Regresar Wikispaces 01. El extreo de un segento es A(6. 4 y su punto edio M(-2, 9, hallar su otro extreo B(x, y. B(x. y M(-2, 9 A(6. 4 AB 2 x 6 01. = = 2 x 6 = 4 + 2x x = 10 BM 1 2 x y 4 = 2 y 4 = 18 + 2y y = 14 B( 10, 14 9 y Nota: heos considerado al segento AM, coo el segento inicial y al punto B se ha considerado coo el punto externo o fuera del segento AM, por lo cual la razón es negativa. Para obtener la razón, se toa de A a B entre B a M e igualado a enos r, después se obtiene el valor del segento AB = 2 porque AM = MB y AB = 2AM o 2MB y BM = 1 por ser la itad del segento AB
02. Hallar los puntos de trisección del segento AB de coordenadas A(-3, -4 y B(6, 11. Regresar Wikispaces B(6, 11 D(x, y C(x, y A(-3, -4 02. AC 1 x ( 3 1 = = CB 2 6 x 2 2x + 6 = 6 x 3x = 0 x = 0 y ( 4 1 = 11 y 2 2y + 8 = 11 y 3y = 3 y = 1 C(0, 1 AD 2 x ( 3 = = 2 DB 1 6 x x+ 3= 12 2x 3x = 9 x = 3 y ( 4 = 2 11 y y + 4 = 22 2y 3y = 18 y = 6 D(3, 6 Nota: se ha considerado al segento AB, coo el segento inicial y los puntos C y D coo los puntos que dividen al segento AB en tres partes. Para obtener la priera razón, se toa de AC = 1 y se divide entre CB = 2, donde la razón es positiva por estar dentro del segento AB. Para obtener la segunda razón, se toa de AD = 2 y se divide entre DB = 1, donde la razón es positiva por estar dentro del segento AB. Después se sustituyen valores para cada razón obtenida y se resuelve la ecuación, para obtener los puntos C y D.
Regresar Wikispaces 03. Hallar las coordenadas del punto P que divide al segento AB de coordenadas A(-1, 4 y B(2, -3 en la razón dada de 3 a 4. A(-1, 4 P(x, y B(2, -3 AP 3 x ( 1 3 2 03. = = 4x + 4 = 6 3x 7x = 2 x = PB 4 2 x 4 7 y 4 3 2 = 4y 16 = 9 3y 7y = 7 y = 1 P(,1 3 y 4 7 Nota: heos considerado epezar del punto A a P y de P a B para igualar con la razón dada que es positiva y la cual nos indica que el punto esta dentro del segento AB. Se puede iniciar en sentido contrario, es decir del punto B a P y de P a A e igualar con la razón dada, esto es posible porque no nos indican ediante la razón dada, cual es la posición del punto P con respecto a el punto A o al punto B, por lo cual existe una segunda solución. ( se recoienda obtener la segunda solución
04. Hallar el punto P, que divide al segento AB de coordenadas A(-4, 4 y B(5, 2 si: a P está después de B al doble de distancia de A que de B b P está antes de A al triple de distancia de B que de A. Regresar Wikispaces P(x, y A(-4, 4 B(5, 2 P(x, y a AP 2 x ( 4 04a. = = 2 PB 1 5 x x + 4 = 10 + 2x x = 14 y 4 = 2 2 y y 4 = 4 + 2y y = 0 P(14, 0 b BP 3 x 5 17 04b. = = 3 x 5 = 12 + 3x x = = 8.5 PA 1 4 x 2 y 2 10 = 3 y 2 = 12 + 3y y = = 5 P( 8.5, 5 4 y 2
