UNIVERSIDAD DE COSTA RICA MA-5 FACULTAD DE CIENCIAS Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería ESCUELA DE MATEMÁTICA Primer Ciclo del 5 Lista de ejercicios # 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales. EPII-II- Los tanques A y B, de la siguiente figura, contienen 3 y 4 litros de agua pura, respectivamente. A partir del tiempo cero inicia la entrada de una mezcla de agua y sal al tanque A en el cual la mezcla se mantiene uniforme, que pasa al tanque B, en el cual también se mantiene uniforme y desde este último parte de la mezcla retorna al tanque A y otra se derrama. Sea t el tiempo medido a partir de cero y para ese instante suponga que una mezcla de agua y sal: entra al tanque A con rapidez de 6 lit/min y concentración de.5e 3t kg/lit pasa del tanque A al tanque B con rapidez de lit/min pasa del tanque B al tanque A con rapidez de 6 lit/min sale del tanque B y se derrama con velocidad 4 lit/min Si x(t) e y(t) son las cantidades de sal presentes en A y B, respectivamente, en el tiempo t, se pide que plantee el sistema de ecuaciones diferenciales que modele el problema dado.. EP3-II-4 Dos grandes tanques A y B, de litros de capacidad cada uno, están interconectados por dos tubos. Suponga que el líquido fluye desde el tanque A hacia el tanque B a razón de 3 litros por minuto, y del tanque B hacia el tanque A a razón de un litro por minuto. El líquido en cada tanque permanece siempre bien agitado. Desde el exterior ingresa salmuera, con una concentración de kilos de sal por litro, hacia el tanque A a razón de 6 litros por minuto. La solución fluye entonces hacia afuera de A a razón de 4 litros por minuto y hacia fuera del tanque B a razón de litros por minuto. Si inicialmente el tanque A contiene sólo agua y el tanque B contiene kilos de de sal, entonces: (a) Realice un dibujo que corresponda a la situación descrita en el texto anterior.
(b) Si se denota por x(t) y y(t) a las cantidades de sal contenidas en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t, entonces hallar las constantes a, b, c, d, e, f, g en dx = a + by cx, dy = dx ey, x() = f, y() = h. 3. EP-II-3 Dos cubos C y C de igual masa, kilogramo, están unidos a dos resortes, R y R de forma vertical, cuyas constantes son k = 6 y k = 4, respectivamente. Sean x(t) y y(t) las posiciones en cualquier tiempo t > de los cubos C y C, respectivamente. Suponiendo que x() = y() =, x () =, y y () =, y que ninguna fuerza externa afecta al sistema, hallar el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, con condiciones iniciales, que describe el sistema anterior. 4. ERP-II- Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x + y = y x 3x y = (a) Resuelva el sistema utilizando el método de operadores. (b) Encuentre la solución del sistema anterior que pasa por el origen de coordenadas. 5. EP-I-4 Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: d 3 x 3 + dy = y x d 4 x 4 + d y dy = e t Encuentre la solución, utilizando el método de operadores diferenciales, que cumpla las condiciones: y() =, y lim t + x(t) = y (). 6. EP-I- Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x + 5x = 4y x y y =
(a) Resuelva el sistema utilizando el método de operadores. (b) Encuentre la forma de la solución que cumple x() = y() =. 7. Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales dx + dy = e t y dx + dy = sin t y x() =, y() = Se conoce que la función x(t) viene dada por x(t) = c + c t e t cos t sin t, donde c, c son constantes arbitrarias. Se pide que encuentre y(t) mediante el uso de operadores diferenciales. 8. EP3-II-4 (a) Encuentre por medio de operadores diferenciales la solución del sistema: d 5 x 5 d3 x 3 + d4 y 4 d y y = 4 d x + dy = t Debe encontrar necesariamente la relación entre las constantes arbitrarias que aparezcan. (b) Utilizando la parte anterior, hallar la solución (x(t), y(t)) que cumpla que x() = y x () =. 9. P-II- Para el sistema x = 4y 5x y = 4x 5y x() = y () = x () = y() = se conoce que la solución es dada por x(t) = c cos (αt) + c sin (αt) + c 3 cos (βt) + c 4 sin (βt) y(t) = c cos (αt) + c sin (αt) c 3 cos (βt) c 4 sin (βt). (a) Determine los valores α y β por medio de operadores diferenciales. (b) Obtenga la solución del sistema planteado. 3
