CORRENTE ALTERNA 1 1) Dominio de la frecuencia y ecuaciones transformadas Sea una tensión senoidal del tipo v( t) = V$ cos( ωt+ ϕ ). En virtud de la ecuación de Euler, la anterior expresión puede ser escrita del sig. modo: v(t) Re[ Vˆ e ] j ( ωt+θ) jωt jθ = = Vˆ Re(e e ). jθ Podemos definir a V m = Vˆ e como la ecuación transformada de la tensión. La denominación de "transformada", deviene del hecho que a una expresión que es función del tiempo, la estamos transformando en otra que no lo es. De acuerdo a la última expresión, podemos escribir v( t) = Re( Ve jω t ). La transformada no es otra cosa que la expresión matemática de lo que llamamos "fasor" Observemos que, en virtud de todo lo anterior, la tensión, como así también la corriente son vectores (o números complejos) que están rotando con la velocidad angular uniforme ω. Sin embargo, el fasor lo obtenemos "sacando una fotografía " en un dado instante de ese vector rotante. Ese fasor nos proporciona toda la información necesaria acerca de la tensión, pues si bien no figura su dependencia respecto del tiempo, la cual es obvia, sí nos da la fase que tendrá respecto de las demás tensiones y corrientes, es decir que no perdemos nada de información. Aunque obvio, vale la pena destacar que el fasor es también un número complejo. Los conceptos expuestos quedan graficados en la sig. fig. Fasor tensión Vm θ Eje de referencia Por supuesto, en forma análoga podrá escribirse la expresión de la transformada de la intensidad como m = me jθ. )Ecuaciones transformadas para los circuitos Hemos visto con anterioridad el comportamiento de los circuitos resistivos, inductivos y capacitivos puros usando las expresiones trigonométricas. Veremos aquí el análisis de los mismos circuitos, pero desde el punto de vista, mucho más práctico, de las ecuaciones transformadas. a)circuito resistivo puro. En virtud de la ley de Ohm, podemos escribir,v = ir, donde v e i, son funciones del tiempo. Tomando transformadas podemos escribir:re( Ve m j ω t ) RRe( m e j ω = t ), por lo tanto, Ve m j ω t R e j ω = m t V m = R m. Esta última es la ley de Ohm en términos de transformadas, sin embargo, hay que considerar que ella indica que tanto, Vm m son magnitudes complejas, es decir con módulo y fase y que son 1
senoidales y de la misma frecuencia. Además Vm e m están relacionados por la resistencia del circuito, por lo cual, el ángulo de fase entre ellos es nulo, es decir que ambos fasores están en fase. m Vm φ=0 b) Circuito inductivo puro. v = L di (ley de Faraday) jωt d jωt jωt d jωt Re(Vme ) = Re L (m e ), Re(Vme ) = L Re (m e ). Para mantenerla igualdad, deberá cumplirse que: Ve L d m j ω t e j ω t j L e j ω = ( m ) = ω m t. Por lo tanto, Vm = jωlm Las transformadas de tensión y corriente, en módulo, están relacionadas mediante el factor XL =ω L (reactancia inductiva) y la tensión adelanta a la corriente a 90 respecto de la corriente, lo que se pone en evidencia mediante la rotación impuesta por la unidad imaginaria "j". c) Circuito capacitivo puro. i C dv jωt d jωt =, por lo tanto, Re(m e ) = C Re (Vme ). Derivando, resulta: jωt jωt me = Ce Vmjω m = jωcvm, Vemos aquí, que los módulos de tensión y corriente están vinculados ahora a través del valor XC = 1 (reactancia capacitiva), mientras que en virtud de la rotación impuesta por el operador ω C imaginario "j", la corriente adelanta 90 respecto de la tensión.
