Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 5-5. Resonancias. [Ros XVI.5, Sak 7.7-8, Ynd.7] Motivación El concepto de resonancia es una pieza clave en el uso de los procesos de dispersión cuántica para el estudio de la estructura de la materia a todas las escalas de energía física del estado sólido, estructura molecular, atómica y nuclear, y física de partículas elementales. En general, la aparición de resonancias es un instrumento ideal para sondear la estructura no trivial de las interacciones microscópicas de un sistema. espectro ligado (discreto) espectro dispersión (continuo) Para ilustrar las ideas básicas, supongamos un ejemplo simple de potencial E central que tiende a cero en r, E y =0 con una estructura no trivial contenida en una región de tamaño r 0 : un pozo de profundidad V p < 0 y tamaño r p en r = 0, y una barrera de altura +V b > 0 y anchura r b que separa el pozo de la región r r 0 : +V b Vr estados metaestables estados de dispersión r 0 r estados ligados V p r p r b El pozo puede contener estados ligados con E > 0, y los estados de dispersión con E > V p presentarán una física similar a la que hemos visto en los ejemplos sencillos estudiados hasta ahora. El elemento nuevo e interesante está asociado a los estados metaestables con E > 0 que pueden aparecer detrás de la barrera. Si la barrera fuera infinitamente ancha o infinitamente alta (con anchura finita), podría contener estados ligados con E > 0; pero con V p, r p finitos dichos estados estarán sujetos al efecto túnel a través de la barrera, y decaerán con una cierta vida media, que puede ser muy larga si la barrera es lo suficientemente alta y/o ancha. En sentido estricto, estos estados metaestables son estados de dispersión, pero deben contemplarse como
5- Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena casos especiales que contienen información sobre la estructura del potencial, ya que sus energías estarán determinadas por los parámetros del mismo. De hecho, comprobaremos que para dichos valores de la energía los observables de dispersión (defasajes, secciones eficaces) presentan estructuras características; en particular, las fases de dispersión toman el valor π/ (de ahí la terminología resonancia, que se refiere al efecto de dicho desfase en el solapamiento entre onda incidente y onda dispersada), y la sección eficaz presenta picos cuya anchura está asociada a la vida media del estado. Dispersión por un estado ligado con E = 0 en un pozo esférico Un ejemplo particularmente sencillo de dispersión resonante aparece en el pozo esférico, ya estudiado anteriormente: { V0, r < r V (r) = 0, (V 0 > 0) (5.) 0, r > r 0. Este potencial se puede ver como un ejemplo extremo del paradigma que acabamos de discutir, en el que V p = V 0 y V b = 0. Recuérdese que el pozo presenta estados ligados si V 0 r 0 π 8m. (5.) Es útil reescribir esta condición en términos de un parámetro con unidades de longitud: := mv0 r 0 π. (5.3) Es fácil comprobar que en el caso límite r 0 = π +ɛ existe un único estado ligado cuya energía tiende a cero cuando ɛ 0. Por lo tanto, si constreñimos los parámetros del potencial tomando r 0 = π, (5.4) esperamos que al tomar el límite E 0 o, equivalentemente, k 0 en las fases de dispersión aparezca un comportamiento característico correspondiente a la dispersión por un estado (cuasi-)ligado. Por otra parte, evidentemente, este es un caso muy particular, que es útil considerar debido a su sencillez pero no dará necesariamente lugar a resultados generales. El resultado que hallamos para la fase de dispersión en canal S es kr 0 cot[kr 0 + δ 0 (k)] = ζr 0 cot ζr 0 cot δ 0 (k) = ζr 0 + kr 0 tan kr 0 tan ζr 0 kr 0 tan ζr 0 ζr 0 tan kr 0, (5.5)
Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 5-3 con me m(v0 + E) k =, ζ =. (5.6) Usando el desarrollo en serie de Taylor de la función tangente, se encuentra que, al orden dominante, ( ) cot δ 0 (k) kr 0 kr 0 tan r0 + r 0 ( ). (5.7) k 0 tan r0 Para un valor genérico de los parámetros del potencial, la fase de dispersión tiende a cero con k 0, y se obtiene el comportamiento habitual ( ) δ 0 (k) α 0 k, α 0 = r 0 tan r0 r k 0 0, (5.8) donde el coeficiente r 0 α l := lim k 0 k l+ cot δ l (k) (5.9) no es otra cosa que el coeficiente de proporcionalidad del comportamiento a baja energía δ l (k) α l k l+, y es llamado longitud de dispersión. Sin embargo, cuando se ajusta el potencial de manera que se cumpla (5.4) y haya un estado ligado a E = 0 esto inmediatamente la divergencia de tan( r 0 ), ya que el argumento se hace precisamente π. En consecuencia, en ese caso δ 0 (k) k 0 π, α 0. (5.0) Además, es fácil comprobar que la pendiente de la fase de dispersión como función de la energía es positiva en k = 0 o, equivalentemente, la pendiente de cot δ 0 es negativa en el mismo punto: δ 0(k) d k=0 > 0, dk cot δ 0(k) < 0. (5.) k=0 Caracterización de resonancias: fórmula de Breit-Wigner El ejemplo anterior, en la medida en que se puede considerar un modelo sencillo para la dispersión resonante, nos motiva a estudiar qué ocurre a nivel de los observables de dispersión cuando el defasaje δ l toma el valor π para una cierta energía. Esta terminología es evidentemente confusa, ya que α l sólo tiene dimensiones de longitud para l = 0.
