6: PROBLEMAS METRICOS

Unidad 6: PROBLEMAS METRICOS 6.1.- DIRECCIONES DE RECTAS Y PLANOS Los poblemas afines tatan de incidencias (ve si un punto está contenido en una ecta o en un plano y ve si una ecta está contenida en un plano), paalelismos e intesecciones. La pependiculaidad es un poblema mético. Cuando en la unidad anteio utilizamos el vecto nomal a un plano, o los poductos escalaes y vectoiales paa halla vectoes pependiculaes a otos, estábamos utilizando pocedimientos méticos paa esolve poblemas afines. Vamos a comenza esta unidad evisando esos pocedimientos. Vecto diecto de una ecta La diección de una ecta nos la da, obviamente, su vecto diecto. Si la ecta viene dada mediante sus ecuaciones paaméticas o en foma continua, su vecto diecto es evidente. Po ejemplo: x = 3 2λ : y = 5 + λ z = 2 x 3 y 5 z + 2 : = = 2 1 0 En ambas, el vecto diecto es, evidentemente, v ( 2, 1, 0). 1 Vecto nomal a un plano La diección de un plano está deteminada po un vecto nomal (pependicula) a él. Como vimos, si el plano viene dado po su ecuación implícita :Ax By Cz D 0 A, B, C es nomal al π + + + =, el vecto plano. Un plano π queda deteminado si conocemos un punto A, B, C. Paa halla su ( x, y, z 0 0 0 ) y un vecto nomal ecuación pocedemos del siguiente modo: ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) π: A x x + B y y + C z z = 0 Po ejemplo, la ecuación del plano que pasa po el punto 7, 1, 4 es: ( 5, 2, 3) y es pependicula al vecto π: 7 ( x 5) + 1( y + 2) 4 ( z 3) = 0 Quitando paéntesis y eagupando, obtenemos su ecuación implícita: π : 7x + y 4z 21 = 0 Vecto nomal a un plano Si el plano π es paalelo a dos ectas, y s, cuyos vectoes diectoes son v y v, entonces un vecto nomal a π es s v v. s 2

Po ejemplo, el plano π que pasa po P ( 3, 7, 4) y es paalelo a las ectas x = 2 + 3λ : y = 1 + λ z = λ se puede obtene de la siguiente foma: y x 3 y z + 10 s: = = 5 1 2 Vecto nomal a π: n = 3, 1, 1 5, 1, 2 = 1, 11, 8 Ecuación de π: 1( x 3) 11( y + 7) 8( z 4) = 0 x 11y 8z 48 = 0 Ecuaciones paaméticas de la ecta intesección de dos planos Cuando la ecta se da en foma implícita, es deci, como intesección de dos planos, entonces, un vecto diecto de es el poducto vectoial de sus vectoes nomales: Ax + By + Cz + D = 0 : A'x + B'y + C'z + D' = 0 n( A, B, C) π v n n' = n' ( A', B', C' ) π' Po ejemplo, hallemos las ecuaciones paaméticas de la ecta: 3x 5y + z 9 = 0 : 4x + y 8z + 16 = 0 n 3, 5, 1 n' 4, 1, 8 son los vectoes nomales a los y planos. v = n n' = 3, 5, 1 4, 1, 8 = 39, 28, 23 Paa halla un punto de la ecta, hacemos, po ejemplo, y = 0 en las ecuaciones implícitas y esolvemos el sistema que esulta. Su solución es x = 2, z = 3, con lo que hemos obtenido el punto P ( 2, 0, 3 ). Ahoa podemos escibi las ecuaciones paaméticas de la ecta intesección de los dos planos: x = 2 + 39λ : y = 28 λ z = 3 + 23 λ Ejecicio popuesto 5 (pág. 175) Halla la ecuación del plano π que contiene a y es paalelo a s: x = 5 + λ : y = 1 z = 8 + 2 λ x = 4 + 3λ s: y = 3 λ z = 5 + 4 λ 3 4

