Tema 6 Geometría del plano y del espacio 6.. Sistemas de coordenadas 6... Sistema de coordenadas en el plano Vamos a describir dos sistemas de coordenadas en el plano: sistema de coordenadas cartesiano sistema de coordenadas polares Sistema de coordenadas cartesiano: Un punto P en el plano se representa por un par de coordenadas reales a, b, llamadas coordenadas cartesianas de P cuya representación en el plano es la siguiente: se trazan en el plano rectas perpendiculares entre sí en las direcciones de los vectores, y,, y que se cortan en el punto,. Dichas rectas perpendiculares son los ejes del sistema, que se denotan OX y OY. a es el segmento proyección de P sobre el eje OX, y se llama abcisa de P. b es el segmento proyección de P sobre el eje OY, y se llama ordenada de P. OX es, por tanto, el eje de abcisas; y OY es el eje de ordenadas. los vectores {,,, } forman una base ortonormal del sistema ver Sección 6... Sistema de coordenadas polares: Un punto P en el plano se representa a través de los siguientes elementos: distancia del origen O =, al punto P : OP, que se llama radio polar y se denota por ρ ó r. ángulo formado por el eje de abcisas OX y el segmento OP : α, que se denomina argumento o ángulo polar. Relación entre ambos sistemas:
b a Dado un punto en coordenadas polares P = ρ, α, su expresión en coordenadas cartesianas viene dado por: { x = ρ cosα, ρ, y = ρ senα, α [, π a b Dado un punto en coordenadas cartesianas P = x, y, su expresión en coordenadas polares viene dado por: ρ = x + y, x R, α = y arctan, x y R Nota 6.. La determinación del ángulo α sigue la misma regla de cuadrantes que la utilizada para determinar el argumento de un número complejo. Ejercicio 6.. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P =,, obtener sus coordenadas polares. Sol: P = 5, arctan Ejercicio 6..3 Dadas las coordenadas polares del punto P = 3, π/, obtener sus coordenadas cartesianas. Sol: P =, 3 6... Sistema de coordenadas en el espacio Consideramos 3 sistemas de coordenadas en el espacio: Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas cartesianas en el espacio: Un punto P en el espacio se puede representar a través de una terna de números reales a, b, c llamadas coordenadas cartesianas de P. Dichas coordenadas representan: se trazan en el espacio 3 rectas perpendiculares entre sí en las direcciones de los vectores,, y,, y,,, que forman una base de R 3 y que se cortan en el punto,,. Dichas rectas perpendiculares son los ejes del sistema, que se denotan OX, OY y OZ. a es el segmento proyección de P sobre el eje OX, y se llama abcisa de P. b es el segmento proyección de P sobre el eje OY, y se llama ordenada de P. c es el segmento proyección de P sobre el eje OZ, y se llama cota de P. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
los vectores {,,,,,,,, } forman una base ortonormal del sistema ver Sección 6... En el espacio dos vectores que se cortan determinan un plano. Así, los ejes coordenados definen dos a dos los planos: el plano OXY es el determinado por los ejes OX y OY. el plano OXZ es el determinado por los ejes OX y OZ. el plano OY Z es el determinado por los ejes OY y OZ. Coordenadas cilíndricas: Son la generalización de las coordenadas polares en el plano. Sea P un punto con coordenadas cartesianas x, y, z, sus coordenadas cilíndricas r, θ, z vienen dadas por: r = x + y, r > y θ = arctan, θ [, π [usar regla de cuadrantes] x z = z, z R Dichas coordendas permiten que los cilindros circulares se describan como r = c en coordendas cilíndricas de forma más fácil que en cartesianas, de ahí su nombre. Recíprocamente, dadas las coordenadas cilíndricas de P = r, θ, z, sus coordenadas cartesianas vienen dadas por: x = r cosθ, x R y = r senθ, y R z = z, z R Geométricamente, r es el radio polar de P = proyección de P sobre el plano OXY, θ es el argumento de P y z es la cota de P distancia del punto P al plano OXY. Ejercicio 6..4 Hallar las coordenadas cilíndricas del punto P = 3, 3,. Sol: P = 3, π 4,. Ejercicio 6..5 Hallar las coordenadas cartesianas del punto P =, π 3,. Sol: P =, 3,. Coordenadas esféricas: Son otra generalización de las coordenadas polares en el plano. Sea P un punto con coordenadas cartesianas x, y, z, sus coordenadas esféricas ρ, θ, ϕ vienen dadas por: ρ = x + y + z, ρ > y x donde θ = arctan z ϕ = arctan = arctan r, θ [, π [usar regla de cuadrantes] z [, ϕ π x + y, π ] { si z >, entonces ϕ [, π ] si z <, entonces ϕ [ π, ] Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4