Regresar Wikispaces 05. El segento de A(2, 4 a B(-3, -5 se prolonga por los dos extreos en una distancia igual al doble de su longitud. Hallar las coordenadas de los nuevos extreos M(x, y y N(x, y. N(x, y A(2, 4 B(-3, -5 M(x, y AM 2 x 2 05. = = 2 x 2 = 6 + 2x x = 8 MB 1 3 x y 4 = 2 y 4 = 10 + 2y y = 14 M( 8, 14 5 y BN 2 x ( 3 = = 2 x + 3 = 4 + 2x x = 7 NA 1 2 x y ( 5 = 2 y + 5 = 8 + 2y y = 13 N(7, 13 4 y
Regresar Wikispaces 06. Hallar el punto P que se une al punto A del segento AB de coordenadas A(4, 6 y B(-4, 2, dividiéndolo en una razón de r = -3. A(4, 6 P(x, y B(-4, 2 BP x ( 4 06. = 3 = 3 x + 4 = 12 + 3x x = 8 PA 4 x y 2 = 3 y 2 = 18 + 3y y = 8 P(8, 8 6 y
Regresar Wikispaces 07. Una recta pasa por los puntos A(-2, -1 y B(3, 4, hallar: a. el punto P sobre la recta prolongado ás allá de B de anera que P queda 3 veces la distancia de A que de B b. el punto N sobre la recta prolongado ás allá de A de anera que N queda al triple de distancia de B que de A c. la deostración de que la distancia d AP = 3d AB. P(x, y B(3, 4 A(-2, -1 N(x, y AP 3 x ( 2 3 07a. = = PB 2 3 x 2 2x + 4 = 9 + 3x x = 13 y ( 1 3 = 4 y 2 2y + 2 = 12 + 3y y = 14 P(13, 14 BN 3 x 3 3 07b. = = NA 2 2 x 2 2x 6 = 6 + 3x x = 12 y 4 3 = 1 y 2 2y 8 = 3 + 3y y = 11 N( 12, 11 2 1 2 1 AP AB 07c. d = (x x + (y y d = 3d A( 2, 1 B(3, 4 P(13, 14 (13 ( 2 + (14 ( 1 = 3 (3 ( 2 + (4 ( 1 (15 + (15 = 9 (5 (5 + 225 + 225 = 9(25 + 25 450 = 9(50 450 = 450 se cuple la condicion
Regresar Wikispaces 08. El extreo de un diáetro de centro C(-4, 1 es A(2, 6. Hallar las coordenadas del otro extreo B y deostrar que se cuple d Ac = d CB. A(2, 6 C(-4, 1 B(x, y AB 2 x 2 08. = = 2 x 2 = 8 + 2x x = 10 BC 1 4 x y 6 = 2 y 6 = 2 + 2y y = 4 B( 10, 4 1 y 2 1 2 1 AC CB d = (x x + (y y d = d A(2, 6 C( 4, 1 B( 10, 4 ( 4 2 + (1 6 = ( 10 ( 4 + ( 4 1 ( 6 + ( 5 = ( 6 + ( 5 36 + 25 = 36 + 25 61 = 61 se cuple la condicion
Regresar Wikispaces 09. Hallar las coordenadas del punto C(x, y del segento que une esté punto con A(2, -2, sabiendo que el punto B(-4, 1 esta situado a una distancia de A igual a las tres quintas partes de la longitud total del segento, así coo su distancia d Ac. C(x, y B(-4, 1 A(2, -2 3 2 5 09. si AB = BC = AC = 5 5 5 5 AC 5 5 x 2 5 = = = 2x 4 = 20 + 5x x = 8 CB 4 x 2 5 y ( 2 5 = 2y + 4 = 5 + 5y y = 3 B( 8, 3 1 y 2 2 1 2 1 d = (x x + (y y A(2, 2 B( 4, 1 C( 8, 3 AC d = ( 8 2 + (3 ( 2 = ( 10 + (5 = 100 + 25 = 125 = 11.18 u