6.2.- MEDIDAS DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Paa el estudio de ángulos ente ectas, ente planos y ente ectas y planos, necesitamos dispone paa cada elemento de un vecto que caacteice su diección. En la ecta, ese papel lo cumple, obviamente, su vecto diección; en el plano, su vecto nomal. Ángulo ente dos planos El ángulo α que foman dos planos π y π es el ángulo que foman sus vectoes nomales n y n'. cos α = n n' n n' Paa medi ángulos utilizaemos la fómula: cos α = u v u v Ángulo ente una ecta y un plano El ángulo ente una ecta y un plano es el que foma la ecta con su poyección sobe el plano, es deci, el complementaio del ángulo que foma la ecta con la diección nomal al plano. Si el vecto diecto de la ecta es v y el vecto nomal al plano π es n, el ángulo α ente y π se halla así: de la que podemos deduci el meno ángulo que foman los vectoes u y v o bien u y v. Ángulo ente dos ectas El ángulo α ente dos ectas, y, es el ángulo que foman sus vectoes diectoes v y v '. cos α = v v ' v v ' v n cos ( 90 α ) = senα = v n Ejecicio popuesto 1 (pág. 177) Halla el ángulo ente las ectas y s: x = 3 5λ x 2y + 3z = 0 : y = 2 + 3 λ s: + = z = 1 2x y 4 0 5 6

Ejecicio popuesto 2 (pág. 177) Calcula el ángulo que foma la ecta el plano π : x + 3y z + 1 = 0 Ejecicio 4 (pág. 194) : x 3 y z 2 = = 7 1 3 con 6.3.- DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS Distancia ente dos puntos La distancia ente dos puntos P ( p, p, p ) y el módulo del vecto PQ: 1 2 3 Q q, q, q es 1 2 3 Calcula en cada caso, el ángulo que foman los siguientes paes de planos: a) α : z = 3 β: x y + 2z + 4 = 0 b) α : 2x + y 3 = 0 β : x + z 1 = 0 Ejecicio 6 (pág. 194) Calcula el ángulo que foma el plano π con cada uno de los ejes coodenados: π: x 2y + z = 0 Ejecicio 7 (pág. 194) Calcula el valo de m paa que las ectas y s fomen un ángulo de 60. x = 1 + λ : y = 2 λ z = 1 λ x = µ s: y = 1 + m µ z = 1 + µ dist P,Q PQ q p q p q p = = ( ) + ( ) + ( ) Po ejemplo, la distancia ente P( 5, 1, 7 ) y ( ) Q 4, 5, 1 es: dist P,Q = 4 5 + 5 + 1 + 11 7 = 361 = 19 Distancia ente un punto y una ecta 1 1 2 2 3 3 Se llama distancia de un punto P a una ecta a la ongitud del segmento pependicula que une el punto con la ecta; es deci, la distancia de P a su poyección sobe la ecta, P'. dist ( P,) = dist ( P,P' ) Veamos cómo halla la distancia de P a po vaios métodos. MÉTODO DEL PLANO PERPENDICULAR Hallamos el plano, π, pependicula a que pasa po P. La intesección de π y es el punto P' buscado. Ya podemos calcula dist ( P,) = dist ( P,P' ). 7 8

MÉTODO DEL PUNTO GENÉRICO Escibimos la ecta en paaméticas (si no lo está ya). Hallamos R con las coodenadas dependientes de λ. Hallamos PR. Imponemos que PR mediante el poducto escala PR v = 0. De esta foma se obtiene una ecuación con la incógnita λ que debemos esolve. El valo de λ solución de la ecuación nos da las coodenadas del punto P'. MÉTODO DEL PRODUCTO VECTORIAL: CÁLCULO DE LA DISTANCIA El áea del paalelogamo de la figua es AP v. Si el áea del paalelogamo la dividimos po la longitud de su base, v, obtenemos su altua. Un punto R genéico de la ecta tiene sus coodenadas dependientes de un paámeto λ. Si imponemos que PR sea pependicula a obtenemos el valo de λ po el cual se halla P'. Paa ello: Po tanto, la distancia ente P y se halla diectamente: Este método pemite calcula, diectamente, la distancia de P a sin obtene peviamente el punto P' (poyección de P sobe ). Ejecicio popuesto 1 (pág. 179) Halla azonadamente la distancia de P ( 5, 6, 6 ) a la ecta : ( 5 λ, 2 λ, λ ). Hazlo po cada uno de los métodos que has apendido. Distancia de un punto a un plano dist P, Áea = = Base Veamos dos fomas de halla la distancia de un punto a un plano. MÉTODO DE LA RECTA PERPENDICULAR AP v v La distancia de P a π es la distancia ente P y su poyección sobe el plano: dist P, ( π ) = dist ( P,P' ) 9 10