. Amp-II-4 Sobre una superficie horizontal se sujeta una masa de kilogramos a una superficie vertical por medio de un resorte cuya constante de elongación es de 4 N/m. Otra masa de kilogramo se conecta al primer objeto mediante un resorte cuya constante es de N/m. Sabiendo que los objetos se desplazan 3 metros hacia la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se sueltan, entonces (a) Compruebe que el sistema diferencial que rige al modelo es dado por x (t) + 6x y = y + y x = x() = y() = 3, x () = y () =. (b) Reescriba el sistema anterior como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. (c) Resuelva el sistema original por medio de operadores.. EP-II-3 Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: d x y = 4e t d y x = e t (a) Por medio de operadores elimine la incógnita y del sistema (), y verifique que x(t) = c e t + c e t + c 3 cos(t) + c 4 sin(t) + e t. (b) Halle la solución de () que satisfaga las condiciones iniciales x() = y() = x () = y () =.. EP-I- Considere el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo e t = x + e t 3. 4e t (a) Hallar, por medio de valores y vectores propios, la solución general del sistema homogéneo asociado y la matriz fundamental. (b) Hallar la solución general del sistema original si se sabe que posee una solución particular del tipo a x p (t) = e t b, para algunas constantes a, b, c que se deben determinar. c () 4
3. Determine la solución general, X(t) = x (t). x n (t), del sistema X = AX; siendo: (a) A =. (b) A = 8. (c) A =. 4 4 3 3 3 (d) A = 4 3 3. (e) A =. (f) A =. 3 4. Hallar los valores de las constantes a, k, k, p,y p de tal forma que k x(t) = c k eat + c e5t + c 3 te5t + p p e5t, sea la solución del sistema 5. Determine la solución general, X(t) = (a) A = (c) A = (e) A = (g) A = 3 4 4 7 ( ) 4 5 ( ) ( 3e t 6. Resuelva los siguientes sistemas: = x (t). x n (t) 5 4 5. (b) A = t te t x., del sistema X = AX + B(t); siendo: ). (d) A = csc t. (f) A = sec t. (h) A = sec t tan t ( ) 3 4 8 4 5 ( ) ( e t ). t 3, t >. t, < t < π. cot t e t csc t. sec t 5
(a) { x + y = x y x + y = x + t (b) { x = 5x + 4y y = x y (c) { (D )x + 5y = e t x + (D + )y = (d) D y + (D )v = (D )y + (D )w = (D + 3)y + (D 4)v + 3w = 7. Sea el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden x cos (t) = A x + e t, sin (t) para el cual se conoce la solución del sistema homogéneo y está dada por cos (t) x h = c e t sin (t) + c sin (t) e t. cos (t) Obtenga la solución particular del sistema planteado. 8. REP-I-3 Para el siguiente sistema (t) = x(t) + 3 e 4t, hallar una solución particular de la forma x p (t) = b b b 3 e 4t. 9. P-I- Hallar los valores de las constantes a, b, α, β de tal forma que cos (αt) sen (βt) x(t) = c e at + c e bt sen (αt) cos (βt) sea la solución del sistema homogéneo asociado a la ecuación cos t = x + e t. sen t Luego proceda a resolver el sistema de ecuaciones no homogéneo.. Escriba un sistema lineal de primer orden que sea equivalente a la ecuación diferencial d x dx + P (t) 6 + Q(t) x = R(t)
. En cada caso compruebe que X Y X son soluciones del sistema dado y luego use el método de variación de parámetros para determinar su solución general. (Suponga t >.) (a) t X t t t = X +, X 3 t =, X t = 3t (b) t X 3 t t t = X + t 4, X = t, X = t { a b t x = a x + b y. (a) Muestre que si λ es un valor propio de la matriz, entonces el sistema c d t y = c x + d y A tiene una solución no trivial de la forma t λ, para t >. B { t x = 5 x y (b) Resuelva t y = 3 x + y 3. P-I- Exprese la siguiente ecuación de tercer orden x = ( x ) + cos x en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. 4. PR--I- Exprese el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales como un sistema de ecuaciones deprimer orden: { x = ( y)x y = ( x)y 5. EP3-II-4 Encuentre, por medio de valores y vectores propios, la solución del sistema: x (t) = x z y (t) = x z (t) = x y 6. P-II- Considere el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales: = x(t) Use valores y vectores propios para responder a los siguientes puntos. (a) Encuentre una solución constante del sistema anterior, es decir una que no dependa del parámetro t. (b) Encuentre una matriz fundamental del sistema anterior Φ(t), y verifique que Φ (t) = Φ(t). 7