Regresar Wikispaces El área de un triángulo rectángulo, es el sei producto de sus catetos y el de un rectángulo, es el producto de sus lados diferentes. En la analítica para encontrar las áreas de triángulos y paralelograos, se suele eplear el concepto de deterinantes, de la siguiente anera: Dados los puntos A( x 1, y 1, B( x 2, y 2 y C( x 3, y 3 que son los vértices de un triángulo, encontrar el área encerrada por los puntos ABC. C( x 3, y 3 B( x 2, y 2 A( x 1, y 1 x y 1 1 x2 y2 1 1 A = = (x1y2 + x2y3 + x3y 1 (x2y1+ x3y2 + x1y 3 2 x y 2 3 3 ( [ ] x y 1 1 ( Sean los puntos A( -4, -3, B( 5, 3 y C( 2, 6 de un triángulo, calcular su área. 4 3 5 3 1 1 1 1 A = = ( 12 + 30 6 ( 15 + 6 24 = (12 ( 33 = 45 = 22.5 u 6 2 4 3 [ ] [ ] [ ] 2
Dados los puntos A( x 1, y 1, B( x 2, y 2, C( x 3, y 3 y D( x 4, y 4 que son los vértices de un paralelograo, encontrar el área encerrada por los puntos ABCD. C( x 3, y 3 D( x 4, y 4 A( x 1, y 1 B( x 2, y 2 x x y 1 1 y 1 x y 1 2 x y 2 [ ] A = 3 3 = (xy 1 2 + xy 2 3 + xy 3 4 + xy 4 1 (xy 2 1+ xy 4 3 + xy 1 4 x 4 4 y 1 1 Sean los puntos A( -3, -4, B( 7, -2, C( 8, 5 y D( -2, 1 de un paralelograo, calcular su área. 3 4 7 2 1 8 5 1 1 1 A = = (6 + 35 + 8 + 8 ( 28 16 10 3 = (57 ( 57 = 114 = 57 u 2 1 3 4 [ ] [ ] [ ] 2
La inclinación de un segento AB, esta relacionado con la tangente del ángulo ( Tan θ que se foran entre el cateto adyacente y la hipotenusa. c = hipotenusa C b = cateto opuesto A θ a = cateto adyacente B c.o b y y Tanθ = Tanθ = a = x2 x1 b = y2 y1 Tanθ = c.a a x x 2 1 2 1 y y esta es la pendiente "" de un segento o una racta = x x 2 1 2 1 Deterinar la pendiente del segento AB, de coordenadas A( 3, 4 y B( -3, -2 A( 3, 4 y y 2 4 6 = = = = 2 1 AB 1 x2 x1 3 3 6 B( -3, -2 Nota: La pendiente igual a uno, representa un ángulo de 45º con respecto a la horizontal, por lo tanto cualquier punto que este sobre la recta tendrá la isa pendiente.
Condición de paraleliso: dos segentos AB y MN o rectas L 1 y L 2, guardan una relación de paraleliso si sus pendientes son iguales 1 = 2. N L 2 B α β M L 1 A Si tanα tan β = 0 => paraleliso = AB MN De los siguientes pares de segentos, deterine si guardan una relación de paraleliso. a AB y CD de coordenadas A( 1, -1, B( -5, -5, C( 1, -2 y D( 7, 2 b PQ y RS de coordenadas P( -1, 5, Q( -5, 2, R( 2, 3 y S( 6, 6 a AB 5+ 1 + = = CD = = 5 1 3 7 1 3 2 AB = CD = son paralelas 3 Q P A R S D b PQ 2 5 3 6 3 3 = = RS = = 5+ 1 4 6 2 4 B C 3 PQ = RS = son paralelas 4
