Capítuo II. Función de supervivencia y tabas de mortaidad. 2.1 Función de supervivencia. A considerar a supervivencia humana en os estudios demográficos e amado modeo biométrico (epresión matemática que mide a vida) está caracterizada por a edad de os individuos (periodo transcurrido desde e nacimiento hasta e momento actua). En e anáisis demográfico de a teoría de a supervivencia, esta se fundamente en a variabe edad de individuo y se basa en as hipótesis de: a) Homogeneidad: consiste en que todos os individuos objeto de estudio forman un grupo homogéneo respecto a fenómeno de a supervivencia, es decir, e comportamiento estadístico de su edad de faecimiento es a idéntica. b) Independencia: no eiste iteración entre individuos o que impica que a probabiidad de supervivencia de un individuo a determinada edad es independiente de a supervivencia de cuaquier otro individuo. c) Estacionaidad: consiste en que as probabiidades de supervivencia no dependen de tiempo físico (fecha de nacimiento) sino de tiempo biométrico (edad de individuo) E fenómeno demográfico de a mortaidad está determinada por a edad ecepto por dos casos: mortaidad infanti, concentrada en e primer año de vida y a mortaidad juveni, motivada por accidentes, drogas, acoho, etc. Es también e género una variabe fundamenta, por eo edad y género son as características de mayor significado actuaria. Los modeos biométricos se epresan en función de dos sucesos compementarios, e
sobrevivir a una edad en concreto o no hacero, siendo a variabe biométrica básica por eceencia a edad de faecimiento de un recién nacido que se e denota por. Esto en términos probabiístico sería a función de supervivencia. Definición 2.1 (Función de supervivencia). Sea una v.a.c (variabe aeatoria continua) con distribución F(), sea s() 1 F() P( > ) para A s() se e denomina función de supervivencia. Nota: Si es una v.a.c que representa a edad a faecimiento de un recién nacido, s() es a probabiidad de que e recién nacido acance a edad, ya que F() es a probabiidad de que muera antes de una edad menor o igua a. Ejempo 2.1. La probabiidad de que un recién nacido muera entre as edades y z con < z es: P( < < z) F(z) F() s() s(z) Ejempo 2.2 La probabiidad de que muera un recién nacido muera entre as edades y z con < z, dado que sobreviva a a edad, sería P( < < z > ) P( < < z, > ) P( > ) P( < < z ) P( > ) F ( ) F ( ) z 1 F ( ) s ( ) s ( z ) s( ) Nota. Denotaremos como a vida a edad, como () 5
Definición 2.2 (Tiempo futuro de vida a edad ).Se denomina vida residua de o tiempo futuro de vida de () a a v.a T() que representa e tiempo de vida restante de individuo, sabiendo que ha sobrevivido hasta a edad, es decir, T() { > } t > La función de distribución de T() sería: FT(t) P(T() t) P( t > ) P( < < + t ) P( > ) F ( ) F ( ) + t 1 F ( ) s ( ) s ( + t ) s( ) s( + t) 1 s( ) Definición 2.3. (Media de tiempo futuro de vida) Se denomina vida residua o media de tiempo futuro de vida a edad a a esperanza matemática de a vida residua, que denotaremos por e( ). e ( ) E(T()) E( > ) s( + t) 1 1 dt s( ) s( + t) dt s( ) 1 ( ) s( ) s u du 6
Definición 2.4 ( t q, t p ). Denotaremos a t q como a probabiidad de que () muera dentro de t años, esto es, q P(T() t) t y a t t p P(T()> t) t como a probabiidad de que () acance a edad + t. Nota. Para t p de > t tenemos > + t y esto sería a probabiidad de faecer después de + t. Como se puede ver t p es a función de supervivencia de T() Para t 1, interpretemos que estamos definiendo 1q q P[ () muera a término de un año] 1p p P[ () acance a edad + 1] Haciendo uso de FT(t) Y s( + t) 1 podemos deducir os siguientes resutados: s( ) s( + t) t p + t p s( ) p tq s( ) s( + t) s( ) Definición 2.5 (Probabiidad de morir entre as edades +t y +t+u ) La probabiidad de que () sobreviva t años y muera dentro de os siguientes u años, es decir, que () muera entre as edades +t y +t+u, que denotaremos como q y sería t u a siguiente probabiidad t u q P(t < T() t +u) t + u q t q t p t + u p 7
