ÁLGEBR (Selecividad 04) LGUNOS PROBLEMS DE ÁLGEBR PROPUESTOS EN LS PRUEBS DE SELECTIVIDD DE 04 Casilla y León, junio 4 a a+ a+ Sea la mariz = a a+ 3 a+ 4 a a+ 5 a+ 6 a) Discuir su rango en función de los valores de a (,5 punos) 0 b) Para a =, resolver la ecuación maricial X= 0, siendo la mariz raspuesa 0 de ( puno) a) El rango de la mariz dada no varía si se hacen las ransformaciones de Gauss que se indican: a a+ a+ a a+ a+ = a a+ 3 a+ 4 = F F 0 a a+ 5 a+ 6 F3 F0 4 4 Como la fila 3ª es doble que la ª, F3= F, el rango es siempre menor que 3 a Como el menor + a + = a + ( a + 4) = 0, el rango siempre será 0 b) Para a =, resolver la ecuación maricial X= 0 es: 0 x 0 x+ y+ z = 0 4 6 y = 0 x+ 4y+ 6z = 0 se raa de un sisema homogéneo 3 5 7 z 0 3x+ 5y+ 7z = 0 compaible indeerminado, pues, como se ha viso, el rango de la mariz de coeficienes es (Puede observarse que la ercera ecuación es la suma de las oras dos) x+ y+ z = 0 x+ y = z Será equivalene a resando, E E, se x+ 4y+ 6z = 0 x + y = 3z obiene: y = z; x = z x= La solución puede escribirse como: y = z =
ÁLGEBR (Selecividad 04) Casilla La Mancha, junio 4 a) Sabiendo que es una mariz cuadrada de orden al que razonadamene el valor de los deerminanes:,, T, 3 = 5, calcula ( puno) a b c b) Sabiendo que = calcula, usando las propiedades de los deerminanes, 3 0 5 0 0 0 3 a b c a b c + a + b + c y 0 30 0 0 3a 3b 3c 4 4 4 (,5 punos) n a) De k = k, siendo de orden n = ( ) = ( ) = 5 Como = I = y T Como = = 5 T = = = = 5 De n n = 3 3 = 5 = 5 3 a b c 3 a b c b) + a + b + c = (se exrae 3 de F3) = 3 + a + b + c = (se suman filas) 3a 3b 3c a b c F+ F3 3 0 a b c = F F3 3 = (cambiando la F por la F3) = 3 = 3 = 6 a b c 3 0 Si se desarrolla por la primera fila: 5 0 0 0 a b c a b c = 5 30 0 0 = (se exrae de F, 0 de F y 4 de F3) = 0 30 0 0 4 4 4 4 4 4 a b c = 5 0 4 3 0 = (se inercambian F y F3) = a b c = 400 ( ) = 400 = 800 3 0
ÁLGEBR (Selecividad 04) 3 3 Caaluña, junio 04 a) Como = = = I = 0 Por ano, es inverible demás, = = ± Si = I = Muliplicando por, por la izquierda y derecha, la igualdad anerior se iene: ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) II = I ( ) I = ( ) = a b a b a b 0 b) Si = y = I = c c c 0 a + bc = a + bc ( a + ) b 0 ( a+ ) b= 0 ( b 0) a= = ( a + ) c cb + 4 0 ( a+ ) c= 0 bc + 4= 3 De la 4ª igualdad c = b b Por ano, la expresión general de la mariz será: = 3/ b
ÁLGEBR (Selecividad 04) 4 4 Comunidad Valenciana, julio 04 Obener razonadamene, escribiendo odos los pasos del razonamieno uilizado: a) El valor del deerminane de la mariz S =, ( punos) y la mariz 3 5 S, que es la mariz inversa de la mariz S ( punos) Indicar la relación enre que el valor del deerminane de una mariz S sea o no nulo y la propiedad de que esa mariz admia mariz inversa S ( puno) 4 T, sabiendo que T es una mariz cuadrada de 3 ( ) b) El deerminane de la mariz ( ) filas y que 0 es el valor del deerminane de dicha mariz T (3 punos) a a 3 a a+ 3 c) La solución a de la ecuación a+ a + 4= a 4a ( 3 4a 3 a + 4 punos) a) S = = (5 3) + (5 + ) + (3 + ) = 0 3 5 Para que exisa la inversa de una mariz es necesario que 0 En caso conrario la mariz no iene inversa, pues su inversa viene dada por = ( ij ), siendo ( ) ij mariz de los adjunos de Es obvio que si = 0 la expresión anerior no iene senido En ese caso: S = ( S ij ) S Los adjunos son: S =+ = ; S = = 6 3 5 5 ; 3 S = 3 ; S = ; S 3 = 4 S = ; S 3 = ; S 33 = 4 3 3 La mariz de los adjunos es: ( S ij ) Luego, S 3 3 = 6 0 4 4 4 b) Se aplican las siguienes propiedades: 6 4 = 3 4 3 4 S =+ = 4 3 la
