INTRODUCCIÓN. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 1 GEOMETRIA PLANA

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN He realizado este trabajo para tratar de ayudar de alguna manera a que se mejore y se vaya innovando el sistema eduativo, ya que en nuestra eduaión hay muhas defiienias, sobre todo en el área de la Geometría Plana donde las limitantes ténias y tenológias nos han onduido a resultados poo satisfatorios. La introduión de la informátia ha ambiado y mejorado nuestro sistema eduativo. lrededor de todo el mundo vemos un gran impato de la informátia en asi todas las atividades humanas, aunque en la eduaión reién se esta utilizando la informátia omo una herramienta base, espeialmente en la matemátia. El adelanto de un país se logra optimizando los niveles eduativos y en la alidad que estos posean, sobre todo en iertas áreas del onoimiento omo son las ienias exatas y en partiular la Geometría Plana. Los problemas y difiultades en el proeso de enseñanza aprendizaje de esta ienia radian en que debido a las araterístias propias de la materia, su omprensión depende prinipalmente de la reatividad, interés, gusto y sobre todo la ejeritaión que los alumnos hagan omo atividad prátia, pero ómo despertar en los alumnos tal interés? Es aquí donde los maestros tropezamos on barreras aparentemente difíiles de vener. La didátia es una disiplina pedagógia que investiga y elabora los prinipios más generales de la enseñanza, por lo tanto la metodología Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 1 GEOMETRI PLN

2 de la enseñanza de la omputaión estudia omo proeder en la transmisión y elaboraión del onoimiento omputaional y el desarrollo de las habilidades informátias. La introduión de la omputaión en el proeso doente eduativo es para ontribuir al perfeionamiento y optimizaión del sistema eduaional y dar respuesta a las neesidades de la soiedad en este ampo, ya que determina modifiaiones en las formas tradiionales de enseñar al ser la omputadora un eslabón entre el profesor y el estudiante. Por lo tanto en la formaión del profesor tiene un peso fundamental la utilizaión de la omputadora para elevar el nivel de aprendizaje de los estudiantes. Es responsabilidad del profesor planifiar ómo, uando y para que se utiliza la omputadora, es neesario que quede laro que se neesita de un serio trabajo para deidir omo utilizarla para que realmente umpla su papel a partir de las posibilidades que brinda y que se puede onstatar a través del huso eduativo. La misma que debe servir para ilustrar los ontenidos nuevos y para el desarrollo de las habilidades informátias. El eduador debe utilizar métodos nuevos que favorezan la reaión de relaiones adeuadas entre los onoimientos previos y los nuevos, es importante transformar el huso del omputador en el aula en una experienia de tipo signifiativa, en una herramienta mental que estimule el trabajo rítio y reativo que promueva la olaboraión para ompartir ideas y onstruir bases de onoimiento ompartido. Por lo expuesto anteriormente, he busado nuevas alternativas y he elaborado esta tesis, omo propuesta para los doentes que ejeren atualmente su profesión tanto omo para los futuros maestros. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza GEOMETRI PLN

3 Esta tesis queda omo alternativa no solo para los doentes si no también para los estudiantes y públio en general que tengan alguna relaión o afinidad on la Geometría Plana, para que on este trabajo refueren sus lases y onoimientos. Para que este software les ayude para profundizar y entender de la mejor manera, ya que este software nos ayudara para que las lases sean más interesantes y más dinámias. CPITULO 1 RECOMENDCIONES GENERLES PR MNEJR EL PRESENTE TRBJO El trabajo en sí omprende el texto guía, omplementado on un CD que ontiene las animaiones y demostraiones en donde la teoría se desarrolla detalladamente en el texto, de esta forma se logra onvertir a la animaión en un profesor virtual que omplementa el proeso de aprendizaje. El texto en sí onsta de ino apítulos plenamente definidos y on su respetivo titulo: CPITULO 1: Introduión y reomendaiones. CPITULO : Prinipales elementos de la Geometría Plana. CPITULO 3: Triángulos. CPITULO 4: Cuadriláteros. CPITULO 5: Prinipales Teoremas de Geometría Plana. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 3 GEOMETRI PLN

4 En el apitulo 1 enontramos las reomendaiones generales de la utilizaión de las animaiones. En el apitulo se detallan los prinipales elementos de la Geometría Plana. En el apitulo 3 enontramos todo lo referente a los diversos tipos de triángulos que existen. En el apitulo 4 tenemos las prinipales araterístias y los elementos de los uadriláteros. En el apitulo 5 se desarrollan los teoremas más básios y elementales de Geometría Plana. l revisar el texto y en algunos literales enontraremos los siguientes ionos: Estos nos indiaran que en el CD enontraremos la respetiva animaión en la forma que indiamos a ontinuaión: El literal orrespondiente tiene una animaión (onstruión de figuras). El literal orrespondiente tiene un pequeño video relaionado on el apitulo. El literal orrespondiente tiene una demostraión (Teorema). El literal orrespondiente tiene una demostraión de ejeriios resueltos. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 4 GEOMETRI PLN

5 RECOMENDCIONES GENERLES Se ha diseñado las animaiones de tal manera que el fondo negro orresponde para la onstruión de figuras omo nos india el iono y están diseñadas de forma que hay que dar un li iniial en el botón y la animaión llegara hasta el final de la presentaión si detenerse. Las demostraiones de teoremas y demostraiones de fórmulas tienen el fondo eleste y están diseñadas on pausa automátia para que el estudiante tenga la posibilidad de entender de la mejor manera y para ontinuar la presentaión solo tendrá que dar un li en el botón y la animaión avanzara hasta detenerse, abe realar que en este tipo de presentaiones la animaión se detendrá un numero determinados de vees hasta llegar al final de la presentaión. Tenemos el fondo verde para las demostraiones de ejeriios resueltos y están diseñadas de la misma manera que las demostraiones de teoremas es deir tienen pausa automátia. Todas las animaiones y demostraiones del CD fueron diseñadas en el programa MCROMEDI FLSH 8 y en el MCROMEDI FLSH 9. MCROMEDI FLSH es un programa pareido al POWER POINT on araterístias similares al momento de la presentaión on la únia diferenia que en el FLSH tenemos movimiento y además botones para retroeder, avanzar, haer pausa. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 5 GEOMETRI PLN

6 Se podría deir que FLSH es un POWER POINT avanzado y mejorado. demás es un programa nuevo, novedoso e interesante y es una poderosa herramienta dentro de la rama de diseño grafio, on este programa podemos dar movimiento a ariaturas, presentaiones de video, demostraiones de ejeriios, animaiones de textos, et. Y últimamente se lo esta utilizando en la eduaión partiularmente en la rama de la Matemátia, es de gran ayuda omo medio audiovisual y nos brinda una exelente alternativa y una gran oportunidad para apliar la tenología en el ampo eduativo. l ingresar el CD en un CPU este se abre solo llevándonos diretamente a la arátula del trabajo, para ontinuar damos un li en el botón ENTRR y nos vamos diretamente al menú en donde enontramos uatro apítulos ada uno detallado on su respetivo nombre y el video orrespondiente, si queremos ingresar a las animaiones de uno de los apítulos tendremos que dar un li en el nombre o si queremos apreiar el video damos un li en el botón VIDEO del apitulo que vamos a revisar y nos llevara diretamente a la eleión pedida. En todas las animaiones y demostraiones enontramos los siguientes botones: Estos botones se enuentran ubiados en la parte inferior de ada animaión. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 6 GEOMETRI PLN

7 l dar un Cli en el botón la animaión empezara a orrer. l dar un Cli en el botón la animaión se detendrá. l dar un Cli en el botón la animaión regresara al fotograma anterior. Cuando una animaión esta ompuesta por varias esenas enontramos los siguientes botones: l dar un Cli en el botón nos lleva diretamente a la esena anterior, este botón se enuentra en la parte inferior izquierda de la presentaión. l dar un Cli en el botón nos lleva diretamente a la siguiente esena, este botón se enuentra en a parte inferior dereha de la presentaión. l iniio de ada apitulo y a partir del CPITULO tenemos un pequeño video que hae referenia a algunos oneptos que enontramos en el texto y dentro de ada apitulo, para indiar que tenemos video utilizamos el siguiente iono. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 7 GEOMETRI PLN

8 CPITULO.- PRINCIPLES ELEMENTOS DE GEOMETRÍ PLN. Tenemos los elementos fundamentales on los que se empieza a estruturar la Geometría omo son: el punto, la línea, tipos de líneas, ángulos, operaiones on ángulos et. Desde este apitulo se empieza a desarrollar la geometría de una manera progresiva partiendo desde lo más elemental hasta lo ompliado. este apitulo le orresponden 19 presentaiones las uales están ordenadas en forma sistemátia en el CD que aompaña al texto. partir de este apitulo enontraremos al final de los mismos ejeriios resueltos y ejeriios propuestos para que el alumno se guíe, refresque los onoimientos y ponga en pratia todo lo aprendido. CPITULO 3.- TRINGULOS En este apitulo haemos un estudio muy detallado a todas las lases de triángulos que onoemos enontramos las araterístias, sus elementos, retas notables, perímetro, área, suma de los ángulos interiores y exteriores. En el CD para este apitulo enontramos 9 presentaiones y las tenemos debidamente numeradas y ordenadas. CPITULO 4.- CUDRILTEROS Continuando on el estudio de la Geometría Plana tenemos los uadriláteros sus araterístias, lases, elementos, semejanza e igualdad de uadriláteros. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 8 GEOMETRI PLN

9 En este apitulo y a manera de introduión de lo que será el apitulo 5 enontramos 5 teoremas numerados. este apitulo le orresponden 9 presentaiones las mismas que están guardadas en el CD que aompaña al texto. CPITULO 5.- TEOREMS BSICOS DE GEOMETRI PLN Para finalizar el estudio de la Geometría Plana llegamos al apitulo 5 aquí enontramos 4 teoremas básios ada uno on su respetiva demostraión y desarrollados en su totalidad y on todos los proedimientos neesarios para que el alumno pueda reeptar de la mejor manera los onoimientos impartidos. En el CD enontramos 9 presentaiones orrespondientes a este apitulo on su respetiva numeraión y su respetivo titulo de igual manera al texto. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 9 GEOMETRI PLN