Condición de perpendicularidad: dos segentos PQ y RS o rectas L 1 y L 2, guardan una relación de perpendicularidad si el producto de sus pendientes es igual a enos uno 1 2 = - 1. S Q ϕ θ L 1 L 2 α β P R Si tanα tan β = 1 => perpendicularidad = 1 PQ RS De los siguientes pares de segentos, deterine si guardan una relación de perpendicularidad. a MN y OP de coordenadas M( 2, -3, N( 0, 2, O( 1, 0 y P( 6, 2 b QR y ST de coordenadas Q( -3, 2, R( -5, 6, S( -2, 5 y T( -6, 3 a MN 2+ 3 5 2 0 2 = = OP = = 0 2 2 6 1 5 R S OP 1 2 = = 5 MN son perpendiculares T Q N P b 6 2 3 5 1 QR = = 2 ST = = 5+ 3 6+ O M QR 1 = = 2 son perpendiculares ST
Un segento de recta AB de coordenadas A( x 1, y 1 y B( x 2, y 2, puede representarse ediante una ecuación ateática llaada ecuación de la recta, la cual depende de sus puntos. A( x 1, y 1 P( x, y B( x 2, y 2 AB en x AB en y x x y y = = AP en x AP en y x x y y 2 1 2 1 1 1 y2 y 1 y y1 = ( x x1 ecu. de la recta dados dos puntos x2 x1 Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( -3, -4 y B( 5, 3. y2 y 1 4 3 y y1 = ( x x1 y 3 = ( (x 5 x2 x1 3 5 B( 5, 3 7 y 3= ( x 5 7x+ 8y+ 11= 0 8 11 11 si y= 0 x= P(,0 7 7 A( -3, -4 11 11 si x = 0 y = Q( 0, 8 8
Dado un punto A( x 1, y 1 y la pendiente de una recta que pasa por este punto, se puede obtener la ecuación de la recta, de la siguiente fora. A( x 1, y 1 P( x, y y y 2 1 Si = y y1 = (x x 1 ecu. de la recta punto - pendiente x2 x1 Obtener la ecuación de la recta cuyo punto es A( -8, -8 y pendiente 3/4. 3 y y1 = (x x 1 y + 8 = (x + 8 4 3x + 4y + 8 = 0 A( -8, -8 M N = 3/4 θ = 36.8 º si x = 0 y = 2 M(0, 2 8 8 si y = 0 x = N(, 0 3 3
Dados los puntos A( 0, y 1 y B( x 2, y 2 de una recta con pendiente, para deterinar su ecuación se obtiene coo: y - y 1 = ( x - x 1 B( x 2, y 2 A( 0, y 1 Si x = 0 y b = y y b = x 1 1 y = x + b ecu. de la recta pendiente ordenada al origen Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje vertical es -2. = 3 b= 2 y= 3x 2 3x + y + 2 = 0 N M = -3 θ = -71.5 º si x = 0 y = 2 M(0, 2 si y = 0 x = N(, 0 3 3
La ediana es una recta que se traza desde el vértice de un triángulo al punto edio de su segento o lado opuesto y la intersección de las tres edianas es en el punto llaado baricentro G( x, y. R A( x 1, y 1 B( x 2, y 2 G Q P C( x 3, y 3 La ediana AP x + x y + y y y x = y = P (x,y = 2 3 2 3 1 AP x x1 y y = (x x ecu. 1 1 AP 1 La ediana BQ x + x y + y y y x = y = Q (x,y = 1 3 1 3 2 BQ x x2 y y = (x x ecu. 2 2 BQ 2 La ediana CR x + x y + y x = y = R (x,y = 1 2 1 2 CR 3 x x y y 3 y y = (x x ecu. 3 3 CR 3 Resolver el sistea de ecuaciones para calcular las coordenadas del punto G( x, y.