ρ representa la distancia de P al origen, θ es el ángulo polar o argumento de P, siendo P la proyección de P en el plano OXY, ϕ es el ángulo que forma el radio vector de P, es decir, OP, con el plano OXY. Como casos particulares: ρ = c describe una esfera, θ = c un semiplano vertical, y ϕ = c un cono de eje OZ, luego dichas superficies tienen una expresión más fácil en coordenadas esféricas que en cartesianas, lo que es una motivación para el uso de este tipo de coordenadas. Para pasar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas usamos las coordenadas polares para x, y, es decir, { x = r cosθ, y = r senθ con r el radio vector de P, es decir, r = ρ cosϕ. Para z usamos que es la proyección del vector OP con el eje OZ, es decir, z = ρ senϕ. En resumen, dadas las coordenadas esféricas de P = ρ, θ, ϕ, sus coordenadas cartesianas vienen dadas por: x = ρ cosθ cosϕ, x R y = ρ senθ cosϕ, y R z = ρ senϕ, z R Paso de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas: Para pasar de coordenadas esféricas de P = ρ, θ, ϕ a coordenadas cilíndricas P = r, θ, z usamos las fórmulas: r = ρ cosϕ, θ = θ, z = ρ senϕ Paso de coordenadas coordenadas cilíndricas a esféricas: Para pasar de coordenadas cilíndricas P = r, θ, z a coordenadas esféricas de P = ρ, θ, ϕ usamos las fórmulas: ρ = r + z, θ = θ, z ϕ = arctan r 3, 7π Ejercicio 6..6 Hallar las coordenadas esféricas del punto,,. Sol: 4, arctan Ejercicio 6..7 Hallar las coordenadas cartesianas del punto 3, π 6, π 4. Sol: 3 6 4, 3 4, 3 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 3/4
6.. Vectores en el plano y en el espacio Dados dos puntos en el plano P = p, p y Q = q, q se denomina vector P Q al vector con origen en P y extremo en Q cuyas componentes son: P Q = q p, q p. Dicho vector es equivalente al que tiene como origen O =, y extremo el punto de coordenadas q p, q p. Dados dos puntos en el espacio P = p, p, p 3 y Q = q, q, q 3 se denomina vector P Q al vector con origen en P y extremo en Q cuyas componentes son: P Q = q p, q p, q 3 p 3. Dicho vector es equivalente al que tiene como origen O =,, y extremo el punto de coordenadas q p, q p, q 3 p 3. La distancia entre dos puntos P y Q es el módulo del vector que los une P Q, es decir, distp, Q = P Q = q p + q p en el plano distp, Q = P Q = q p + q p + q 3 p 3 en el espacio. 6... Producto escalar y vectorial. Norma de vectores. Ortonormalización. El objetivo de esta sección es obtener a partir de una base cualquiera una base de vectores ortogonales base ortogonal. Para ello necesitamos definir los siguientes conceptos: Producto escalar en R n : Dados dos vectores u = u, u,..., u n y v = v, v,..., v n de R n se define el producto escalar de u por v como el número real que viene dado por: u v = u v + u v + + u n v n Norma de vectores: Dado un vector u = u, u,..., u n R n, se llama norma del vector u en R n al número real definido por: u = u u = u + u + + u n Como estamos en R n, esta norma se llama módulo del vector u. Se dice que u es un vector unitario si u =. Dicha norma verifica las siguientes propiedades: c u = c u para c R. u + v u + v desigualdad triangular Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 3/4
Vectores ortogonales: Dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto escalar es cero, es decir, u v =. Ángulo que forman dos vectores en R y R 3 : Dos vectores u y v de R ó R 3 verifican la expresión: u v = u v cos u, v, de manera que se puede deducir el ángulo que forman. Base ortonormal: Sea { u, u,..., u n } una base de R n, es decir, un conjunto de n vectores linealmente independientes de R n. Se llama base ortonormal si se verifican las siguientes condiciones: { ui u j = si i = j, 6. u i u j = si i j, Matrices ortogonales: Una matriz real A es ortogonal si A = A t Ortonormalización de una base: Dada una base de R k, { w, w,..., w k }, existe una base ortogonal de R k, { u, u,..., u k }, tal que cada u i es una combinación lineal de los w i. Para obtener dicha base ortogonal se puede seguir el Método de ortonormalización de Gram-Schmidt. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt: Dada una base de R k, { w, w,..., w k }, la nueva base ortogonal { u, u,..., u k } se obtiene de la siguiente forma: Imponemos que los nuevos vectores se obtienen como: u = w u = w + a u u 3 = w 3 + a 3 u + a 3 u... u k = w k + a k u + a k u + + a kk u k de manera que la nueva base sea ortogonal, es decir, verifiquen la condición 6.. De se modo, obtenemos que el coeficiente para u es: = u u = w + a u w = w u + a u u = w u + a u luego a = w u u. Para obtener los coeficientes de u 3, imponemos la ortogonalidad de u y u 3 : = u 3 u = w 3 + a 3 u + a 3 u u = w 3 u + a 3 u u + a 3 u u = w 3 u + a 3 u luego a 3 = w 3 u u. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 3/4
Para la ortogonalidad de u y u 3, imponemos: = u 3 u = w 3 + a 3 u + a 3 u u = w 3 u + a 3 u u + a 3 u u = w 3 u + a 3 u luego a 3 = w 3 u u. Realizando el mismo proceso iterativamente, llegamos a que: a ij = w i u j u, i, j =,,..., k. j Con este proceso, la base obtenida es ortogonal. La base ortonormal que buscamos será { u, u,..., u k } que se obtiene dividiendo cada vector por módulo, es decir: u i = u i u i =,,..., k. i, Ejercicio 6.. Dada la base de autovectores {,, 3,,, } encontrar otra que sea ortonormal. Sol: Consideramos w =,, 3, w =,,. Buscamos { u, u } usando el método de Gram-Schmidt, donde primero calculamos u, u de la forma: { u = w =,, 3, u = w + a u =, + a,, 3 donde a = w u,,, 3 u =,, 3 = 3 7. Por tanto, u = Dividiendo u, u por su módulo, obtenemos: u =,, 3 4, u =,, 4 4 4 4 7, 7,. 7 Ejercicio 6.. Dada la siguiente base { v, v, v 3 }, encuentra otra base ortonormal equivalente, siendo: v =,,, v =,,, v 3 =,,. Sol: Observemos que { v, v, v 3 } no es una base ortogonal los vectores no son ortogonales entre sí dos a dos, y no es ortonormal ya que: v =, v = 3, v 3 = 6. Por tanto, para obtener una base ortonormal tenemos que aplicar el método de ortonormalización de Gram-Schmidt. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 3/4