La obtención del punto de enfente, P', se puede ealiza de foma simila a como hemos hecho en el cálculo de la distancia de un punto a una ecta. Hallamos la ecta,, que pasa po P y es pependicula a π. P' es el punto de intesección de con π. APLICACIÓN DIRECTA DE UNA FÓRMULA La distancia del punto P ( x, y, z 1 1 1 ) al plano π : Ax + By + Cz + D = 0 viene dada po: Dem: dist P, π = Ax + By + Cz + D 1 1 1 A + B + C PP n cos α 0 dist ( P, π ) = dist ( P, P' ) = PP' = P P cos α = = 0 n PP n cos α PP n 0 0 = = = A + B + C A + B + C Sea P0 ( x, y, z 0 0 0 ) un punto cualquiea del plano π. α es el ángulo que foman los vectoes PP 0 y n. 11 ( ) + ( ) + ( ) A x x 1 0 = B y y 1 0 C z z 1 0 = A + B + C Ax + By + Cz + Ax By Cz 1 1 1 0 0 0 = = Ax + By + Cz + D 1 1 1 A + B + C A + B + C Ejecicio popuesto 2 (pág. 180) Halla la distancia de P a π po el método de la ecta pependicula y aplicando la fómula. P ( 11,7, 9 ) π : 3x + 4z + 6 = 0 Distancia de una ecta a un plano π P π Ax + By + Cz + D = 0 0 0 0 0 π D = Ax By Cz 0 0 0 cota a π dist (, π ) = 0 dist (, π ) = dist ( P, π ) dist, π = 0 Si la ecta está contenida en plano π, la distancia es 0. Si la ecta es paalela al plano π, se toma un punto P en la ecta y se calcula la distancia desde ese punto P al plano π. Si la ecta cota al plano π, la distancia es 0. 12

Distancia ente dos planos Distancia ente dos ectas que se cuzan π π ' π π' π cota a π ' Veamos dos fomas de halla la distancia ente dos ectas que se cuzan. MÉTODO DEL PLANO PARALELO dist ( π, π ') = 0 dist ( π, π ') = dist ( P, π ') dist π, π ' = 0 Hallamos el plano π paalelo a s que contiene a. Entonces: dist(, s) = dist ( s, π ) = dist ( un punto cualquiea de s, π ) Si los dos planos π y π son coincidentes, la distancia es 0. Si los dos planos π y π son paalelos, se toma un punto P del pime plano π y se calcula la distancia desde ese punto P al plano π. Si los dos planos π y π se cotan, la distancia es 0. Ejecicio popuesto 4 (pág. 181) Calcula la distancia ente la ecta y el plano π siguientes: x = 1 3λ : y = 2 + λ z = 1 λ Ejecicio popuesto 5 (pág. 181) Calcula la distancia ente estos planos: π : x + 3y = 0 π: y 5z + 4 = 0 π': 2y 10z = 0 13 MÉTODO DEL VECTOR VARIABLE. PERPENDICULAR COMÚN Obligamos a que el vecto RS sea pependicula a y a s, es deci, RS v = 0 y RS v = 0. s Esto daá luga a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, λ y µ. Lo esolvemos y así obtendemos quiénes son R y S. Tomamos un punto genéico de. Sus coodenadas dependen de λ. Tomamos un punto genéico de s. Sus coodenadas dependen de µ. dist (, s) = dist ( R,S) 14

Ejecicio popuesto 6 (pág. 183) La ecta t que pasa po R y S es la pependicula común a las ectas y s. Calcula la distancia ente las dos ectas dadas mediante cada uno de los tes métodos apendidos: x = 13 + 12λ : y = 2 z = 8 + 5 λ x = 6 s: y = 6 + µ z = 9 MÉTODO DEL PRODUCTO MIXTO El volumen del paalelepípedo de la figua es v, v, PQ. s Otas distancias ente ectas s s y s secantes dist (, s) = 0 dist (, s) = dist ( P, s) dist, s = 0 El áea de la base es v v. s Su altua, h, es la distancia de a s. Volumen del paalelepípedo dist (, s) = h = = Áea delabase v, v, PQ s v v s Si las dos ectas son coincidentes, la distancia es 0. Si las dos ectas son paalelas, se toma un punto P en la pimea ecta y se calcula la distancia desde ese punto P a la segunda ecta s. Si las dos ectas se cotan, la distancia es 0. 6.4.- MEDIDAS ÁREAS Y VOLÚMENES En la unidad 4, en la que estudiamos los vectoes, apendimos a calcula el áea de un paalelogamo utilizando el poducto vectoial y el volumen de un paalelepípedo utilizando el poducto mixto. 15 16