Dados los puntos de un triángulo A( 5, 5, B( -6, 3 y C( 3, -4, deterine las ecuaciones de las edianas y el punto donde se intersectan (baricentro G( x, y. R A( 5, 5 B( -6, 3 G Q P C( 3, -4 1 5 6 + 3 3 3 4 1 3 1 2 11 La ediana AP x = = y = = P (, AP = = 3 5 13 2 11 y 5 = (x 5 13y 65 = 11x 55 11x + 13y 10 = 0 ecu. 1 13 1 3 5+ 3 5 4 1 1 5 La ediana BQ 2 x = = 4 y = = Q (4, BQ = = 4 ( 6 20 5 y 3 = (x ( 6 20y 60 = 5x 30 5x + 20y 30 = 0 ecu. 2 20 5 6 1 5+ 3 1 4 ( 4 16 La ediana CR x = = y = = 4 R (,4 CR = = 1 3 7 2 16 y ( 4 = (x 3 7y + 28 = 16x + 48 16x + 7y 20 = 0 ecu. 3 7 20 De la ecu. 1 y 2, para K 55x + 65y = 50 55x + 220y = 330 285y = 380 y = 15 20 400 10 10 20 sustituyendo "y" en la ecu. 2 5x + 20( = 30 5x = 30 x = G(, 15 15 15 15 15
La altura es una recta que se traza en el vértice de un triángulo, que tiene coo pendiente la reciproca negativa del segento o lado opuesto y la intersección de las tres alturas se da en un punto llaado ortocentro H( x, y. Q 1 A( x 1, y 1 B( x 2, y 2 R 1 H P 1 P 2 Q 2 R 2 C( x 3, y 3 y y 1 La altura en A = = y y = (x x ecu. 1 3 2 BC A 1 A 1 x3 x2 BC para trazar la recta, se tabula x = 0 para P ( 0, y y luego y = 0 para P ( x, 0 1 2 y y 1 La altura en B = = y y = (x x ecu. 2 3 1 AC B 2 B 2 x3 x1 AC para trazar la recta, se tabula x = 0 para Q ( 0, y y luego y = 0 para Q ( x, 0 1 2 y y 1 La altura en C = = y y = (x x ecu. 3 2 1 AB C 3 C 3 x2 x1 AB para trazar la recta, se tabula x = 0 para R ( 0, y y luego y = 0 para R ( x, 0 1 2 Resolver el sistea de ecuaciones para calcular las coordenadas del punto H( x, y.
Dados los puntos de un triángulo A( 4, 6, B( -4, 2 y C( 2, -4, deterine las ecuaciones de las alturas y el punto donde se intersectan (ortocentro H( x, y. A( 4, 6 B( -4, 2 H P 1 Q 1 P 2 R 1 R 2 Q 2 C( 2, -4 4 2 1 La altura en A BC = = 1 A = = 1 y 6 = 1(x 4 2 ( 4 BC x + y 2 = 0 ecu. 1 para x = 0 P ( 0, 2 para y = 0 P ( 2, 0 1 2 4 6 1 1 1 La altura en B AC = = 5 B = = y 2 = (x ( 4 2 4 5 5 AC 6 x + 5y 6 = 0 ecu. 2 para x = 0 Q 1( 0, para y = 0 Q 2( 6, 0 5 2 6 1 1 La altura en C AB = = C = = 2 y ( 4 = 2(x 2 4 4 2 AB 2x + y = 0 ecu. 3 para x = 0 R ( 0, 0 para y = 0 R ( 0, 0 1 2 2 De la ecu. 1 y 3, para K x y = x + y = 0 3x = 2 x = 3 2 4 2 4 sustituyendo "x" en la ecu. 3 2( + y = 0 y = H(, 3 3 3 3
La ediatriz es una recta perpendicular que se traza en el punto edio de un segento o lado de un triángulo y la intersección de las tres ediatrices es en el punto llaado circuncentro K( x, y de un circulo (circunscrito que pasa por los tres vértices del triángulo. B( x 2, y 2 R A( x 1, y 1 K Q P C( x 3, y 3 y y 1 x + x y + y La ediatriz de AB en R AB = = R(, x x 2 1 1 2 1 2 R 2 1 AB y y = (x x ecu. 1 R R R y y 1 x + x y + y La ediatriz de BC en P BC = = P(, x x 3 3 2 3 P 3 2 BC y y = (x x ecu. 2 P P P y y 1 x + x y + y La ediatriz de AC en Q AC = = Q(, x x 3 1 1 3 1 3 Q 3 1 AC y y = (x x ecu. 3 Q Q Q Resolver el sistea de ecuaciones para calcular las coordenadas del punto K( x, y.
