Unidad 1 Progresiones Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Identificará los elementos de las progresiones aritméticas y geométricas. Calculará el n-ésimo término y la suma de los n términos de una progresión aritmética. Calculará el n-ésimo término y la suma de los n términos de una progresión geométrica.
Introducción Para estudiar matemáticas financieras, y realizar algunos cálculos relacionados, es necesario recordar algunos conceptos algebraicos y aritméticos (los cuales conoces en su mayoría): Las leyes de los exponentes y la prioridad para realizar una serie de operaciones y conceptos que revisaste en tu libro de Álgebra 1 (Matemáticas 1). Factorización por el método de factor común, la cual podrás volver a revisar en tu libro de Álgebra (Matemáticas ). Propiedades de los logaritmos, que se encuentran en tu libro de Geometría analítica (Matemáticas 4). Sin embargo, éstos no son los únicos elementos que se requieren para entender y aplicar las matemáticas financieras; en esta unidad estudiarás tanto las progresiones aritméticas como las progresiones geométricas; ambas son parte de los principios fundamentales de los cálculos financieros. 1.1. Progresiones Aunque las progresiones son un tema que pocas veces se revisa en los cursos de matemáticas, para el estudio de matemáticas financieras son de mucha importancia, ya que son la base para el cálculo del interés, en el cual están fundamentadas. Por qué son importantes las progresiones para las matemáticas financieras? Una progresión se define como una colección de números (llamados términos), que se forman mediante una regla dada. Las progresiones pueden ser infinitas o finitas de acuerdo con el número de términos que contengan. Se dice que es infinita cuando no está definido el número de términos que contiene; por el contrario, cuando está definido o determinado el número de términos que contiene, se considera que es finita. 17
matemáticas financieras Dependiendo de la ley que forma una progresión, puede clasificarse como aritmética o geométrica. 1.. Progresiones aritméticas Revisaremos primero las progresiones aritméticas finitas. Una progresión aritmética es una sucesión de números (llamados términos), en la que cualquier término es resultado de sumar al anterior una cantidad constante. Un ejemplo de este tipo de progresión sería:, 4, 6, 8, 10. En ella se puede observar que: 4=+ 6=4+ 8=6+ 10=8+ Cuya cantidad constante es. 1..1. Elementos de una progresión aritmética Los elementos de una progresión aritmética son: El número de términos que forman una progresión aritmética finita que se representa con la letra n. El primer término de una progresión aritmética que se representa con la letra a. La diferencia de la progresión, o diferencia común, que es la cantidad constante que se suma a un término para formar el siguiente término y se representa con la letra d. Cuando la diferencia común es positiva, se trata de una progresión creciente; cuando la diferencia es negativa, se trata de una progresión decreciente. 18
Unidad 1 Si nos referimos a progresiones finitas, significa que deben tener un último término, el cual se representa con la letra l. Ejemplo Dada la progresión, 7, 1, 17,, 7, 3, 37 determina si se trata de una progresión aritmética, e indica cada uno de sus elementos. Primero se determina si se trata de una progresión aritmética, lo cual se logra determinando si existe la diferencia común. Para determinar la diferencia común se resta a cada término el anterior, iniciando con el último; si el resultado de éstas es el mismo, este valor corresponde a la diferencia común. Cómo se determina si una progresión es aritmética? 37 3=5 3 7=5 7 =5 17=5 17 1=5 1 7=5 De aquí podemos determinar que se trata de una progresión aritmética cuya diferencia común (d) es 5, y como es positiva, significa que se trata de una progresión creciente. Una vez identificada la progresión como aritmética, se procede a identificar sus elementos, teniendo que: El primer término es a= El total de términos es n=8 El último término es l =37 La diferencia común es d=5 19