También podemos deducir q t u t p u q + t Si u 1 también se utiiza a siguiente notación. t 1q t q Definición 2.6 (Tiempo de vida futuro truncado de ()) Sea a v.a K[T] donde K sería e número de años futuros competos por () antes de a muerte de (), o e tiempo futuro de vida truncado de (). P(K()k) P(k T() < k + 1) P(k <T() k + 1) p p k k+ 1 k p q + k k 1 q k, 1, 2, Definición 2.7 (fuerza de mortaidad) La fuerza de mortaidad o función de azar se define como: f( ) 1 F ( ) s ( ) s( ) Podemos ver que. De a función de distribución de tiempo de vida a edad consideramos a muerte instantánea, tomemos t FT( ) P(T() ) P( > ) 8
P( < < + ) P( > ) F ( ) F ( ) + 1 F ( ) f( ) 1 F ( ) En a ciencia actuaria como en demografía se denomina fuerza de mortaidad. La fuerza de mortaidad es a tasa instantánea a momento eacto de acanzar una cierta edad. Teorema 2.1. Demostración. d d F ( ) 1 ep tdt f( ) 1 F ( ) { n[ 1 F ( ) ]} [ ] n 1 F ( ) tdt tdt Así egamos a que 1 F ( ) ep tdt F ( ) 1 ep tdt De teorema obtenemos e siguiente resutado que es inmediato Coroario 2.1. Ejempo 2.3. s( ) ep tdt a Sea F ( ) a < < b, obtengamos a. b a 9
f( ) 1 F ( ) así tenemos que f () 1 b a 1 b Teorema 2.2. Sea una v.a.c con vida residua media e y función de supervivencia 1+ e s(). Entonces a fuerza de mortaidad viene dada por. e Demostración. e 1 s( ) s( u) du 2 ( ) + s( u) du s ( ) 2 s e s( ) e + 1 s( u) du s ( ) s( ) 2 Luego entonces 1+ e e s ( ) s( ) Lo que nos da e resutado buscado. Apicando adecuadamente as definiciones podemos deducir as siguientes iguadades. t t ( ) ep p s t ydy si hacemos z y p n + n s( + n) ep ydy + n ep ydy s( ) ep ydy 1
y p n ep n z + dz f( ) ep ydy p Si FT es a función de distribución de T y f T( ) es a función de densidad de T. FT(t) P(T() t) t q Así tenemos que ( ) ( ) d d T t 1 s + f t q t dt dt s( ) s ( + t) s( + t) s( ) s( ) p t + t Nota. t p + tdt es a probabiidad de que () muera entre t y t + dt + t Podemos obtener: entonces y im p n n ( p ) im n( ) n n im + n y n dy Además queda caro que: Ejercicios. tq FT(t) P(T() t) t r p + r 1.- Investigar 3 eyes de mortaidad, parámetros, que mide, etc. k 2.- Verificar que i q k+ 1 q para k, 1, 2, i dr 11
3.- Probar que si 1 F ( ) 1+ 2 2 4.- Si.1 para 2 25 evaué 22 q 2 + entonces ( 2 + )( ) 2 2 + 2 2 2.2 Tabas de mortaidad. Una taba de mortaidad es un conjunto de indicadores reacionados con a muerte y supervivencia de una pobación hipotética hasta su etinción tota. Un ejempo de una taba de mortaidad se muestra en a siguiente página. Sus coumnas son: : edad d q p : Número de personas vivas a cumpir a edad d: Número de personas que faecen teniendo edad cumpida o bien e número de personas que faecen en e intervao de edades [, +1) q: Probabiidad de que una persona que cumpo edad faezca antes de cumpir a edad +1 o bien es a probabiidad de que una persona que cumpió edad faezca en e transcurso de siguiente año p: Probabiidd de que una persona que cumpió edad cumpa a edad +1 o bien es a probabiidad de que una persona que cumpió edad este con vida un año después. Nota. 1) A a primera edad para a cua se e conoce como edad ímite y a denotaremos por ω. 2) Las tabas de mortaidad se construyen a Grupo cerrado, es decir no se permiten nuevos ingresos. 3) Se inicia con un radi, usuamente es una potencia de 1. 4) Termina en cero. 5) Teniendo una de as coumnas podemos generar as otras de manera apropiada Las coumnas se pueden obtener de a siguiente forma: +1 d p +1/ q d / 12