Dados los puntos de un triángulo A( 4, 6, B( -4, 2 y C( 2, -4, deterine las ecuaciones de las ediatrices y el punto donde se intersectan (circuncentro K( x, y. R A( 4, 6 B( -4, 2 K Q P C( 2, -4 2 6 1 La ediatriz de AB en R AB = = R = 2 R(0, 4 4 4 2 y 4 = 2(x 0 2x + y 4 = 0 ecu. 1 4 2 La ediatriz de BC en P BC = = 1 P = 1 P( 1, 1 2+ 4 y + 1 = 1(x + 1 x + y = 0 ecu. 2 4 6 1 La ediatriz de AC en Q AC = = 5 Q = Q(3, 1 2 4 5 1 y 1 = (x 3 x + 5y 8 = 0 ecu. 3 5 4 De la ecu. 1 y 2, para K 2x + y = 4 2x + 2y = 0 3y = 4 y = 3 4 4 4 4 sustituyendo "y" en la ecu. 2 x + = 0 x = K(, 3 3 3 3
Sean los puntos Q( 0, b y R( b, 0 de una recta que corta los ejes x-y, para deterinar su ecuación se obtiene coo: Q( 0, b R( a, 0 0 b b b = = y b = (x 0 xb + ay ab = 0 xb + ay = ab a 0 a a xb ay ab x y + = + = 1 ecu. sietrica de la recta ab ab ab a b Deterine la ecuación de la recta que pasa por el punto M( 2, 3, donde su abscisa al origen es el doble de su ordenada. abscisa = a ordenada = b a = 2b Q M( 2, 3 x y 2 3 + = 1 + = 1 a b 2b b b= 4 a = 8 x y + = 1 8 4 x + 2y 8 = 0 R si x = 0 y = 4 Q(0,4 si y = 0 x = 8 R(8,0
Ecuación de la recta en su fora noral: dado el segento de recta al origen OR de agnitud p, con coordenada R( a, b y con ángulo de inclinación Ø, teniendo coo condición que cualquier recta que pase por el punto R guardará una relación de perpendicularidad, por lo tanto el segento OR tendrá una pendiente reciproca negativa para cualquier posición en el plano girando en el origen. p R( a, b O Ø 1 a Si a = p cosφ y b = psinφ R( p cos φ, psin φ R = = tanφ b a y b = (x a ax + by = a + b px cosφ + pysinφ = p cos φ + p sin φ b coo cos φ + sin φ = 1 x cosφ + ysinφ = p ecu. Fora noral de la recta En un círculo de centro en el origen y radio igual a 5, hallar la fora noral de la ecuación de la recta tangente en el punto R( -3, 4. O p = 5 Ø R( -3, 4 3 4 cosφ = sinφ = 5 5 3 4 x( + y( = 5 3x + 4y = 25 5 5 3x + 4y = 25 3x 4y + 25 = 0
Ecuación de la recta general de la recta: es una ecuación de prier orden con dos variables y terino independiente e igualada a cero. Esta ecuación puede provenir de los casos de ecuaciones de la recta y puede expresarse teniendo la fora siguiente. B( x 2, y 2 A( x 1, y 1 y y y y = ( x x (x x y (x x y = (y y x (y y x 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 x2 x1 (y y x + (x x y + (y y x (x x y = 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 A = (y y B = (x x C = (y y x (x x y 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 Ax + By + C = 0 ecu. general de la recta A C donde = y b = B B Dada la ecuación de la recta 3x - 4y +8 = 0, graficar y obtener su pendiente y ordenada. 3x 4y + 8 = 0 A = 3 B = 4 C = 8 Q R si x = 0 y = 2 R(0, 2 8 8 si y = 0 x = Q(, 0 3 3 A 3 3 C 8 = = = b= = = 2 B 4 4 B 4