10 Capitulo GEOMETRI PLN.1 DEFINICION.- Es la ienia que estudia las figuras planas desde el punto de vista de su forma, extensión y las relaiones que hay entre ellas. La Geometría Plana es la geometría de dos dimensiones..1.1 SÓLIDO GEOMETRICO.- Es una ombinaión de puntos, líneas y superfiies, formado bajo ondiiones determinadas, es un espaio limitado ualquiera. B C D E F G H. ELEMENTOS NO DEFINIDOS DE L GEOMETRÍ.- Se los llama así porque no existen en realidad y para su estudio se utilizan desripiones intuitivas para darles signifiado...1 EL PUNTO.- Es la élula, base e iniio de la Geometría. firmamos esto porque toda figura geométria esta formada por una adena infinita de puntos. Sin el punto las figuras geométrias no existirían. Se lo representa on una ligera mara. (. ). Siempre se lo designa on una letra mayúsula junto a El. (. R ).. LÍNE.- Es el resultado de unir dos o más puntos onseutivos. Es el límite de una superfiie. La línea posee una sola Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 10 GEOMETRI PLN

11 dimensión, longitud. Se la designa on dos letras mayúsulas en sus extremos o on una letra minúsula en su parte media...3 PLNOS.- Son las aras que limitan los sólidos. Careen de espesor. Un plano tiene solamente longitud y anhura. Se lo representa on una figura plana, se lo designa on una letra mayúsula en ada vértie. B C D..4 GENERCIÓN DE FIGURS GEOMETRICS.- a) Una línea se genera por el movimiento de un punto. B b) Una superfiie se genera al arrastrar (mover) una línea. B C C ` B` La línea B al ser arrastrada genera el D D La línea CD al ser arrastrada genera el Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 11 GEOMETRI PLN

12 ) Un sólido se genera por el movimiento de un plano o superfiie, a exepión de la prolongaión de diho plano. B C D B C D El plano BCD al ser arrastrado genera el sólido C C BDB C..3 FIGURS IGULES, SEMEJNTES Y EQUIVLENTES. a) FIGURS IGULES.- Dos o más figuras son iguales uando tienen igual forma e igual tamaño, es deir se las puede haer oinidir en todos sus puntos. Ejemplos: B C D,5 m,5 m B C C B b) FIGURS SEMEJNTES.- Dos o más figuras son semejantes uando tienen igual forma pero distinto tamaño. Ejemplos: E F B C D G H Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 1 GEOMETRI PLN

13 R B C S T D U ) FIGURS EQUIVLENTES.- Dos o más figuras son equivalentes uando tienen la misma área, pero distinta forma. Ejemplos: E F 4 u B 1 u u C D G u H En las figuras el retángulo y el uadrado tienen 4u de superfiie, tienen distinta forma pero igual magnitud, por lo tanto son equivalentes..4 CLSES DE LINES.- Para estudiar las lases de líneas itaremos las más utilizadas y por lo tanto más onoidas; líneas urvas, quebradas y mixtas. a) LINE CURV.- Es la línea que no tiene partes retas. Si los extremos de una urva oiniden esta se llama urva errada.. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 13 GEOMETRI PLN

14 b) LINE QUEBRD.- Es aquella que esta formada de dos o más segmentos de reta. C E G. B D F B E F C D ) LINE MIXT.- Es aquella que esta formada por segmentos retilíneos y urvilíneos. B C.5 RECTS, SEMIRRECTS Y SEGMENTOS DE RECT. a) LINE RECT.- Es toda línea que al oloarla de ualquier modo sobre otra, las dos oiniden en todos sus puntos. No tiene iniio ni fin. D X Y b) SEMIRRECT.- Es una parte de la línea reta y omprende un punto llamado origen y se dirige haia el infinito. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 14 GEOMETRI PLN

15 ) SEGMENTO DE RECT.- Es una pequeña parte de la línea reta y esta omprendida entre dos puntos. Una línea reta esta formada por infinitos segmentos de reta. B.6 OPERCIONES CON SEGMENTOS DE RECT..6.1 SUM DE DOS O MS SEGMENTOS DE RECT.- Tenemos los segmentos B, CD y EF. Para sumar estos segmentos dibujamos la semirreta OX, luego oloamos sobre la semirreta los segmentos anteriores de tal manera que el origen del primero aiga sobre O, luego el origen del segundo C oinida on B y finalmente el origen del terero E oinida on D. El segmento suma será F. B C D E F B + CD + EF F.6. REST O DIFERENCI DE DOS SEGMENTOS.- Para restar dos segmentos se debe tomar en uenta que el minuendo sea siempre mayor o igual al sustraendo, aso ontrario la resta no seria posible. Restar el segmento CD de B, dibujamos iniialmente la reta OX y sobre ella oloamos el segmento B de tal manera que el origen O Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 15 GEOMETRI PLN

16 oinida on, luego oloamos el segundo segmento CD de tal manera que B y D oinidan, entones el segmento diferenia será C. B CD B C D B CD.6.3 PRODUCTO DE UN ESCLR POR UN VECTOR.- Se dibuja una semirreta OX y a partir del origen O se dibujan tantos C segmentos B omo indique el esalar. B B n nb n 4. 7 POSICIONES RELTIVS ENTRE DOS RECTS. Dos retas pueden ser paralelas, perpendiulares, ortarse en un punto o oinidir..7.1 PRLELS.- Son las retas que están en un mismo plano y jamás se enuentran por más que se las prolongue y guardan siempre una misma distania entre sí. B E C D G F H Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 16 GEOMETRI PLN

17 .7. SECNTES.- Se las llama a las retas que se ortan en ualquier punto..7.3 PERPENDICULRES.- Son las retas que se ortan 0 formando ángulos adyaentes iguales de SUPERPUESTS.- Si dos retas tienen dos puntos omunes oinidirán una on otra en una sola reta. C B D.8 NGULOS. Es la abertura omprendida entre dos retas que se enuentran o dos retas que salen desde un mismo punto on distintas direiones. este punto de interseión se lo llama vértie. Para simplifiar la esritura remplazaremos la palabra ángulo por el símbolo. () Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 17 GEOMETRI PLN

18 Existen algunas maneras de nombrar un ángulo, las uales itamos a ontinuaión: a) Se puede nombrar on tres letras mayúsulas en orden suesivo, dejando siempre la letra orrespondiente al vértie en el entro. b) También se puede nombrar un ángulo on una letra mayúsula junto al vértie. En este aso es onveniente señalar la abertura on un semiírulo para indiar el ángulo que haemos referenia. < O < P ) Otra manera de nombrar un ángulo es ubiando una letra minúsula dentro de la india el ángulo al que haemos referenia. abertura y junto al semiírulo que < m < n Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 18 GEOMETRI PLN

19 .8.1 CLSES DE NGULOS.- Para nuestro estudio itaremos las más elementales omo son: a) NGULOS GUDOS.- Son aquellos que miden desde 0 hasta menos de o < X < 90 0 b) NGULOS RECTOS.- Son aquellos que miden 90. X ) NGULOS OBTUSOS.- Son aquellos que miden más de 90 0 hasta menos de < X < RELCIONES ENTRE DOS NGULOS. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 19 GEOMETRI PLN

20 La magnitud de un ángulo esta determinada por la abertura de sus lados y más no por la longitud de estos. Por su relaión los ángulos se lasifian en: ángulos iguales, ángulos adyaentes, ángulos omplementarios, ángulos suplementarios, ángulos onjugados y ángulos opuestos por el vértie..9.1 NGULOS IGULES.- Dos ángulos son iguales uando al superponer el uno enima del otro oiniden en el vértie y la abertura de sus lados. B < B < C.9. NGULOS DYCENTES.- Son aquellos que tienen el mismo vértie y un lado omún y siempre son exteriores el uno on el otro. Tienen un vértie y un lado omún. C.9.3 NGULOS COMPLEMENTRIOS.- Son dos ángulos 0 adyaentes que sumados miden 90. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 0 GEOMETRI PLN

21 < a + < b 90º < + < d 90º.9.4 NGULOS SUPLEMENTRIOS.- Son dos ángulos 0 adyaentes que sumados miden < r + < s < t + < u NGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE.- Se les llama así a aquellos ángulos que al prolongar sus lados en el vértie o interseión se generan al otro lado del vértie. Los ángulos opuestos por el vértie siempre son iguales. < a < b < r < s < < d < u < t.9.6 ÁNGULOS CONJUGDOS.- Son aquellos ángulos que sumados nos dan 360º. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 1 GEOMETRI PLN

22 < X + < Y 360º < R + < S 360º.10 OPERCIONES CON NGULOS Estudiaremos las más elementales omo son la suma y la resta. Para las operaiones entre ángulos debemos tomar en uenta el sentido del ángulo. Se le onsidera positivo a un ángulo uando gira o se abre en sentido ontrario a las maneillas del reloj (antihorario), y negativo uando el ángulo gira o se abre en el mismo sentido de las maneillas del reloj (horario). Se debe tomar en uenta que para poder realizar la suma o resta dos ángulos, estos deben ser siempre onseutivos SUM DE NGULOS.- Para la suma de dos o más ángulos se toma en uenta el lado iniial del primer ángulo y el lado final del segundo ángulo y se suma normalmente los dos o tres ángulos depende el número de ángulos que tengamos. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza GEOMETRI PLN

23 < OB + < BOC+ < COD+ < DOE < OE.10. DIFERENCI ENTRE DOS NGULOS.- Para la resta de dos ángulos se toma en uenta el ángulo que nos queda entre el lado iniial del primer ángulo y el lado iniial del segundo ángulo. < OC < BOC < < CO < BO < OB BOC.11 NGULOS FORMDOS POR UN TRNSVERSL X a b d B C e h f g D Y Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 3 GEOMETRI PLN

24 Si una seante XY orta a dos retas B y CD, los ángulos que impliados toman los siguientes nombres. Ángulos Internos: < a < d < f < g Ángulos Externos: < b < < h < e hora tomados por parejas dihos ángulos se los llama: lternos Internos. < d y < f lternos Externos. < b y < h < a y < g < y < e X b a d D B C e f g h Y también se los onoe tomados de dos en dos omo: Ángulos Correspondientes: < b < < e < h y y y y < f < g < a < d.1 MEDID DE UN NGULO La unidad de medida es el grado, que es equivalente a 60 minutos; y el minuto es equivalente a 60 segundos. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 4 GEOMETRI PLN