5-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Como veremos, también la propiedad relativa al signo de la pendiente tiene un papel importante. Supongamos que a un valor E R = kr m canal l satisface de la energía, la fase de dispersión en δ l (E R ) = π cot δ l (E R ) = 0. (5.) Si desarrollamos cot δ l en serie de Taylor alrededor de E R obtendremos cot δ l (E) cot δ l (E R ) δ l E ER }{{} (E R) sin δ l (E R )(E E }{{} R ) + O((E E R ) ) =0 = = Γ (E E R) + O((E E R ) ), (5.3) donde Γ := d de cot δ l(e) = δ l (E R). (5.4) E=ER Nótese que Γ > 0 δ l (E R) > 0. Por otra parte, la amplitud de dispersión parcial a l se puede escribir como luego a l (E) = cot δ l (E) i, (5.5) a l (E) E ER Γ (E E R) i = (E E R ) i Γ, (5.6) donde hemos despreciado los términos de orden superior en (E E R ), que son subdominantes. Finalmente, utilizando la fórmula para la contribución a la sección eficaz total proveniente del canal en onda l, obtenemos σ l (E) Γ σ l (E) = 4π k (l + ) a l(e) (5.7) π(l + ) E ER me Γ 4 (E E R ) + Γ 4. (5.8) Esta es la llamada fórmula de Breit-Wigner, que demuestra que, en la energía de resonancia E R, la sección eficaz total presentará un pico lorentziano cuya anchura Γ está determinada por la pendiente de la fase de dispersión en E R : Nótese que la divergencia de la longitud de dispersión que hemos encontrado en el caso del pozo esférico, por otra parte, es una propiedad relevante sólo cuando la resonancia aparece a E 0, ya que α l es una cantidad que caracteriza dicho límite.
Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 5-5 Σ l E σ l (E R ) E R E Γ E R E Nótese, además, que el valor de σ l para E = E R (:= centro de la resonancia ) está fijado, σ l (E R ) = π(l + ) me R. (5.9) Como la sección eficaz se interpreta como un área efectiva del centro dispersor, esto significa que la energía de la resonancia determina la dimensión efectiva R del mismo a efectos del proceso dispersivo, σ l (E R ) 4πR R l + k R, (5.0) donde k R = mer es el número de ondas asociado a la energía de resonancia. Interpretación de los parámetros de resonancia Volvamos ahora a la imagen heurística de la resonancia como el fenómeno que ocurre cuando se realiza un experimento de dispersión a la energía E R de un estado metaestable con vida media τ. Sabemos que la evolución temporal de un estado ligado con energía E R se puede escribir como Ψ(x, t) = e ie Rt/ ψ ER (x), (5.) donde ψ ER es la función de onda que resuelve la correspondiente ecuación de Schrödinger estacionaria. En el caso de un estado metaestable con una vida media suficientemente larga, es razonable describir su evolución temporal escribiendo una función
5-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena de onda de la forma Ψ(x, t) e iērt/ ψ ER (x), lo que da lugar a una densidad de probabilidad Ē R = E R i τ, (5.) Ψ(x, t) e t/τ ψ ER (x) (5.3) que describe el proceso de desintegración del estado. Por lo tanto, se puede imaginar que el estado metaestable tiene asociada una energía compleja ĒR cuya parte imaginaria está determinada por la vida media τ, y se anula cuando τ. Por otra parte, la fórmula (5.6) para la amplitud de dispersión en onda parcial se puede escribir como a l (E) E ER Γ E ĒR (5.4) con la identificación τ = Γ. (5.5) Esto inmediatamente sugiere asociar el polo complejo de a l, y el correspondiente pico en σ l, con la presencia de un estado metaestable a E R. Además, la anchura Γ de la resonancia nos dirá inmediatamente cuál es la vida media de dicho estado: cuanto más estrecha sea la resonancia mayor estabilidad, y viceversa. Nótese que la relación entre Γ y τ también explica por qué existe una relación entre la presencia de una resonancia y el signo de la pendiente δ l (E R): si Γ fuera negativa también lo sería τ, y entonces la descripción del estado con una energía Ē daría lugar a una función de onda no normalizable con Ψ(x, t) e t/τ.