FLUJO ELÉCTRICO La definición de fluj de camp eléctic E a tavés de una supeficie ceada (Fig. 1) es Φ = E d s, dnde, E (Fig. 1) a) el símbl epesenta una integal sbe una supeficie ceada, b) d s es un vect que tiene magnitud ds igual a una difeencial de áea sbe la supeficie, y que apunta en la diección del vect nmal nˆ diigid al extei de la supeficie, y c) E d s es un pduct escala ( E d s = E ds csθ), que depende de la supeficie, y del camp E.
LEY DE GAUSS La ley de Gauss es una heamienta pdesa paa detemina camps eléctics en situacines de simetía, y elacina el fluj eléctic ttal, Φ E, a tavés de una supeficie ceada, cn la caga neta enceada p la supeficie. Esta ley establece: dnde, E d s q, = : epesenta la integal sbe una supeficie ceada, en cuy intei hay una caga neta q, y d s : es un element difeencial de supeficie; en cada punt ds es un vect, y, p cnvención, siempe apunta hacia fuea de la supeficie ( Fig. 8). Fig. 8 Si deseams halla el camp eléctic E en una cieta egión del espaci, cnstuims en ese espaci, una supeficie ceada, llamada supeficie gaussiana. La elección de la fma y el tamañ de la supeficie gaussiana es abitaia. Suele escgese de tal fma que sbe ella el val del camp eléctic sea cnstante, y pueda entnces factizase fuea de la integal. Cm ya sabems, Φ E = E d s, es el fluj a tavés de una supeficie ceada y q es la caga neta cntenida dent de la supeficie, es deci, que si se tienen muchas cagas puntuales q i dent de la supeficie, la ley de gauss puede escibise : E d s = q = q i i neta
LA LEY DE GAUSS Y LA LEY DE COULOMB. (Camp Eléctic debid a una caga punt) La ley de Culmb puede deducise de la Ley de Gauss. Paa ell aplicams la ley de Gauss a una caga puntual psitiva q, y elegims una supeficie esféica cm supeficie gaussiana. Se supne que el camp eléctic E de la caga es descncid, pe debid a la simetía, tendá la misma magnitud en cualquie punt de una supeficie gaussiana esféica (Fig. 9). Cm E Fig. 9 es cnstante en tdas pates de la supeficie, y hace un ángul de ce gads cn d s, pdems extae E cn la ley de Gauss: 0 E ds = q de la integal que expesa el fluj y escibi de acued Si una caga de pueba seá, + q se sitúa en este camp, la fueza eléctica sbe esta caga F = qe = 1 4π qq Y btenems de esta manea, la ley de Culmb a pati de la ley de Gauss.
CORTEZA ESFÉRICA Una cteza esféica delgada de adi R tiene una caga ttal Q distibuida unifmemente sbe su supeficie. Detemine el camp eléctic paa punts 1. R, es deci, fuea del cascaón. < R, es deci, dent del cascaón SOLUCION Fig. 10 1. En la figua 10 se muestan las líneas de camp y ls elements de supeficie supuesta la cteza cagada psitivamente. Si cnstuims una supeficie gaussiana esféica de adi R, cm se muesta en la figua, la ley de Gauss E d s Q pemite escibi = E(4π ) = Q Y despejand E tenems Q E =, > R 4π
Que es igual al camp debid a una caga puntual de magnitud Q clcada en el cent de la cteza.. < R En este cas, la caga enceada p la supeficie gaussiana es ce, y la ley de Gauss dice que E d s = 0, E(4π ) = 0, de dnde E = 0 Es deci que el camp E es ce en tds ls punts inteies. En la figua (11) se muesta una gáfica de E vesus Fig.(11)
DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA (Esfea maciza) Una caga Q se encuenta unifmemente distibuida en td el vlumen de una esfea n cnducta de adi R. Detemina el camp eléctic en punts: 1. fuea de la esfea, > R. dent de la esfea, R SOLUCIÓN Fig. 1 1. En la figua 1 se muestan las líneas de camp eléctic E v, supniend la esfea cagada psitivamente, y se muestan también las supeficies gaussianas paa > R y < R, las cuales cnsisten de esfeas centadas en la esfea cagada. De la ley de Gauss, E d s Q = cuand > R la caga que enciea la supeficie gaussiana es exactamente Q. Debid a la simetía esféica, E ds = Q Y despejand E tenems E(4π ) = Q Q E = > R 4π 0