25 l grado se lo representa on un pequeño írulo en la parte superior dereha del número. El grado es una magnitud esalar. l minuto se lo representa on una omilla y al segundo on dos omillas esritas en la parte superior dereha del número. Cabe realar que estas unidades perteneen al sistema sexagesimal. ontinuaión tenemos unos ejemplos de esritura y letura de antidades que ontengan los anteriormente indiados. 5 º 07'3'' Veinte y ino grados, siete minutos, treinta y dos segundos. 43 º 7'15'' Cuarenta y tres grados, veinte y siete minutos, quine segundos. segundos. 1 º 03' '' Doe grados, tres minutos, veinte y dos En la Geometría Plana las igualdades y desigualdades tienen una gran utilidad, por esa manera a ontinuaión itaremos algunas de las prinipales propiedades de estas..13 PROPIEDDES DE LS IGULDDES.13.1 Si a antidades iguales se suman o se restan antidades iguales los resultados son iguales. x x y y x + b x + b y a y - a x + x + y 5 y Si a antidades iguales se multiplian a se dividen por antidades iguales, los resultados son iguales. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 5 GEOMETRI PLN

26 x x y y x a x a y/b y/b x 3 x 3 y/5 y/5 3x 3x.13.3 Si a antidades iguales se eleva a una misma potenia o se extrae una misma raíz los resultados son iguales. x x x x x x n 3 x x n 3 n x n x 7 7 x x.14 PROPIEDDES DE LS DESIGULDDES.14.1 Si en los dos miembros de una desigualdad se realiza una misma operaión on iguales números positivos, el sentido de la desigualdad no varia. a > b a < b a + > b + a < b - a + 5 > b + 5 a -7 < b 7 x > y x < y x a > y a x/a < y/a x 5 > y 5 x/3 < y/3 5x > 5y.14. Si se suman dos desigualdades de un mismo sentido, los resultados son desiguales en el mismo sentido. a > b a < b + > d + < d a + > b + d a + < b + d Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 6 GEOMETRI PLN

27 .14.3 Si los dos miembros de una desigualdad se restan de una igualdad los resultados son desiguales en sentido ontrario al de la desigualdad dada. a a x x b > b < a - b < a - x - b > x Si los dos miembros de una desigualdad se multiplian o se dividen por un número negativo, los resultados son desiguales en sentido ontrario al de la desigualdad dada. a > b a < b a(-) < b(-) a / (-) > b / (-) - a < - b - a / > - b /.15 SEGMENTOS PROPORCIONLES Para estudiar los segmentos proporionales utilizaremos las siguientes definiiones omo son: la razón, proporión, términos, representaión y la proporión ontinua RZON DE DOS SEGMENTOS.- Es el oiente de sus medidas en relaión a una misma unidad. Ejemplos: B 1) B 15 m CD 5 m C D R B CD 15m 5m 3 1 C D 3 B C D Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 7 GEOMETRI PLN

28 ) OP 16 u QR 4 u O Q R P O Q R P Q R Q R OP 16 u R 4 QR 4 u En el primer ejemplo la razón es 3, y en el segundo ejemplo la razón es 4. Cabe realar que la razón aree de unidad, es siempre solo una magnitud. Se la puede entender a la razón omo el número de vees que ontiene el numerador al denominador..15. SEGMENTOS PROPORCIONLES.- Dos segmentos retilíneos son proporionales a otros dos uando lo son sus valores numérios. B 4m y CD 6m 4m B C 6m D EF 8m y GH 1m E 8m F G 1m H Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 8 GEOMETRI PLN

29 Con estos uatro segmentos se puede armar la siguiente proporión. B CD 4 6 EF GH : 6 :: 8 : 1.16 TEOREM FUNDMENTL DE L PROPORCIONLIDD EN LOS TRINGULOS. Si una reta paralela a un lado de un triángulo intersea en puntos distintos a los otros dos lados, entones determina sobre esos segmentos que son proporionales a dihos lados. En el BC. BC Entones tenemos que:, sean D y E puntos de B y C tales que DE O también: B D B BD C E C EC D E B C.16.1 REPRESENTCION.- Una proporión se puede esribir de algunas maneras y para nuestro estudio itaremos las mas onoidas y mas utilizadas. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 9 GEOMETRI PLN

30 Ejemplos: B a F d e C b E f D 1) a d e Se lee a sobre d es igual a sobre e. 1) a : d : : : e a : d : e Para estos dos asos se lee a es a d omo es a e. ) B RS BC ST b R t s B a C S r T t a r o también. : t : : a : r E 3) EG OQ EF OP F O P G H Q R EG : OQ : : EF : OP Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 30 GEOMETRI PLN

31 .16. TERMINOS.- Se les llama a todos los números o antidades que intervienen en la proporión sin importar el orden y lugar que oupen. Dihos términos tienen nombres espeífios omo lo indiamos a ontinuaión. anteedentes a : b : : : d onseuentes medios a : b : : extremos : d.16.3 PROPORCION CONTINU.- Es aquella en la que los medios son iguales, es deir tienen el mismo valor. a : b : : b : x : y : : y : z Para resolver una proporión se aplian algunas propiedades y operaiones fundamentales del álgebra. Ejemplo: a : b : : : d Enontrar el valor de a en la proporión anterior siendo b, y d ualquier número natural que satisfaga las ondiiones de la proporión dada. a b Utilizando despeje de formulas, despejamos la a. Tenemos a b dividiendo, pasara al segundo miembro multipliando. a d b d Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 31 GEOMETRI PLN

32 Entones nos quedara la respuesta pedida iniialmente. En toda proporión siempre el produto de los medios es igual al produto de los extremos. ontinuaión indiamos algunos ejeriios resueltos razones y proporiones. 1) r s t u sobre r : s : : t : u r. u s. t ) a b d a : b : : : d a. d b..17 EJERCICIOS RESUELTOS 1) Enontrar el valor de X en la siguiente proporión. 5 : X : : 10 : X X X X X X X X X 4 Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 3 GEOMETRI PLN

33 ) Enontrar el valor de a en la siguiente proporión. a : :: 6 : 4 a 6 4 a a 6. 1 a 4 6. a a a 4 a 3 ) Cuánto mide el árbol de mayor tamaño si el de menor tamaño mide 8 m? 3 m 1 m Para resolver este ejeriio utilizamos proporiones, tenemos dos triángulos retángulos de los uales separándolos tenemos: Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 33 GEOMETRI PLN

34 x B 8 m C 15 m S 1 m T R Entones para alular la altura del árbol grande tendremos: x x x X 10 m 1 El árbol grande tiene una altura de 10 m. 4) Enontrar la altura y del retángulo pequeño utilizado la proporionalidad. B 1 m E F y C G D 9 m 15 m C EG CD 1 15 GD y y y y 7, 15 m 5) Hallar dos ángulos omplementarios tales que su diferenia sea 18º. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 34 GEOMETRI PLN

35 La diferenia de los dos ángulos debe ser 18º. Y la suma de los dos ángulos tiene que ser 90º por la definiión de ángulos omplementarios. Por lo tanto tendremos: X + Y X Y X 90º 18º 108º X X º Reemplazando este valor en la primera euaión tenemos: 54 + Y 90 Y Y 36º 6) En el siguiente gráfio el ángulo BOC es 5 1 BOD. Hallar las medidas de los uatro ángulos. del ángulo Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 35 GEOMETRI PLN

36 < BOD < OC < BOC < OD Son ángulos opuestos por el vértie. < BOD < BOC X 1 5 X < BOD + < BOC 180º Reemplazando por sus valores tendremos: X 1 + X 5 180º 5X + 5 X 180 6X X X X X 150º El ángulo BOD 150º, entones el ángulo OC 150º Luego tenemos que el < BOC < OD X < BOC < OD 30º Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 36 GEOMETRI PLN

37 .18 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Si el omplemento del ángulo X es 5X. Hallar el valor de dos los ángulos? ) Hallar dos ángulos omplementarios tales que su diferenia sea 4º. 3) Hallar dos ángulos suplementarios tales que el uno sea 5º mayor que el otro. 4) Dos ángulos son omplementarios y el uno es 5 3 del otro. Hallar sus valores. 5) Dos ángulos son suplementarios y el uno es seis vees el otro. Calular sus valores. 6) En la siguiente figura el ángulo ROP 3º, hallar el valor de los ángulos ROQ, QOS y POS. 7) Si el ángulo ROP de la figura anterior es 1 4 del ángulo ROQ. Cuántos grados tiene ada uno de los uatro ángulos?. 7) Cuánto tiene de altura el edifiio de menor tamaño si el mayor tiene de altura 80 m? Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 37 GEOMETRI PLN

38 10 m 80 m Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 38 GEOMETRI PLN

39 CPITULO 3 TRINGULOS Triangulo es el polígono de menor número de lados. Como su nombre lo india esta formado por tres lados. 3.1 CLSIFICCIÓN DE LOS TRINGULOS SEGÚN LOS LDOS.- Se lasifian en: a) ESCLENO.- Cuando sus tres lados tienen distinta magnitud. (todos sus lados desiguales) b) ISOSCELES.- Cuando dos de sus lados tienen igual magnitud. (dos lados iguales) OQ PQ XZ XY ) EQUILTERO.- Cuando sus tres lados tienen igual magnitud. ( tres lados iguales) Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 39 GEOMETRI PLN

40 CD CE DE 3. CLSIFICCIÓN DE LOS TRINGULOS POR LOS NGULOS.- Tomando en uenta sus ángulos los triángulos se lasifian en: a) RECTNGULO.- Cuando tiene un ángulo reto. (ángulo de 0 90 ) b) OBTUSNGULO.- Cuando tiene un ángulo obtuso. (ángulo mayor de 0 90 ) ) CUTNGULO.- Cuando sus tres ángulos son agudos. (Todos 0 sus ángulos internos miden individualmente menos de 90 ) d) OBLICUNGULO.- Se le llama así a ualquier triángulo que 0 no tenga un ángulo de 90. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 40 GEOMETRI PLN

41 e) EQUINGULO.- Cuando tiene sus tres ángulos internos iguales. < < B < C 3.3 PRTES HOMOLOGS.- Son partes homólogas en dos figuras iguales o de la misma forma las que están semejantemente dispuestas en las dos figuras. 3.4 CONGRUENCI.- Dos figuras son ongruentes uando se las puede haer oinidir en todas sus partes, es deir son figuras iguales. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 41 GEOMETRI PLN