Taba de mortaidad (Matemáticas Actuariaes I) d q p d q p d q p 1 153.153.9989 35 95841 1197.1249.998751 72 736965 2678.3539.96461 1 998947 294.294.9997 36 95724 178.1126.998874 73 71887 29635.4169.95831 2 998653 224.224.9998 37 956126 1168.1222.998778 74 681252 32781.4812.95188 3 998429 284.284.9997 38 954958 1274.1334.998666 75 648471 35467.5469.94531 4 998145 25.25.9997 39 953684 113.1185.998815 76 6134 43689.7127.92873 5 997895 297.298.9997 4 952554 1267.133.99867 77 569315 44456.789.92191 6 997598 275.276.9997 41 951287 1356.1425.998575 78 524859 45777.8722.91278 7 997323 255.256.9997 42 949931 1521.161.998399 79 47982 49876.1411.89589 8 99768 236.237.9998 43 94841 1654.1744.998256 8 42926 53456.12455.87545 9 996832 222.223.9998 44 946756 1764.1863.998137 81 37575 55139.14674.85326 1 99661 23.231.9998 45 944992 1876.1985.99815 82 32611 57543.17948.8252 11 99638 234.235.9998 46 943116 1987.217.997893 83 26368 46777.17781.82219 12 996146 25.251.9997 47 941129 2123.2256.997744 84 216291 42519.19658.8342 13 995896 38.39.9997 48 9396 225.2348.997652 85 173772 3494.217.79893 14 995588 298.299.9997 49 93681 2421.2584.997416 86 138832 28118.2253.79747 15 99529 598.61.9994 5 93438 2767.2961.99739 87 11714 21849.19735.8265 16 994692 153.159.9989 51 931613 2997.3217.996783 88 88865 16442.1852.81498 17 993639 1278.1286.9987 54 922111 3597.391.99699 89 72423 1257.16648.83352 18 992361 1465.1476.9985 55 918514 3831.4171.995829 9 6366 1462.17331.82669 19 99896 1856.1873.9981 56 914683 3998.4371.995629 91 4994 156.21161.78839 2 9894 1945.1967.998 57 91685 4253.467.99533 92 39344 956.24298.7572 21 98795 2276.236.9977 58 96432 459.4974.99526 93 29784 811.27229.72771 22 984819 2487.2525.9975 59 91923 5349.5931.99469 94 21674 7543.3482.65198 23 982332 2757.287.9972 6 896574 6232.6951.99349 95 14131 4533.3278.67922 24 979575 2689.2745.9973 61 89342 7234.8125.991875 96 9598 323.33653.66347 25 976886 2743.288.9972 62 88318 8212.9299.9971 97 6368 1859.29193.787 26 974143 2599.2668.9973 63 874896 9167.1478.989522 98 459 1345.29829.7171 27 971544 2151.2214.9978 64 865729 189.12579.987421 99 3164 199.34735.65265 28 969393 2275.2347.9977 65 854839 11645.13622.986378 1 265 975.47215.52785 29 967118 2411.2493.9975 66 843194 12654.157.984993 11 19 543.49817.5183 3 96477 1897.1966.998 67 8354 13345.1668.983932 12 547 345.6371.36929 31 96281 113.1146.9989 68 817195 15489.18954.98146 13 22 123.6891.3919 32 96177 122.163.9989 69 8176 17997.22448.977552 14 79 67.8481.1519 33 96685 115.1197.9988 7 78379 21789.2782.972198 15 12 12 1 34 959535 1134.1182.9988 71 76192 24955.32753.967247 16 13
Las siguientes iguadades as podemos sacar de forma inmediata partiendo de as anteriores iguadades: d +1 +1 q 1 1 p p +1 d q +n es e número de persona que cumpen edad pero no acanza a edad + n, podemos entonces definir a: q 1 n +n +n como a probabiidad de que una persona que cumpió a edad faezca antes de cumpir a edad +n o bien es a probabiidad de que una persona que cumpió a edad faezca en e transcurso de os siguientes n años. De manera semejante podemos deducir que: +n np 1 nq es a probabiidad de una persona que cumpió edad este con vida en edad +n o bien a probabiidad de una persona que cumpió edad este con vida n años después. Continuemos viendo aguno de os resutados equivaentes a os que se desarroaron en e tema anterior. q Es a probabiidad de que una persona con edad, faezca entre a edad +n y nm antes de egar a a edad +n+m. Y a podemos cacuar de a siguiente manera: q nm p q n m +n Para m 1, se usa a notación q n Se pueden verificar fácimente as siguientes iguadades: 1) n+mp np mp+n mp np+m 2) q nm np n+m p 14