Y también apendimos a calcula el áea de un tiángulo y el volumen de un tetaedo. Recodemos esas fómulas. Áea de un tiángulo conocidos sus vétices 1 Áea de ABC = AB AC 2 Volumen de un tetaedo conocidos sus vétices Recodemos que el volumen de un tetaedo es igual a la sexta pate del volumen del paalelepípedo coespondiente. 6.5.- LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO El concepto, así como el tatamiento analítico, de los lugaes geométicos (L.G.) en el espacio son en todo similaes a los del plano. Plano mediado Se llama plano mediado de un segmento al pependicula a él en su punto medio. Es el luga geomético de los puntos del espacio que equidistan de los extemos del segmento. dist ( X,A) = dist ( X,B) Plano bisecto 1 Volumen deltetaedode véticesa, B, C, D = AB, AC, AD 6 Semiplano bisecto es el que divide a un ángulo diedo en dos ángulos iguales. Es el luga geomético de los puntos que equidistan de los semiplanos que foman el ángulo diedo. Ejecicio popuesto 1 (pág. 184) Calcula el áea del tiángulo que tiene sus vétices en estos C 5,1, 1. puntos: A( 1,3,5 ), B( 2,5,8 ) y Ejecicio popuesto 2 (pág. 184) Calcula el volumen de un tetaedo cuyos vétices son D 1,5, 6. A( 2,1, 4 ), B( 1, 0,2 ), C ( 4,3, 2) y 17 dist X, ( π ) = dist ( X, π ') Ten en cuenta que, cuando se cotan, dos planos deteminan cuato ángulos diedos y que, po tanto, existen dos planos bisectoes. 18

Ejecicio popuesto 1 (pág. 185) Halla el L.G. de los puntos que equidistan de: a) A( 4, 1,7 ) y B( 2,5,1 ) b) π : x + y + z 2 = 0 y π': x y + z 2 = 0 c) π: x 3y + 2z 8 = 0 y π': x 3y + 2z = 0 Esfea La supeficie esféica es el luga geomético de los puntos del espacio cuya distancia al cento, Q, es constante,. Los puntos X ( x, y,z ) de una supeficie esféica de cento Q ( x, y,z 0 0 0 ) y adio cumplen la condición siguiente: dist Q, X = QX = Elipsoides, hipeboloides, paaboloides En el espacio, el luga geomético de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F', es constante, se llama elipsoide. Po ejemplo, lo son un balón de ugby o una lenteja. Análogamente: El L.G. de los puntos cuya difeencia de distancias a dos puntos fijos, F y F', es constante se llama hipeboloide. Po ejemplo, un diábolo. El L.G. de los puntos que equidistan de un punto fijo, F, y de un plano fijo, π, se llama paaboloide. Po ejemplo, una antena paabólica. x x + y x + z z = 0 0 0 2 Desaollando la igualdad anteio se llega a una expesión del tipo: x + y + z + Ax + By + Cz + D = 0 Recípocamente, una ecuación de este tipo coesponde a A B C una esfea de cento Q,, y adio A B C = + + D, siempe que el adicando sea 2 2 2 positivo. Ejecicio popuesto 2 (pág. 186) Aveigua si x + y + z + 2x 10y + 25 = 0 coesponde a la ecuación de una esfea, y halla su cento y su adio. Ejecicio popuesto 3 (pág. 186) Halla el adio de la cicunfeencia en la que el plano 4x 3z 3 0 2 2 2 x 2 y 5 z 169 = cota a la esfea + + + =. 19 20