42 En algunos asos para omitir la palabra triángulo en las demostraiones o ejeriios se utilizara un pequeño triángulo al lado izquierdo y junto a las letras que orrespondan. Triángulo BC BC B C X Triángulo XYZ XYZ Y Z 3.5 RECTS NOTBLES DE UN TRINGULO Las retas más utilizadas y onoidas en ualquier triángulo son: base, altura, mediana, mediatriz y bisetriz BSE.- Es ualquiera de sus lados, por omodidad se nombra al lado inferior del triángulo, el lado en el que desansa el triángulo LTUR.- Es el segmento perpendiular trazado desde un vértie del triángulo al lado opuesto o a su prolongaión Las tres alturas de un triangulo se intersean (ortan) en un punto llamado Ortoentro. D B BSE C E BSE F Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 4 GEOMETRI PLN

43 X R altura O (Ortoentro) Y Z S T Para el aso de los triángulos obtusángulos el Ortoentro ( O ) queda fuera del triángulo. O Ortoentro B MEDIN.- Es el segmento que une el punto medio de un lado del triángulo on el vértie opuesto Las tres medianas de un triángulo se ortan en un punto llamado barientro el mismo que es el entro de gravedad del triangulo y esta ubiado a 3 de ada uno de los vérties del triángulo. C Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 43 GEOMETRI PLN

44 X Mediana Y B Mediana C Z R S B (Barientro) T E B D (Barientro) F 3.6 MEDITRIZ.- Es la reta perpendiular trazada desde el punto medio de ada lado de un triángulo Las tres mediatries de un triángulo se ortan en un punto llamado Cirunentro ( C ) equidista de los tres vérties es el entro de la irunferenia que irunsribe al triángulo. X Z Mediatriz Y T R Mediatriz S E H C (Cirunentro) F G I J C (Cirunentro) Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 44 GEOMETRI PLN

45 3.7 BISECTRIZ.- Es el segmento de reta que parte desde un vértie y divide al ángulo impliado en dos ángulos adyaentes iguales. Las tres bisetries de un triángulo se ortan en un punto llamado Inentro ( I ), equidista de los tres lados del triángulo. E Bisetriz F G V U Bisetriz W I (Inentro) R B C I (Inentro) S T 3.8 FORMULS PR EL CÁLCULO DE NGULOS, LDOS, PERIMETROS Y RES NGULO EXTERNO.- Es aquel que esta formado por un lado y la prolongaión de otro. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 45 GEOMETRI PLN

46 En la fig. 1 el ángulo externo es el externo es el < y. < x; en la fig. el ángulo 3.8. SUM DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN TRINGULO.- En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a dos retos (180º). < + < B + < C 180º < R + < S + < T 180º SUM DE LOS NGULOS EXTERIORES DE UN TRINGULO.- En todo triángulo se umple, la suma de sus ángulos exteriores es uatro retos (360º). < x + < y + < z 360 º < r + < s + < t 360 º PERIMETRO.- Es igual a la suma de las longitudes de los tres lados, los tres lados deben tener la misma unidad de medida. Ejemplos: Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 46 GEOMETRI PLN

47 B + C + BC P B C E P EF + EG + FG 9 m 1 m F 13 m G P P 9m + 1m + 13m 34m 3.9 RE DE UN TRINGULO.- De auerdo a la utilidad y neesidad hay dos formas onoidas para enontrar el área de ualquier tipo de triángulo. a) El área de un triángulo es igual a la mitad del produto de la base multipliado por la altura. En otras palabras es igual a la multipliaión de la base por la altura, este resultado lo dividimos para dos. ltura h b.h Base b La demostraión de la formula la tenemos a ontinuaión: D C a b B Tenemos el triángulo BC en el ual b base y a altura. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 47 GEOMETRI PLN

48 Trazamos dos paralelas una al lado B y que pase por el punto C, y la otra paralela al lado BC y que pase por. Entones tenemos que BDC es un paralelogramo en el ual tenemos que : b x a Em la figura anterior tenemos que: BC DC BC + DC BCD paralelog ramo. b x a BC + DC b x a Entones tendremos: BC b x a Reemplazando por su igual. BC b x a Que es la formula para enontrar el área de ualquier triángulo en el ual se onoza la base y la altura. E 7,5 m F 13,5 m G 13,5mx7,5m 101,5m 50,65m b) Otra formula onoida para hallar el área de un triángulo es la siguiente. esta formula también se le onoe ono Teorema de Heron. s( s a)( s b)( s ) El área de un triángulo es igual a la raíz uadrada del produto del semiperímetro multipliado por tres fatores, ada uno de los uales es la diferenia entre el semiperímetro y uno de sus lados. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 48 GEOMETRI PLN

49 (La demostraión de esta formula la tenemos más adelante. Teorema 9) TEOREM DE PITGORS Dentro de las formulas mas importantes y más onoidas se enuentra el famoso Teorema de Pitágoras; se la utiliza para la resoluión de triángulos retángulos ya que esta nos ayuda a enontrar la hipotenusa o alguno de los atetos desonoidos. a b + En todo triángulo retángulo se umple: La hipotenusa elevada al uadrado es igual a la suma de ada uno de los atetos elevados al uadrado. B b C a a b + a + b b Para halla la hipotenusa a. a Para halla el ateto b. a b Para hallar el ateto. DEMOSTRCIÓN: Tenemos el triángulo retángulo BC en el ual: < C 90º; CD h (altura); B es la base del triángulo. Entones tendremos tres triángulos semejantes BC DC BCD, omo se ve en las siguientes figuras. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 49 GEOMETRI PLN

50 1) ) b a b D fig. a y fig. b a DB fig. a y fig. 3) b D 4) a BD Despejando b de la proporión 1). Despejando a de la proporión ). Sumando 3) y 4) tenemos: a + b ( D + BD) Luego a b + D + BD Entones tendremos: a + b Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 50 GEOMETRI PLN

51 3.11 EJERCICIOS RESUELTOS. 1) El área de un triángulo equilátero es 00 m y su altura es 15 m. Calular el perímetro. Como es un triángulo equilátero tendremos sus tres lados iguales: B BC C Para este ejeriio onoemos el área 00 m y la altura 15 m, tenemos que enontrar la base C, entones apliando la formula del área de un triángulo tendremos: B x h 00 m 00 m C x 15m C x 15 m 00m 15m C 400m 15 m C 6, 666 m C Entones B BC C 6,666 m pliando la formula del perímetro tendremos: Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 51 GEOMETRI PLN

52 P B + BC + C P 6, 666 m + 6, 666m + 6, 666m P 79,998 m 80 m ) Las longitudes de los lados de un triángulo RST son: r 1 m, s 14m y t 11 m. Calular el perímetro y el área del triángulo. P RS + ST + RT P 11 m + 1 m + 14 m P 37 m Para alular el área utilizamos la formula siguiente: s ( s a )( s b )( s ) La letra s representa el semiperímetro de un triángulo, la ual viene de dividir el perímetro P para. s Para nuestro ejemplo y para evitar onfusiones al semiperímetro lo representaremos on la letra z. Entones tendremos: P 37 m z z z m P Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 5 GEOMETRI PLN

53 z ( z r )( z s )( z t ) 18.5(18.5 1)( )( ) 18.5(6.5)(4.5)(7.5) ,7 m 3) En un triángulo BC, el < 98º y el <C 43º. Calular el valor del <B y además estableer la lase a la ual pertenee según sus lados y ángulos. < + < B + < C 180º Ángulos interiores de un triángulo. 98 º + < B + 43º 180º Reemplazando valores onoidos. < B 180º 98º 43º < B 180 º 141º < B Es un triángulo Obtusángulo porque tiene un ángulo Obtuso y a la vez es un triángulo obliuángulo porque ninguno de sus ángulos es reto. 4) Las longitudes de los lados de un triángulo son: a 18 m, b 0 m y 19 m. Calule la longitud de la altura orrespondiente al lado C. 39º Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 53 GEOMETRI PLN

54 Para enontrar la altura el triángulo BC, tenemos que busar iniialmente el Perímetro, luego enontramos el área utilizando la formula del semiperimetro y la remplazamos en la formula más elemental del área de un triángulo. P B + BC + C P 19 m + 18 m + 0 m P 57 m Semiperimetro P s 57 s 8. 5 m s ( s a )( s b )( s ) 8.5(8.5 18)(8.5 0)(8.5 19) 8.5(10.5)(8.5)(9.5) m hora utilizamos la formula onoidos. b h y reemplazamos los datos Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 54 GEOMETRI PLN

55 m 0 m h m 0 m h h m 3.1 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Las longitudes de los lados de un triángulo DEF son: d 18 m, e 0 m y f 17 m. Calular el perímetro y el área. ) El área de un triángulo equilátero es 180 m y su altura 9,5 m. Calular el perímetro. 3) Un triángulo tiene de área 30 m y su base mide 15 m. Calular la longitud de la altura. 4) En un triángulo BC tenemos los siguientes datos: < 57º y < B 5º. Calular el valor del < C y además estableer la lase a la ual pertenee según sus ángulos y lados. 5) En un triángulo isóseles el ángulo omprendido entre los dos lados iguales mide 4º1 3. Calular los valores orrespondientes de los otros ángulos. 6) Las longitudes de los lados de un triángulo XYZ son: x 0 m, y m y z 18 m. Calular la longitud de la altura orrespondiente al lado XZ. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 55 GEOMETRI PLN

56 CPITULO 4 CUDRILTEROS Un uadrilátero es un polígono errado formado por uatro retas, a las uales se las llama lados del uadrilátero. 4.1 ELEMENTOS DE LOS CUDRILTEROS Los elementos que forman un uadrilátero son: uatro lados, uatro vérties y uatro ángulos. un uadrilátero se lo define oloando uatro letras mayúsulas onseutivas junto a ada uno de sus vérties. D C En este uadrilátero tenemos los lados: B, BC, DC y D. Tenemos los uatro ángulos < BD, < DC, < DCB y < CB. Y además los uatro vérties:, B, C y D. B 4. CLSIFICCION DE LOS CUDRILTEROS. De auerdo al paralelismo de sus lados los uadriláteros pueden ser: Trapeios, trapezoides y paralelogramos. a) TRPECIO.- Es un uadrilátero que tiene dos lados paralelos. (bases paralelas) Tiene dos lados paralelos que se les llama bases, a la de mayor longitud se le llama base mayor y la de menor longitud se la llama base menor. C D B Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 56 GEOMETRI PLN