ÁLGEBR (Selecividad 04) 5 n ) k = k ) Con eso, si T = 0 ( ) 4( T ) = 5600 n n = 3) T = 0 = 400 = 3 4T = 4 400 = 5600 c) Dos marices son iguales cuando sus elemenos correspondienes son iguales a a 3 a a+ 3 a = a+ a+ a + 4= a 4a 3 4a 4a= a + 4 3 a + 4 a a = 0 a= ; a = La única solución posible es a = a 4a+ 4= 0 a = 5 Canarias, julio 04 Deerminar los valores de los parámeros a y b para los que iene inversa la mariz a+ b 4b = (,5 punos) a a+ b Calcular la mariz cuando a = 3 y b = ( puno) Para que exisa la inversa de la mariz es necesario que 0 a+ b 4b Como = = ( a+ b) 4b= ( a b) La mariz dada endrá inversa a a+ b siempre que a b Cuando a = 3 y b =, la mariz es 4 4 = 3 4, siendo = 4 Si inversa viene dada por = ( ij ), siendo ( ij ) En ese caso, ( ij ) la mariz de los adjunos de 4 3 4 4 = = = 4 4 4 3 4 3/4
ÁLGEBR (Selecividad 04) 6 6 Madrid, junio 04 Dada las marices: α β γ = γ 0 α, β γ se pide: x X = y, z B = 0, 0 O = 0 0 a) (,5 punos) Calcula α, β, γ para que sea solución del sisema X = B 3 b) ( puno) Si β = γ =, qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sisema lineal homogéneo X = O sea compaible deerminado? c) (0,5 punos) Si α =, β = y γ = 0, resuelve el sisema X = B α β γ α+ β+ 3γ = a) Si es solución de X = B γ 0 α = 0 3α+γ= 0 3 β γ3 + β+ 3 γ = α+ β+ 3γ = E E3 α= α= 3 α +γ= 0 (Por Gauss) 3 α +γ= 0 γ= 3 β+ 3γ= 0 β+ 3γ= 0 β= 9/ b) Si β = γ =, el sisema X = O queda: homogéneo Será compaible deerminado cuando 0 α x 0 0 α y = 0 Sisema z 0 Como = α + α + = 0 α = 0 o α =, el sisema será compaible deerminado para cualquier valor de α 0 y c) Si α =, β = y γ = 0, el sisema X = B es x+ y = z = 0 x + y = Su solución es x = 0 y = z = 0 0 x 0 0 y = 0 0 z
ÁLGEBR (Selecividad 04) 7 7 Madrid, junio 04 a Dada la mariz = 3 a, se pide: 0 a a) ( puno) Hallar el valor o valores de a para que la mariz enga inversa b) ( puno) Calcular la mariz inversa de, en el caso a = a) Para que la mariz enga inversa es necesario que 0 a = 3 a = a + 5 b) Si a =, 0 a 5 a + 5 0 a ± = 3, con = 3 0 = ij, siendo ( ij ) la mariz de los adjunos de 6 3 6 6 3 6 ij = 3 = 3 4 6 4 5 3 6 5 La mariz inversa es ( ) En ese caso: ( ) 8 Madrid, junio 04 Por la compra de cinco cuadernos, dos rouladores y res bolígrafos se han pagado veinidós euros Si se compran dos cuadernos, un roulador y seis bolígrafos, el cose es de caorce euros Se pide: a) ( puno) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que cosará un cuaderno y lo que cosará un roulador b) ( puno) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y res rouladores a) Si C, R y B son los precios de un cuaderno, un roulador y un bolígrafo, respecivamene, se iene las siguienes ecuaciones: 5C+ R+ 3B= 5C+ R= 3B C+ R+ 6B= 4 C+ R= 4 6B Luego: 3B 4 6B 3B 8 + B C = = = 6+ 9B; 5