matemáticas financieras 1... Valor del último término de una progresión aritmética Hay ocasiones en que únicamente se conocen los tres primeros términos de una progresión aritmética, sin embargo, bajo ciertas circunstancias se requiere conocer un número de término específico, por ejemplo, imagina que se tiene la progresión.5, 3.75, 5... y se quiere conocer el valor del octavo término, lo primero que tendrías que hacer es encontrar la diferencia común. 5 3.75=1.5 d=1.5 3.75.5=1.5 Para encontrar el cuarto término se le suma 1.5 al tercer término (5), y así sucesivamente hasta llegar al octavo término. Cuarto término 5+1.5=6.5 Quinto término 6.5+1.5=7.5 Sexto término 7.5+1.5=8.75 Séptimo término 8.75+1.5=10 Octavo término 10+1.5=11.5 Como puedes observar, es relativamente sencillo encontrar cualquier término de una progresión; pero qué ocurriría si te pidieran encontrar el término 1 500? Este método no sería práctico, por lo que se hace necesario uno más sencillo. Tomando en cuenta que, para una progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la diferencia común, tenemos que: El primer término (n=1) es a El segundo término (n=) es a+d El tercer término (n=3) es a+d+d=a+d El cuarto término (n=4) es a+d+d=a+3d El quinto término (n=5) es a+3d+d=a+4d 0
Unidad 1 Si observas cuidadosamente, te podrás dar cuenta que el coeficiente de d en cada caso corresponde al valor de n 1, de lo que se puede deducir que: l =a+(n 1)d donde: l es el último término (término n) a es el primer término n es el número de término que se desea conocer d es la diferencia común Ejemplo 4 Determinar el valor del octavo término de la progresión: 3, 3, 0... Primero se determina si se trata de una progresión aritmética, encontrando la diferencia común: 0 3 = 0 + = 3 3 3 4 4 = + = 3 3 3 3 nota: es importante que no pierdas de vista el signo de cada término de la progresión. Al ser iguales ambas diferencias, podemos afirmar que se trata de una progresión aritmética, cuya diferencia común es 3 (d= 3 ) Una vez identificada la progresión como aritmética, se procede a identificar los valores conocidos: El primer término es a= 4 3 La diferencia común es d= 3 1
matemáticas financieras El número de términos es n=8 (ya que se busca el octavo término) Se sustituyen estos valores en la fórmula que nos permite calcular el último término de una progresión aritmética: l =a+(n 1)d 4 l = + ( 8 1) 3 3 4 l = + () 7 3 3 4 14 l = + = 3 3 10 3 El valor del octavo término es 10 3 No siempre lo que se busca es el valor del último término, hay ocasiones en las que se busca la diferencia común, el primer término o el número de términos de la progresión. Estos elementos se pueden calcular utilizando la misma fórmula que se utiliza para calcular el valor Qué elementos puedes despejar de la fórmula para calcular el último término de una progresión aritmética? del último término. Si consultas tu libro Álgebra 1, en la parte referente al tema de fórmulas (unidad 5), recordarás que aprendiste a despejar las variables que forman parte de una fórmula; pues bien, la fórmula para calcular el último término de una progresión aritmética no es la excepción y se puede despejar cualquiera de sus variables dependiendo de las necesidades de cada caso. Ejemplos 1. Cuántos términos tiene la progresión 3, 8, 4... 4? Se identifica si se trata de una progresión aritmética encontrando la diferencia común:
Unidad 1 4 ( 8)= 4+8=4 8 ( 3)= 8+3=4 Por lo tanto, se trata de una progresión aritmética cuya diferencia común es 4 (d=4). Posteriormente se identifican los elementos con que se cuenta: a= 3 d=4 l =4 Se sustituyen los valores en la fórmula l =a+(n 1)d: 4= 3+(n 1)4 Se despeja el valor de n: 3+(n 1)4=4 (n 1)4=4+3 n 1= 4 + 3 4 n 1= 56 4 n 1=14 n=14+1=15 La progresión tiene 15 términos.. Cuántos múltiplos de 7 hay entre 10 y 1 000? Recordando que un múltiplo de 7 son los números que provienen de multiplicar 7 por cualquier otro valor y considerando la multiplicación como una suma abreviada podemos encontrar los múltiplos de 7 sumando este valor al primer término y así sucesivamente. 3
matemáticas financieras Cómo se buscan los múltiplos de 7 entre 10 y 1 000: primero identificaremos el primero y el último de los números en este rango que sean múltiplos de 7. El primero sería 14, ya que es el primer múltiplo de 7 mayor que 10. El último término es 994, ya que es el último número menor que 1 000 y que es múltiplo de 7, consecuentemente: a=14 d=7 l =994 Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor del último término en una progresión aritmética: l =a+(n 1)d 994=14+(n 1)7 14+(n 1)7=994 (n 1)7=994 14 n 1= 980 7 n=140+1=141 Entre 10 y 1 000 hay 141 números que son múltiplos de 7. 3. Cuál es el primer término de la progresión aritmética cuyo décimo término es 3.75 y su diferencia común es 1.5? Se identifican los elementos de la progresión: n=10 (ya que se conoce el décimo término) d= 1.5 l =3.75 4
Unidad 1 Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el último término de una progresión aritmética. Se despeja la variable que representa al primer término (a): l =a+(n 1)d 3.75=a+(10 1)( 1.5) a+(10 1)( 1.5)=3.75 a+(9)( 1.5)=3.75 a 11.5=3.75 a=3.75+11.5=15 El primer término de la progresión es 15. 1..3. Suma de los n términos de una progresión aritmética Existen situaciones y casos específicos en los cuales se requiere conocer el resultado de sumar todos y cada uno de los términos de una progresión aritmética. La suma de los n términos de una progresión aritmética se representa con la letra S, la cual se puede indicar: S=primer término+segundo término+...+penúltimo término+último término Lo cual algebraicamente se puede expresar: S=a+(a+d)+...+(l d)+l Si recordamos una de las propiedades de la suma como lo es la propiedad conmutativa (Álgebra 1), la cual nos dice que el orden de los sumandos no altera la suma, y aplicamos ésta a la suma anterior invirtiendo sumandos, tendríamos: S=l +(l d)+...+(a+d)+a 5
matemáticas financieras Sumando ambas igualdades se tiene: S= a +(a+d) +...+ (l d) + l S= l + (l d) +...+(a+d) + a S= (a+l )+(a+l ) +...+ (a+l ) + (a+l ) Como puedes observar, (a+l ) se suma tantas veces como términos tiene la progresión (n veces), por lo cual se puede simplificar expresándolo: S=n(a+l ) Despejando S podemos encontrar la fórmula para calcular la suma de los n términos de una progresión aritmética: n a S = ( + l ) donde: l es el último término a es el primer término n es el número de términos S es la suma de los n términos Ejemplo Determinar el resultado de sumar los 1 primeros términos de la progresión 16, 1, 8... Primero se identifica la diferencia común: 8 1= 4 1 16= 4 Por consiguiente: 6