57 b) TRPEZOIDE.- Es el uadrilátero que no tiene una pareja de lados paralelos. Cuando una de sus diagonales es mediatriz de la otra, el trapezoide se llama simétrio. C B D ) PRLELOGRMO.- Es el que tiene dos lados opuestos paralelos de dos en dos. B C D B CD y C BD 4.3 RECTS NOTBLES DE LOS CUDRILTEROS a) BSE.- Es el lado en el que se asienta (desansa) la figura. En el trapeio los dos lados paralelos se llaman bases. En el paralelogramo dos lados opuestos ualesquiera se llaman bases. b) LTUR.- Es la longitud de la perpendiular trazada desde una base a la otra generalmente se la designa on la letra h. ) DIGONL.- Es toda reta que une dos vérties no onseutivos de un uadrilátero generalmente se la designa on la letra d. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 57 GEOMETRI PLN

58 C D R S h h d d T B U 4.4 PROPIEDDES DE LOS PRLELOGRMOS 1) Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos. B C D B CD B CD C BD C BD ) Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. < C < B y < < D 3) Dos ángulos onseutivos de un paralelogramo son suplementarios. < R + < S 180º < T + < U 180º Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 58 GEOMETRI PLN

59 4) Las diagonales de un paralelogramo se bisetan (dividen) mutuamente. O P M Q R O M M R y P M M Q 5) Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales. D E F G DEF FEG 4.5 CUDRILTEROS ESPECILES Se les llama paralelogramos espeiales a los retángulos, rombos y uadrados porque estos tienen araterístias similares y además son las formas que más enontramos en los diseños hehos por el hombre. a) RECTNGULO.- Tiene sus uatro ángulos iguales (uatro ángulos retos), y tiene sus lados iguales y paralelos de dos en dos. R S T U < R < S < T < U 0 90 Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 59 GEOMETRI PLN

60 R S y a T U R T y a S U b) ROMBO.- Es un uadrilátero que tiene sus uatro lados iguales y sus ángulos opuestos iguales. B C D C CD BD B < < D y < B < C ) CUDRDO.- Es un paralelogramo que tiene sus uatro lados 0 iguales y sus uatro ángulos iguales (ángulos de 90 ). < E < F < G < H EF FH GH EG CUDRILTEROS SEMEJNTES Se les llama uadriláteros semejantes a aquellos que tienen la misma forma pero distinto tamaño. 4 m B m E F 3 m 3 m 1 m 1 m C 4 m D G m H Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 60 GEOMETRI PLN

61 Para la expliaión itaremos un teorema en el ual tenemos la demostraión de la semejanza. TEOREM 1.- Dos retángulos son entre sí omo los produtos de las bases por sus respetivas alturas. a R a R a S b b b Tenemos omo ondiión iniial R y R uadriláteros uyas bases son b y b Demostrar que: R ' R y las alturas a y a. ab a' b' Para la demostraión onstruimos el retángulo S de base b y altura a. Luego tenemos que hallar las razones entre las bases, alturas y áreas de los tres retángulos. R S a a' Dos retángulos de una misma base son entre sí omo sus S R b b' Dos retángulos de una misma altura son entre sí RS SR' ab a' b' Multipliando miembro a miembro las dos igualdades. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 61 GEOMETRI PLN

62 Entones tendremos: R l. q. q. d R' ab a' b' 4.7 RES DE LOS CUDRILTEROS TEOREM.- El área de un retángulo es igual al produto de la base por la altura. 1 a R U b 1 Tenemos un retángulo de base b y altura a ; U la unidad de superfiie de base 1 y altura 1. Demostrar: TEOREM 3.- R U a.b 1 1 R a R a b l. q. q. d produto de la base por la altura. b El área de un paralelogramo es igual al Y D X C Dos retángulos son entre sí omo los produtos de las bases por las alturas. S a b B Tenemos el paralelogramo BCD de base b y altura a. Demostrar que S b x a Para la demostraión desde B trazamos BX CD. Y desde trazamos Y CD. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 6 GEOMETRI PLN

63 Tenemos que el DY BCX Si Y BX y D BC. paralelogramo. Lados opuestos de un < X 0 Y < 90 BX CD y Y CD. Por onstruión. DY BCX Dos triángulos retángulos son iguales uando tienen iguales la hipotenusa y un ateto. Si al uadrilátero BCY le restamos el Triángulo BCX tenemos el uadrilátero BXY. Como el paso anterior al uadrilátero BCY le restamos el triángulo DY nos queda el uadrilátero BCD. Entones tenemos: Si a antidades iguales se BXY BCD restan antidades iguales los resultados son iguales. Entones onluimos: BCD a.b l. q. q. d TEOREM 4.- El área de un trapeio es igual al produto de la semisuma de las bases por la altura. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 63 GEOMETRI PLN

64 En la figura tenemos que BCD es un trapeio, b1 y b son las bases y h la altura orrespondiente. Demostrar: ( b1 + b) h Entones trazamos C y se divide BCD en dos triángulos, BC y CD. Para la demostraión tenemos que: BCD BC + CD BC b h b1 y CD h b1 h b h BCD +. BCD ( b1 + b) h l. q. q. d TEOREM 5.- El área del rombo es igual al semiproduto de las diagonales. BCD es un rombo en el que d1 y d son sus diagonales. Demostrar: d1 d Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 64 GEOMETRI PLN

65 Luego de trazar las diagonales observamos que tenemos dos triángulos iguales en los uales tienen omúnmente la basa d1 y la altura BCD d. BC + CD El todo es igual a la suma de sus partes. BC d d1 CD d d1. BCD d d1 + d d1 d 1 d. BCD l. q. q. d 4.8 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Sea EFGH un trapeio, hallar el valor de X y Y. Tenemos que EF HG. 3 x + ( x ) 180º Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 65 GEOMETRI PLN

66 3 x + x 180º 4 x 180º 4 x 178 x x 44, 5 Entones el ángulo H 3 x 3 ( 44, 5) 133, 5º y el ángulo E x - 44, 5-4, 5º. Luego tenemos: y º y y 135 y, 5 Entones el ángulo G será: G y (, 5) 45º.- Tenemos que BCD es un trapeio Isóseles. Calular el valor de x e y. B Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 66 GEOMETRI PLN

67 3 x ( 5 x 5 ) 5 5 x 3 x 5 x x 5 x 1, 5 3 x y B 5 x 5 4 ( 1, 5 ) B 5 ( 1, 5 ) 5 50º B 47, 5º Tenemos que DC B por lo tanto: 3 y + (5 x 5) 180º 3 y + 47, 5 180º y 180º 3 47, 5º y 44, 16º Tenemos que el ángulo D ángulo C. Por lo tanto tendremos: D C 3 y D C 3 ( 44, 16 ) D C 13, 48º 3.- Sea BCD un paralelogramo, alular el valor de x e y, si el perímetro es igual a 60 m. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 67 GEOMETRI PLN

68 Suponemos que DC B 5 x y D BC x ( x + 5 x ) x 60 x x 4, 8 3 y 5 x 3 y 5 ( 4, 8 ) 3 y 1, 40 y 1, y 7, Calular el valor de x e y en el siguiente paralelogramo. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 68 GEOMETRI PLN

69 Tenemos que las diagonales C y BD se bisetan: OD OB O OC Reemplazando tendremos: x 3 y ( 1 ) x y 1 ( ) Despejamos x de la euaión ( 1 ) y luego reemplazamos en la euaión ( ). x 3 y 3 y y 1 3 y y 1 y 1 y 4 Reemplazamos este valor de y en la euaión ( ) y obtenemos: x 4 1 x Tenemos el retángulo RSTU, en el ual M el punto medio del lado RS. Demostrar que: TM UM Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 69 GEOMETRI PLN

70 Como datos iniiales tenemos que RSTU es un retángulo, además RM MS, M punto medio de RS. Suponemos que el MRT MUS RM MS Condiión iniial. < R < S Ángulos retos RT US Lados opuestos del retángulo Entones podemos afirmar MRT MUS Dos triángulos retángulos son iguales uando tienen iguales respetivamente sus dos atetos. Por lo tanto: RM MS Lados homólogos. 6.- BCD es un rombo, alule el valor de x e y para ada uno de los elementos. Tenemos que BC Reemplazando tendremos: B y CD BC Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 70 GEOMETRI PLN

71 y 6 5y 0 5y y 0 6 4y 14 y 3, 5 x8 y6 x8 3,56 x 8,5 x 5,5 7.- Tenemos el retángulo BCD, en el ual E punto medio de BC. Demostrar: E ED Para la demostraión hay que demostrar primero: EB CDE BCD es un retángulo. E es el punto medio de BC. Condiión iniial. Condiión iniial. BE EC Un punto medio divide una línea en dos partes ongruentes. < B < C Un retángulo tiene todos sus ángulos iguales. B CD Lados opuestos de un paralelogramo son ongruentes EB CDE Dos triángulos retángulos son iguales si tienen iguales respetivamente los dos atetos. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 71 GEOMETRI PLN

72 Entones podemos onluir: E ED Partes orrespondientes de triángulos ongruentes son ongruentes. 8.- Demostrar que la diagonal de un rombo biseta ada uno de los ángulos por los que pasa. Condiiones iniiales: BCD es un rombo en el ual C es su diagonal. Demostrar: C biseta al < y al < C. Para llegar a la demostraión pedida, hay que empezar demostrando la ongruenia entre los ángulos: 1) < 1 y < < 3 ) < 3 y < 4 < 1 BCD es un rombo. Condiión iniial. B BC Todo rombo es equilátero. < 1 < 3 En un triángulo, < s opuestos a lados ongruentes son ongruentes. BC // D y B // CD Lados opuestos de un rombo son paralelos. < < 3 y < 1 < 4 s ongruentes alternos internos de líneas // son Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 7 GEOMETRI PLN

73 < 1 < y < 3 < 4 s ongruentes on un mismo ángulo son ongruentes entre sí. Entones podemos afirmar: C biseta al < y al < C. Dividir en dos partes ongruentes es bisetar. 4.9 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- BCD es un trapeio. Calular los valores de x e y que onstan en sus ángulos..- Calular los valores de x e y en el paralelogramo de la figura y para ada uno de los siguientes asos. a) D 5 x; B x; CD y; perímetro 84 m. b) < 4 y 60; < C y; < D x Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 73 GEOMETRI PLN

74 3.- Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son iguales, se trata de un retángulo. 4.- Demostrar que las diagonales de un rombo lo dividen en uatro triángulos ongruentes. 5.- Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un uadrado, se forma otro uadrado. 6.- BCD es un retángulo uyo perímetro mide 80 m y su base es igual al triple de la altura. Calular su área. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 74 GEOMETRI PLN