Ejecicio popuesto 5 (pág. 187) Halla el L.G. de los puntos cuya suma de distancias a F' 0, 0, 5 es 26. F ( 0, 0,5 ) y Ejecicio popuesto 6 (pág. 187) Halla el L.G. de los puntos cuya difeencia de distancias a F' 5, 0, 0 es 6. F ( 5, 0, 0 ) y Ejecicio popuesto 7 (pág. 187) Halla el L.G. de los puntos que equidistan del plano 1 1 π : x + = 0 y del punto F, 0, 0. 4 4 Ejecicio 22 (pág. 195) Calcula el volumen del tetaedo deteminado po los ejes coodenados y el plano π: 6x 5y + 3z 30 = 0. Ejecicio 36 (pág. 196) Halla el punto P de la ecta de los planos: α : x + y + z = 3 y Ejecicio 37 (pág. 196) : x 1 y + 1 z = = que equidiste 2 1 3 x = 3 + λ β : y = λ + µ z = 6 + µ Detemina la ecuación de un plano π paalelo al plano σ: x 2y + 3z + 6 = 0 y que dista 12 unidades del oigen. Ejecicio 38 (pág. 196) a) Halla las ecuaciones de la ecta que cota pependiculamente a y s: x = 3 + λ : y = 2 + 5 λ z = 0 b) Calcula la distancia ente y s. Ejecicio 42 (pág. 196) x = 3 s: y = 6 + 4 λ z = 2 + λ Halla los puntos siméticos de P ( 1,2,3 ) especto del plano α: x 3y 2z + 4 = 0 y especto de la ecta: x y + 3 = 0 : 4x z = 0 Ejecicio 45 (pág. 196) Un cuadado tiene uno de sus lados sobe la ecta 3x + 2y + 2z = 0 x 3 y 1 z + 5 : y oto sobe s: = =. x 2y + 2z = 0 2 1 2 a) Calcula el áea del cuadado. b) Si uno de los vétices del cuadado es ( 0, 0, 0 ), cuál es el oto vétice situado sobe la ecta? Ejecicio 57 (pág. 197) Halla el plano de la familia mx + y + z ( m + 1) = 0 que está situado a distancia 1 del oigen de coodenadas. 21 22

Ejecicio 60 (pág. 197) Los puntos A( 0, 0, 0 ) y B( 1,1,1 ) son dos de los vétices de un tiángulo, cuyo tece vétice, C, está contenido en x = 2y 2 :. Si el áea del tiángulo es, cuáles pueden z = 1 2 se las coodenadas de C? 4A. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 2016) P 1, 0,1 y el vecto Sea la ecta deteminada po el punto v = ( 1, 1, 0). a) Calcula el punto de más cecano al punto Q ( 0, 0,1 ). b) Calcula el punto simético de Q especto a. 4B. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 2016) Dados los planos π : ax + y + 2z = 2, π : x + y + z = 0 y 1 2 π : x + ay + z = a, donde a R, se pide: 3 a) Estudia la posición elativa de los planos anteioes en función del paámeto a R. b) Paa el valo a = 1, calcula la distancia ente π y π. 2 3 4B. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembe de 2016) Dadas los planos π: 2x 3y + z = 0 y y el punto P ( 2, 3, 0), se pide: x = 1 + λ + µ π ': y = λ µ z = 2 + 2 λ + µ λ, µ R a) Halla la ecuación continua de la ecta que pasa po P y es paalela a la ecta s deteminada po la intesección de π y π '. b) Calcula el ángulo ente los planos π y π '. 4A. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembe de 2015) Dada la ecta : 2x y + z = 3 x z = 1 a) Da la ecuación implícita del plano π pependicula a que pasa po el punto P ( 2,1,1 ). b) Halla el volumen del tetaedo cuyos vétices son el oigen de coodenadas y los tes puntos que esultan al hace la intesección de π con los ejes coodenados. 4A. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembe de 2014) a) Estudia la posición elativa de las ectas : x = y = z y s: x = y = z 2 b) Calcula la distancia ente y s. 23 24

4B. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembe de 2014) a) Estudia, en función del valo del paámeto a R, la posición elativa de los planos π : x + y z = 3 1 π : x y + az = 1 2 π : ax + y z = 5 3 b) Calcula, en función del paámeto a R, la distancia ente los planos π y π. 1 3 4A. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 2013) a) Estudia la posición elativa del plano π: x y z = a y la ecta : 2x + y + az = 0 x 2y = 0 en función del paámeto a. b) Calcula la distancia ente π y paa cada valo de a R. 4B. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembe de 2013) a) Dados los puntos P ( 4,2,3 ) y Q ( 2, 0, 5), da la ecuación implícita del plano π de modo que el punto simético de P especto a π es Q. b) Calcula el valo del paámeto λ R paa que el plano deteminado po los puntos P, Q y R ( λ,1, 0) pase po el oigen de coodenadas. 25 26