinidir. Ejemplo 11 13
Sea A el onjunto de las letras del alfabeto y R el de los números reales, se define la funión 3, si x es onsonante g : A R dada por g( x) = 5, si x es voal. El odominio es el onjunto R de todos los reales, la imagen Im( g )={-3, 5} está ontenida estritamente en R. Igualdad de funiones Se define que dos funiones son iguales si tienen el mismo dominio y estableen la misma relaión: f = g Dom(f)= Dom(g)= D f ( x) = g( x) x, x D Funiones numérias Una funión numéria es una funión tal que su dominio y su odominio son 5 onjuntos de números, por ejemplo: f : R R, dada por f ( x) = 3x + ; 6 g : N Z, dada por g( n) = n 5; j : N N, dada por j( n) = 5n + 3. k : R R, dada por k( x) = x + 1; Se representan en un sistema de ejes artesianos, sobre el eje horizontal se representa el dominio y sobre el vertial el odominio. El dominio de una funión numéria es el onjunto de números que tienen imagen. El mismo puede darse en forma explíita, por ejemplo, si se esribe f : A B, entones A es el dominio de la funión. También puede darse en forma implíita, por ejemplo, si sólo se esribe 3+ x f ( x) =, se entiende que el x 5 dominio es el onjunto de todos los números para los uales puede alularse el orrespondiente por f, en este ejemplo, entones el dominio es R-{5} (todos los números reales salvo aquellos para los uales el denominador es 0). Ejemplo 1 En la funión g( x) = x x 3 5 9 que -3 y 3 son las raíes del divisor el dominio de g es el onjunto R-{-3, 3} puesto x 9, en ellos se produen indeterminaiones o sea que g(-3) y g(3) no existen por lo que deben exluirse del dominio 14
Ejemplo 13 La funión y = f ( x) = x 3, omo la raíz uadrada (también ualquier raíz de índie par) está definida para números reales mayores o iguales que 0, tiene su dominio en los reales x tales que x 3 0 x 3. Luego el dominio de esta funión es el onjunto { x R; x 3} mayores o iguales que 3. de los reales Ejeriios 14) Dada 15) Dada 3+ x f ( x) = determinar: a) ( 1) x 5 f ; b) f (0); ) f () ; d) f (3 / ) 3 = + t determinar: a) g (0); b) g ( ); ) g (3) 4 g( t) 1 16) Determinar el dominio de las siguientes funiones: a) d) f ( x) t( x) = 1 x x x 4x + 4 = b) 1 g( x) = 3+ x e) u( x) = x 7 f) ) h( x) = w( x) = 1 x 4x + 4 1 x 4 17) Un retángulo tiene 100m de perímetro. Expresar el área del retángulo en funión de la longitud de uno de sus lados. 18) Se desea onstruir un depósito de base uadrada (sin tapa) y 10 m 3 de apaidad. Exprese la superfiie lateral del depósito en funión de la longitud del lado de la base. 19) Una lámina metália retangular mide 5 m de anho y 8 m de largo. Se van a ortar uatro uadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metália resultante y soldarla para formar una aja sin tapa. Expresar el volumen de la aja en funión de su altura. 0) Estudiar si las siguientes funiones son iguales. Justifiar: f ( x) = x + x g( x) = x 4 3 Funiones inyetivas, suryetivas, funión inversa Funión inyetiva Una funión f ( x ) es inyetiva si a dos elementos distintos del dominio le orresponden imágenes distintas en el odominio. Es deir: Sea f : A B, ( ) x x f x es inyetiva si x1, x A, 1 Equivalentemente: f ( x ) es inyetiva si x1, x A, f ( x1 ) = f ( x) x1 = x f ( x ) f ( x ) 1. Ambas expresiones son equivalentes ya que una es la ontrarreíproa de la otra. 15
-Si la funión admite una representaión mediante diagrama de flehas, la misma será inyetiva si a ada elemento del odominio le llega a lo sumo una fleha. -En una representaión en un sistema de oordenadas artesianas, un riterio para deidir si la funión es inyetiva es el siguiente: Toda reta horizontal que orte al eje de las ordenadas en un punto de su odominio debe ortar a su gráfia en a lo sumo un punto. No es inyetiva No es inyetiva Es inyetiva Es inyetiva Funión suryetiva (o sobreyetiva) Una funión f ( x ) es suryetiva o sobreyetiva si todo elemento del odominio es la imagen de uno o más elementos del dominio. Es deir: Sea f : A B, f ( x ) es suryetiva si y B, x A tal que y = f ( x). Equivalentemente f ( x ) es suryetiva si Im( f ) = Codominio( f ) 16