75 7.- En un retángulo el área mide 10 m y se onoe que su base es el uadruplo de la altura. Calular las dimensiones de la base y de la altura. 8.- Si la diagonal de un uadrado mide 6 3. Calular su área. 9.- Si BCD es un paralelogramo en el que su base mide 15 m. y su área mide 30 m. Calular el valor de la altura BCD es un paralelogramo en el que la altura es igual al doble de la base y su área mide 10 m. Calular las dimensiones de la base y de la altura 11.- Hallar el valor del área de un rombo EFGH si su lado mide 0 m. y su diagonal menor 1 m. 1.- Calular el perímetro de un rombo si su área mide 180 m y su diagonal menor 6 m Calular la longitud de las dos diagonales de un rombo uya área es de 0 m y si se onoe que la diagonal menor es la mitad de la diagonal mayor Calular el área de un trapeio isóseles BCD, si su base menor mide 40 m, su base mayor 50 m. y sus lados iguales 10 m Calular el área de un trapeio retángulo si sus dos bases miden 0 m y 6 m, y el lado obliuo 18 m Supóngase que BCD es un paralelogramo, alular x e y si: (a) D 5x, B x, CD y, perímetro 84 m. (b) < 3x, < B 10x 15, < C y. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 75 GEOMETRI PLN

76 17.- BCD es un paralelogramo, alular x e y para los siguientes asos: (a) E x + y, EC 0, BE x - y, ED 8. (b) E x + y, C 30, BE x + y, BD En la siguiente figura BCD es un rombo, alular x e y para los siguientes asos. (a) BC 35, CD 8x 5, BD 5y, < C 60º. (b) B x + y, D x y, BC Si MP es la mediana del trapezoide BCD alular: (a) m si b 3 y b 15. (b) b si b 51 y m 5. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 76 GEOMETRI PLN

77 Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 77 GEOMETRI PLN

78 CPITULO 5 TEOREMS BSICOS DE GEOMETRI 5.1 CRITERIOS DE IGULDD. TEOREMS Dos triángulos ualesquiera son iguales uando tienen iguales: 1) Un lado y los dos ángulos adyaentes a el. ) Dos lados y el ángulo omprendido entre ellos. 3) Los tres lados. Dos ángulos son adyaentes a un lado, uando diho lado es omún a los dos. TEOREM 6.- Si dos lados de un triángulo y el ángulo omprendido son respetivamente iguales a los dos lados y el ángulo omprendido de otro triángulo, los dos triángulos son iguales. C Z B X Y En los triángulos BC, XYZ tenemos omo ondiiones iniiales. B XY C ZX < < X Demostrar que los dos triángulos son iguales. BC XYZ Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 78 GEOMETRI PLN

79 Para la demostraión vamos a oloar el BC sobre el XYZ, de manera que aiga sobre X y B sobre XY. Entones B aerá sobre Y. B XY Condiión iniial. C tomara la direión XZ C aerá sobre Z. < < X Condiión iniial. C XZ Condiión iniial. Entones obligatoriamente CB oinidirá on XY. De la ual podemos afirmar que los dos triángulos son ongruentes y por lo tanto son iguales. TEOREM 7.- Dos triángulos son iguales si tienen iguales respetivamente un lado y los ángulos adyaentes a diho lado. C Por dos puntos dados ualesquiera puede haerse pasar una reta y solo una. Z B X Y Tenemos los triángulos BC y XYZ en los que los ángulos y B son iguales respetivamente a los ángulos X y Y, el lado B es igual al lado XY. Demostrar: < < X < B < Y B XY BC XYZ Para la demostraión oloamos el BC sobre el XYZ de tal manera que B oinida on su igual XY. Los lados B y BC tomarán respetivamente las direiones XY y YZ porque omo ondiión iniial tenemos < < X y < B < Y Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 79 GEOMETRI PLN

80 Entones C aerá sobre Z. Dos retas no pueden ortarse en más de un punto. Y finalmente tendremos que los dos triángulos son iguales. L. q. q. d Dos figuras son iguales uando pueden haerse oinidir en todas sus partes. TEOREM 8.- En todo triángulo Isóseles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. C Sea BC un triángulo Isóseles en el que: D B Demostrar que: C BC < < B Para la demostraión trazamos la bisetriz CD del ángulo CB. hora tenemos los triángulos DC y BCD, en los uales: C BC Condiión iniial CD CD Lado omún. (Por onstruión) < CD < BCD Por onstruión, CD bisea al < CB DC BDC Por Teorema 1. Si dos lados de un triángulo y el ángulo omprendido son respetivamente iguales a dos lados y el ángulo omprendido de otro Triángulo, los dos triángulos son iguales. Por lo tanto tendremos que: < < B Partes homólogas de dos figuras ongruentes son iguales. l. q. q. d Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 80 GEOMETRI PLN

81 TEOREM 9.- Si los tres lados de un triángulo son respetivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, los dos triángulos son iguales. ` B C B` C` Sean BC y `B`C` dos triángulos en los que tenemos las siguientes ondiiones iniiales. Demostrar que: B `B` C `C ` BC B`C ` BC `B`C ` Para la demostraión volteamos el que `B` oinida on su igual B. `B`C ` y lo oloamos de modo El vértie C` aerá abajo del lado B, omo se ve en la figura y por lo tanto el `B`C ` quedara en la nueva posiión BC`. C B C` Luego trazamos CC`. hora tenemos C C y BC BC. Condiión iniial. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 81 GEOMETRI PLN

82 En onseuenia. < CC`< CC` < C` CB < BC`C En todo triángulo Isóseles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Tomando en uenta los ángulos tenemos: < CC` + < C`CB < CC`+ < BC`C Si a antidades iguales se agregan o se quitan antidades iguales los resultados son iguales. < CB < BC` Toda antidad puede remplazarse on su igual. Luego podemos afirmar que: Por Teorema 1. BC BC` Si dos lados de un triángulo y el ángulo omprendido son respetivamente iguales a dos lados y el ángulo omprendido de otro triángulo, los dos triángulos son iguales. Por lo tanto: El triángulo BC `B`C ` `B`C ` es el triángulo ` BC en otra posiión. l. q. q. d 5. RECTS PERPENDICULRES Y OBLICUS. TEOREM 10.- De un punto exterior a una reta no puede bajarse a esa reta más de una perpendiular. P X O Z Y P` Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 8 GEOMETRI PLN

83 Sea P un punto exterior a la reta XY ; PO una perpendiular bajada de P a XY. PZ otra reta ualquiera trazada desde P a XY. Demostrar que PZ no es perpendiular ( ) a XY. Para la demostraión prolongamos PO hasta P haiendo que OP igual a la perpendiular PO. Toda reta puede prolongarse en ambos sentidos. hora trazamos P Z Por onstruión POP es una reta. Por la definiión anterior PZP no es una reta. y el lados olineales. < POZ y ZOP' < Son retos. Por dos puntos dados se puede haer pasar una reta y solo una. < P' ZP no es de Una reta es perpendiular a otra uando los ángulos que forman entre ellas son ángulos retos. Por lo tanto: < POZ < ZOP' Todos los ángulos retos son iguales. PO OP` Por onstruión. OZ OZ Lado omún. Con lo ual tenemos: Luego: < OZP < OZP` OPZ OP`Z Por Teorema 1 Las partes homologas de figuras ongruentes son iguales. Por lo tanto: < OZP es la mitad del OZP` <, No es reto. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 83 GEOMETRI PLN

84 Y podemos asegurar: PZ no es perpendiular ( ) a XY. Una reta es perpendiular a otra uando el ángulo que forman entre las dos es reto. l. q. q. d TEOREM 11.- Si de un punto de una perpendiular a una reta se trazan a esa reta dos obliuas uyos pies estén a igual distania del pie de la perpendiular, esas dos obliuas son iguales y forman ángulos iguales on la perpendiular. P X O B Y Tenemos las siguientes ondiiones iniiales: PO una perpendiular a XY, y sean P y PB dos obliuas trazadas desde P a XY de tal manera que O OB. Demostrar que: P PB y < PO < BPO Tenemos: < PO < POB Ángulos retos. Por ondiión iniial. O OB Condiión Iniial. PO PO Lado omún. Por lo tanto: OP BOP Por Teorema 1. En onlusión: P PB y < OP < BPO Partes homologas de figuras iguales. l. q. q. d Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 84 GEOMETRI PLN

85 TEOREM 1.- Si de un punto de una perpendiular a una reta se trazan a esa reta dos obliuas uyos pies no equidistan del de la perpendiular, la obliua uyo pie dista más es mayor que la otra. P X B O C Y P` Tenemos omo ondiiones iniiales: PO XY P y PC Obliuas Demostrar que: P > PC O > OC Para la demostraión tomamos OB OC, entones trazamos PB PC y tememos: PBC es un Triángulo Isóseles Luego prolongamos PO de modo que P' y P' B. PO OP', ahora trazamos Entones: P P' PB P' B Por Teorema 6 Si de un punto de una perpendiular a una reta se trazan dos obliuas uyos pies estén a igual distania del pie de la perpendiular, esas dos obliuas son iguales y forman ángulos iguales on la perpendiular. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 85 GEOMETRI PLN

86 P + P' > PB + P' B.. Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan retas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas retas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo, (lados iniiales). Por lo tanto: P > PB y P > PB Toda antidad puede remplazarse on su igual. Entones podemos afirmar: P > PB l. q. q. d TEOREM 13.- La perpendiular es la más orta de las retas que pueden trazarse a una reta de un punto situado fuera de ella. P X Z O Y Tenemos las siguientes ondiiones iniiales: P un punto situado fuera de la reta XY. PZ una obliua ualquiera. P` PO XY Demostrar que: PO < PZ Para la demostraión prolongamos PO hasta P de modo que PO P' O y luego trazamos P Z Entones nos quedara: PZ P`Z Por Teorema 6. Luego: O también: PZ + P' Z PZ PO + P' O PO Toda antidad puede remplazarse on su igual. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 86 GEOMETRI PLN