Creamos primero una base { u, u, u 3 } ortogonal de la forma: donde de manera que: u = v u = v + a u u 3 = v 3 + a 3 u + a 3 u, a = v u u =, a 3 = v 3 u u = 3, a 3 = v 3 u u =, u =, u =, u 3 = Como u =, u = y u 3 =, la base ortonormal { u, u, u 3 } que buscamos será: u =, u =, u 3 =.. Producto vectorial en R 3 : Dados dos vectores u = u, u, u 3 y v = v, v, v 3 de R 3 se define el producto vectorial de u por v como el vector que viene dado por: i j k u v = u u u 3 v v v 3 = u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v El producto vectorial w = u v de dos vectores u y v verifica las siguientes propiedades: el vector u v es ortogonal a los vectores u y v, el módulo del producto vectorial u v es el área del paralelogramo de lados los dos vectores que intervienen en el producto, es decir: A = u v = u v sen u, v el volumen del paralelepípedo de lados a = a, a, a 3, b = b, b, b 3 y c = c, c, c 3 viene dado por la expresión: V = a a a a 3 b c = det b b b 3 c c c 3. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 3/4
6.3. Diagonalización de matrices simétricas. En el Tema, hemos visto que para diagonalizar una matriz cuadrada A basta encontrar una base de autovectores de A. Sin embargo, el cálculo de la inversa de la matriz de paso asociada en caso de existir es tedioso. Por otra parte, sabemos que existen sistemas de referencia ortogonales, es decir, que sus vectores son perpendiculares entre sí. Por ejemplo, {,,, } en el plano y {,,,,,,,, } en el espacio sistemas de referencia en coordenadas cartesianas. Veamos que las matrices cuadradas verifican algunas propiedades especiales. Concretamente, las matrices simétricas verifican las siguientes propiedades: Sus autovalores son reales. Son siempre diagonalizables. Los autovectores correspondientes a autovalores distintos son siempre ortogonales. Pueden diagonalizarse mediante una matriz de paso ortogonal. Ejercicio 6.3. Diagonalizar la matriz simétrica A = y comprobar las propiedades anteriores. Sol: Dicha matriz posee como autovalores λ = λ = doble, λ 3 =, que son autovalores reales. Calculemos ahora los autovectores de A: autovectores asociados al autovalor λ = : Para ello, resolvemos el sistema: x A Id v = x =, x 3 que es equivalente a: { x + x + x 3 = Observemos que en este caso tenemos dos autovectores asociados: v =, v =. autovectores asociados al autovalor λ = : Para ello, resolvemos el sistema: x A Id v = x =, x 3 que es equivalente a: { x + x + x 3 = x x + x 3 = Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 3/4
Observemos que en este caso tenemos un autovector asociado: v 3 = Tenemos entonces tres autovectores linealmente independientes, luego la matriz es diagonalizable. Podemos comprobar que los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales, ya que: v v 3 =, v v 3 =. Observemos que la base de autovectores obtenida {,,,,,,,, } no es ortonormal. Para obtener una matriz de paso ortogonal, debemos obtener una base ortonormal de autovectores. Usando el método de Gram-Schmidt, obtenemos: {,,,,, 6 6., 3, 3 3, 3 }. De ese modo, la matriz de paso ortogonal es P = P =, P t = P y A = P D P t siendo D = 6 3 3 6 3. 3. Observemos que 6.4. Rectas y planos. 6.4.. Rectas en el plano La recta r que pasa por el punto P = p, p y tiene a v = v, v como vector director se puede representar de varias formas. Una de ellas es: r P + t v, t R. Cualquier punto x, y de la recta r se puede expresar de la forma: x, y = p + t v, p + t v, t R o equivalentemente con las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta: { x = p + t v, y = p + t v, t R El vector v puede ser conocido u obtenerse como el vector que une dos puntos cualesquiera de la recta r. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
Despejando el valor de t en la primera de las dos ecuaciones anteriores y sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación, podemos obtener la llamada ecuación general de una recta, que está escrita en coordenadas cartesianas y es de la forma: a x + b y + c = También se puede obtener la ecuación general de una recta que pasa por los puntos P = p, p y Q = q, q de la forma: x y p p q q = Ejercicio 6.4. Encontrar las ecuaciones paramétricas y general de la recta que pasa por los puntos P =, y Q =, 3. Sol: La ecuación general de la recta es 4x y 7 =, y las ecuaciones paramétricas son: { x = t, y = 4t, t R. Dadas dos rectas en el plano, pueden darse los siguientes casos: a Las dos rectas se cortan en un punto. b Las dos rectas son paralelas. c Las dos rectas coinciden. Dependiendo del tipo de ecuación de la recta que se conozca, se pueden clasificar las posiciones relativas de dos rectas de la siguiente forma: rectas que se cortan rectas paralelas rectas coincidentes ec. paramétrica u u rg v v u u rg v v u u rg v v a b = rg a b a b = y P / r rg a b a b = y P r rg a b ec. general a b = rg c a b c a b < rg c a b c a b = rg c a b c = = = donde r P + t u = p, p + t u, u, a x + b y + c = r Q + s v = q, q + s v, v, a x + b y + c = Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