Unidad 1 d= 4 a=16 n=1 (ya que se trata de los 1 primeros términos) Para aplicar la fórmula que nos permite conocer el resultado de la suma de los n términos de una progresión hace falta el valor del último término, en este caso el doceavo término: l =a+(n 1)d l =16+(1 1)( 4)=16+11( 4)=16 44= 8 l = 8 Para encontrar la suma de los n términos de una progresión aritmética aplicamos la fórmula correspondiente: n a S = ( + l ) S = 1 [ 16+( 8)] 1 (16 8 ) 1 ( 1) = = = 144 = 7 La suma de los primeros 1 términos de la progresión 16, 1, 8... es = 7. Ejercicio 1 1. Encuentra la diferencia común de la progresión: 6,,.... Determina el decimoctavo término de la progresión 4, 1,... 1 3. Determina si la progresión,, 0, es aritmética; si es así, calcula el 3 3 vigesimosegundo término. 4. Determina el número de términos que tiene la progresión aritmética: 1, 3, 5... 173. 5. Determina el número de términos de la progresión cuyo primer término es 5; la diferencia común 0.5 y el último término 0.5. 7
matemáticas financieras 6. Cuál es el primer término de la progresión cuya diferencia común es 3, y su vigésimo 4 término es 8 1 4? 7. Determina si la progresión 1 1, 0, es aritmética. Si lo es, calcula la suma de los primeros 11 términos. 8. Determina si la progresión 9, 6, 3... es aritmética. Si lo es, calcula la suma de los primeros 5 términos. 1.3. Progresiones geométricas Hasta el momento hemos revisado las progresiones aritméticas, sin embargo no son el único tipo de progresiones que existen, en este apartado estudiaremos las progresiones geométricas. Una progresión geométrica se define como una sucesión de números (llamados términos), cada uno de los cuales, después del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante. Un ejemplo de este tipo de progresión es:, 6, 18, 54, 16, 486, en la cual se puede observar que: 6=(3) 18=6(3) 54=18(3) 16=54(3) 486=16(3) Por lo tanto, la cantidad constante es 3. 1.3.1. Elementos de una progresión geométrica Los elementos de una progresión geométrica son: 8
Unidad 1 El número de términos que forman una progresión geométrica finita y que se representa con la letra n. El primer término de una progresión geométrica, y que se representa con la letra a. La razón común, que es la cantidad constante por la que se multiplica cada término para formar el siguiente término y que se identifica con la letra r. El último término de las progresiones geométricas finitas se representa con la letra l. Ejemplo Dada la progresión 3, 6, 1, 4, 48, determina si es geométrica e identifica cada uno de sus elementos. Para identificar si se trata de una progresión geométrica lo primero que se requiere es definir si existe o no la razón común. Para determinar la razón común se divide cada término entre el término anterior; si el resultado de todas las divisiones es el mismo, este valor es la razón común, y entonces podremos afirmar que se trata de una progresión geométrica. Para este ejemplo tenemos: Cómo se diferencia una progresión geométrica de una aritmética? 48 4 = 4 = 1 1 = 6 6 3 = Con esto podemos afirmar que se trata de una progresión geométrica, cuya razón común (r) es. 9
matemáticas financieras elementos: Sabiendo que se trata de una progresión geométrica, se procede a identificar todos sus El primer término es a= 3 El total de términos es n=5 El último término es l = 48 La razón común es r= 1.3.. Valor del último término de una progresión geométrica Bajo ciertas circunstancias, sólo se conocen tres términos consecutivos de una progresión geométrica, pero es necesario conocer el número de término específico. Por ejemplo, tienes la progresión 0, 10, 5... y requieres conocer su sexto término. Primero tendremos que encontrar la razón común: 5 10 = 1 r = 1 10 1 = 0 Para determinar el cuarto término se multiplica el tercer término por la razón común 1, y así sucesivamente hasta obtener el sexto. Cuarto término 5 1 = 5 Quinto término Sexto término 5 1 = 5 4 5 1 4 = 5 8 Determinar algunos de los primeros términos de una progresión geométrica no es complicado, pero, al igual que las progresiones aritméticas, conocer más términos sería laborioso 30