87 PO + P' O < PZ + P' Z Si en los dos miembros de una desigualdad se realiza una operaión on números positivos, el sentido de la desigualdad no ambia. Por lo tanto: PO < PZ Toda antidad puede remplazarse on su igual. Luego podemos afirmar: PO < PZ Si se suman dos desigualdades en un mismo sentido los resultados son desiguales en el mismo sentido de la desigualdad dada. l. q. q. d 5.3 IGULDD DE TRINGULOS RECTNGULOS los lados de un triángulo retángulo se les onoe on el nombre de Hipotenusa y Catetos. HIPOTENUS.- Es el lado opuesto al ángulo reto y siempre es mayor que ada uno de los atetos. CTETOS.- Son los lados adyaentes al ángulo reto, por lo general siempre el uno es mayor que el otro. Cateto menor hipotenusa B Cateto mayor C TEOREM 14.- Dos triángulos retángulos son iguales si la hipotenusa y el ateto del uno son respetivamente iguales a la hipotenusa y el ateto del otro. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 87 GEOMETRI PLN

88 C C` B ` B` Tenemos los dos triángulos retángulos en los que la hipotenusa BC B'C ' y los atetos C 'C ' Demostrar que: BC `B`C ` Para la demostraión oloamos el BC junto al ' B' C ' de suerte que: C aiga sobre su igual C entones B Y B quedaran opuestos al lado C omo muestra el siguiente gráfio. C` B ` Entones B aerá en la prolongaión de B. posiión y se supone: < BC ' + < B' ' C ' ángulos retos. BC B'C ' El lado BC` es el lado B C en otra B` BC B'C ' Por lo tanto: B ' ' B' De un punto exterior a una reta solo dos obliuas de igual longitud pueden trazarse. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 88 GEOMETRI PLN

89 Y finalmente podemos afirmar: BC ' B' C ' Dos triángulos retángulos son iguales si dos lados ualesquiera del uno son iguales a los orrespondientes del otro. l. q. q. d TEOREM 15.- Dos triángulos retángulos son iguales si tienen iguales respetivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyaentes a ella. C C` B ` B` Tenemos omo ondiión iniial: retángulos en los que: BC y ' B' C ' son triángulos C 'C ' y el < < ' Demostrar que: BC ' B' C ' Para la demostraión oloamos el BC sobre el ' B' C ' de suerte que oinida on y C tome la direión C. Entones C aerá sobre C. Se supone que C 'C ' direión B. < < ' Entones B tomará la < B < B' Son ángulos retos. CB C 'B' De un punto exterior a una reta puede bajarse una sola perpendiular.. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 89 GEOMETRI PLN

90 Por lo tanto: BC ' B' C ' Dos figuras ualesquiera son iguales uando pueden haerse oinidir en todos sus puntos l. q. q. d 5.4 RECTS PRLELS Y SECNTES RECTS PRLELS.- Son aquellas que se enuentran en un mismo plano y no se enuentran por más que se las prolongue, guardan siempre una misma distania entre si. TRNSVERSL O SECNTE.- Es aquella reta que orta a una o más retas sin importar el punto de interseión y la direión de dihas retas. TEOREM 16.- Dos retas situadas en un mismo plano y perpendiulares a una terera son paralelas. X B C D Y Tenemos B y CD dos retas perpendiulares a otra reta XY. Demostrar que: B CD Para la demostraión si B y CD prolongadas se enontrarían en un punto, se tendrían dos perpendiulares bajadas de un mismo punto a una reta. Lo ual es imposible (según el grafio). Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 90 GEOMETRI PLN

91 Por lo tanto podemos afirmar que B y CD no pueden enontrarse o sea que: B CD l. q. q. d COROLRIO: Dos retas paralelas a una terera son paralelas entre sí. 5.5 NGULOS FORMDOS POR UN TRNSVERSL.- TEOREM 17.- Si dos paralelas son ortadas por una transversal los ángulos alternos internos son iguales. X M P B O Q C N D Y Tenemos B CD ortadas por una transversal XY en los puntos P y Q. Demostrar que: < PQ < DQP Para la demostraión trazamos la reta MN por O punto medio de PQ y a la vez perpendiular a CD. MN B Si dos retas son paralelas toda perpendiular a una de ellas es perpendiular a la otra. Entones tenemos: < OMP < ONQ MN es a las retas B y CD. < POM < QON Los ángulos opuestos por el vértie son iguales. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 91 GEOMETRI PLN

92 OP OQ Por onstruión. O punto medio de PQ. Por Teorema 11 tenemos: PMO QNO Dos triángulos retángulos son iguales si tienen iguales respetivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyaentes a ella. Finalmente podemos afirmar: < PQ < DQP Partes homologas de figuras iguales. l. q. q. d COROLRIO.- Si dos retas situadas en un mismo plano forman on una transversal ángulos alternos internos iguales, esas retas son paralelas. TEOREM 18.- Si dos paralelas son ortadas por una transversal, los ángulos orrespondientes son iguales. X P B C Q D Y Tenemos B CD ortadas por la transversal XY en los puntos P y Q. Demostrar: < BPX < DQX < BPX < PQ Ángulos opuestos por el vértie. < PQ < DQX Ángulos alternos internos. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 9 GEOMETRI PLN

93 . Entones podemos afirmar: < BPX < DQX Dos antidades iguales a una terera son iguales entre sí l. q. q. d COROLRIO 1.- Si dos retas situadas en un plano forman on una transversal ángulos orrespondientes iguales, esas dos retas son paralelas. COROLRIO.- Si dos paralelas son ortadas por una transversal, los ángulos alternos externos son iguales. 5.6 SUM DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO TEOREM triángulo es igual a dos retos ( 180 ). La suma de los tres ángulos internos de un B Y C X Tenemos BC un triángulo ualquiera. < + < B + C retos < + < B+ < C 180 Demostrar: 0 Para la demostraión trazamos CY B y prolongamos C hasta X. < XCY + < YCB+ < BC Retos. Ángulos de lados olineales. Por el Teorema 14 tenemos: < < YCB Si dos paralelas son ortadas por una transversal los ángulos orrespondientes son iguales. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 93 GEOMETRI PLN

94 También por el Teorema 13 tenemos: < B < YCB Si dos paralelas son ortadas por una transversal los ángulos alternos internos son iguales. 0 Entones podemos afirmar: < + < B+ < C Retos 180 l. q. q. d COROLRIO 1.- Todo triángulo no puede tener más de un ángulo reto ni más de un ángulo obtuso. COROLRIO.- Si dos ángulos de un triángulo son respetivamente iguales a dos ángulos de otro, el terer ángulo del uno es igual al terer ángulo del otro. COROLRIO 3.- Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los internos opuestos, y por lo tanto mayor que ada uno de los dos. 5.7 RELCIONES ENTRE LOS LDOS Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO. TEOREM 0.- La suma de dos lados ualesquiera de un triángulo es mayor que el terer lado y la diferenia siempre es menor. B C Tenemos C lado mayor del BC. Demostrar: Resolviendo tenemos: B + BC > C B + BC > C C BC < B El amino más orto entre dos puntos es la reta que los une. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 94 GEOMETRI PLN

95 Despejando la desigualdad anterior tenemos: BC > C B Entones podemos afirmar: C B < BC l. q. q. d TEOREM 1.- Si dos lados de un triángulo son desiguales a mayor lado se opone mayor ángulo. C X B BC es un triángulo en el que: BC > C Demostrar que: < BC < BC Para la demostraión trazamos X haiendo que Entones tenemos el CX es Isóseles. Dos de sus lados son iguales. C X Por el Teorema 3 : < CX < XC En todo triángulo Isóseles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. lo ual sigue: < CX < XB Todo ángulo externo de un triángulo es mayor que ualquiera de los internos opuestos. También tenemos: < BC < XC El todo es mayor que ualquiera de sus partes. Remplazando por su igual tenemos: < XC < CX Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 95 GEOMETRI PLN

96 < BC < CX < CX < XB Ángulo externo. Entones tenemos: < BC < XB Si una antidad es mayor que otra y esta a su vez mayor que una terera, la primera es mayor que la terera. l. q. q. d TEOREM.- Si dos ángulos de un triángulo son desiguales a mayor ángulo se opone mayor lado. B C Condiión iniial: Tenemos que BC es un triángulo en el que < < C Demostrar que: BC B Para la demostraión hay tres posibilidades del lado BC respeto de su opuesto. 1) BC B ) BC B B BC 3) BC B B BC 1) BC B Lo ángulos y C serían iguales. Teorema 3. ) B BC < C < Si dos lados de un triángulo son desiguales a mayor lado se opone mayor ángulo. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 96 GEOMETRI PLN

97 3) BC B Tenemos que BC no puede ser igual a B ni menor que B neesariamente tenemos: BC B l. q. q. d 5.8 TRIÁNGULOS SEMEJNTES TEOREM 3.- Si dos lados de un triángulo son respetivamente iguales a dos lados de otro, y el ángulo omprendido por los dos primeros es mayor que el omprendido por los dos segundos, el terer lado del primer triángulo es mayor que el terer lado del segundo. C X Y B Z Tenemos BC y XYZ dos triángulos en los que: C XY BC XZ < C < X Demostrar que: B YZ Para la demostraión oloamos el que XY oinida on su igual XYZ sobre el BC de modo C omo muestra el siguiente grafio. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 97 GEOMETRI PLN

98 C P B Y Trazamos CP bisetriz del < YCB, luego trazamos PY. Entones tenemos: CP CP Por onstruión. CY CB Condiión iniial. < YCP < PCB Por onstruión. Por el Teorema 6: PYC PBC Si dos lados de un triángulo y el ángulo omprendido son respetivamente iguales a dos lados y el ángulo omprendido de otro triángulo, los dos triángulos son iguales. Por lo tanto: PY PB Las partes homologas de dos figuras ongruentes son iguales. Luego: P + PY Y El amino más orto entre dos puntos es la reta que los une. P + PB Y B Y Toda antidad puede reemplazarse on su igual. Entones podemos afirmar: B XY l. q. q. d TEOREM 4.- Si dos lados de un triángulo son respetivamente iguales a dos lados de otro triángulo, y el terer lado del primer triángulo es mayor que el terer lado del segundo, el ángulo opuesto al Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 98 GEOMETRI PLN

99 terer lado es mayor en el primer triángulo que en el segundo triángulo. C Z B X Y Sean BC y XYZ dos triángulos en los que tenemos las siguientes ondiiones iniiales: C XZ BC YZ B XY Demostrar: < C < Z Para la demostraión tenemos tres asos posibles: 1) < C < Z ) < C < Z 3) < C < Z 1) nalizando el primer aso < C < Z El BC sería igual al XYZ. Teorema B sería igual a XY. Partes homologas de figuras ongruentes son iguales. ) Si < C < Z Por el Teorema 19 : B sería menor que XY. B < XY Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 99 GEOMETRI PLN

