UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE CIENCIAS DE LA TIERRA MANUAL PARA EL CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS Elaborado por: Roberto Soto Villalobos 15/07/2015

Trigonometría Definición (ángulo) Un ángulo se forma al girar un rayo alrededor de su punto final. El rayo en su posición inicial se llama lado inicial del ángulo, mientras que el rayo en su posición después del giro está en el lado terminal del ángulo. El punto final del rayo es el vértice del ángulo. Definición (ángulo positivo-negativo) Si la rotación del lado terminal es en el sentido levógiro (en contra de las manecillas del reloj) el ángulo es positivo. Si la rotación del lado terminal es en el sentido dextrógiro (a favor de las manecillas del reloj) el ángulo se negativo. Definición (medida del ángulo) Un grado es la magnitud de un ángulo cuyo vértice esta en el centro de un circulo y cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a 1/360 de la circunferencia. Un ángulo de un grado puede ser subdividido en 60 partes iguales cada una de las cuales recibe el nombre de minuto; cada minuto puede ser subdividido en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de segundo. Los símbolos,, sirven para designar, grados, minutos y segundos.

Definición (ángulo agudo) Un ángulo agudo es aquél ángulo que mide entre 0 y 90. Definición (ángulo recto) Un ángulo recto es aquél ángulo que mide exactamente 90. Definición (ángulo obtuso) Un ángulo obtuso es aquél ángulo que mide entre 90 y 180. Definición (ángulo llano) Un ángulo llano es aquél ángulo que mide exactamente 180. Definición (ángulos complementarios) Si la suma de las medidas de dos ángulos positivos es igual a 90 los ángulos se llaman complementarios. Definición (ángulos suplementarios) Si la suma de las medidas de dos ángulos positivos es igual a 180 los ángulos se llaman suplementarios.

Ejemplo I (suma de ángulos) Realizar la suma de las siguientes medidas de ángulos: 30 20 17 15 47 25 65 38 34 Ejemplo II (resta de ángulos) Realizar la suma de las siguientes medidas de ángulos: 30 20 17-15 16 13 65 38 34-15 47 25 Ejemplo III (ángulos complementarios y suplementarios) Encuentra los ángulos complementarios y suplementarios de los siguientes ángulos positivos. 70 31 42 35 43 31 14 37 44 Ejemplo IV (conversión de grados minutos y segundos a grados decimales) Convertir los ángulos dados en ángulos decimales. 43 22 35 102 17 45 34 45 57 Ejemplo V (conversión de grados decimales agrados minutos y segundos) Convertir los ángulos dados en decimal a ángulos en grados minutos y segundos. 65.3452 87.4596 105.3333

Definición (ángulos coterminales) Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman ángulos coterminales. Definición (posición normal de un ángulo) Un ángulo está en su posición normal o estándar si su vértice se ubica en el origen y su lado inicial está a lo largo del eje positivo del eje de las x. Si el lado terminal está en el primer cuadrante se denomina ángulo del primer cuadrante, si se encuentra en el segundo se llamará ángulo del segundo cuadrante, y análogamente para los otros cuadrantes. Si los lados terminales coinciden con el eje de las x o el eje de las y se llaman ángulos cuadrantales. Definición (radián) Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un circulo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. Relación entre grados y radianes Π radianes=180 1 radian es aproximadamente 57.3 1 es aproximadamente 0.0175 radianes

Ejemplo VI (suma de ángulos) Encuentra por los menos dos ángulos coterminales para lo siguientes ángulos: 27 105-35 Ejemplo VII (resta de ángulos) Encuentra por los menos dos ángulos positivos coterminales para lo siguientes ángulos 30 20 17-15 16 13 65 38 34 Ejemplo VIII (conversión de grados a radianes) Convertir la medida de los ángulos grados a radianes. 180 60 45 240 122.5 200 10 326 41 425.2 Ejemplo IX (conversión de radianes a grados ) Convertir la medida de los ángulos radianes a grados. 0.028 2.3 30 2.12 1 2 3 2 3 1.9

Ejemplo X Determinar la medida de cada uno de los ángulos en la siguientes figuras: (7 x) (11 x) (4 y) (2 y)