Unidad 1 y tendría un alto riesgo de error, por lo que es necesario un método más simple, que permita determinar cualquiera sin tener que calcular los anteriores. Si partimos de la definición de una progresión geométrica, tendríamos: El primer término (n=1) es a El segundo término (n=) es ar El tercer término (n=3) es ar(r)=ar El cuarto término (n=4) es ar (r)=ar 3 El quinto término (n=5) es ar 3 4 (r)=ar Como se puede observar el exponente de r corresponde al valor de n 1, por lo que podemos afirmar: l =ar n 1 donde: l es el último término (término n) a es el primer término n es el número de términos r es la razón común Ejemplos 1. Encontrar el valor del octavo término de la progresión: 1, 6, 3... Primero se determina si se trata de una progresión geométrica encontrando la razón común: 3 1 = 6 6 1 = 1 nota: recuerda que al trabajar con fracciones, es necesario simplificarlas. 31
matemáticas financieras Como son iguales ambas divisiones, podemos afirmar que se trata de una progresión geométrica cuya razón común es 1 Se determina ahora el valor de los elementos conocidos. El primer término es a= 1 La razón común es r= 1 El número de término es n=8 (ya que se busca el octavo término) Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión geométrica: l =ar n 1 l = 1 1 l = 1 1 8 1 7 l = 1 1 3 1 = = 18 18 3 El octavo término de la progresión es 3 3 Al igual que ocurre con las progresiones aritméticas, en algunos casos de progresiones geométricas es necesario calcular el número de términos, el primer término o la razón común; elementos que se pueden despejar de la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión geométrica (l=ar n 1 ).. Determinar la razón común de la progresión donde le primer término es 3 y el sexto término es 79. Se identifican los elementos de la progresión: 3
Unidad 1 a=3 n=6 l =79 Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión geométrica. Se despeja la variable que representa la razón común (a): l =ar n 1 79=3r 6 1 3r 5 =79 r 5 = 79 3 5 r= 43 = 3 La razón común de la progresión es 3. 3. Cuál es el primer término de la progresión cuya razón común es 3 y cuyo octavo término es 18 7? Se identifican los elementos de la progresión: r= 3 n=8 l = 18 7 Se sustituyen los valores en la fórmula l =ar n 1, y se despeja el valor de a: 18 = a 7 3 8 1 33
matemáticas financieras a a 7 = 3 18 187 18 7 = 18 7 18 a = 7 18 ( 187) 187 = = = 81 18 18 ( 7) 7 187 El primer término es 81. 4. Cuántos términos tiene la progresión, 4, 8... 51? Se identifica si es una progresión geométrica: 8 = 4 4 = Con ello podemos afirmar que se trata de una progresión geométrica en la que la razón común es. Se identifican los elementos con que se cuenta: a= r= l =51 Se sustituyen los datos en la fórmula l =ar n 1 y se despeja n: 51=() n 1 34
Unidad 1 () n 1 =51 n 1 51 () n 1 =56 Como se puede observar, se trata de una ecuación exponencial; en tu libro Geometría analítica se revisan este tipo de ecuaciones, para las cuales es necesario utilizar logaritmos aprovechando la propiedad que dice que: log a n =n log a. Aplicando logaritmos a la igualdad anterior: log n 1 =log56 (n 1)log=log56 n 1= log 56 log n 1 =. 408 0. 3010 n 1=8 n=8+1=9 La progresión, 4, 8... 51 tiene 9 términos. 1.3.3. Suma de los n términos de una progresión geométrica La suma de los n términos de una progresión geométrica se representa con la letra S, y se obtiene sumando todos y cada uno de sus términos, lo que algebraicamente se representa como: S=a+ar+ar +...+l r 1 +l Se multiplica esta igualdad por r : 35