L mism que btendíams si la caga Q fuese una caga punt clcada en el cent de la esfea.. < R Paa esta situación, la caga Q ' enceada p la supeficie gaussiana es men que Q, y seá 4 Q' = ρ V ' = ρ( π ) Dnde ρ es la densidad de caga y V ' es el vlumen encead p la caga Q ' Cm Q caga ttal Q ρ = = = V vlumen esfea 4 π R esulta Q ρ =, y, 4π R 4 Q 4 Q ' = ρ ( π ) = ( π ) = Q 4 πr R De la ley de Gauss E d s = Q' E(4π Q E = 4π ) = Q R R, < R Obseve que el camp es ce paa = 0, y aumenta linealmente cn hasta = R, y después decece invesamente a, es deci, Q E = 4π R, E α, paa < R, y, 1 Q 1 E =, E α 4π, paa > R Ls camps cinciden en muestan en la figua 1. 1 Q = R y tienen el val E = ; y sus cuvas se 4π R
Fig. 1
LÍNEA INFINITA DE CARGA Fig. 14 La figua 14 muesta una sección de una línea infinita de caga de densidad cnstante. Deseams calcula el camp eléctic a una distancia R de la línea. Slución: Si supnems la caga del alambe psitiva, el sentid del camp seá adialmente hacia fuea, y su magnitud dependeá de la distancia adial R. Cm supeficie gaussiana elegims un cilind cicula de adi R y lngitud h. Al utiliza la Ley de Gauss, E d s q = se descmpne la integal en tes integales, ds cn espect a las bases del cilind y una cn espect a la supeficie lateal. Cm n hay fluj a tavés de las bases sin slamente a tavés del áea lateal, y cm p simetía E tiene el mism val en tds ls punts de esta última, se tendá que q = E ds = = E = Es Eds cs0 ds = E(πRh) = λh Pues el áea lateal del cilind es πrh y la caga ttal enceada es la densidad lineal de caga multiplicada p la lngitud, y esulta E = 1 π En la unidad sbe Inteacción Eléctica (Pblema esuelt #8, alambe infinit) se btuv este mism esultad utilizand una técnica de integación a pati de la expesión dq λ R E = K û
la cual utilizaba un métd más labis. El esultad btenid también es válid paa alambes cagads cn lngitud finita, siempe que la distancia adial, R, sea much men que la distancia L a un extem del mism, es deci R << L Fig. 15
LÁMINA INFINITA CARGADA Calculems el camp debid a una lámina infinita, delgada cagada, de una densidad supeficial de caga σ Fig. 16. (Ve pblema esuelt #10 de la Unidad Inteacción Eléctica) Fig. 16 Slución: Una supeficie gaussiana cnveniente es un cilind pequeñ, cuy eje sea pependicula al plan cn extem equidistante del plan, y áeas de las bases A. Cm el camp es pependicula, n existe fluj a tavés del áea lateal del cilind. Empleand la ley de Gauss, E d s = q pdems escibi paa las tes supeficies del cilind (ds de las bases y una lateal), E d s = E d s + E d s E d s = q a y cm el fluj a tavés de la supeficie lateal (supeficie b) es ce, pues E es pependicula a d s, y el fluj a tavés de cada una de las bases es EA (áeas a y c), esulta que, EA + 0 + EA = q EA = q b c Cm la caga enceada p la supeficie gaussiana es tansfma en EA = σa, σ E = q = σa, la ecuación antei se
Al mism esultad, aunque cn may dificultad puede llegase p integación a pati de la expesión (ve pblema esuelt #10 de la unidad Inteacción Eléctica) dq E = K û En este ejecici hems supuest una lámina infinita l que es una idealización. Pe el esultad es una buena apximación en el cas de un plan finit, siempe y cuand la distancia de la lámina al punt dnde se evalúa el camp sea pequeña, en cmpaación cn las dimensines del plan. Si la caga de la hja infinita es psitiva, el camp está diigid pependiculamente desde la hja (cm se ilustó), pe si tiene una caga negativa, la diección del camp es hacia la hja, cm se indica en la figua 17. Fig. 17