100 Las onlusiones anteriores son ontrarias al supuesto de que B > XY, tenemos que <C no puede ser igual, ni menor a <Z. Por lo tanto onluimos: < C < Z l. q. q. d TEOREM 5.- Toda reta paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporionales. B E F C Sea BC un triángulo y EF C. Demostrar: EB E FC BF Para la demostraión dividimos BE y E en n partes y trazamos paralelas, luego haemos lo mismo on CF y FB. Entones tenemos: EB m y E n FC BF m n Luego: EB Propiedad Transitiva. l. q. q. d E FC BF TEOREM RECIPROCO.- Si una reta divide dos lados de un triángulo en partes proporionales, diha reta es paralela al terer lado. TEOREM 6.- Si dos triángulos son mutuamente equiángulos son semejantes. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 100 GEOMETRI PLN

101 C C` ` B` ` B` B BC y B C ondiiones iniiales: son dos triángulos en los que tenemos omo < < ' ; < B < B' y < C < C ' Demostrar que: B BC C ' B' B' C ' ' C ' Para la demostraión oloamos el ' B' C ' sobre el BC de modo que C aiga sobre C y C tome la direión de C y CB tome la direión de C B. Si tenemos: < < ' y < B < B' B B En su nueva posiión. Por el Teorema 5 tenemos: C ' C ' BC B' C ' Toda reta paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos en segmentos proporionales. l. q. q. d COROLRIO 1: Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del uno son respetivamente iguales a dos ángulos de otro triángulo. COROLRIO :. COROLRIO 3: Dos triángulos retángulos son semejantes si tienen igual un ángulo agudo Si los tres lados de un triángulo son respetivamente proporionales a los de otro, los dos triángulos son semejantes. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 101 GEOMETRI PLN

102 TEOREM 7.- En todo triángulo, el uadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo, es igual a la suma de los uadrados de los otros dos lados, menos el doble produto de uno de ellos por la proyeión del otro sobre él. a b + b' Tenemos el triángulo BC; en el ual a, b y son sus lados y b las proyeiones de a y b respetivamente sobre. Para la demostraión tenemos que: a' ( b' ) En el lado B. Elevando al uadrado los dos miembros tenemos: ( a') ( b ') ( a ') b' + ( b ') Luego sumamos h a los dos miembros: ( a ') + h b' + ( b') + h nalizando la figura observamos que: ( a' ) + h a ( b') + h b Entones reemplazando tendremos: Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 10 GEOMETRI PLN

103 a b' + b Y ordenando obtendremos la formula pedida en el teorema. a b + b ' l. q. q. d TEOREM 8.- En todo triángulo obtusángulo, el uadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los uadrados de los otros dos, más el doble produto de uno de ellos por la proyeión del otro lado sobre el. Tenemos el BC es obtusángulo y observamos que: a y b son las proyeiones de a y b respetivamente sobre. DEMOSTRR: a b + + b ' Para la demostraión tenemos: a ' ( b' + ) En el lado BC. Elevando al uadrado los dos miembros tenemos: ( a ') ( b' + ) ( a ') ( b') + b' + Luego sumamos h a los dos miembros: ( a ') + h ( b') + b' + + h Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 103 GEOMETRI PLN

104 Luego observando y analizando los dos triángulos DC y son semejantes entones tendremos: BDC ( a') + h a ( b') + h b Reemplazando podemos afirmar: a b + + b ' l. q. q. d TEOREM 9.- El área de un triángulo es igual a la raíz uadrada del produto del semiperímetro multipliado por tres fatores, ada uno de los uales es la diferenia entre el semiperímetro y ada uno de los lados. Tenemos el BC en el ual a, b y son sus lados. DEMOSTRR: s ( s a )( s b )( s ) Para la demostraión prolongamos el lado B hasta D. Luego trazamos la altura h D Entones tenemos: h Formula elemental. (demostrada ) Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 104 GEOMETRI PLN

105 Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 105 GEOMETRI PLN Observando tenemos el triángulo retángulo DC en el ual por Pitágoras tenemos: (D) b h (1) En el BC por el Teorema 3 tenemos: D b a + () Despejando D de la euaión () tenemos: a b D + Reemplazando en la euaión (1) tenemos: + a b b h ( ) 4 a b b h + 4 ) ( 4 a b b h + 4 ) ( ) ( a b b h + pliando diferenia de uadrados obtendremos: ) )( ( a b b a b b h Ordenando tendremos dos trinomios uadrados perfetos. 4 ) )( ( b b a a b b h [ ][ ] 4 ) ( ) ( b b a a b b h + + +

106 Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 106 GEOMETRI PLN Fatorando los dos trinomios uadrados perfetos tendremos: [ ][ ] 4 ) ( ) ( b a a b h + pliando diferenia de uadrados obtendremos: [ ][ ] 4 ) )( ( ) )( ( b a b a a b a b h hora tenemos la siguiente ondiión: ) ( b a s + + Utilizando la ondiión anterior vamos a obtener las siguientes deduiones: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b s b s b b b a b a a s a s a a b a a b s s b a b a Luego reemplazando obtenemos: [ ] 4 ) ( ) ( ) ( s b s a s s h 4 ) )( )( ( 16 s b s a s s h ) )( )( ( 4 s b s a s s h hora despejamos 4 y, entones tendremos: ) )( )( ( 4 s b s a s s h Extrayendo la raíz uadrada en ada miembro obtendremos: ) )( )( ( 4 s b s a s s h

107 h s( s a)( s b)( s ) Observando la figura apreiamos fáilmente que el área del triángulo será: h Toda antidad puede reemplazarse por su igual, entones obtendremos: s ( s a )( s b )( s ) l. q. q. d 5.9 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- En el triángulo BC la altura mide 15 m. y la base mide 30 m. El punto D esta a 8 m. de la base. Determinar el área de la región sombreada. Tenemos dos triángulos: BC en el ual base B 30 m y la altura CE 15 m y el BD en el ual tenemos la base B 30 m y la altura DO 8 m. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 107 GEOMETRI PLN

108 Tenemos que determinar el área de la región DBC, para enontrar diha área tenemos que restar el área del BD. BC menos el área del BC BD. CBD b h b h. CBD B CE B DO. CBD 30 m 15 m 30 m 8 m. CBD 5 m 10 m. CBD. CBD 105 m.- Hallar la longitud de la mediana MB orrespondiente a la hipotenusa C de un triángulo retángulo BC si la longitud de C es 60 m. Tenemos M el punto medio de la hipotenusa C. M MB MC. El punto medio de la hipotenusa equidista de los vérties del triángulo. Entones tendremos: 60 m MB 30 m Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 108 GEOMETRI PLN

109 3.- Si las medianas de un triángulo BC se ortan en D. Hallar la longitud de la mediana uyo segmento menor es 6 m. Tenemos P, Q y R los puntos medios de B, BC y C respetivamente y D el punto de interseión ( Barientro). El barientro esta ubiado a 3 de ada vértie. Entones tendremos: PD PC 3 y DC PC 3 PD 6 m PC 6m 3 PC 18 m 4.- Si el lado de un triángulo se duplia y la altura orrespondiente a diho lado se redue a la mitad. Determinar que ourre on el área. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 109 GEOMETRI PLN

110 1 b h (fig. 1) hora tomando en uenta las ondiiones del problema. (fig. ) b h Entones tenemos que: 1 b h CONCLUSION: El valor del área de un triángulo no ambia si se duplia un lado y su altura orrespondiente se redue a la mitad. 5.- El área de un triángulo retángulo es de 85 m y uno de sus atetos mide 15 m. Calular su perímetro. Tenemos el triángulo retángulo RST, en el ual RS y ST sus atetos; ST 15 m. Conoemos los siguientes datos: b RS, h ST 15 m y 85 m pliando la formula elemental para enontrar el área de un triángulo tenemos: Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 110 GEOMETRI PLN

111 b RS h ST RS ST 85 m RS 15 m 85 m 15 m RS RS 11, 33 m Para enontrar la hipotenusa ST apliamos el teorema de Pitágoras: RT RS + ST RT (11, 33 m) + (15 m) RT 353, 37 m RT 18, 8 m Para hallar el perímetro apliamos: P ST + RS + RT P 15 m + 11, 33 m + 18, 8 m P 45, 13 m 6.- En un triángulo Isóseles los lados iguales miden 40 m ada uno y su base mide m. Calular el valor del área. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 111 GEOMETRI PLN

112 BC es un triángulo Isóseles en el que: C BC 40 m y CM su altura M punto medio de la base B. Utilizando Pitágoras en el triángulo BCM tenemos: CM CB BM CM ( 40 m) (11 m ) CM 1600 m 11 m CM 1479 m CM 38, 45 m h Como tenemos todos los datos neesarios para enontrar el área apliamos: b h B CM m 38, 45 m 84, 59 m 5.10 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En un triángulo retángulo hallar la longitud de la mediana orrespondiente a la hipotenusa, si la longitud de esta es de 50 m..- En un triángulo retángulo alular la longitud de la hipotenusa si la mediana orrespondiente a esta mide 4 m. 3.- Si las medianas de un triángulo RST se ortan en B, hallar la longitud de la mediana uyo segmento menor es 9 m Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 11 GEOMETRI PLN

113 4.- En un triángulo esaleno sus lados miden 3 m, 8 m y 0 m. Calular la longitud de las tres medianas. 5.- El área de un triángulo retángulo es 80 m y uno de sus atetos mide 1 m. Calular su perímetro. 6.- Un triángulo equilátero mide 3 m de lado. Calular su área. 7.- Un triángulo equilátero tiene una superfiie de 3 m. Calular la longitud de sus lados. 8.- En un triángulo esaleno sus lados miden 4 m, 38 m y 30 m. Calular su área. 9.- En un triángulo esaleno dos de sus lados miden 1 m y 16 m. El área de diho triángulo es de 408 m. Calular el perímetro Los lados de un triángulo miden 3X, 4X y 5X, además su área es igual a 6 X. Determinar el valor de X y luego la longitud de ada uno de sus lados En el triangulo EFG, la base mide 40 m y la altura orrespondiente a ella mide 15 m. El punto D esta a 9 m de la base. Determinar el área de la región sombreada. Pedro Geovanny Pintado Peñaloza 113 GEOMETRI PLN