Ejercicio 6.4. Calcular la posición relativa de las siguientes rectas: a { x + y =, x + y = b { x + y =, x + y = Distancia de un punto a una recta en el plano: La distancia del punto P = p, p a la recta de ecuación general r ax + by + c = viene dada por la expresión: dp, r = ap + bp + c a + b 6.4.. Rectas y planos en el espacio Rectas en el espacio: La recta r que pasa por el punto P = p, p, p 3 y tiene a v = v, v, v 3 como vector director se puede representar de varias formas. Una de ellas es: r P + t v, t R. Cualquier punto x, y, z de la recta r se puede expresar de la forma: x, y, z = p + t v, p + t v, p 3 + t v 3, t R o equivalentemente con las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta: x = p + t v, y = p + t v, z = p 3 + t v 3, t R El vector v puede ser conocido u obtenerse como el vector que une dos puntos cualesquiera de la recta r. Despejando el valor de t en la primera de las dos ecuaciones anteriores y sustituyendo dicho valor en las otras ecuaciones, podemos obtener las llamadas ecuaciones generales de una recta, que están escritas en coordenadas cartesianas y son de la forma: { a x + b y + c z + d = a x + b y + c z + d = Ejercicio 6.4.3 Encontrar las ecuaciones paramétricas y generales de la recta que pasa por los puntos P =,, 3 y Q = 5,, 3. Sol: Las ecuaciones paramétricas de la recta son: x = + 3t, y =, z = 3 6t, tr y las ecuaciones generales son: { x + z = 7, y = Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
Dadas dos rectas en el espacio, pueden darse los siguientes casos respecto a la posición relativa de ambas rectas: a Las dos rectas se cortan en un punto. b Las dos rectas son paralelas. c Las dos rectas coinciden. d Las dos rectas se cruzan. En esta ocasión, sólo presentamos su clasificación si son conocidas las ecuaciones paramétricas de ambas rectas: rectas que se cortan rectas paralelas rectas coincidentes rectas que se cruzan rg ec. paramétricas u u rg u 3 v v v 3 = y u u u 3 v v v 3 p q p q p 3 q 3 u u rg u 3 v v v 3 u u rg u 3 v v v 3 rg u u rg u 3 v v v 3 = = y P / r = y P r = y u u u 3 v v v 3 p q p q p 3 q 3 = 3 donde r P + t u = p, p, p 3 + t u, u, u 3, r Q + s v = q, q, q 3 + s v, v, v 3, Planos: El plano π que pasa por el punto P = p, p, p 3 y tiene a u = u, u, u 3 y v = v, v, v 3 como vectores directores se puede representar de varias formas. Una de ellas es: r P + t u + s v, t, s R. Cualquier punto x, y, z de dicho plano π se puede expresar de la forma: x, y, z = p + t u + s v, p + t u + s v, p 3 + t u 3 + s v 3, t, s R Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4
o equivalentemente con las llamadas ecuaciones paramétricas del plano: x = p + t u + s v, y = p + t u + s v, z = p 3 + t u 3 + s v 3, t, s R Despejando el valor de t y s podemos obtener la llamada ecuación general del plano, que está escrita en coordenadas cartesianas y es de la forma: a x + b y + c z + d = También se puede obtener la ecuación anterior construyendo el vector normal del plano n, que se obtiene de la forma n = a, b, c = u v. Imponiendo ahora que el plano de expresión ax + by + cz + d = pase por el punto P obtenemos la expresión deseada. Ejercicio 6.4.4 Encontrar las ecuaciones paramétricas y general del plano que pasa por los puntos P =,, 3, Q = 5,, 3 y R =,,. Sol: Calculamos inicialmente los dos vectores linealmente independientes: P Q = 3,, 6, P R =,,. Las ecuaciones paramétricas del plano vienen dadas por: x = + 3t s y = s z = 3 6t s, t, s R Despejando t y s en las ecuaciones anteriores obtenemos la ecuación general del plano: x 6y + z =. También podemos obtener la ecuación general del plano usando el vector normal n que viene dado por la expresión: n = i j k 3 6 = 6, 8, 3. Imponemos ahora que el plano 6x + 8y 3z + d = pase por el punto P =,, 3, luego d = 3. Obtenemos de ese modo, Π 6x + 8y 3z + 3 =. Observemos que las dos expresiones obtenidas como ecuación general del plano son proporcionales y, por tanto, ambas son válidas. Dados dos planos en el espacio, la posición relativa de ambos puede presentar los siguientes casos: a Los dos planos se cortan en una recta. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 3/4
b Los dos planos son paralelos. c Los dos planos coinciden. Usando las ecuaciones generales del plano podemos concluir que: ec. generales del plano planos que se cortan planos paralelos planos coincidentes a b rg c a b c a b rg c a b c a b rg c a b c = a b = y rg c d a b c d a b = rg c d a b c d = = donde π a x + b y + c z + d = π a x + b y + c z + d = Ejercicio 6.4.5 Calcular la posición relativa de los siguientes planos: a { π x + y + z =, π x + y z = b { π x + y + z =, π x + y + z = Distancia de un punto a un plano: La distancia del punto P = p, p, p 3 al plano π ax + by + cz + d = viene dada pr la expresión: dp, π = ap + bp + cp 3 + d a + b + c 6.5. Representación analítica de curvas y superficies. Cónicas Una curva se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican una determinada propiedad. Por ejemplo, la distancia a un punto fijo del plano P = a, b es constante: dx, y, a, b = r, lo que se traduce en que: x a + y b = r x a + y b = r Entonces, x a +y b = r es la representación analítica de la curva que cumple la propiedad anterior. En este caso, se trata de la circunferencia de centro el punto P = a, b y radio r. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 3/4