Funciones Trigonométricas Definición (Funciones trigonométricas) Sea (x,y) un punto diferente del origen en el lado terminal de un ángulo θ en su posición normal. La distancia del punto al origen es r x y Las seis funciones trigonométricas se definen como sigue: y x y sen cos tan r r x ( x 0) r r x csc ( y 0) sec ( x 0) cot y x y ( x 0) Ejemplo XI (Funciones trigonométricas) El lado terminal de un ángulo θ pasa a través del punto (8,15) determinar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ Ejemplo XII (Funciones trigonométricas) El lado terminal de un ángulo θ pasa a través del punto (-3,-4) determinar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ

Ejemplo XIII (Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales) Determinar los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales 0 90 180 270 Evalúa cada una de las expresiones: senθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ Ejemplo XIV (simplificación de expresiones) Cos90 +3sen270 Tan0-6sen90 3sec180-5tan360 4csc270 +3cos180 Tan360 +4sen180 +5cos 2 180 2sec0 +4cot 2 90 +cos360 sen 2 180 +cos 2 180 sen 2 360 +cos 2 360 sec 2 180-3sen 2 360 +2cos180 5sen 2 90 +2cos 70-7tan360 Si n es un número entero encontrar el valor de las siguientes expresiones: cos[(2n 1) 90 ], sen[ n180 ], tan[ n180 ], tan[(2n 1) 90 ]

Identidades recíprocas 1 1 1 sen cos tan csc sec cot 1 1 1 csc sec cot sen cos tan sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1 Signos de los valores de las funciones trigonométricas senθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ I + + + + + + II + - - - - + III - - + + - - IV - + - - + -

Rangos de las funciones trigonométricas Para cualquier ángulo θ para los cuales la función indicada existe: 1).- 2).- tanθ y cotθ pueden ser iguales a cualquier numero real 3).- 1 sen 1 y 1 cos 1 1 sec 1 y 1 csc 1 Identidades Cociente sen cos tan cos sen cot Identidades Pitagóricas sen cos 1 tan 1 sec 1 cot csc

Ejemplo XV (Dada una función trigonométrica encontrar las restantes) Si cos 3 / 4 está en el II cuadrante encontrar las restantes funciones trigonométricas.

Ejemplo XVI (Dada una función trigonométrica encontrar las restantes) Si tan 1.5 está en el IV cuadrante encontrar las restantes funciones trigonométricas.

Ejemplo XVII (Valores exactos de las funciones trigonométricas de 30, 45 y 60 ) 30 45 60 sen cos tan cot sec csc

Ejemplo XVIII (funciones trigonométricas de ángulos agudos positivos) Encontrar las funciones trigonométricas de sen(0.2) y las demás funciones trigonométricas en el I cuadrante. 3 5 7 9 sen 3! 5! 7! 9! 2 4 6 8 cos 1 2! 4! 6! 8!

Identidades Trigonométricas Identidades de recípro cos sencsc 1 cossec 1 tancot 1 Identidades de cocientes sen tan cos cos cot tan Identidades pitagóricas sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XVII (Identidades Trigonométricas) cos (1 tan ) 1 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XVIII (Identidades Trigonométricas) 2 2cos (1 cos ) 2sencos 1 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XIX (Identidades Trigonométricas) cos sec 1 sen tan sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XX (Identidades Trigonométricas) tan sec cot csc cot csc tan sec sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXI (Identidades Trigonométricas) sen 1 cos 1 cos sen sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXII (Identidades Trigonométricas) cos tan 1 sen sec sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXIII (Identidades Trigonométricas) 1 1 1sen 1sen 2sec 2 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot tan sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXIV (Identidades Trigonométricas) 2cos (cot 1) csc cot 1 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXV (Identidades Trigonométricas) 2 sec tan sen sec tan cos 2sen 4 4 4 2 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXVI (Identidades Trigonométricas) sec tan cos sec tan sen 2 2 2 4 4 4 2 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXVII (Identidades Trigonométricas) sec tan cos sec tan sen 2 2 2 4 4 4 2 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXVIII (Identidades Trigonométricas) sen sen tan cos cot cos csc sec sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXIX (Identidades Trigonométricas) cot sec 1cot 2 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXX (Identidades Trigonométricas) cot tan 1 sen cos sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXI (Identidades Trigonométricas) cot cot tan tan 1cot cot tan tan 1 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXII (Identidades Trigonométricas) cot cot 1cot cot tan tan 1tan tan 0 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXIII (Identidades Trigonométricas) 3 2 sen sen cos tan sen 1cos sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXIV (Identidades Trigonométricas) 2 cot tan sec csc (1 2 sen ) sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXV (Identidades Trigonométricas) cos x cos x sec sec 3 3 x x sec x sen x sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXVI (Identidades Trigonométricas) sec xcot x cos xcsc x 1 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXVII (Identidades Trigonométricas) 6 6 sen cos 13sen cos sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXVIII (Identidades Trigonométricas) sen tan cos cot tan cot 1 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXVIII (Identidades Trigonométricas) sen sen cot csc cot csc 2 sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XXXIX (Identidades Trigonométricas) cot cos csc sec tan sec tan sen sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Ejemplo XL (Identidades Trigonométricas) 2 sen 2cos cos cot csc sencsc 1 cossec 1 tancot 1 sen tan cos cos cot sen sen cos 1 1tan sec 1cot csc