matemáticas financieras r(s=a+ar+ar +...+l r 1 +l ) Sr=ar+ar +ar 3 +...+l+l r Se resta de este producto la suma de los n términos: Sr = ar+ar +ar 3 +...+l+l r S = a ar ar ar 3... l Sr S = a +l r Sr S=l r a Si consideramos S como factor común y se factoriza, obtenemos: S(r 1)=l r a Despejando S podemos obtener: l r a S = r 1 donde: l es el último término (término n) a es el primer término n es el número de término r es la razón común S es la suma de los n términos Ejemplo Encontrar la suma de los primeros 9 términos de la progresión 16, 8, 4... Se identifican los elementos de la progresión: 4 1 8 = y 8 1 = 16 36
Unidad 1 Así pues: a=16 r= 1 n=9 (ya que se trata de 9 términos) Para calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica, es necesario obtener primero el valor del noveno término: l =ar n 1 l =16 l = 1 16 1 1 1 1 1 = 16 = = = 8 4 16 9 1 8 4 Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica: S= 1 16 1 16 1 1 1 16 S = 3 1 1 1 1 S = 1 51 3 1 513 S = 3 3 37
matemáticas financieras ( 513) S = 3 ( 3) S = 1 06 = 96 171 16 La suma de los primeros 9 términos de la progresión geométrica 16, 8, 4... es 171 16 Ejercicio 1. Cuál es la razón común de la progresión 4,, 1...? 1 1. Determina si la progresión 64, 1 16, 4,... es geométrica, si es así, calcula el octavo término. 1 1 1 3. Calcula el décimo término de la progresión,, 16 8 4 4. Cuál es la razón común de la progresión cuyo primer término es 3 y el décimo término es 4.3? 5. Determina la razón común de la progresión geométrica cuyo primer término es 1 1 y el sexto término es 43 6. Cuántos términos tiene la progresión 15 000, 13 500, 1 150..., 7 971.615? 7. Calcula la suma de los primeros 7 términos de la progresión 64, 16, 4... 8. Calcula la suma de los primeros 15 términos de la progresión 8 19, 4 096, 048... Problemas resueltos 1. Cuál es el primer término de la progresión cuyo noveno término es 39 y cuya diferencia común es 4? Al tener como dato una diferencia común, podemos deducir que se trata de una progresión geométrica. Se identifican los datos: 38
Unidad 1 n=9 l =39 d=4 Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión aritmética. Se despeja el primer término (a): l =a+(n 1)d 39=a+(9 1)(4) a+(8)(4)=39 a+3=39 a=39 3=7 El primer término de la progresión es 7.. Determinar la diferencia común de la progresión que tiene como primer término 51 y como noveno término 99. Se identifican los datos: a=51 l =99 n=9 Se sustituyen en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión aritmética. Se despeja la diferencia común (a): l =a+(n 1)d 99=51+(9 1)d 51+(9 1)d=99 39
matemáticas financieras (8)d=99 51 d= 48 8 = 6 La diferencia común de la progresión es 6. 3. Cuántos múltiplos de 3 hay entre 5 y 86? Debido a que se buscan múltiplos de 3, equivale a una progresión aritmética, cuya diferencia común es 3. El primer número después de 5 que es múltiplo de 3 es 7, por lo tanto a=7. El último número previo a 86 que es múltiplo de 3 es el número 84, por lo tanto l =84. Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión geométrica. Se despeja al número de términos (n): l =a+(n 1)d 84=7+(n 1)3 7+(n 1)3=84 (n 1)3=84 7 n 1= 57 3 n=19+1=0 Significa que entre 5 y 86 hay 0 números que son múltiplos de 3. 4. Encuentra la suma de los 18 primeros términos de la progresión 4 1, 5, 5 3 3 Se calcula la diferencia común: 40
Unidad 1 5 3 5 = 17 15 3 3 = 3 5 4 1 15 13 3 = 3 3 = 3 Por lo tanto, d= 3 Posteriormente se calcula el valor del decimoctavo término: l =a+(n 1)d donde: a= 4 1 3 n=18 d= 3 l = 4 1 + 18 1 3 ( ) 3 13 l = + ( 17) 3 3 13 34 47 l = + = = 15 3 3 3 3 na ( + l ) Se calcula la suma de los 18 términos utilizando la fórmula S = 18 4 1 + 15 18 13 + 3 3 3 S = = 18( 0) 360 S = = = 180 47 3 18 60 3 = 41