Análogamente, una superficie se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplen una determinada propiedad geométrica. Por ejemplo, la distancia a un punto fijo P = a, b, c es constante: lo que se traduce en que: dx, y, z, a, b, c = r, x a + y b + z c = r x a + y b + z c = r Entonces, x a +y b +z c = r es la representación analítica de la superficie que cumple la propiedad anterior. En este caso, se trata de la esfera de centro el punto P = a, b, c y radio r. Se llama representación analítica de una curva o una superficie a la representación mediante ecuaciones referidas a una sistema coordenado. No siempre es fácil encontrar los puntos del plano o del espacio que cumplen una determinada propiedad geométrica. Por ello, describiremos las ecuaciones de las curvas y las superficies más usuales sin deducirlas como lugares geométricos. 6.5.. Curvas en el plano más notables La ecuación de una curva en el plano depende de dos variables x, y, pero es un objeto geométrico"que sólo tiene un grado de libertad. Puede ocurrir que venga descrita de varias formas: a de forma implícita: si aparece una expresión que relaciona x e y igualada a cero: fx, y =. b de forma explícita: si una de las variables x, y aparece despejada en función de la otra: y = fx ó x = fy c de forma paramétrica: si x, y se escriben en función de una tercera variable: { x = xt, y = yt Las curvas más usuales en el plano son las llamadas cónicas o secciones cónicas, que son intersecciones de un doble cono recto con un plano de ahí su nombre. Recordemos que un doble cono recto es la superficie que se genera al girar una recta generatriz alrededor de otra recta distinta con la que se corta eje del cono. En general, se puede considerar generatriz cualquier recta sobre el cono. El punto de intersección de ambas rectas se denomina vértice del cono. Según sea la posición del plano de corte, se obtienen las siguientes secciones cónicas: a Si el plano es perpendicular al eje del cono y no pasa por el vértice se obtiene una circunferencia. En el caso en que el plano pase por el vértice se obtiene un único punto. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 3/4
z z y x y x b Si el plano no es perpendicular ni paralelo al eje del cono, y el plano y el eje del cono forman entre sí un ángulo mayor que el que forma el eje del cono con cualquiera de sus rectas generatrices, y no pasa por el vértice se obtiene una elipse. Si pasa por el vértice se obtiene un único punto. z z y x x c Si el plano es paralelo a cualquiera de las rectas generatrices se obtiene una parábola, salvo si pasa por el vértice, caso en el que se obtiene una recta. 3 z y x z y x d Si el plano no es perpendicular ni paralelo al eje del cono, y el plano y el eje del cono forman entre sí un ángulo menor que el que forma el eje del cono con cualquiera de sus rectas generatrices, y no pasa por el vértice se obtiene una hipérbola. Si pasa por el vértice se obtienen dos rectas que se cortan. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 3/4
3 z 3 y x z x y La circunferencia, elipse, hipérbola y parábola son cónicas. Las rectas y puntos se consideran cónicas degeneradas. En particular, las cónicas se corresponden con lugares geométricos de los puntos del plano x, y que satisfacen una ecuación completa de segundo grado. Las ecuaciones en forma reducida y en coordenadas cartesianas de las cónicas son:. Recta: Tiene varias formas de expresión ya vistas con anterioridad a las que podemos añadir: x x x x = y y y y recta que pasa por los puntos x, y y x, y y = y + mx x forma explícita en punto x, y y pendiente m y en forma paramétrica con variable independiente t: { x = x + tx x, y = y + ty y. Dos rectas a rectas secantes: su forma canónica es x a y =, que representa a las rectas b x a y b = y x a + y = que se cortan en el punto,. b b rectas paralelas: su forma canónica es x = a, que representa a las rectas x = a y x = a que son dos rectas paralelas. c rectas coincidentes: su forma canónica es x =, que representa a la recta doble x =. 3. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sus formas canónicas representan la elipse de centro,, semiejes a y b a > b y focos F = c,, F = c, con c = a b, cuyas ecuaciones son: a en implícitas: x a + y b = b en explícitas: y = ± b a x a { x = a cosθ, c en paramétricas: y = b senθ, θ [, π Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 3/4
En el caso particular en que ambos focos coinciden se obtiene la circunferencia: a = b = r. 4 4 4. Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sus formas canónicas representan la hipérbola de centro,, eje focal OX, vértices a, y a, y focos F = c, y F = c, con c = a + b, cuyas ecuaciones son: a en implícitas: x a y b = b en explícitas: y = ± b x a c en paramétricas: { x = a coshθ, y = b sinhθ, θ [, π a ó x = a cosθ, y = b tanθ, θ [, π y.4.6..4.6.8..4 x 5. Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco y a una línea fija llamado directriz es igual. Sus formas canónicas p representan la parábola cuyo foco es F =, y directriz x = p, cuyas ecuaciones son: a en implícitas: y = px b en explícitas: y = ± px c en paramétricas: x = t p, y = t, t R Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 3/4