ÁLGEBR (Selecividad 04) 8 5 3B 46B 70 30B 44 + 6B R= = = 6 4B 5 b) Si adquirimos ocho cuadernos y res rouladores habrá que pagar: 8C+ 3R= 8 6 + 9B + 3 6 4B = 48 + 7B+ 78 7B= 30 euros ( ) ( ) 9 Madrid, sepiembre 4 Dadas las marices: a a x 0 = a, X = y, O = 0 a a z 0 se pide: a) ( puno) Deerminar el valor o valores de a para los cuales no exise la mariz inversa b) ( puno) Para a =, hallar la mariz inversa c) ( puno) Para a = ; calcular odas las soluciones del sisema lineal X = O a) La mariz inversa no exise cuando su deerminane vale 0 a a a a = a = F F 0 0 a = a a a + a = a a a a a a a Como a( a) ( a) = 0si a = 0, a = o a = la mariz no endrá inversa cuando el valor de a sea 0, o b) Para a =, la mariz es La mariz inversa viene dada por ( ) de Los adjunos son: La mariz de los adjunos es: ( ij ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ; que iene inversa, pues = 4 3 = ij, siendo ( ) ij la mariz de los adjunos 5 8 = 8 4 8 Luego, 6 3 0 8 6 5 4 3 4 8 8 0 = x 0 c) Para a =, el sisema X = O queda: y = 0 Sisema homogéneo, 0 z 0 con infinias soluciones, pues el rango de la mariz de coeficienes es
ÁLGEBR (Selecividad 04) 9 El sisema se puede escribir como x= Su solución es y = z = x+ y+ z = 0 x + y + z = 0 y + z = 0 x+ y+ z = 0 y+ z = 0 x= y z y = z 0 Madrid, sepiembre 4 a Dada la ecuación maricial: B =, donde B es una mariz cuadrada de 3 7 amaño, se pide: a) ( puno) Calcular el valor o valores de a para los que esa ecuación iene solución b) ( puno) Calcular B en el caso a = a) La ecuación dada endrá solución cuando pueda despejarse B Para ello debe exisir la a inversa de la mariz inicial, a =, pues B = 3 7 3 7 Esa inversa exise cuando su deerminane sea disino de 0 a 6 Por ano, = 7a 6 0 a 3 7 7 b) Para a =, se iene B = 3 7 La inversa de es 7 3 7 = ( ij ) = = = 3 Por ano: 7 5 5 B = = 3 Madrid, sepiembre 4 3 5 a Esudiar el rango de la mariz =, según los valores del parámero a 6 3 4 a El rango de una mariz es el orden del mayor menor no nulo En ese caso, el rango puede llegar a valer 4; para ello el deerminane de debe ser disino de 0 Voy a calcular el deerminane haciendo ransformaciones de Gauss que indico: la segunda y ercera columna se le resa la primera; a la4ª, seis veces la primera:
ÁLGEBR (Selecividad 04) 0 3 5 3 5 7 a 0 3 a = = = (se desarrolla por la ercera fila) = 6 0 0 0 3 4 a 3 7 a 3 5 7 = 0 3 a 7 a 8 = ( ( ) ( )) 3 3a+ 54 + 7a 84 5a+ 60 = a+ Por ano: Si a + 0 a 6, el rango de la mariz vale 4 3 5 6 Cuando a = 6, la mariz inicial es =, que iene el mismo rango 6 3 4 6 3 5 7 0 3 6 que (se han hecho las ransformaciones aneriores) 0 0 0 3 7 6 3 5 Como el menor 0 3 = 9 0 el rango es 3 0 0
ÁLGEBR (Selecividad 04) Murcia, junio 04 Sabiendo que x y z = 4, calcula, sin desarrollar ni uilizar la regla de Sarrus, los 0 4 siguienes deerminanes, indicando en cada caso qué propiedad de los deerminanes se esá uilizando 3x 3y 3z x y z a) ( puno) b) (,5 punos) 3x 3y+ 3z+ 4 0 x+ y+ z+ Se aplicarán las ransformaciones de Gauss, que se indican en cada caso: 3x 3y 3z x y z a) = (se exrae 3 de la primera fila) = 3 = (se inercambian la 0 0 fila ª y ª) = del deerminane) = 3 x y z = (se muliplica por la fila 3ª; debe dividirse por fuera 0 3 x y z = 3 4 = 6 0 4 x y z x y z b) 3x 3y+ 3z+ 4 = (se resan las filas como se indica) F 3F0 4 = x+ y+ z+ F3 F 0 4 = (se inercambian las filas ª y ª) = x y z = (se inercambian las filas ª y 3ª) = = x y z = (se exrae de la primera fila) = x y z = 4 = 8 0 4 0 4