7. EP-I-3 Escriba como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden a la siguiente ecuación diferencial no lineal de tercer orden: (y ) (sen (x))y = y cos x. 8. EP-I-3 Considere el siguiente sistema lineal homogéneo = x. (a) Use valores y vectores propios para hallar la solución general del sistema. (b) Verificar que es posible determinar una matriz fundamental para tal sistema en la siguiente forma: f(t) Φ(t) = h(t) g(t) g(t) h(t) donde f(t), g(t), h(t) son funciones a determinar. 9. EP-I-4 Considere la siguiente ecuación diferencial con coeficientes constantes: y y + y y =. () (a) Exprese la ecuación () como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. (b) Al encontrar tres soluciones linealmente independientes del sistema lineal: X = X. se tiene que una matriz fundamental, Φ(x), del sistema tiene la siguiente forma: e ax c cos(bx) d sin(bx) Φ(x) = e ax sin(bx) cos(bx). ge ax e cos(bx) f sin(bx) Se pide determinar los valores de las constantes a, b, c, d, e, f, y g. (c) Suponiendo que la solución general de la ecuación () es dada por y(x) = c e x + c cos( x) + c 3 sin( x), indique la relación entre ésta y la solución general del sistema del inciso (b). 3. REP3-II-4 Considere el siguiente sistema: x (t) y (t) = x 3y x (t) + y (t) = x + y 8
(a) Reescriba el sistema anterior como un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: dx = AX. (b) Hallar la solución del sistema de la parte anterior al utilizar valores y vectores propios de A. (c) Use las partes anteriores para hallar la solución del sistema original. 3. ERP-II- Considere el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo = 3 x + e t. t Hallar, por medio de valores y vectores propios, la solución general del sistema anterior. 3. EP-I-4 El siguiente texto describe la interrelación en un sistema de tanques conectados entre sí. Tanque A Inicialmente contiene litros de agua en la que están disueltos kilos de sal. Cada minuto se agregan kilos de sal diluídas en 5 litros de agua pura. Simultáneamente se extraen hacia el exterior del sistema 5 litros de solución por minuto desde este tanque. Tanque B Inicialmente contiene 5 litros de agua pura. Cada minuto recibe litros desde el tanque A, 5 litros desde el tanque C, y 5 litros de agua pura desde el exterior del sistema. Tanque C Inicialmente contiene litros de agua salada. Al iniciar el proceso se depositaron 5 kilos de sal en su interior. Del exterior se le adiciona 5 litros de agua, en la que están disueltos 3 kilos de sal, por minuto. Este tanque aporta litros de solución al tanque A por minuto. Entonces: (a) Dibuje un esquema que ilustre el sistema de tanques anteriormente descrito. Use flechas para indicar la dirección de los flujos. (b) Describa mediante un sistema de ecuaciones diferenciales el modelo descrito anteriormente. Debe incluir las correspondientes condiciones iniciales en dicho sistema. (c) Se sabe que la capacidad de los tanques A, B, y C es de 5, y litros, respectivamente, y que el proceso se suspende al llenarse cualquiera de los tanques, entonces, por cuántas horas se extiende el proceso?. 33. Amp-II-4 Considere la siguiente matriz: A = 3 3 3 3 4 4 4 4 9
(a) Sin calcular el polinomio característico de la matriz A verificar que los tres vectores siguientes son vectores propios linealmente independiente asociados a un mismo valor propio que usted debe encontrar: v =, v =, v 3 = (b) Verificar, de la misma forma que en la parte anterior, que el vector v 5 = 34 es vector propio asociado a un valor propio de la matriz A que usted debe encontrar. (c) Hallar una matriz fundamental del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: X = AX. 34. Suf-I-3 Considere el siguiente sistema lineal: donde a, b R y a > b. = ( a 3 b ) x(t), (a) Si x(t) = c e t v + c e 4t v, entonces calcular a y b. (b) Hallar x(t) tal que x() =. 5