.8.6 y.4...4.6.8...3.4.5 x 6.5.. Superficies en el espacio más notables La ecuación de una superficie depende de tres variables x, y, z, pero es un objeto geométrico"que sólo tiene dos grados de libertad. Puede ocurrir que venga descrita de varias formas: a de forma implícita: si aparece una expresión que relaciona x, y, z igualada a cero: F x, y, z =. Ejemplo 6.5. La ecuación en forma implícita del elipsoide de centro,, y semiejes a, b, c es x a + y b + z c =. b de forma explícita: si una de las variables x, y, z aparece despejada en función de las otras dos: x = fy, z, ó y = fx, z ó z = fx, y Ejemplo 6.5. La ecuación en forma explícita del paraboloide elíptico en forma z = zx, y es: z = x a + y b. c de forma paramétrica: si x, y, z se escriben en función de dos variables diferentes: x = xu, v, y = yu, v, z = zu, v Las superficies que vienen descritas en forma implícita como una ecuación de segundo grado reciben el nombre de cuádricas cuyas ecuaciones en forma reducida y en coordenadas cartesianas describiremos a continuación. Para ello, estudiaremos además: Intersección con los planos coordenados Intersección con los planos paralelos a los planos coordenados Simetría respecto a un plano cordenado Tenemos la siguiente clasificación de cuádricas: Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
. Elipsoide: Sabemos que la forma implícita del elipsoide es: x x a + y y b + z z c =. Tomamos ρ = e igualamos las coordenadas esféricas y la ecuación implícita de la forma: x x = cosϕ cosθ a x = x + a cosϕ cosθ y y = cosϕ sinθ y = y + b cosϕ sinθ b z z z = z c = sinϕ + c sinϕ, θ, π, ϕ π, π obteniendo unas ecuaciones paramétricas pueden existir otras diferentes..5.5 4 4 Consideramos a partir de este momento que x, y, z =,,. a Intersección con los planos coordenados: x = : obtenemos y b + z = que es una elipse de centro, y semiejes c b, c. y = : obtenemos x a + z = que es una elipse de centro, y semiejes c a, c. z = : obtenemos x a + y = que es una elipse de centro, y semiejes b a, b. b Intersección con planos paralelos a los planos coordenados: x = h: obtenemos y b + z c = h h a que es una elipse si >. Si a h = ±a, entonces su ecuación se reduce a y b + z =, cuya única solución c es y =, z =. Por tanto, el elipsoide tiene secciones elípticas en todos los planos x = h para h a, a. Para h = ±a se reduce a un punto ±a,,. Para h > a no hay intersección entre el elipsoide y el plano x = h. = k b k = ±b, entonces su ecuación se reduce a x y = k: obtenemos x a + z c k que es una elipse si b >. Si a + z =, cuya única solución c Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
es x =, z =. Por tanto, el elipsoide tiene secciones elípticas en todos los planos y = k para k b, b. Para k = ±b se reduce a un punto, ±b,. Para k > b no hay intersección entre el elipsoide y el plano y = k. = l c l = ±c, entonces su ecuación se reduce a x z = l: obtenemos x a + y b l que es una elipse si c >. Si a + y =, cuya única solución b es x =, y =. Por tanto, el elipsoide tiene secciones elípticas en todos los planos z = l para l c, c. Para l = ±c se reduce a un punto,, ±c. Para l > c no hay intersección entre el elipsoide y el plano z = l. c Simetrías: Es simétrica respecto a los tres planos coordenados.. Hiperboloide de una hoja o hiperboloide elíptico: Sabemos que la forma implícita del hiperboloide elíptico es: x x a + y y b z z c =. En este caso simplemente exponemos cuáles podrían ser unas ecuaciones paramétricas para esta superficie cuádrica: x = x + a chϕ cosθ y = y + b chϕ sinθ z = z + c shϕ, donde chϕ designa el coseno hiperbólico de ϕ, y shϕ designa el seno hiperbólico de ϕ..5.5.5.5.5.5 Consideramos a partir de este momento que x, y, z =,,. a Intersección con los planos coordenados: x = : obtenemos y b z = que es una hipérbola de centro, y eje c focal OY. y = : obtenemos x a z = que es una hipérbola de centro, y eje c focal OX. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4
z = : obtenemos x a + y = que es una elipse de centro, y semiejes b a, b. b Intersección con planos paralelos a los planos coordenados: x = h: obtenemos y b z c = h h que es una hipérbola si. Si a a h = ±a, entonces su ecuación se reduce a y b z =, que son dos rectas c cy + bz =, cy bz = que a su vez son las asíntotas de las hipérbolas anteriores. y = k: obtenemos x a z c = k k que es una hipérbola si. Si b b k = ±b, entonces su ecuación se reduce a x a z =, que son dos rectas c cx + az =, cx az = que son las asíntotas de las hipérbolas anteriores. z = l: obtenemos x a + y b = + l que es una elipse para cualquier valor c de l. c Simetrías: Es simétrica respecto a los tres planos coordenados. El eje del hiperboloide elíptico es el correspondiente a la variable que aparece en la ecuación implícita con signo negativo, en este caso el eje OZ. 3. Hiperboloide de dos hojas o hiperboloide hiperbólico: Sabemos que la forma implícita del hiperboloide hiperbólico es: x x a + y y b z z c =. En este caso simplemente exponemos cuáles podrían ser unas ecuaciones paramétricas para esta superficie cuádrica: x = x + a shϕ cosθ y = y + b shϕ sinθ z = z + c chϕ. 3 3 Consideramos a partir de este momento que x, y, z =,,. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4