3) q p p nm n n+1 Ahora reacionemos as funciones de a taba de mortaidad y a función de supervivencia, para mantener a formaidad con a que hemos manejado a parte de supervivencia, empecemos con unas definiciones. Definición 2.8. (grupo aeatorio de supervivencia) A o será un grupo de recién nacidos a que denominaremos como grupo aeatorio de supervivencia(o sobrevivenvia) cada una con función de sobrevivencia s(). Definición 2.9. (cohorte) E cohorte es un conjunto de individuos de una pobación que comparten a eperiencia dentro de un determinado periodo tempora de un mismo suceso. Definición 2.1. ( L() )Denotaremos por L() como e número de sobrevivientes de a cohorte a a edad Dónde: L() I i 1 i I i 1 si e individuoi sobreviveaedad sino sobrevive E(Ii) P(e individuo viva a a edad ) s() Así tenemos que E[L()] E [ Ii ] s( ) s ( ) i 1 i 1 Si tuviéramos que os indicadores Ii son independientes tendríamos que L() se distribuye como una Binomia con parámetros y s() Definición 2.11. ( ) Lo definimos como e número esperado de recién nacidos que sobrevivirán a a edad. 15
E[L()] s() Así os vaores en una taba de mortaidad se pueden interpretar como vaores de s() para vaores enteros de. Definición 2.12. (nd) nd representa e número de muertos entre as edades y +n dentro de un grupo inicia Dónde I [, + n) nd i 1 I, + n) ( i) 1 sie individuoi de edad muereantesde + n ( i) caso contrario nd E[nD] E I[, + n) ( i) [s() s(+n)] +n i 1 Lo anterior o podemos deducir a partir de que tenemos que: ( I[, n) i ) E ( ) P( < +n) F(+n) F() + s() s(+n) Definición 2.13. (nd) nd será e número esperado de recién nacidos muertos entre as edades y +n. Así os vaores nd en una taba de mortaidad se pueden interpretar como vaores de nd. Después de estas definiciones y deducciones que hemos reaizado podemos ver que: 16
( ) ( ) ( ) s 1 d 1 d s ( ) s s d d d d Podemos interpretar a d d como e número esperado de muertes en e intervao [, +d) d + d d + d Y es a densidad esperada de muertes en e intervao de edades [, +d). Así obtenemos Ejempo 2.4 s() p f( ) ep ep ydy ydy + n + n ep dy ep dy p + n y y n + n dy + n y y Sobre a base de nuestra taba de mortaidad, evaué a probabiidad de que un individuo de edad 2 años. a) Viva a os 1 años. b) Muera antes de os 7 años. c) Muera en a décima década de su vida. d) Obtener s(65). s(1) s(299 a) 1 2 17
s(2) s(7) s(2) 2 s(9) s(1) - s(2) 2 7 b) 1 c) 9 1 d) 65 2 Como hemos visto as probabiidades básicas de muerte y supervivencia pueden cacuarse a partir de una ey de mortaidad, en especifico con a fuerza de mortaidad, as eyes de mortaidad son epresiones anaíticas de a función de supervivencia que pretende modear e comportamiento de a mortaidad en función de a edad, e objetivo es eegir e tipo de función que mejor se adapte y represente adecuadamente a mortaidad de una pobación. La eección de tipo de función puede hacerse según os datos observado o estabeciendo ciertas hipótesis correspondientes a as características propias de a función de supervivencia. A continuación se presentan varias famiias anaíticas simpes de mortaidad y supervivencia., correspondientes a varios postuados de eyes. a) De Moivre (1929), b) Gompertz (1825), ( ω- ) 1 y s() 1- ω < Bc y s()ep[ m(c 1 )] B>, c>1, c) Makeham (186), A+Bc y s()ep[ A m(c 1 )] B>, A B, c>1, d) Weibu (1939), k n y s()ep[ u n+1 ] k >, n >, Donde m B nc y u k n +1 Nota. Teniendo como se define a fuerza de mortaidad podemos encontrar a función de supervivencia a través de coroario 2.1, 18