Gráficas de funciones trigonométricas

Aplicaciones del triangulo rectángulo Problema La base de un triángulo rectángulo isósceles mide 20.4 unidades, y los ángulos de la base miden 48 40. Encontrar los lados iguales y la altura del triángulo

Problema Considérese la Tierra como una esfera de radio 6378.4 metros, encontrar el radio correspondiente al paralelo cuya latitud es de 40 grados

Problema Encontrar el perímetro de un octágono regular inscrito en una circunferencia de un metro de radio. y de un n-ágono?

Problema Demostrar que el perímetro P de un polígono regular de n lados inscritos en una circunferencia de radio r está dado por 180 P 2 rsen n

Problema Desde lo alto de un faro, a 175 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un barco situado directamente al sur, es de 18 50. Dos minutos después el ángulo de depresión es de 14 20. Calcular la velocidad del barco si se observa que navega directamente hacia el oeste.

Problema (diámetro del Sol) Para determinar el diámetro del sol, un astrónomo podría ver con un teodolito primero un extremo del Sol y después el otro y hallar un ángulo de 32. Suponer que la distancia d desde la tierra al Sol es de 149,597,870.691 Km (Wikipedia). Calcular el diámetro del Sol.

Problema (la gran pirámide) Las dimensiones de la gran pirámide en Egipto son, altura 146. 61 metros originalmente y los lados de la base una longitud medio de 234.347 metros. Encontrar el ángulo de elevación de sus caras, el ángulo de elevación de sus aristas.

Problema (Estaciones de radar) Las estaciones de Radar A y B están en una línea recta este-oeste, a una distancia de 3.7 kilómetros. La estación A detecta un avión en C con un rumbo de 61 la estación B detecta simultáneamente el mismo avión en un rumbo de 331. Determinar las distancias en que se encuentra el avión de las estaciones de Radar en el momento de la medición.

Problema (Rumbos) El rumbo de A a C es S52 E. El rumbo de A a B es N84 E. El rumbo de B a C es S38 O. Un avión que vuela a 400 km/h invierte 2.4 horas en ir de A a B, Determinar la distancia de A a C.

Problema (ángulos de elevación) Chanklón Van Dam necesita saber la altura de un árbol. Desde cierto puno en el suelo, encuentra que el ángulo de elevación a la parte superior del árbol es de 37.7. Después se mueve 16 pies hacia atrás. A partir del segundo punto, el ángulo de elevación a la parte superior del árbol es de 22.2. Cuál es la altura del árbol?, Chanklón además quiere determinar la distancia que hay desde el primer árbol hasta la primera medición.

Problema (distancia entre dos naves) Una nave deja su puerto de origen y navega con un rumbo de N28 10 E. Otra nave abandona el mismo puerto al mismo tiempo y navega con rumbo de S61 50 E, Si la primera nave navega a 38 km/h y la segunda a 45 km/h, determinar la distancia entre las dos naves después de 4 horas.

Problema (distancia entre una ballena y un faro) Chanklón Van Dam detecta una ballena que se aproxima directamente hacia el faro desde cuya parte alta observa. Cuando descubre por primera vez a una ballena su ángulo de depresión es de 15 50, Justo en el momento en que la ballena se sumerge, el ángulo de depresión es de 35 40. Si la altura del faro es de 68.7 metros, determinar la distancia que la ballena he recorrido conforme se aproxima al faro.