a Intersección con los planos coordenados: x = : obtenemos y b z = que es una hipérbola de centro, y eje c focal OZ. y = : obtenemos x a z = que es una hipérbola de centro, y eje c focal OZ. z = : obtenemos x a + y = que no representa ninguna figura. b b Intersección con planos paralelos a los planos coordenados: x = h: obtenemos y b + z c = + h que es una hipérbola de eje OZ. a y = k: obtenemos x a + z c = + k b que es una hipérbola de eje OZ. z = l: obtenemos x a + y l l = + que es una elipse si +, es b c c decir l c, y que no representa a ninguna figura si l c, c. Se trata de una familia de hipérbolas que se apoyan en elipses, excepto en el intervalo z c, c, donde no hay superficie. Por eso, se llama de hojas. Al aumentar el valor de l los semiejes de las elipses se van al infinito. Los planos z = ±c son planos tangentes a dicho hiperboloide hiperbólico. c Simetrías: Es simétrica respecto a los tres planos coordenados y respecto al origen. 4. Paraboloide elíptico: Su ecuación implícita viene dada por la expresión: x x a + y y b = z z. Podemos obtener sus ecuaciones paramétricas de dos formas distintas que exponemos a continuación: x x = u a x = x + a u parametrización y y = v y = y + b v b z z = u + v z = z + u + v Y usando coordenadas polares, obtenemos: x x = ρ cosθ a x = x + a ρ cosθ parametrización y y = ρsinθ y = y + b ρ sinθ b z z = ρ z = z + ρ Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 3/4
.8.6.4..5.5.5.5 Consideramos a partir de este momento que x, y, z =,,. a Intersección con los planos coordenados: x = : obtenemos y = z que es una parábola de eje OZ y vértice,. b y = : obtenemos x = z que es una parábola de eje OZ y vértice,. a z = : obtenemos x a + y = que es el origen de coordenadas vértice del b paraboloide. b Intersección con planos paralelos a los planos coordenados: x = h: obtenemos y b h,, h. a y = k: obtenemos x a, k, k. b = z h a = z k b que es una parábola de eje OZ y vértice que es una parábola de eje OZ y vértice z = l: obtenemos x a + y = l que es una elipse si l >, de centro,, l b y ejes a l, b l. Se trata de una familia de parábolas de vértice el origen que se apoyan en una familia de elipses o guía alrededor del eje OZ. c Simetrías: Es simétrica respecto a los planos OXZ y OY Z, pero el plano OXY no es plano de simetría. 5. Paraboloide hiperbólico o silla de montar: Partimos de su ecuación implícita: x a y b = z, y la reescribimos de la forma: x a + y x b a y = z. b Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 3/4
Llamando u al primer paréntesis y v al segundo: x a + y b = u x a y b = v x = au + v y = bu v z = 4 u v.5.5.5.5.5.5 Consideramos a partir de este momento que x, y, z =,,. a Intersección con los planos coordenados: x = : obtenemos y b negativa del eje y vértice,. = z que es una parábola de eje OZ en la parte y = : obtenemos x = z que es una parábola de eje OZ y vértice,. a z = : obtenemos x a y = que son dos rectas bx + ay =, bx ay =, b que pasan por el origen de coordenadas. b Intersección con planos paralelos a los planos coordenados: x = h: obtenemos y h = z + que es una parábola de eje OZ. b a y = k: obtenemos x a = z + k b que es una parábola de eje OZ. z = l: obtenemos x a y = l que es una hipérbola cuyas asíntotas son las b rectas bx + ay =, bx ay =. 6. Cilindro: Se trata de una familia de rectas paralelas a una dirección fija que vamos a suponer que es uno de los ejes coordenados y que se apoya en una curva. Distinguimos tres tipos de cilindros: a Cilindro elíptico de eje OZ: x a + y b = Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 3/4
.5.5.5.5.5.5 b Cilindro parabólico de eje OZ: y = b x ó x = a y c Cilindro hiperbólico de eje OZ: x a y b =.5.5.5.5.5.5 Sus ecuaciones paramétricas podrían ser las de la cónica en la que se apoyan escrita en coordenadas cartesianas x, y si son de eje OZ y la otra variable inalterable z = z en este caso. 7. Cono: Se trata de una familia de rectas que pasan por un punto y se apoyan en una curva cerrada. Si consideramos que el punto es el,, y que la curva está en el plano OXY y sólo puede ser una circunferencia o una elipse debe ser cerrada. En este caso, el cono es de eje OZ y sus ecuaciones vienen dadas por: a Cono elíptico de eje OZ: x a + y b = z c b Cono circular de eje OZ: x + y = r z. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 3/4