3 Conviene destacar que, en general se toma el ángulo de fase desde la corriente a la tensión de manera que para el caso de un circuito inductivo, es positivo, mientras que si se trata de un circuito capacitivo, el ángulo de fase es negativo. Por otra parte, conviene destacar que interesan los valores eficaces no los valores de pico, por lo tanto al módulo del fasor se lo divide por raíz de dos, con lo que se obtiene el fasor, pero en valor eficaz, es decir: V Vm =. De aquí en adelante usaremos sólo fasores en valor eficaz. 3) Concepto de impedancia y admitancia Definimos la impedancia de una red de dos terminales lineal a la relación entre la transformadas de la tensión y de la corriente. Z = V Se define la admitancia como la recíproca de la impedancia, es decir:y =. Tanto Z como Y, por tratarse de V cocientes de números complejos, serán también números complejos. La impedancia equivalente de un circuito serie, es la suma de las impedancias de cada componente, mientras que la admitancia de un circuito paralelo es la suma de las admitancias de cada componente. Es decir que siguen valiendo las mismas reglas que para el caso de la resistencia y de la conductancia, tal cual como se vio en corriente continua. 4) Circuitos compuestos a) Circuito R-L Se llaman así a los circuitos que poseen más de un tipo de elemento. 3
La tensión aplicada al conjunto estará dada por la suma de las caídas de tensión en cada uno de los componentes, según la ley de Kirchhoff de las mallas. Por lo tanto: Ve Re L d j ω t j ω t e j ω t Ve j ω t Re j ω t j Le j ω = + ( ) = + ω t. Por lo tanto, en términos de transformadas quedará V = R+ jωl = ( R+ jωl), por lo tanto, la impedancia del circuito R-L será: Z = V = R+ jω L. La conclusión que podemos sacar de las expresiones anteriores es que la tensión adelantará a la corriente un ángulo comprendido entre 0 y 90, sin llegar a ninguno de ellos. Es decir 0< ϕ < 90 4 En los diagramas fasoriales sig., observamos los triángulos de tensiones e impedancias. En general, para la construcción del triángulo de tensiones se suele tomar el fasor corriente como referencia, por tratarse de un circuito serie, en el cual la corriente tiene el mismo valor para todos los elementos. b) Circuito R-C 4
5 La ley de las mallas aplicada a este caso, será (como vimos al analizar carga y descarga de capacitores), la sig. v = ir + q dv R di C dq = + 1 C, pero como i = dq dv dv R di = = + 1 C i. Si a esta ecuación diferencial la transformamos, quedará d Ve d ( jωt ) = ( e jωt ) + 1 C e jωt j ω Ve jωt = j ω e jωt R + 1 C e jωt. Finalmente, simplificando, resulta 1 1 jωv = ( jωr+ ) V = ( R+ ) y recordando que 1 j = = j Z = V = R j 1. De la expresión de la C j ω C j j ω C impedancia, se concluye que la tensión atrasa respecto de la corriente un ángulo comprendido entre 0y 90, es decir: 90 < ϕ < 0. Los diagramas correspondientes serán los sig. c) Circuito R-L-C La ª ley de Kirchhoff aplicada al circuito de la fig., resulta:v ir L di q = + +, la cual, C derivada miembro a miembro, queda dv R di L di 1 dq dq dv = + +, pero, i R di L di i = = + +, que es la C C ecuación diferencial del circuito. Hallando la ecuación transformadas, resulta: d Ve R d e L d j ω t j ω t e j ω 1 ( ) ( ) ( t ) C e j ω = + + t. Realizando las derivadas: 5