Demostrar que: cos( AB) cos AcosB senasenb

Demostrar que: cos( AB) cos AcosB senasenb

Demostrar que: sen( AB) sena cosb cos AsenB

Demostrar que: sen( AB) sena cosb cos AsenB

Demostrar que: tan tan tan( AB) A B 1 tan Atan B

Demostrar que: tan tan tan( AB) A B 1 tan Atan B

Demostrar que: cos 2 A cos Asen B

Demostrar que: cos 2A 1 2 2 sen A

Demostrar que: 2 cos 2A 2cos A1

Demostrar que: sen2a 2senA cos B

2 tan A 1 tan A Demostrar que: tan 2A 2

Solución de Triángulos Oblicuángulos Un triángulo que no es un triángulo rectángulo se llama rectángulo. Las medidas de los tres lados y los tres ángulos se pueden encontrar si se conocen al menos un lado y otras dos medidas. Hay cuatro casos posibles. Caso I.- se conocen un lado y los dos ángulos (LAA o ALA) Caso II.- se conocen dos lados y un ángulo no incluido entre los dos lados (LLA). Este caso puede conducir a más de un triángulo. Caso III.- se conocen dos lados y el ángulo entre los dos lados (LAL) Caso IV.- se conocen tres lados (LLL) Ley de los senos a a c sena senb senc Ley de los cosenos 2 a b c 2bc cos A 2 b a c 2ac cos B 2 c a b 2abcosC

Deducción de la ley de los senos

Deducción de la ley de los cosenos

Problema Resolver el triángulo ABC si A=32.0, B=81.8, y a=42.9 cm

Problema Chanklón Van Dam desea medir la distancia a través de del río Santa Catarina el determina que C = 112.90, A=31.10 y b=347.6 pies. Determinar la distancia a través del río B C A

Problema Dos estaciones de bomberos están en una recta este-oeste separadas una distancia de 177 km. Un incendio forestal esta ubicado en un rumbo de N42 E desde la estación occidental en A y en un rumbo de N15 E desde la estación oriental en B. A que distancia de la estación occidental se encuentra el incendio?

Problema Encontrar el área de un triángulo

Problema Tres átomos con radios atómicos de 2.0, 3.0 y 4.5 están colocados como se muestra en la figura. Determinar la distancia entre los centros de los átomos C B 18 A

Problema Chanklón Van Dam está sobre un globo aerostático directamente por arriba de una carretera de 2400 metros de longitud que una a dos pueblos el pueblo más cercano está a un ángulo de depresión de 35 y el más lejano a un ángulo de depresión de 31, A qué altura arriba del suelo está el globo?

Problema Chanklón Van Dam está por medir la distancia de la tierra a la luna. Puesto que la luna es un cuerpo celeste, su distancia se puede medir de manera directa al tomar dos diferentes posiciones. La luna tendrá un ángulo diferente de elevación en cada posición. El 29 de abril de 1976 a las 11:35 a.m. los ángulos de elevación de la Luna durante un eclipse parcial de Sol en Bochum, en la alta Alemania y en Donaueschingen, en la Baja Alemania se midieron de 52.6997 y 52.7430, respectivamente. Las dos ciudades tienen 398 km de separación. Calcular la distancia a la Luna desde Bochum en este día y compararla con el valor real de 406,000 km. No considerar la curvatura de la Tierra.

Problema Ahora Chanklón Van Dam de topógrafo y desea medir la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B en los lados opuestos de un lago. Mientras se encuentra en el punto C, encuentra que AC=29 m, BC=423 m y que el ángulo ACB mide 132 20, Determinar la distancia entre los puntos A y B.

Curso Propedéutico Verano 2011 Problema Resolver el triángulo ABC si A=42.3, b=12.9 m y a=15.4 m

Problema Resolver el triángulo ABC si a=9.47 m, b=15.9 m y c=21.1 m

Área de un polígono P 1 (0,0) P 2 (2,5) P 3 (5,13) P 4 (8,7) P 5 (11,12) P 6 (15,12) P 7 (18,15) P 8 (20,12) P 9 (24,10) P 10 (28,12) P 11 (28,8) P 12 (23,-1) P 13 (22,5) P 14 (20,2) P 15 (17,-1) P 16 (14,4) P 17 (11,0) P 18 (6,-3) P 1 (0,0)

Ecuaciones Trigonométricas