.5.5.5.5.5.5 Sus ecuaciones paramétricas podrían ser las de la cónica en la que se apoyan escrita en coordenadas cartesianas x, y si son de eje OZ y la otra variable se obtendría a partir de la ecuación implícita del cono correspondiente. 6.6. Curvas sobre superficies En el espacio hay algunas curvas características que se describen sobre una superficie, es decir, son parte de dicha superficie. Dichas curvas son conocidas por el público en general, como por ejemplo las curvas coordenadas o las curvas de nivel. Estudiaremos las siguientes curvas sobre superficies:. Curvas coordenadas.. Curvas de nivel. 3. Curvas implícitas. 6.6.. Curvas coordenadas Son curvas cuya ecuación se obtiene fácilmente si la superficie sobre la que se encuentra viene descrita en la forma paramétrica siguiente una superficie tiene asociadas dos variables independientes: S x = xu, v, y = yu, v, z = zu, v Dicha ecuación se obtiene considerando constante una de las dos variables independientes u, v, de manera que tenemos dos curvas distintas: a Si u = u, entonces: x = xu, v = xv, y = yu, v = yv, z = zu, v = zv es una curva una sola variable independiente v sobre la superficie S, ya que verifica la ecuación de S. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 3/4
b Si v = v, entonces: x = xu, v = xu, y = yu, v = yu, z = zu, v = zu es una curva una sola variable independiente u sobre la superficie S, ya que verifica la ecuación de S. La característica más importante de dichas curvas es que para u = u y v = v se obtiene: x = xu, v, y = yu, v, z = zu, v es decir, el punto x, y, z que pertenece a S. De ese modo, todos los puntos de la superficie S pueden identificarse como la intersección de dos curvas sobre la superficie. Las curvas definen entonces un mallado sobre dicha superficie, de ahí que reciban el nombre de curvas coordenadas de la superficie. Ejemplo 6.6. Los meridianos y paralelos sobre una esfera son las curvas coordenadas de dicha esfera..5.5 4 4 6.6.. Curvas de nivel Son curvas cuya ecuación se obtiene fácilmente si la superficie sobre la que se encuentra viene descrita en la forma explícita: S z = fx, y. Se llama curva de nivel de la superficie S a la curva que se obtiene al cortar la superficie S con un plano de tipo z = c. Observemos que las ecuaciones de una curva de nivel vienen dadas por: { } z = fx, y fx, y = c z = c Observemos que la expresión final fx, y = c es una ecuación con dos incógnitas, por tanto hay una variable independiente, lo que coincide con las variables independientes que debe tener una curva. A partir de las curvas de nivel es fácil visualizar una superficie, ya que esa es la idea que se utiliza a la hora de preparar mapas de contornos en los que las líneas representan los lugares con altitud constante. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 3/4
Ejemplo 6.6. Las líneas de nivel del paraboloide elíptico x a + y b = z son: x a + y b = z z = c x a + y b = c z = c x a c + y b c = z = c que se corresponde, si c > con una familia de elipses cuyos semiejes aumentan con c..8.6.4..5.5.5.5 Ejemplo 6.6.3 Las líneas de nivel del paraboloide hiperbólico x a y b = z son: x a y b = z z = c x a y b = c z = c x a c y b c = z = c que se corresponde, si c con una familia de hipérbolas cuyos semiejes aumentan con c. 6.6.3. Curvas implícitas Una curva viene dada en forma implícita cuando es la intersección de dos superficies expresadas en forma implícita: { F x, y, z = Gx, y, z = Ejemplo 6.6.4 La curva intersección de la esfera x + y + z = con el cilindro x + y x =. Para conocer la geometría de dicha curva qué objeto es es importante conocer sus proyecciones sobre los planos coordenados. Para ello usamos el siguiente procedimiento, cuyos pasos son:. Calcular el cilindro proyectante: Consiste en transformar el sistema inicial { F x, y, z = Gx, y, z = en otro sistema equivalente en el que en una de las ecuaciones falta una de las tres variables x, y, z. Dicha variable se corresponde al eje coordenado perpendicular al plano coordenado sobre el que se quiere hacer la proyección. Por ejemplo, si queremos hacer la proyección sobre el plano OXY la variable que debe eliminarse es la variable z. Para ello, se usa el método de sustitución, es decir, se despeja la variable en una de las dos ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4
a Si proyectamos sobre OXY, eliminamos la variable z: } { F x, y, z = F x, y, z = Gx, y, z = Hx, y = donde Hx, y = se llama cilindro proyectante. b Si proyectamos sobre OXZ, eliminamos la variable y: } { F x, y, z = F x, y, z = Gx, y, z = Hx, z = donde Hx, z = se llama cilindro proyectante. c Si proyectamos sobre OY Z, eliminamos la variable x: } { F x, y, z = F x, y, z = Gx, y, z = Hy, z = donde Hx, y = se llama cilindro proyectante.. Se hace cero la variable perpendicular al plano sobre el que queremos hacer la proyección. De ese modo, las ecuaciones impliícitas de la curva proyectada son: a Si proyectamos sobre OXY : b Si proyectamos sobre OXZ: c Si proyectamos sobre OY Z: { Hx, y = z = { Hx, z = y = { Hy, z = x = Ejercicio 6.6.5 Hallar las proyecciones sobre los ejes de la curva implícita x + y + z = 4 x + y = z 3 y 3 x Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4
Sol: Las proyecciones sobre cada plano coordenado son: Sobre el plano OXY : x + y =, x [, ], y [, ] z =.5.5.5.5.5.5 Sobre el plano OXZ: z x =, x [, ], z [ 3, 3] y = z.5 y.5 x Sobre el plano OY Z: y 6 + z =, y [, ], z [, ] 3 x = z y x Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4