jωt jωt jωt 1 j tve j Re jl e C e jωt 1 ωl 1 ω = ω + ω +. Simplificando, jωv = jωr ω L+ V = ( R + ). C j jωc 1 1 Finalmente queda: V = (R + jω L j ) V = R + j( ωl C. Es así que la impedancia del circuito ω ωc vale:z V 1 = = R+ j( ωl ). ωc En virtud de la última expresión, pueden sacarse las sig. conclusiones: Tensión y corriente estarán en general fuera de fase, pudiendo ser el ángulo de desfasaje positivo, nulo o negativo. ) Si ωl > 1 ωc, el circuito se comportará en forma inductiva, siendo 0 < ϕ < 90. ) Si ωl = 1 ωc, el circuito se comportará en forma resistiva pura, diciéndose que el circuito está en resonancia, siendo entonces ϕ = 0 ) Si ωl < 1 ωc, el circuito se comportará en forma capacitiva, siendo entonces 90 < ϕ < 0 6 El circuito R-L-C en resonancia lo analizaremos en un capítulo aparte por su importancia en Electrónica. Los posibles diagramas fasoriales tendrán las formas sig. VL Circuito R-L-C V φ VR V=VR VR VL VC φ=0 φ R-L R V R-C VL 6
7 5) Circuitos en paralelo El comportamiento de los circuitos R-L, R-C, R-L-C paralelo, es semejante a los circuitos en serie, cambiando tensión por corriente y viceversa y reemplazando el concepto de impedancia por el de admitancia. Su tratamiento quedará para los T.P. 6) Pasaje de un circuito serie a un paralelo y viceversa Supongamos tener un circuito serie dado por sus componentes R y X. La idea es que partiendo de las componentes serie, esto es,de la impedancia, obtengamos las componentes paralelo, es decir la admitancia. Analicemos para ello los sig. circuitos: R V G jb V jx Z V 1 = = R+ jx; Y= = G+ jb, reemplazando el valor de la impedancia en la ecuación de la admitancia, queda: Z 1 R jx R jx R Y R jx R jx R jx R X R X j X = = = =, de manera que, según lo anterior, los valores + ( + )( ) + + R + X R de la conductancia y de la susceptancia serán, respectivamente, G R X B X = ; =. Observamos que si la + R + X componente reactiva del circuito serie es positiva, la componente correspondiente del circuito paralelo es negativa y viceversa. Puede realizarse el sig. cuadro: Componente capacitiva Componente inductiva mpedancia -jx C jx L Admitancia jb C -jb L 7
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En forma análoga al proceso descripto, pueden obtenerse las componentes de la impedancia de un circuito serie, conociendo las componentes de la admitancia del circuito en paralelo, resultando: G B Y = G + jb Z = j G + B G + B 10 10
11 PROBLEMAS 1) Se tiene una inductancia de valor L=50 mh, que está atravesada por una corriente de intensidad it ( ) = 100senω t, donde ω=00 1/s. Determinar: a) La tensión en función del tiempo. b) El valor de X L. ) Un circuito serie con R=10Ω y L=0 mh tiene una corriente i( t) = sen 500 ta ( ). Obtener: tensión sobre cada elemento y la tensión total. impedancia del circuito. a) La b)la c) Construir el diagrama fasorial de tensiones y corriente. 3) Un circuito cuya capacitancia es C=00 pf y su resistencia R=6 Ω, tiene aplicado una tensión senoidal con una frecuencia f = 99.47 MHz. Si la tensión máxima sobre la capacitancia es 4V. a) Determinar la tensión máxima sobre el conjunto R-C. b) Determinar la corriente en el circuito. c) Dibujar el diagrama fasorial de tensiones y corriente. Dar las expresiones de tensiones y corrientes en función del tiempo en el dominio transformado (función de la frecuencia). 4) En el circuito de la figura, la tensión vale v( t) = 100 sen( 100t+ 50 ). a) Obtener la corriente en cada componente y la total (en el campo del tiempo y en el transformado). b)calcular la impedancia total como así también la admitancia. c) Realizar el diagrama fasorial correspondiente. 5) 11
1 Para el circuito dibujado. a) Determinar la corriente en cada rama. b) La impedancia total del circuito. diagrama c) Dibujar el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes. V= 0 <0 f= 50Hz 6) Para el circuito dibujado. a) Determinar la impedancia total del circuito. b) Las corrientes en cada rama y la corriente total. c) Las tensiones sobre cada componente. d) Dibujar el diagrama fasorial completo. 1