-Si la funión admite una representaión mediante diagrama de flehas, la misma será suryetiva si a ada elemento del odominio le llega al menos una fleha. -En una representaión en un sistema de oordenadas artesianas, un riterio para deidir si la funión es suryetiva es el siguiente: Toda reta horizontal que orte al eje de las ordenadas en un punto de su odominio debe ortar a su gráfia en al menos un punto. No es suryetiva Si onsideramos : f A R, no es suryetiva Es suryetiva Si onsideramos f : A R + es suryetiva 0 Funión biyetiva Una funión f ( x ) es biyetiva si es inyetiva y suryetiva. Es deir que todo elemento del odominio es la imagen de uno y sólo un elemento del dominio. Se die también que hay una orrespondenia uno a uno, o que la orrespondenia es biunívoa. Si una funión f : A B es biyetiva, por la suryetividad todo elemento y B es la imagen ( y f ( x) y, por la inyetividad, ese = ) de algún x A 17
A es únio, es deir que todo y B tiene una únia preimagen elemento x x A que umple y = f ( x). Esto permite definir la funión : g y = x y = f x, esta g B A dada por ( ) ( ) funión g es la funión inversa de f y se la india on anterior: Una funión f tiene inversa sí y sólo si f es biyetiva. 1 f. Por la observaión Ejemplo 14 En las siguientes funiones estudiar si son o no inyetivas, suryetivas justifiando ada respuesta, y en aso de ser biyetiva hallar su inversa. a) Sea f : Z Z definida por f(x)=x+3. Inyetividad: Si a, b son enteros distintos, f(a)= a+3 y f(b)= b+3, si fuera a+3=b+3, entones a=b, lo que ontradie la hipótesis, entones debe ser f(a) f(b). A elementos distintos del dominio les orresponden imágenes distintas, luego f es inyetiva. Suryetividad: Sea m un entero ualquiera, m-3 también es entero y se umple que f(m-3)=m, es deir que todo elemento del odominio tiene una preimagen, por lo tanto f es suryetiva. Luego f es biyetiva y por esto tiene inversa. La inversa es f 1 : Z Z (x)=x-3. definida por f 1 b) Sea g: N N dada por g(x)=x+3 La inyetividad se prueba omo en el Ejemplo anterior. Esta funión g va de N en N, tomando el natural, se busa un natural n tal que g(n)=n+3=; el únio número que umple tal ondiión es -1 que no es un natural, luego no tiene preimagen por g, y g no es suryetiva, entones g no es biyetiva y por lo tanto no tiene inversa. En iertos asos, si y=f(x), para enontrar la funión inversa se despeja la variable x en funión de la variable y. Si el valor hallado está en el dominio se enuentra la funión inversa, ) Sea f : R R dada por f(x)=x-3 18
Inyetividad: Suponiendo que f(x)=f(z), o sea que x-3=z-3 x=z x=z, entones f es inyetiva. y + 3 Suryetividad: Esribiendo y= x-3 x =, para ualquier número real y y + 3 la expresión es un número real, pertenee al dominio, y y + 3 y + 3 f( )=. 3= y, es deir dado ualquier real y, se enuentra que y + 3 existe un número real x = tal que y =f( x ), o sea que todo número real tiene preimagen por esta funión, luego f es suryetiva. Por lo tanto f es biyetiva y tiene inversa que es f -1 (x) x + 3 =. d) Sea ahora f : N N definida por f(x)=x-3 Inyetividad: vale y se prueba igual que en el ejemplo anterior. Suryetividad: Se observa que la expresión usada en el ejemplo preedente y + 3 no es en general un número natural. La expresión da números naturales sólo uando y es un número impar, ya que el numerador queda par y por lo tanto divisible por dos. Esto sugiere onsiderar un par para probar que no es suryetiva. Se toma por ejemplo el natural 1, si tuviera preimagen, esta sería un natural n tal que f(n)=n-3=1 n=15 n= 15 que no es natural, entones 1 no tiene preimagen por f y eso es sufiiente para afirmar que no es suryetiva. En este aso f no es biyetiva y no tiene inversa. e) Sea f : R R dada por ( ) = 3. x + 5 f x Inyetividad: no es válida, porque - y ambos tiene la misma imagen f ( ) = f () = 17. Tampoo es suryetiva porque f ( x) = 3. x + 5 0 x R, ualquier real negativo, por ejemplo -1, no tiene preimagen, no existe ningún real x tal que f ( x) = 3. x + 5= 1, de lo ontrario sería x real y x =. Ejeriio 1 Estudiar si las siguientes funiones son o no inyetivas, son o no suryetivas, justifiando ada respuesta, y en aso de que sea biyetiva hallar su inversa. a) f : R R + dada por f x ( ) = 3. x + 5 19
b) f : Z Z dada por f(x)=x+5. ) g: N N dada por g(x)=x+5 d) f : R R dada por f(x)=3x+1 e) g : R R dada por g( x) = x 1. Bibliografía - L. Oubiña, Introduión a la Teoría de Conjuntos, Editorial EUDEBA, Argentina. - S. Lipshutz, Matemátia Finita, Serie de Compendios Shawm, Ed. M Graw- Hill, Méxio. 0