s( ) ep tdt Una de as diferencias entre e enfoque determinístico con e probabiístico, se basa en que sus vaores son enteros y no continuos, es decir, si queremos un dato a una edad fraccionaria como + t con t 1 tendremos que recurrir a métodos anaíticos, como os siguientes que son os más usuaes: a)iterpoación Linea. s(+t) (1 t )s() + ts(+1) es conocida como distribución uniforme o más propiamente a distribución uniforme de faecimientos dentro de intervao de un año. b) Interpoación eponencia. ns(+t) (1 t ) ns() + t ns(+1) supone una fuerza de mortaidad uniforme, bajo está suposición tp es eponencia. c ) Interpoación armónica. armónica. 1 1 t t + s( + t) s( ) s( + 1), bajo está suposición tp es una curva En base a os supuestos anteriores podemos obtener os siguientes resutados. Función Linea Eponencia Armónica t q t q 1 ep( t) tq 1 (1 t) q t p 1 t q ep( t) p 1 (1 t) q y q+t yq 1 ep( y) yq 1 tq 1 (1 y t) q +t q Μ q 1 tq 1 (1 t) q t p +t q ep( t) p q ( 1 (1 t) q ) 2 y 1, t 1 y y+t 1 Revisemos os resutados para e caso de interpoación armónica. 19
q t s( + t) 1 s( ) 1 1 1 1 s( ) 1 1 s( ) ( 1 t ) s( ) + ts( + 1) s( + t) 1 s( + 1) 1 1 s( ) 1 t + t s( + 1) + t s( ) s( + 1) s ( + 1) [ ] [ ] [ ] s( + 1) + t s( ) s( + 1) s( + 1) tq s( + 1) + t s( ) s( + 1) p + tq tq 1 (1 t ) q Ahora tp p t tq 1 tq 1 1 (1 t) q 1 (1 t) q tq p 1 (1 t) q 1 (1 t) q q y + t s( + t + y) 1 s( + t) 1 s + t ( t y ) s + ( t + y ) s + 1 1 ( 1 t ) s( ) + t s( + 1) 1 1 1 ( 1 t y) s( ) + ( t + y) s( + 1) ( ) ( ) ( ) ( t y ) s ( t y ) s ( ) 1 ( ) ( 1) 1 1 1 1 t y s( ) + t + y s( + 1) 1 t s( ) t s( + 1) 1 1 1 1 1 ( ) + + ( + 1) 1 1 ys( ) + ys( + 1) 1 1 1 1 ( 1 t y ) s( ) + ( t + y ) s( + 1) ( 1 t y ) p + ( t + y ) yq yq p + t + y q t y q ( ) 1 ( 1 ) yp + y Por útimo obtengamos a e otro resutado se desprende de este útimo, usemos e siguiente resutado d ft( t) tq t p + t dt 2
+ t d q dt p t t Primero obtengamos a derivada que viene en e numerador d d tq tq dt dt 1 (1 t) q q ( 1 (1 t) q ) tqq q p 1 (1 t) q 1 (1 t) q Ya con esté resutado podemos ver que: + t ( ) ( ) q ( 1 (1 t) q ) 2 2 2 Ejercicios. 1.- Verificar para os vaores de una taba de mortaidad nppp+1 p+n 1 2.- Verificar que para os vaores de una taba de mortaidad q p p n n n+1 3.- Probema de Bowers 3.1 4.- Probema de Bowers 3.4 5.- Probema de Bower 3.7 6.- Bajo a ey de Moivre con ω 14. Obtén: a) s() (probar que efectivamente sea a que se propuso) b) 4p14 c) 2q22 d) 7 11q29 k 7.- Verificar que i q k+ 1 q para k, 1, 2, i 8.- A competa os vaores de a siguiente taba de mortaidad. d q p 4 998145.25 5 297 6.9997 7 997323 8 99768.9998 9 222 21
1 99661 11 99638 12 996146 25 13 38 14 298 9.- Obtener una epresión para V(T()) y a mediana 1.- Probema de Bowers 3.3 11.- Probema de Bowers 3.8 12.- Probema de Bower 3.16 13.- Probema de Bowers 3.19 14.- Probema de Bowers 3.35 15.- Para una taba de mortaidad probar: a) b) 1 pi 1 i d 1 1 i i i i i d i c) n q d + n d) q n m + n + n+ m 16.- Utiizando a taba de mortaidad de as notas cacua o siguiente: a) 3 q 35 b) 2 p 61 c) 5 p d) 3 q 12 e) 3 p 11 f) 1 2 q 4 17.- Probar : a) t b) t s + s q p ds t m t t + m q p ds s + s 18.- Bajo a ey de Makeham con A.3, B.39, C 1.58 y ω 14. Obtén: a) s() (probar que efectivamente sea a que se propuso) 22
b) 4p14 c) 2q22 d) 7 11q29 19.- Utiizando a distribución uniforme de muerte (interpoación inea) ( ) q q + p tq m entero yt,1 t + m m m + m 23