ÁLGEBR (Selecividad 04) 3 País Vasco, junio 04 Un comercio ha adquirido una parida de armarios y mesas Los armarios han cosado 649 cada uno de ellos y las mesas 3 cada una El responsable del comercio no recuerda si el precio oal ha sido 76 o 76 a) Cuáno ha pagado exacamene? Razona la respuesa b) Cuános armarios y mesas ha comprado exacamene? Si el comerciane adquiere x armarios e y mesas, debe cumplirse alguna de las dos ecuaciones siguienes: 649x+ 3y = 76; o bien, 649x+ 3y = 76 Es evidene que fala una ecuación, pero se pueden conocer dos cosas: ) Los valores de x e y deben ser eneros; ) demás x 4, pues con x = 5 se supera el precio oal La solución puede obenerse probando si para x = 0,,, 3 o 4, exise un valor coherene para el número de mesas y Con la primera ecuación 649x+ 3y = 76, si se adquieren x armarios: rmarios, x Cose de x Canidad Número posible de Es posible? armarios sobrane mesas compradas 0 0 76 0,57 No 649 067 5,65 No 98 48 0,74 No 3 947 769 5,8 No 4 596 0 0,90 No Por ano, la canidad de 76 no ha podido ser el precio oal Con la segunda ecuación 649x+ 3y = 76, si se adquieren x armarios: rmarios, x Cose de x Canidad Número posible de Es posible? armarios sobrane mesas compradas 0 0 76 0,9 No 649 6 SÍ 98 463 9,83 No 3 947 84 6,6 No 4 596 65,5 No La única solución posible es: Se ha comprado armario y 6 sillas El precio oal ha sido de 76 euros
ÁLGEBR (Selecividad 04) 3 4 Casilla y León, junio 4 Discuir, y resolver cuando sea posible, el sisema de ecuaciones lineales según los mx + y = valores del parámero m: x + my = m (,5 punos) mx + y = m + Se raa de un sisema de 3 ecuaciones con incógnias Tendrá solución cuando el rango de la mariz de coeficienes sea igual al de la mariz ampliada En consecuencia, el rango de la mariz ampliada debe ser menor que 3 Por ano, m 3 M = m m = 0 m m m+ = 0 ( m ) ( m+ ) = 0 m m+ El sisema puede ser compaible cuando m = o m = Si m ±, el sisema será incompaible, pues el rango de M es 3 x+ y = E x+ y = Si m = el sisema queda: x y =, que es E3/ x + y = 0 x + y = 0 incompaible, pues resando ambas ecuaciones 0 =, que es absurdo Si m = el sisema queda: x+ y = x+ y = x+ y = { x+ y =, cuya solución es x= y = 5 Exremadura, junio 04 Considérese el sisema compaible deerminado de dos ecuaciones con dos incógnias x+ y = S, cuya solución es el puno P 0 = (, ) de R x y = 3 Sea S el sisema que se obiene al añadir a S una ercera ecuación ax + by = c Conesa razonadamene las siguienes pregunas: a) (0,75 punos) Puede ser S compaible deerminado? b) (0,75 punos) Puede ser S incompaible? c) ( puno) Puede ser S compaible indeerminado? a) El sisema S será compaible deerminado siempre que la ecuación añadida sea una combinación lineal de las dos dadas; eso es: ( ax + by = c) p ( x + y = ) + q ( x y = 3) x+ y = Por ejemplo, si p = q =, el sisema x y = 3 S sigue eniendo la misma solución, x = 4 el puno P 0 = (, )
ÁLGEBR (Selecividad 04) 4 b) Será incompaible siempre que la ercera ecuación no sea combinación lineal de las x+ y = oras dos Por ejemplo, si se añade la ecuación x+ y = 0, el sisema x y = 3 S es x+ y = 0 claramene incompaible c) Para que el sisema resulane sea compaible indeerminado es necesario que el rango de la mariz de coeficienes sea, pero eso es imposible, pues el rango inicial ya vale Observación: Me parece innecesario hacer más problemas de sisemas de ecuaciones lineales, que se repien con frecuencia en los exámenes de Selecividad; pueden enconrarse en muchos siios Por ejemplo en los problemas del Tema 3 de esa página: hp://wwwmaemaicasjmmmcom/maemicas-ii-ecnolgico/