Intersección de rectas: dos rectas se cruzan si no son paralelas, por lo tanto sus pendientes 1 y 2 son diferentes. El punto de intersección P( x, y se obtiene resolviendo el sistea de ecuaciones de las rectas por los étodos conocidos. L 2 L 1 P( x, y Ax + By + C = 0 ecu. 1 A x + B y + C = 0 ecu. 2 Las coordenadas del punto P( x, y se deterinan resolviendo el sistea de ecuaciones por los étodos de sua y resta, por igualación, por sustitución, etc. Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: 4x - 5y - 26 = 0 - - - L 1 y 3x + 7y + 2 = 0 - - - L 2 4x 5y = 26 3x + 7y = 2 12x + 15y = 78 12x + 28y = 8 L 2 L 1 43y = 86 y = 2 P( x, y 3x 14 = 2 x = 4 P( 2, 4
Distancia de un punto a una recta: se quiere deterinar la distancia de un punto Q a una recta ( L 1, para deducirlo considereos que en el punto Q pasará una recta paralela ( L 2 a la priera, ahora trazareos una recta perpendicular ( OP = OQ =PQ a las otras dos rectas cortándolas y que pase por el origen. En consecuencia cualquier punto sobre la recta paralela L 2 tendrá la isa distancia perpendicularente a la recta L 1, es decir d = RS = PQ, para encontrar esta distancia partireos de la intersección de rectas y de la ecuación general de la recta. L 2 Sea la recta L 1 Ax + By + C = 0 - - - ecu. 1 recta L 2 paralela a L 1 L 1 Q R Ax + By + C = 0 - - - ecu. 2 P d recta perpendicular a L 1 y L 2 que pasa por el origen Bx - Ay = 0 - - - ecu. 3 O S Bx Bx Resolviendo 1 y 3 de 3 y = sustituyendo en 1 Ax + B( + C = 0 A A AC Ay A x + B x + AC = 0 x = de 3 x = sustituyendo en 1 A + B B Ay BC AC BC A( + By + C = 0 A y + B y + BC = 0 y = P(, B A + B A + B A + B de foea siilar para las coordenadas de Q, pero sustituyendo en la ecuacion 2 AC' BC' 2 AC' AC BC' BC = = + Q(, d (PQ d A + B A + B A + B A + B A + B A + B 2 2 A (C C' + B (C C' (C C' C C' d = = d = de 2 C' = Ax By 2 (A + B (A + B A + B Ax + By + C d = ± A + B distancia de un punto a una recta el signo de la raiz, es de acuerdo al signo que tiene B.
Hallar la distancia de la recta L igual a 5x - 12y - 26 = 0 a los puntos P( 3, -5, Q( -4, 1 y R( 9, 0. Q R L P Ax + By + C d = 5x 12y 26 = 0 A = 5 B = 12 C = 26 ± A + B P(3, 5 Q( 4,1 R(9, 0 Ax + By + C (5(3 + ( 12( 5 + ( 26 49 Para P dp = dp = = = 3.769 u ± A + B (5 + ( 12 13 El signo negativo asegura que el punto P esta por abajo de la recta. Ax + By + C (5( 4 + ( 12(1 + ( 26 58 Para Q dq = dq = = = 4.461 u ± A + B (5 + ( 12 13 El signo positivo asegura que el punto Q esta por arriba de la recta. Ax + By + C (5(9 + ( 12(0 + ( 26 19 Para R dr = dr = = = 1.461 u ± A + B (5 + ( 12 13 El signo negativo asegura que el punto R esta por abajo de la recta. La rectas que pasa por cada punto, son perpendiculares a la recta L y tienen pendiente reciproca negativa de L.