matemáticas financieras La suma de los primeros 18 términos de la progresión 4 1, 5, 5..., es 180. 3 3 5. Cuál es el valor del séptimo término de la progresión 1, 4, 16...? Se identifica si se trata de una progresión aritmética o geométrica: 16 4=1 4 1=3 La desigualdad del resultado de ambas restas significa que no es una progresión aritmética, por consiguiente hay que verificar que se trata de una geométrica: 16 4 = 4 4 = 4 1 Se trata de una progresión geométrica donde la razón común es 4. Se identifican los datos y se sustituyen en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión geométrica: a=1 r=4 n=7 l =ar n 1 l =1(4) 7 1 =1(4) 6 =1(4 096)=4 096 El séptimo término de la progresión es 4 096. 6. Cuántos términos tiene la progresión cuyo primer término es 36 864, el último es 36 y la razón común es 0.5? 4
Unidad 1 Se identifican los datos: a=36 864 r=0.5 l =36 Se sustituyen los datos en la fórmula l =ar n 1 y se despeja n: 36=36864(0.5) n 1 36 864(0.5) n 1 =36 (.) 05 n 1 = 36 36 864 Como notas, se trata de una ecuación exponencial; en tu libro Geometría analítica puedes revisar este tipo de ecuaciones. Es necesario, para esta ecuación, utilizar logaritmos aprovechando la propiedad: log a n =n log a. Se aplica n logaritmos a la igualdad anterior: log( 05.) n 1 36 = log 36 864 36 ( n 1) log(0.5) = log 36 864 n 1 = log0. 00097656 log05. n = 3.01099957 1 0.3019995 n 1=10 n=10+1=11 La progresión tiene 11 términos. 43
matemáticas financieras 7. Calcular la suma de los primeros 7 términos de la progresión 16 3, 8, 1 Se calcula la diferencia o razón común: 1 8 8 1 16 3 3 = = 4 16 = 3 Se trata de una progresión geométrica cuya razón común es 3 Como segundo paso se calcula el valor del séptimo término de la progresión: a= 16 3 r= 3 n=7 l =ar n 1 l = 16 3 3 7 1 4 6 4 6 3 5 3 ( 3 ) 3 = = = 6 3 ( ) 43 4 Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor de la suma de los n términos de una progresión geométrica: l r a S = r 1 S = 43 4 3 3 1 16 3 = 79 16 8 3 3 = 187 18 4 1 = 059 4 1 44
Unidad 1 ( 059) 059 S = = = 171 7 1 ( 4) 1 1 Así, tenemos que la suma de los primeros siete términos de la progresión geométrica 16 3, 8, 1 es = 171 7 1 Problemas propuestos 1. Determina el término decimosegundo de la progresión 1 573, 1 894, 15.... Determina si la progresión 70, 707.5, 695..., es aritmética; si lo es, calcula la suma de los primeros 30 términos. 3. Cuál es el número de términos que tiene la progresión cuyo primer término es 1 4 ; la diferencia común es 1 y el último término es 9 3 4. 4. Cuál es el primer término de la progresión cuya diferencia común es 3 y su decimoquinto término es 7. 5. Cuál es el decimosegundo término de la progresión 6 561 187 79,,...? 51 56 18 6. Cuál es la razón común de la progresión cuyo primer término es 1 y su octavo término es 0.09375? 7. Cuántos términos tiene la progresión cuyo primer término es 1, la razón común es y el último término es 1 88? 8. Calcula la suma de los primeros 6 términos de la progresión 1 1 1,,... 81 7 9 45
matemáticas financieras Respuestas a los ejercicios ejercicio 1 1. d= 4 5. n=0. l =47 6. a= 6 3. l = 19 3 7. S= 4. n=87 8. S= 675 ejercicio 1. r= 1 5. r= 1 3. l = 56 6. n=7 3. l =3 7. S= 3 77 64 4. r=0.8 8. S=16 383.5 Respuestas a los problemas propuestos 1. l =5 104 5. l = 4 7. S=16 16.5 6. r=0.5 3. n=0 7. n=11 4. a=114 8. S= 18 81 46
Matemáticas inancieras Unidad 1. Progresiones Nombre: Grupo: Profesor: Número de cuenta: Campus: Autoevaluación 1. El vigesimoctavo término de la progresión 18, 15, 1... es: a ) 99 b) 10 c ) 63 d) 630. El noveno término de la progresión 64, 3, 16... es: a ) 1 b) 1 4 c ) d) 1 4 1 3. Cuántos múltiplos de 7 hay entre 5 y 1 000? a ) 14 b) 143 c ) 144 d) 145 71 4. La suma de los 14 primeros términos de la progresión 18,, 4 a ) 917 4 b) 917 35 es: 47
c ) 131 d) 131 4 5. La suma de los primeros 7 términos de la progresión 15, 5, 5... es: 3 a ) 730 43 b) 73 43 c ) 733 43 d) 735 43 48