Ángulo entre dos rectas: sea θ el ángulo interno (vértice, edido en sentido antihorario entre dos rectas, estará definido por su tangente ( tan θ y por las tangentes o pendientes de las rectas. Tabién se puede expresar en función del ángulo externo ϕ entre las dos rectas, que tendrá tangente negativa ( - tan ϕ. S Q ϕ θ L 1 L 2 α β P R β = θ + α θ = β α tan ( θ = tan ( β α por identidad trigonoetrica tan ( β tan ( α tan ( α tan ( β tan ( θ = angulo interno o tan ( φ = angulo externo 1+ tan ( β tan ( α 1+ tan ( β tan ( α si tan ( α tan ( β tan ( θ 2 1 = 1 = 2 = 1 + 2 1 Hallar el ángulo entre las dos rectas de valores: x - 2y + 1 = 0 y x + 3y - 3 = 0. A C 1 3 = b= 1 = b1 = = 1 B B 3 3 1 1 1 1 = = b = = 1 1 3+ 2 ( 2 3 6 5 tan ( θ = = = 1 1 6+ 1 1 + ( ( ( 7 2 3 6 ϕ θ 1 5 θ = tan ( = 35.5 7 Nota: La pendiente inicial es la que corresponde a la recta de la cual se ide el ángulo θ.
La bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo dividiendo su ángulo en dos partes iguales y la intersección de las tres bisectrices es en un punto llaado incentro I( x, y de un circulo inscrito y tangente a cada uno de los lados del triángulo. B( x 2, y 2 β Q L 2 I P α L 1 A( x 1, y 1 L 3 R γ C( x 3, y 3 Para dividir un ángulo entre dos rectas o un vértice, ubicareos un punto dentro del ángulo y que tenga la isa distancia a cada recta o lado del triángulo ( distancia de un punto a una recta. Sea P( x, y un punto dentro del angulo α y las rectas del vertice A A x + B y + C = 0 1 1 1 1 1 Ax + By + C Ax + By + C2 = 0 d1p = d2p d= K=± A + B ± A + B d 1P A x+ B y+ C A x+ B y+ C A x+ B y+ C A x+ B y+ C = d = = 1 1 1 2 1 1 1 2 2P K1 K2 K1 K2 ± K ± K1 ± K1 ± K1 (A x + B y + C = ( (A x + B2y + C 2 (A1+ A 2x + (B1+ B 2y + (C1+ C 2 = 0 ± K ± K ± K 1 1 1 1 2 ± K2 2 ± K ± K ± K Si A' = A + ( A B' = B + ( B C' = C + ( C 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ± K2 ± K2 ± K2 ecuacion de la Bisec triz de α A'x + B'y + C' = 0 ecu.1 Bisec triz de β con ± K y ± K A''x + B'' y + C'' = 0 ecu. 2 2 3 Bisec triz de γ con ± 1 3 K y ± K A '''x + B''' y + C''' = 0 ecu. 3 y se resuelve el sistea para el punto incentro I( x, y.
Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo entre las rectas: 4x - 2y - 8 = 0 y 3x + 4y - 12 = 0. 4x 2y 8 = 0 si y = 0 x = 2 P(2, 0 si x = 0 y = 4 Q(0, 4 3x + 4y 12 = 0 si y = 0 x = 4 R(4, 0 si x= 0 y= 3 S(0,3 S θ La recta inicial es el segento RS P R Q ± K ± K ± K Si A' = A + ( A B' = B + ( B C' = C + ( C A'x+ B'y+ C' = 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ± K2 ± K2 ± K2 5 20 5 10 A' = 3 + ( (4 = 3 + = 3 20 B' = 4 + ( ( 2 = 4 + = 4 + 5 20 20 20 20 5 40 C' = 12 + ( ( 8 = 12 + = 12 + 80 20 20 (3 20x + (4 + 5y + ( 12 + 80 = 0 ecuacion de la Bisec triz